É verdade que existe na internet uma prova de KP é igual a quro hoje nós vamos destrinchar essa história e entender um pouco mais os perigos do infinito lugar onde a intuição falha Olá meu nome é Daniel Nunes você está no tem ciência e olha só essa prova de que pi É iG 4 imagina que você tenha um quadrado de lado um escrito nesse quadrado a gente tem um círculo de diâmetro também igual a um da geometria básica você deve se lembrar que que a circunferência mede pi vezes o diâmetro Então nesse caso o perímetro
do círculo mede exatamente pi já o perímetro do quadrado mede quatro são quatro lados de tamanho um beleza só que se você dobrar as pontas do quadrado para dentro até tocar no círculo repara que o perímetro da figura dobrada não mudou em cada canto esse pedaço é igual a esse aqui então o perímetro Total não muda e continua dando o mesmo resultado de antes que é quatro agora as coisas ficam curiosas porque a gente pode continuar dobrando as pontas para dentro e a cada vez que a gente faz isso o perímetro obviamente não muda mas
será que é tão Óbvio assim mesmo porque à medida que esse processo vai se repetindo a figura se aproxima cada vez mais do Círculo a cada novo passo a proximidade é maior então depois de infinitos passos a figura acabaria sendo igual ao círculo portanto ela teria que ter o mesmo perímetro do círculo que é igual a PI só que do durante todo esse processo a cada passo o perímetro da figura era sempre igual a quro não teria motivo para ela mudar de repente só porque Chegamos no infinito ela deveria continuar sendo qu então isso quer
dizer que pi É iG 4 mas a gente sabe que não é então esse raciocínio tem que ter alguma falha tem que ter algum erro como dizem por aí algo de errado não está certo e a missão desse vídeo é justamente entender onde que tá esse problema vamos olhar o processo com mais calma para ver se a gente descobre Alguma pista a cada passo que a gente dá É verdade que o perímetro realmente não muda continua sendo sempre igual a 4 Só que tem uma coisa que mudou sim se você pensar no quadrado como algo
sólido a cada passo o que a gente tá fazendo é retirar quadradinhos cada vez menores da figura e como a gente tá retirando coisas a área da figura tá diminuindo apesar do perímetro continuar sempre igual então se alguma coisa tá se aproximando só pode ser a área e de fato isso é verdade a área da figura que sobra se aproxima cada vez mais da área do círculo e o motivo disso acontecer é o cálculo Olha só para o canto aqui do quadrado conforme vamos fazendo as dobras a área que vai embora Corresponde à soma das
áreas dos retângulos essa soma das áreas recebe o nome de uma soma de riman e é o que tá por trás do cálculo das integrais uma integral nada mais é do que a área abaixo de uma curva e o valor dessa área corresponde a fazer o número de retângulos da soma de rima tender a infinito ao mesmo tempo em que o comprimento da base de cada um deles tende a zero e é exatamente isso que acontece conforme aumenta o número de dobras então área que sai após o processo infinito é exatamente a área fora do
Círculo em outras palavras a área da figura tem como limite o valor da área do círculo e como é que a gente tem certeza disso porque simplesmente a própria defini matemática di área é através de integrais e a definição da integral nesse caso é exatamente o limite das somas de rima com essa condição de que o número dos retângulos deve tender ao infinito ao mesmo tempo em que a base de todos eles devem tender a zero Então veja como que a compreensão do que tá acontecendo aqui passa pelo conhecimento do cálculo muitas das vezes em
que o infinito entra em jogo o cálculo é necessário para compreender o que tá acontecendo isso porque o cálculo nada mais é do que o tratamento do os processos matemáticos que envolvem o infinito e se você quiser ter domínio sobre o cálculo precisa conhecer dominando o cálculo o curso de cálculo do tem ciência Esse é um curso completo que foca no entendimento dos porquês sem espaço para decoreba isso porque você só pende de verdade quando enxerga o sentido das coisas quando dá aquele clique de que uma ideia finalmente encaixou e um dos maiores segredos para
isso correr bem no cálculo é ter uma boa base e é por isso que o dominando cálculo é um curso dois em um porque ele também é um curso completo de pré-cálculo que é a base ali da Matemática elementar necessária para você entender direitinho o cálculo então se você quer um curso completo com suporte à dúvida grupo no telegram centenas de exercícios todos eles com resolução passo a passo para te levar ali do básico até o avançado entra pro dominando cálculo clicando no link da descrição para começar a mudar de nível ainda hoje ok esse
papo de área é uma cria do cálculo mas o paradoxo do vídeo não é sobre áreas e sim sobre perímetros como é que pode o perímetro permanecer diferente se as áreas convergem e as figuras parecem ficar cada vez mais parecidas essa a gente consegue construir uma boa intuição a partir de dois barbantes de tamanhos diferentes vamos formar um quadrado usando o menor deles repara que se a gente fizer um zig-zag dá para constituir uma figura usando o barbante maior e que tem área muito próxima do quadrado do Barbante menor ou seja o perímetro pode variar
muito sem que a área não sofra nenhuma variação se você ainda não se convenceu imagina só um pequeno segmento pense nele como se fosse um pedaço da borda do quadrado que a gente fez antes vamos marcar os pontos que estão a 1 quarto do comprimento do segmento em relação às extremidades uma linha em zigue-zague como essa que cruza o segmento original por esses pontos descreve três triângulos de mesma altura a base dos de cima é metade da base do triângulo de baixo então os dois triângulos de cima juntos tem a mesma área do triângulo de
baixo se você pensar que a parte de dentro desse segmento que representa o nosso quadrado fica embaixo a conclusão é que a área da nova figura não se altera em relação ao quadrado já que os ganhos de área são Compensados pelas perdas e tudo fica na mesma e Conforme você aumenta a altura dos triângulos o perímetro cresce imaginando o efeito disso por todo o quadrado você vê que é possível ter perímetros cada vez maiores sem que a área mude uma coisa que você pode estar se perguntando agora é o seguinte a cada passo das dobras
as pontas vão todas parar no círculo elas não cruzam como nesse exemplo do zigue-zague elas ficam exatamente sobre o círculo então depois dos infinitos Passos todos os pontos estarão sobre o círculo e portanto no infinito essa figura deve ser igual ao círculo certo esse é um dos motivos pelos quais O infinito é um lugar onde a nossa intuição falha o raciocínio é correto na sua parte finita mas a passagem ao infinito é onde tá o problema não é verdade que mesmo depois dos infinitos Passos todos os pontos estarão sobre o círculo isso tem a ver
com o fato de que existem infinitos de tipos diferentes falar sobre isso rende um vídeo inteiro separado mas a gente pode fazer um breve resumo aqui talvez não tão breve a raiz da diferença entre os infinitos está no processo de Contagem contar uma coleção de objetos nada mais é do que associar cada um deles sucessivamente a números naturais esse recebe o um esse recebe o dois esse o três são três objetos para dizer que dois conjuntos diferentes t o mesmo número de objetos uma maneira é contar diretamente os dois e ver se o resultado bate
mas um atalho e que tá no próprio espírito de ver o ato de contar como uma associação com o conjunto dos números naturais é simplesmente ver se é possível colocar os dois conjuntos em uma correspondência bijetora ou seja cada elemento do conjunto A deve estar associado a um único elemento do conjunto B e vice-versa todo elemento do B deve estar associado a um único elemento do conjunto A o mais interessante dessa ideia é que ela serve para comparar conjuntos finitos mas também conjuntos infinitos e é aí que a nossa intuição vai pro brejo por exemplo
existem mais números naturais do que números pares certo errado isso porque você consegue colocar o conjunto dos números naturais em correspondência bijetora com o conjunto dos números pares É só usar a função y = 2x cada número natural elevado em um único número par e cada número par pode ser escrito nessa forma para algum x natural então a gente diz que o conjunto dos números naturais e dos números pares tem a mesma cardinalidade que é a maneira de reproduzir a ideia tipicamente finita De que Dois conjuntos t o mesmo número de elementos você poderia pensar
que isso é estranho a primeira vista mas depois faz até sentido Afinal o os dois conjuntos são infinitos e o que a gente tá dizendo é apenas que infinito é igual a infinito porém existe um problema com essa ideia e tá Justamente na descoberta impactante de que existem diferentes tipos de infinito no século XIX George cantor mostrou que era impossível estabelecer uma correspondência bijetora entre números naturais e números reais em outras palavras ele provou que o infinito dos números reais era maior que o infinito dos números naturais assim como várias demonstrações de Que tal coisa
é impossível essa também usa a ideia de demonstração por absurdo que funciona da seguinte maneira como a ideia provar que é impossível estabelecer uma objeção entre n e r a gente admite como hipótese que a coisa na verdade é possível e utiliza isso para chegar numa contradição e como a matemática deve ser livre de contradições a conclusão é que a hipótese só pode ser falsa ou seja não existe uma objeção entre os naturais e os reais portanto eles não possuem a mesma cardinalidade em outras palavras existem diferentes tipos de infinito o cantor provou que não
havia sequer uma bijeção entre os naturais e os números reais entre zero e 1 para isso ele usou a expansão decimal dos reais e imaginou por absurdo que eles pudessem estar em correspondência bijetora com os naturais iso é a mesma coisa que dizer que seria possível ordenar todos os números reais entre zero e 1 numa lista A ideia é olhar para diagonal dessa lista e formar um número novo a partir dela esse número não tem como tá na lista isso gera uma contradição já que a hipótese era que todos os números reais entre 0 e
1 deveriam estar na lista e qual número é esse ele é formado da seguinte forma o seu primeiro dígito deve ser diferente do primeiro dígito do primeiro número por exemplo no caso que esse dígito seja menor que nove a gente troca ele pelo seu sucessor se ele for igual a 9ve a gente troca por cinco o segundo dígito deve ser diferente do segundo dígito do segundo número usando a mesma regra de pegar o sucessor quando for diferente de nove ou o 5 quando o segundo dígito do segundo número for igual a nove mesma coisa com
o terceiro dígito que deve ser diferente do terceiro dígito do terceiro número pela mesma regra E por aí vai o número formado não pode estar na lista porque se ele tivesse na linha n ele teria o enésimo dígito diferente do Eno dígito do número que de fato está na linha a conclusão então é que essa lista não pode ser exaustiva isso gera uma contradição já que a hipótese era justamente de que a lista deveria ser completa a conclusão é que a hipótese não pode ser verdadeira e assim os naturais não têm a mesma cardinalidade dos
reais mas o que que isso tem a ver com o problema principal desse vídeo O Grande Lance é que os pontos que vão se juntando ao círculo a cada passo compõem um conjunto que pode ser listado de maneira ordenada Ou seja a cardinalidade desses pontos é igual à cardinalidade dos naturais já o conjunto dos pontos do Círculo tem a mesma cardinalidade de um segmento de reta e a gente acabou de ver que nesse caso estamos diante de um infinito de ordem superior ao infinito dos números naturais em outras palavras o conjunto dos pontos que dobram
para cima do Círculo mesmo após infinitos Passos não chega a esgotar todos os pontos do Círculo nem todos os pontos do quadrado mas mesmo que esgotasse isso ainda assim não significaria que os perímetros seriam iguais para entender isso nem precisa a gente ir muito longe quaisquer dois segmentos de comprimentos diferentes podem ser colocados em correspondência bijetora é só você traçar linhas a partir de um ponto em comum cada linha cruza os dois segmentos em Pontos sempre diferentes e serve para estabelecer uma objeção entre os pontos dos segmentos ou seja eles têm a mesma cardinalidade o
mesmo número de pontos isso não impede eles de terem comprimentos diferentes É por essas e outras que eu digo que no infinito a intuição é uma bússola que falha isso faz do infinito algo ainda mais belo Muito obrigado aos membros do canal conheço dominando o cálculo clicando no link da descrição E não se esqueça de deixar o like se inscrever e até o próximo vídeo
