Sucessões monótonas: crescente e decrescente.

seja muito bem-vindo a mais uma aula de matemática Ah vamos falar sobre sucessões monótonas muito bem sucessões monótonas quer dizer se estamos a falar de monotonia Nós queremos ver se essa sucessão é crescente não é crescente ou é decrescente decrescente é só isso ok se estamos a falar de sucessões monótonas Nós queremos ver se essa sucessão é crescente não é Ou decrescente Então vamos lá ver sucessão crescente é aquela sucessão em que substituindo os valores numa sucessão aqui ah por exemplo se eu substituir a um encontrar A1 encontrar 1 e a2 encontrar do A3 por

exemplo encontrar 3 A4 encontrar 4 veja o que está a acontecer para cada n começando de 1 para mais infinito que estou a fazer o que estou a encontrar estou a encontrar cada vez mais o a não é o A1 por exemplo o sucessor sempre é maior do que antecessor veja 2 é maior do que 1 3 é maior do que 2is e 4 é maior do que três sempre o sucessor o número a seguir sempre é maior do que o número antecessor não é Ou seja o número que vem antes então se isso acontecer

é uma sucessão crescente e se eu fizer por exemplo aqui vamos vamos fazer aqui a um não é a outra cor é outra cor vamos lá se eu fizer A1 aqui vou encontrar por exemplo encontrar C A2 encontrar 4 A3 encontrar 3 A4 encontrar 2 Veja só o que está a acontecer enquanto eu estou a crescer não é para A1 A1 A2 A3 a quatro o que estou o que estou a encontrar os o antecessor é maior que o sucessor Então se isso acontecer essa ah sucessão é decrescente muito bem agora vamos verificar isto como

verificarmos isso numa sucessão né nessa sucessão dada uma sucessão é crescente se eu fizer esta sucessão né vamos lá o termo sucessor por exemplo temos aqui an + 1 não é Ah menos an for maior que zero Então se isso acontecer o sucessor se eu fazer se eu fizer a diferença se eu fizer a diferença o sucessor menos antecessor e este número der um número positivo Então esse essa sucessão é crescente não é é crescente é crescente e se eu fizer an + 1 - an e resultar um número negativo Então essa sucessão é decrescente

é decrescente muito bem pegou esta visão vamos caminhar juntos agora vamos resolver esta este este exercício não é primeiro para nós resolvermos esse exercício O que nós vamos fazer vamos encontrar an + 1 an + 1 ficamos com isso aqui an + 1 igual aqui como como encontramos a n + 1 é só onde tem n vamos substituir por n n + 1 por exemplo aqui tem n não é ficamos com n + 1 e depois Esse é o lugar de n + 2 não é + 2 sobre 2 aqui tem n vamos substituir por

n + 1 pois mais 1 e isso é igual aqui podemos encontrar n s 1 + 2 fica 3 sobre e aqui propriedade distributiva não é 2 x n fica 2n 2 x 1 + 2 depois + S1 isso é igual a n + 3 sobre 2n + 2n + 2 + 1 3 Ok já encontramos a an + 1 agora vamos fazer isso né vamos encontrar an + 1 - an Isso vai ser igual aqui temos an + 1 que é essa expressão não é ficamos com n + 3 so 2 n + 3

Men an an temos está aqui an é n + 2 sobre 2n + 1 aqui pessoal vamos fazer MMC MMC daqui levamos esse denominador passa para aqui para depois multiplicarmos esse denominador para aqui ok e depois vamos fazer a multiplicação a multiplicação daqu vai ser igual esse denominador vezes numerador ficamos com n + 3 vezes 2n + 1 sobre esse denominador vezes o denominador fica 2n mais 3 vees 2n + 1 é Men depois menos aqui também ah esse valor vezes numerador fica n + 2 x 2n mais + 1 né 2n + 3 não

é s vez + 3 sobre ah mesma coisa S xz S fica 2n 2n + 3 x 2n mais 1 então tendo isso né vamos vamos fazer propriedade distributiva propriedade distributiva ficamos com quê isso é igual a n x n x 2n fica 2n qu n x 1 fica n 3 x 2n fica 6 n 3 x 1 fica 3 não é depois menos entre parênteses queremos fazer propriedade distributiva aqui n x 2n fica 2n Quad n x 3 fica 3n e aqui temos 2 x a 2n fica 4n 2 x 3 dá 6 não

é tudo isso sobre veja aqui temos mesmo denominador então consideramos um único denominador fica 2n + 3 ve 2n + 1 muito bem isso vai vai dar a 2n qu + n + 6N vai dar 7n + 3 depois menos esse menos passa a passa a trocar todos os sinais que estão dentro parênteses fica 2n qu veja só 3n mais 3n mais 4n vai dar 7n com esse menos vai dar - 7n - 6 não é tudo isso sobre 2n tudo isso sobre 2n + 3 x 2n + 1 ok muito bem veja só uma

coisa muito interessante aqui aqui vamos podemos cortar Não é esse aqui com esse aqui 2n qu - 2n qu aqui dá 0 7n - 7n também dá 0 ficou apenas ficou apenas o quê Ajuda aí ficou 3 - 6 não é 3 - 6 vai dar - 3 sobre 2n + 3 x 2n + 1 2n + 1 muito bem chegado até aqui meu amigo como você pode ver não é nós estamos a falar que ou estamos a dizer que n é um número natural não é esse n aqui quando TR quando tratamos de uma

sucessão esse n começa de um para mais infinito esse n nunca é negativo logo aqui temos mais mais então sempre aqui no denominador será um número positivo veja que aqui no numerador é um número negativo então positivo com negativo sempre essa fração aqui Vai resultar um número negativo se assim quer dizer que isso aqui é menor do que zero sempre esse resultado vai dar menor do que zero então se for assim nós dissemos que se an + 1 - an resultar um número menor do que 0 então esta sucessão é decrescente você sei se ainda

não entendeu Ainda temos mais exercícios fique aí queremos resolver a linha B para linha B também vamos fazer o mesmo não é vamos encontrar o n + 1 o n + 1 aqui o n + 1 é igual onde tem n vamos substituir por n + 1 aqui temos n Então temos n + 1 sobre aqui também temos n ficamos com n + 1 + 1 + 1 isso é igual a n + 1 sobre n + 1 + 1 2 + 1 2 muito bem já encontramos o n mais 1 Então vamos fazer esta

diferença não é o n + 1 Men o n isso aqui Vai resultar ah está aqui o n + 1 já encontramos que é n + 1 sobre n + 2 - o n o n está aqui n sobre n mais aliás mais 1 né mais 1 então isso aqui Vai resultar Vai resultar o quê vamos fazer mais uma vez MMC MMC daqui temos aqui n+ 1 e aqui vamos levar ess aqui para aqui não é n 2 Então temos esta multiplicação vai dar e esse azul ficamos com n + 1 vezes vermelho n +

1 sobre esta multiplicação aqui não é n + 2 vezes vermelho ficamos aqui com n + 1 muito bem depois menos aqui também Azul n vezes vermelho que está no no denominador fica n + 2 Azul n + 1 vees n + 2 Ok vamos aqui fazer propriedade distributiva ficamos com e n x n fica n qu n x 1 fica n n a 1 x n dá n 1 x 1 dá 1 depois menos entre parênteses queremos fazer propriedade distributiva aqui fica n qu n x n n n x 2 fica 2n depois tudo

isso sobre porque já temos mesmos denominadores então consideramos único denominador fica n + 2 depois vezes n + 1 então tendo isso teremos igual aqui ficamos com n qu n + n dá 2n + 1 depois menos aqui esse menos passa a alterar todos os sinais que estão dentro parênteses ficamos com - n qu pois menos 2n sobre n + 2 x n + 1 muito bem muito bem veja só aqui esse + n qu são números simétricos pode sair com - n qu 2n 2n pode sair com menos 2n muito bem muito bem então

isso aqui vai dar aqui ficou apenas 1 então fica 1 sobre 1 sobre n + 2 x n + 1 também caímos na mesma situação não é n aqui é sempre positivo é um número sempre positivo porque pertence a um número natural então aqui encontramos positivo se é sempre positivo aqui Aqui já é um número positivo Conseguimos ver um é um número positivo e aqui será sempre um número positivo logo aqui esta fração aqui Vai resultar sempre um número positivo ou seja maior que zero lembre-se nós dissemos que se nós fizermos a diferença não é

se nós fizermos a diferença o sucessor menos antecessor não é e esta diferença resultar um número maior do que zero Então esta sucessão é crescente esta sucessão é crescente Qual é essa sucessão crescente a suão crescente é essa aqui não é essa sucessão é crescente muito bem então vamos fazer o último exercício ok muito bem último exercício a linha C ah como vamos fazer vamos fazer o mesmo né veja só Ah esse aqui Como vamos fazer muito simples não é temos 1 n = -3 + -1 a elevado a n primeira coisa vamos determinar o

n + 1 o n + 1 isso vai dar a -3 mais - 1 elevado a n + 1 lembre-se onde tem n coloca n + 1 agora isso aqui o que é se nós temos pela propriedade de potenciação não é se nós temos e n a elevado n x a elev m então isso aqui é igual a a elevado n+ M porque temos mesma base não é temos mesmas base aqui aqui é a A então podemos escrever assim não é vamos aplicar isso na nossa nos no nosso exercício e isso aqui vai dar onde

está a caneta azul eh Isso aqui vai dar a -3 não é a -3 mais mais o quê + -1 elevado a n vezes -1 elevado a 1 não é porque aqui vai ser o nosso o nosso o nosso n vai ser esse n aqui não é depois mais temos aqui mais e o nosso M Vai ser 1 e a vai ser -1 então tendo isso teremos igual a -3 + -1 elevado a n vezes qualquer número elevado a 1 é é igual àquele mesmo número no caso aqui vai ser -1 então isso aqui vai

dar esse menos Vai Multiplicar aqui Vai Multiplicar esse mais fica menos Men 1 elev n atenção aqui não se pode multiplicar Men menos dar mais não porque aqui esse men1 está elevado a n ok muito bem então chegado até aqui vamos fazer o seguinte esta a nossa diferença a nossa famosa diferença não é de un + 1 menos un n isso vai dar un + 1 deu -3 menos 1 elevado a n menos não é agora - un Vamos colocar entre parênteses menos o n o n está aqui -3 mais -1 elev n isso vai

dar a-3 Men -1 elevado n men men aqui vai dar 3 menos aqui menos menos mais vai dar Men 1 elevado a n então aqui nós podemos cortar es não é então vai dar vai dar menos -1 elevado a n Men -1 também elevado a n veja só é como se fosse aqui é como se fosse x menos x vai dar o qu -2 x aqui o nosso x vai ser -1 elevado n também aqui vai ser -1 elevado n temos menos menos então isso vai dar - 2 vai dar -2 - 1 elevado a

n agora chegando aqui o que nós vamos fazer Olha só esse aqui é -1 se é -1 aqui é um natural vamos verificar uma coisa se vamos verificar por exemplo aqui eh vamos dizer se se n é igual a 1 se n ig a 1 o que vai acontecer com essa sucessão o n + 1 Men o n vai ser igual a men 2 x -1 elevado a 1 não é se n for 1 teremos aqui 1 então isso aqui fazendo a matemática vai dar -1 elevado a 1 Vai dar -1 - 2 x -1

aqui vai dar 2 positivo não é 2 positivo muito bem agora vamos Verificar também para n = a 2 se n = a 2 então teremos teremos o n + 1 Men un n = a -2 x - 1 aqui onde tem onde tem n substituímos por 2 isso vai dar -1 elev 2 vai dar o número - 1 elevado a 2 dá 1 positivo então -2 x 1 isso vai dar -2 o que isso quer dizer veja só se n for 1 esse um é é ímpar e n for 2 esse 2 é par

o que está a acontecer se o n for ímpar então teremos 2 positivo se n for par então teremos -2 o que quer dizer quer dizer que a a sucessão é oscilante ela n não é crescente nem decrescente a suão é oscilante uma forma de verificar isto não é por exemplo você tem uma tem uma sucessão não é uma sucessão vamos ver aqui vamos tem uma sucessão un igual vamos supor 2n mais 1 como verificar esta suão se é crescente ou decrescente é só fazer seguinte determina pelo menos cinco primeiros termos temos 1 1 é

igual a 2 vezes onde tem n colocam 1 não é mais 1 isso vai dar 2 x 1 Vai dar 2 + 1 dá 3 o 2 vai dar a 2is vezes e onde tem aqui coloca coloca aí coloca 2 não é onde tem n coloca 2 ficamos com 2 + 1 isso vai dar 4 + 1 dá 5 o 2 o 3 vai dar onde tem n coloca 3 + 1 isso é igual ah 2 x x 3 dá 6 + 1 dá 7 Olha só Enquanto você estiver a crescer não é enquanto você

esver a crescer para para n 1 2 3 não é para mais infinito a sucessão também está a crescer logo você pode concluir que esta sucessão aqui é crescente não é sem precisar fazer isto aqui não é isso também pode dar pode ah verificar para qualquer sucessão Só que já você não tem como a concluir a no geral não é você não tem como concluir isso no geral muito bem se você aprendeu alguma coisa inscreva-se no canal e ajude o canal a crescer e junto [Música] [Aplausos] [Música] estamos Y