[Música] nós vamos começar agora o último bloco conceitual mas mudamos de assunto nós vamos falar de equações diferenciais tempo depois vou mostrar pra vocês como é que a gente pode usar peles para resolver equações diferenciais que isso seria um tópico especial diferenciais é uma das sete faces mais aplicadas a matemática foi uma razão muito simples a idéia do derivada a ideia de taxa de variação e muitos problemas do mundo real o volga a ideia e taxa de variação de uma grandeza não é muito comum nosso tentar resolver o problema do mundo real você dá um
exemplo disso vou fazer um comentário muito branco sobre que é modelagem matemática e que é uma coisa que vocês usam muito não funciona nos laboratórios na vida real de um profissional na área tecnológica bem rapidamente resolver no mundo real no mundo do trabalho no mundo da tecnologia tem de resolver problemas reais alguém que trabalha com o mercado financeiro quer saber a cotação do petróleo daqui a quatro anos alguém que trabalha com tecnologia quer saber a população de uma determinada espécie que está ameaçada de extinção daqui a não sei quantos anos alguém trabalha com o trânsito
está interessado em saber medir uma grandeza envolvida com o transporte de uma cidade com uma certa situação o fato é que esses problemas ou muito complexo muito difíceis de serem resolvidos na sua expressão mais completo da sua expressão real a cotação do petróleo daqui a quatro anos depende de tantas coisas que a gente não consegue montar uma equação uma fórmula que b a resposta é absolutamente impreciso mas nós não precisamos da resposta preciso a primeira grande observação que nós queremos para o problema real é uma solução aproximada se você soubesse o preço do petróleo está
avaliando uma certa faz uma certa banda de variação o valor exato é muito comum trabalhar com essa previsão de trabalho eo intervalo o desfile admitiu a inflação como razoável o valor exato do barril de petróleo daqui a quatro anos na bolsa de londres o valor é muito bom que a população dê uma certa espécie estará entre tanto e tanto uma boa informação queremos mesmo soluções aproximadas dos problemas a serem resolvidos não conseguimos resolver os problemas o que nós fazemos é um modelo matemático que é um problema que é um problema aproximava o que não é
o problema real que a gente tem que resolver é apenas uma aproximação do problema ela estabelece que força igual a aceleração é uma verdade no seu sentido mais completo depois relativística corrigindo a mecânica então essa idéia de que a força igual a marca da sua geração é uma aproximação do problema real é uma simplificação do problema se consegue resolver o problema aproximado eu consigo resolver mesmo ano nós montamos as relações de nilton e nós conseguimos resolvê las todas e obtemos todas as formas na mecânica de antonina que vocês conhecem e que não eram a coisa
muito complicada para se obter nós conseguimos do problema simplificado do problema aproximado a solução real ea grande pergunta é a seguinte que parece um jogo de palavras mas não é um jogo de palavras é uma coisa super importante nós queremos as soluções aproximadas do problema real nós conseguimos soluções reais do problema aproximado a pec pouco o real do problema aproximado pode ser usado com uma solução aproximada do problema real isso parece um jogo falar mas é uma ideia extremamente por exemplo no caso da mecânica newtoniana a solução real do modelo ele é muito bom para
nós podemos usar as soluções reais do problema aproximado de mecânica newtoniana para mandar um foguete com um satélite para a lua e marte com a mecânica newtoniana é possível fazer todos os casos a solução real do problema aproximado da mecânica serve muito bem como solução aproximada do problema real este jogo que é o jogo das aplicações de teorias tipo matemática e física dos problemas reais da tecnologia dos laboratórios do mundo real é com isso que eu vou lhe dar muito tempo acho muito bonita essa visão de pensar quando a gente vai trabalhar com os problemas
sejam reais sejam aproximadas como eu disse muitas vezes aparece idéia de taxa de variação quando aparece da taxa de variação agente naturalmente é levado a pensar em derivados e naturalmente a gente cai um problema que chama-se equação diferencial da transação começar a estudar agora vou dar um exemplo muito simples crescimento da população imagine que você tenha y variando no tempo isso aqui médio número de indivíduos de uma espécie funciona uma população foi um completo a história de uma população grande pergunta é se a população são as grandes perguntas do ibge o tempo inteiro analisar o
número de habitantes do país está crescendo e vai estabilizar a população ea população como um todo se aplica a mesma coisa pra segmento da população o número de jovens que estão fazendo curso superior pode ser esse o meu intenção de te indivíduos que estou analisando pode ser uma categoria dentro da população o tempo consegue perceber muitas vezes é alguma informação sobre a taxa de variação desta grandeza ou seja derivada no crescimento populacional o que os biólogos é que a taxa de variação é proporcional ao número de indivíduos da espécie maior o crescimento daquela espécie porque
o crescimento depende do encontro de indivíduos quanto maior o número de indivíduos mais encontros vão ocorrer maior o número de acasalamento uma hora taxa de variação isso é importante por exemplo em estudos populacionais espécies ameaçadas em extensão o que se o número de indivíduos é muito pequeno a espécie pode estar condenado muitas vezes acontece em ecologia quando o número cai abaixo do número os biólogos já começam a tratar que aquela espécie que dificilmente ela vai sobreviver porque o número é tão pequeno que ele já não gera mais acasalamento em quantidade suficiente para manter a espécie
isso significa em linguagem matemática dizer que a taxa de variação ela é proporcional é uma constante da própria lembra que um primeiro cálculo de calcular primitivas mas é um pouco diferente porque está aqui não é derivada é uma função do tempo uma coisa é a função igual a própria fusão era a própria exponencial quando é proporcional é uma variante do exponencial isso é muito fácil de resolver as funções que têm essa propriedade de uma família de funções básicas do tipo exponencial de carro resistente repete o elevado e por causa da regra da cadeia aparece aqui
na frente uma vez o carro que caiu naquela situação era na verdade qualquer função múltipla desta também certo é uma constante vezes elevado a cabeça de uma família de soluções para esse problema tudo bem onde será uma constante qualquer observe como não é um problema de privação é a constância primitivamente soma e tem uma constante mas apareceu x que vocês votarem um minuto porque eu falei do problema real problema aproximado o problema real para todo o ano a banda de variação de uma população em crescimento da população mas como e super complexo problema aproxima eu
falei que a população deve crescer assim a taxa de variação é proporcional à população eu fiz uma versão simplificada do problema que eu consegui resolver a solução real do problema aproximar da qual é a pergunta que eu disse é um minuto que era relevante saber se essa solução real certo como solução aproximar será que a gente observar uma por uma população vai crescer mesmo assim a resposta é mais ou menos porque durante o tempo que cresce populações crescendo crescendo crescendo e que o problema real verifiquei que ela servia como solução aproximada isso não é bom
qual é o próximo passo os biólogos populações mas o próximo passo que o modelo vem com esta solução vendo que ela daria uma informação errada de crescimento indeterminado eles olham para a natureza e para o coxa que a gente observa dos animais é que a população cresce cresce cresce dela começa a crescer - porque ela não tem esgoto adaptar quando eles vivem ou porque não tem alimento superabundante para um crescimento indeterminado da população ou não tem espaço ou tem predador quando começa a que muitos exemplares atrair predadores alguma coisa acontece que trava o crescimento de
seu conceito de população limite em ecologia e aí o modelo seguinte os biólogos escrevam a taxa de variação da população é proporcional à população proporcional a uma folga entre a população e uma determinada população ea população cresce ela faz crescer a taxas de variação a população cresce ela vai postando da população limite vai tender para zero o crescimento populacional para baixo então tem um balanço da população diminui isso pode diminuir mas esse aumenta porque se afasta da população limite e isso ajuda a crescer e bom e essa é uma outra equação mais sofisticado que agora
que fazem então os biólogos ecologistas junto com matemáticos com tecnólogos e engenheiros confisco resolve é ver qualquer solução que ela presença volta para o mundo real e se ela está servindo como solução aproximada e a ciência avança eu não vou resolver a equação já não é tão trivial mas é disso que nós vamos falar daqui pra frente como resolver equações diferenciais isso são dois exemplos de duas equações diferenças é disso que nós vamos falar daqui pra frente é importante observar que não é o problema de primitiva ação porque a variável te não está isolada na
frente da variável y que aparece a própria variados esses dois exemplos são exemplos de equações diferenciais ordinárias equações diferenciais ordinárias são aquelas em que avaliava a função y é função de turma variável quando eu tenho função de várias variáveis chama equação diferencial parcial eu usei uma aula para motivar a equação do calor que lá na equação do calor eu tinha uma função que era função de duas variáveis na composição de um ponto de uma barra de um tempo ea equação do calor usava derivadas parciais esse é o nome que a gente usa colete falei com
ações preferenciais ou ordinárias nós estamos falando de função de uma variável ea derivada tradicional quando estamos falando de equações com derivados parciais são várias variáveis e aparecem derivadas faciais nas nossas aulas nós vamos nos concentrar em idosos equações diferenciais importantes exemplos de oz eu acabei de dar dois exemplos ou foi só linha igual a cair som o exemplo dois foi y linha igual a ky vezes é ali - são dois exemplos de equações diferenciais ordinárias observe que você pode de maneira mais genérica pensar no seguinte 1º aqui só apareceram apaixonou à primeira elevada pode aparecer
segunda derivada terceira levada por exemplo quando se fala em aceleração na mecânica aceleração every wahda da velocidade é a derivada da posição e mecânica muito comum você ter equações diferenciais que tenham a segunda derivada envolvida aparecer aceleração na segunda rodada da função posição envolvendo várias variáveis toda a equação você pode passar tudo do lado de cá do sinal de igual e deixa igualado a 0 pode ser uma fórmula 1 muitas vezes a gente expresso que é uma equação diferencial diferencial é uma forma segundo levada a primeira dele vá da terceira levado todas as derivadas de
uma função a própria função e por que não a própria variável te poderia tavares em igualada a 0 então a equação diferencial é uma fórmula confusa que envolve várias derivadas de uma função a própria função a variável independentes e e tudo isso a ideia geral de uma equação diferencial na aula de hoje eu não vou anunciar um grande teorema que garante a existência de equações de soluções eu vou fazer os primeiros exemplos bem manipular um pouquinho do que a gente está falando que fala em equações diferenciais colocar um exemplo muito muito muito simples quero fazer
umas contas a princípio um pouco estranho e depois porque as contas funciona imagine a seguinte equação diferencial a derivada da função é igual a função da medida pelo tempo pelo que é a derivada da função fosse um sobre o p nem sabia que a primitiva da ln mas não é disso que estão fazendo uma função que quando você deriva é ela própria dividida pelo tempo ou derivar aparece um t o denominador da função muitas vezes visualizar escrito assim y linha de t / te olha o nacional de tt igual a sobre e agora vou fazer
uma coisa que não tem muita justificativa a multiplicarem cruz passo pra cá para lá fazer todas aquelas operações que não tem uma justificativa a priori muito razoável mas vou fazer o seguinte multiplicando y dividir e eu vou escrever de y sobre y igual a deter sobre e se essas coisas são verdadeiras isso é verdade eu tenho um veículo de vir por isso é um desserviço porque do lado de cá só tem placar só tem eu posso integrar que em relação à integração em relação até então o próximo passo é integrar o veículo sobre isso o
qual integral do bt sobre que significa eliene do módulo de y é igual a ele e do módulo de ter primitiva de um sobre a variável mais constante sou exponencial dos dois lados exponencial de eliene do módulo y esgoto exponencial dele e do módulo ii termais e exponencial de eliene é o próprio módulo de y uma soma que eu posso escrever elevado a ln do módulo te vezes têm elevado a ser uma constante qualquer um qualquer agora apareceu elevado a ser permitido escrever módulo y é igual a módulo de t vezes aqui tá multiplicado uma
constante cesinha só que a constante linha exponencial de uma constante qualquer 60 dias e qualquer disponíveis se ao é uma senha necessariamente positivas quero tirar o módulo observar o que desde a formulação do problema tendo voz do exército / t não tenha que não exerce é positivo e negativo o módulo é igual o que pode acontecer quando tem um modo livre do a módulo de t bom y é igual a mais ou menos te e aí vai ter que olhar o que é positivo se o infrator pode ser positivo y e assim pode ser várias
coisas só pode ser perigosa tinham mais ou menos há por aqui na frente foi mais ou menos em linha eu tinha uma constante era positivo seu jogo mais ou menos para dentro da constante positiva eu fico com uma constante ser linha diferente de zero mas volta a poder ser negativa porque tinham mais ou menos aqui que eu joguei tudo pra cima do seu eu descobri que as minhas funções suas funções o primeiro grau constante existente que é derivada de função do primeiro grau constante vezes te pegar a função do primeiro grau / t da constante
então não podia usar o exército linhas e duas linhas positivo ou negativo e eu tenho essas funções tochas e a função ou santo y a 0 não apareceu nessa dessa solução a função constante y a 0 é solução do problema 00 então tem uma solução final apareceu a solução constantemente lula não apareceu no problema e apareceram todas as outras soluções que até agora não podia aparece também a solução lula acabei de fazer adote acabei de fazer em cima do exemplo descobrir que todas as soluções do tipo uma linha duas linhas linhas essa história de evolução
do problema para entender o que está ocorrendo terminou de fazer o que quiser chegou à capital comcap vejo que eu fiz um monte de pontas sem me preocupar muito com o rigor que estava envolvido e eu cheguei numa família soluções que está certo é a resposta do problema todas as soluções desse problema são aquelas que estou devendo eu vou voltar e explicar porque é que isso que eu acabei de fazer aqui têm fundamento ou não vai ficar só que deu certo neste exemplo que nós vamos achar que vai dar certo [Música]
