Fundamentos da Matemática Elementar - Lógica: noções gerais

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas nessa semana estudaremos algumas noções sobre lógica algo fundamental para podermos nos expressar comunicar matematicamente objetos matemáticos como números conjuntos funções eles não se apresentam de maneira imediata no mundo concreto eles são frutos de uma atividade matemática e para exercer essa atividade Precisamos de uma linguagem que seja adequada e precisa é aí que entra a lógica mas não é só sobre objetos matemáticos que podemos utilizar a lógica utilizamos para nos justificar cotidianamente para argumentar seja matematicamente ou não e mais ainda para validar ou invalidar Tais argumentos por exemplo posso aqui

questionar vocês por que vocês se matricularam no curso de licenciatura em matemática bom cada um vai me responder justificando a partir do seu ponto de vista quer bom de matemática na escola ou porque eu quero ensinar matemática bom Aqui nós vamos considerar uma parte da lógica que estuda validade de argumentos como esse mas segundo uma linguagem particular a linguagem proposicional trata-se Da Lógica proposicional ou cálculo proposicional Nesse contexto Afinal o que que é uma proposição definimos aqui proposição como uma sentença declarativa que só pode ser verdadeira ou falsa mas afinal de contas o que que

isso quer dizer vamos dar alguns exemplos para que isso fique um pouco mais fácil 2 + 3 = 10 Toda pessoa é mortal que nessas duas sentenças estamos sempre declarando algo e mais ainda podemos discutir se são verdadeiras ou se são falsas 2 + + 3 = 10 é uma proposição falsa Toda pessoa é mortal é uma proposição verdadeira um dia e espero que seja bem distante todos nós vamos morrer bom assim uma proposição ela assume um valor verdade ela pode ser verdadeira ou falsa agora não são proposições sentenças como essas aqui ó que legal

faça as atividades Quanto é 2 + 3 nenhuma dessas sentenças é uma proposição porque não podemos atribuir um valor verdade também não são declarativas né Ó que legal é uma sentença exclamativa faça as atividades ela é imperativa e quanto é 2 + 3 é interrogativa no estudo da lógica podemos representar essas proposições por letras do alfabeto por exemplo posso representar a seguinte proposição inclusão social é um direito do indivíduo posso representar pela letra i na lógica clássica temos três princípios fundamentais o primeiro e provavelmente o mais Evidente é o princípio da identidade toda proposição é

Idêntica a si mesma segundo princípio é o da não contradição ou seja uma proposição ela não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e por fim o princípio do terceiro excluído toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa não existe um terceiro valor que ela possa assumir considerando esses princípios pensem sobre a seguinte sentença esta sentença não é uma proposição pensa um pouquinho Chegamos aqui a um paradoxo lógico trata-se de uma sentença declarativa mas não podemos verificar se ela é verdadeira ou se ela é falsa afinal se foi verdadeira estamos afirmando que uma

sentença declarativa verdadeira não é uma proposição Mas se for falsa estamos afirmando que uma sentença declarativa falsa não é uma o que nos leva a um paradoxo essa sentença ela faz referência a si mesma então pela própria estrutura binária Da Lógica clássica proposicional né ou seja as proposições ou são verdadeiras ou são falsas não Vamos considerar paradoxos lógicos como proposições bom agora já sabemos o que é uma proposição Então vamos expandir um pouquinho mais essa conversa até aqui lidamos com exemplos de proposições simples em que elas são constituídas por apenas uma afirmação Por exemplo tal

coisa é ou não é outra coisa no entanto nós podemos interligar duas ou mais proposições de modo a compor o que chamamos de proposições compostas vejamos alguns exemplos o morcego é um mamífero e é um animal voador hoje faz sol ou faz chuva se a é uma letra Então ela faz parte do alfabeto os conjuntos A e B são iguais c e somente c a e b possuem exatamente os mesmos elementos esta piscina não é funda e ou C então C somente c o não eles são chamados de conectivos lógicos então a seguir nós vamos

estudar um pouquinho de cada um deles o primeiro será o conectivo e ao criar uma proposição composta utilizando o conectivo e obtemos uma conjunção então por exemplo Daniel foi de trem e Angélica de táxi podemos separar essas proposições em duas simples D Daniel foi de trem e a Angélica foi de táxi utilizamos esse símbolo que é similar a um acento circunflexo para representar o conectivo e assim podemos escrever a proposição Inicial como D símbolo e e a podemos expressar uma conjunção também por palavras como mas noentanto embora e assim por diante ou seja dizer que

Daniel foi de trem e Angélica de táxi é equivalente por exemplo Daniel foi de trem mas Angélica é de táxi Daniel foi de trem no entanto Angélica foi de táxi então percebam que para que essa proposição Daniel foi de trem Angélica de táxi ser verdadeira é necessário que ambas as proposições simples sejam verdadeiras agora utilizar o conectivo ou para interligar duas proposições agora nós obtemos uma disjunção por exemplo o celular ele é preto ou branco assim como anteriormente podemos quebrar essa proposição da seguinte maneira p o celular é preto b o celular é branco nesse

caso ainda falta o conectivo ou ele será representado pelo símbolo que parece uma letra V né mas não é é só similar assim essa proposição Inicial ela pode ser escrita como p o símbolo para ou B algo importante de discutir ao falar de disjunção é que muitas vezes assim nas situações cotidianas utilizamos a palavra ou no sentido de exclusão se você né fosse uma loja e a pessoa que te atendeu perguntasse vai levar né pensando no celular preto ou branco essa pessoa o que que ela espera que você escolhe o aparelho de uma determinada cor

a escolha de um automaticamente exclui a escolha de outro mas você depois de aprender sobre lógica proposicional responderia sim deixar você pensar um pouquinho sobre isso Já pensaram bom na lógica proposicional não consideramos o ou exclusivo consideramos somente o ou inclusivo nesse caso o celular é ou branco se for Preto a proposição é verdadeira se for branco também é verdadeira único jeito de ser falsa é se o celular não fosse nem preto nem branco agora passemos agora a uso de C então uma proposição composta que utiliza Esse conectivo é denominada condicional se um número é

natural então ele possui sucessor separando cada proposição simples n por exemplo a é um número natural s a possui um sucessor simbolicamente escrevemos a condicional utilizando uma seta n essa seta s ou utilizando setas com traço duplo algo que é bastante comum na matemática chamamos de n de antecedente e s de consequên bom seguindo a ideia da condicional temos também a bicondicional ela é bem familiar no estudo de matemática então utilizando nesse caso o conectivo c e somente C Mas vamos pensar aqui um exemplo um pouquinho fora da matemática por exemplo um corpo celeste só

será estrela se emitir luz própria Mas agora você vai se perguntar onde tá o tal do c e somente C bom essa formação C somente C ela é equivalente né um corpo celeste é estrela Se e somente se emitir luz própria bom separando cada proposição simples nós temos C um corpo celeste é estrela L um corpo celeste emite luz própria então simbolicamente escrevemos a condicional como uma seta dupla apontando Em ambos os sentidos e assim como o caso da condicional nós podemos escrever como uma seta dupla né C seta dupla L perceb que podemos entender

a bicondicional como uma conjunção de duas condicionais uma delas expressas por C se l ou seja um corpo celeste é uma estrela então emite luz própria e a outra l z c se um corpo celeste emite luz própria então é uma estrela como dissemos antes né A bicondicional é uma conjunção de condicionais Então ela será verdadeira quando ambas as condicionais forem verdadeiras né basta que uma delas seja falsa para que toda a bicondicional seja falsa agora passaremos ao nosso último conectivo o não ele produz uma proposição denominada negação então na prática esse conectivo ele não

interliga duas ou mais proposições Ele nega certa proposição por exemplo o IP não floresceu nesse caso considerando a proposição f por exemplo o IP floresceu A negação dela seria o IP não floresceu e ela pode ser representada por esse símbolo aqui é similar a um traço horizontal com um pequeno tracinho vertical Aqui para baixo em seu final né ficaria mais ou menos representado dessa maneira agora algo interessante de perceber é que a negação tem o poder digamos assim de inverter o valor verdade de uma proposição se a é verdadeiro então não há será falso e

vice--versa bom E com isso chegamos ao fim dessa videoaula na próxima vamos utilizar esses mesmos conhecimentos para discutir proposições mais complexas utilizando o que vamos chamar de tabelas verdade até lá [Música] [Música] s [Música]