Fundamentos da Matemática Elementar - Funções (Parte I)

[Música] Olá sejam todos bem-vindos bem-vindas a mais essa semana de estudos na semana anterior nós discutimos um pouco sobre como modelar situações né a partir de expressões algébricas de polinômios né resolver equações e inequações de primeiro de segundo grau e de uma certa maneira tudo isso faz parte de um movimento de algeb né de situações cotidianas né de resolução de problemas de situações cotidianas ou inspiradas né no cotidiano a partir da álgebra a partir de equações né de expressões algébricas nós vamos pensar agora em funções funções entra nesse nesse contexto mas entra especialmente ao relacionar

na verdade grandezas né né O que que isso significa né começar o que é grandeza afinal de contas na verdade é uma resposta muito simples grandeza é tudo aquilo que pode ser medido né então pode ser comprimento pode ser uma massa capacidade e tempo corrente elétrica qualquer coisa que passível de ser medida e nos interessa quando estudarmos funções justamente relações possíveis de se estabelecer entre essas grandezas né Por Exemplo né o preço que se paga a cada litro de combustível né Estabeleça uma relação entre preço e litro de combustível ou né a distância percorrida cada

passo dado por uma pessoa né supondo que os passos TM sempre uma uma medida ali um constante né nunca vai dar um maior ou menor né quanta essa pessoa andou qual o comprimento né distância andada percorrida 10 passos 20 Passos né ou por exemplo uma régua Vamos pegar uma régua ela tem uma série de marcações eu vou medir um objeto aqui sobre a mesa ou algum lugar eu estabeleço uma relação entre Aquela quantidade de marcações e o qu um comprimento por exemplo no nosso exemplo aqui da régua comprimento desse objeto são essas as relações que

V nos interessar mas ainda pensando em funções é pensar que essa relação ela é única então se eu olhei a minha régua nesse nosso último Exemplo né 10 marcações aquelas 10 marcações por exemplo o tamanho né o comprimento do meu objeto 10 marcações vamos dizer que deu 10 cm aquelas marcações ela não vai corresponder a 20 cm ao mesmo tempo que corresponde a 10 não é único aquelas 10 correspondem a o quê a 10 eh cm por exemplo né e isso é o que nos interessa na ideia de função Vamos explorar um pouquinho mais num

outro exemplo Então imagina um Carrossel esses carrosséis de de parque né de parque de diversões ele realiza uma volta completa né pensando num cavalinho aqui ele vai dar a volta quando voltar o mesmo cavalinho a esse ponto deu uma volta completa e ele dá essa volta completa em 30 segundos como é que a gente pode relacionar o número de voltas e o tempo bom vamos pensar uma tabelinha aqui voltas por tempo uma volta leva o quê 30 segundos Ô 30 e duas voltas 30 mais 30 60 três voltas seria o quê 30 uma volta 30

60 duas voltas mais 30 90 3 voltas e isso continuamente né imaginando que esse esse Carrossel nunca pare para descer ninguém nunca pare para subir ninguém nunca falte energia elétrica ele possa ficar rodando ali eternamente eu posso estabelecer uma regra que relacione tempo e Voltas eu posso pensar o quê o meu tempo na verdade é o número de voltas vezes 30 né Por exemplo tempo de uma volta 1 x 30 né 30 Qual o tempo de duas voltas 60 né 60 não é 2 ve 30 né 30 mais 30 2 x 60 3 x 30

90 né o tempo eu estabeleço essa relação e pensando que essa regra ela vai se manter né ela se mantém constante eu posso perguntar né coisas além do que está aqui nessa nossa tabela né Por exemplo quanto tempo vai ter passado após eu completar a minha 10ma volta Qual que é a minha regra não é que o tempo decorrido é o número de voltas vezes 30 se eu dei 10 voltas 10 x 30 300 Então vai ter se passado 300 segundos após a minha 10ma volta esse esse tipo de relação né é o que vai

ser interessante pra gente né Essas relações entre grandezas é algo que é interessante da gente estudar e vamos estudar aqui quando falarmos de funções então primeira coisa né O que é uma função Então vamos dar essa definição mais matemática do que é uma função ão dados dois conjuntos não vazios X e Y né Nós dizemos que uma função eu vou chamar ela de F mas como a gente pode ver eu posso chamar da letra que eu quiser minha função f e leva que sai de X né do meu conjunto de partida x e vai até

o conjunto de par de chegada y é isso que quer dizer esse símbolo né essa expressão f de x em Y né a função que leva do X ao Y é uma regra a exemplo da regra do Carrossel né pela qual podemos associar cada elemento de x meu conjuntinho de partida a um único elemento do meu conjunto de chegada um único elemento de y pertenc a esse conjunto de chegada Y bom essa F né Eh Ou seja o elemento Y ele é uma imagem A gente vai chamar disso de um ponto x passando pela f

e nós escrevemos dessa maneira né o y ele é é uma função de um elemento de X ali então ou Y é uma imagem de X passando pela F passando por essa regra por essa função f bom esse conjunto de partida também chamamos de domínio da minha função o conjunto de chegada nós chamamos de contradomínio da minha função alguns lugares cham de c também e o conjunto de todas essas imagens formadas né de X passando pela minha função f é chamado de conjunto imagem da função or PR gente entender melhor né Essa Ideia de função

Vamos pensar aqui de uma maneira intuitiva em algo fora do aspecto matemático uma relação mais e alegórica até digamos assim Então vamos imaginar dois conjuntos um dos conjuntos tem aqui as siglas de que representam estados brasileiros Então temos São Paulo Tocantins Maranhão Rio Grande do Sul e o b v representar pessoas aqui eu chamei de a b c d e e minúsculos né bom Eh vamos relacionar esses dois conjuntos de tal modo que o conjunto A relação seja onde nasceu essa pessoa né Onde nasceu o a onde nasceu o b então a gente vai relacionar

ao conjunto que tem as siglas dos Estados bom para isso nós sabemos que a e b nasceram em São Paulo C nasceu no Tocantins D nasceu no Maranhão e por fim e nasceu em Minas Gerais colocando aqui os nossos dois conjuntos eu consigo relacionar São Paulo como local de nascimento de Quais pessoas do a e e do b então representar por essa flechinha que leva SP a a em B Tocantins quem nasceu em Tocantins é C Então eu tenho essa flechinha que vai levar me mostra né me representa aqui o Tocantins é o local de

nascimento da pessoa C Maranhão nós temos a pessoa D que nasceu no Maranhão então um exemplo do Tocantins uma flechinha que leva lá e agora um probleminha né que nos aparece aqui eh Rio Grande do Sul Rio Grande do Sul tem alguém aqui desse meu grupo que nasceu no Rio Grande do Sul não o que eu tenho aqui é que o e nasceu em Minas Gerais só que Minas Gerais nem aparece no meu conjunto ali de partida ah imaginando que isso aqui fosse né um matematicamente eu poderia dizer que esse tipo de relação é uma

função Vamos pensar na nossa definição A primeira é que todo elemento do meu conjunto de partida ele precisa se relacionar com alguém do meu conjunto de chegada eu consigo isso aqui não tem um elemento aqui que não se relacionou com ninguém do meu conjunto de chegada é o Rio Grande do Sul só por isso já não seria uma função mas eu tenho um outro critério para ser função os elementos do meu conjunto de chegada eles precisar único elemento na minha chegada e eu tenho SP aqui São Paulo que ele tá apontando para dois elementos então

eu saio do meu conjunto de partida e aponto para dois elementos e isso já fura Aquela minha concepção Inicial minha definição inicial de função Então esse tipo de situação não corresponderia a uma função mas agora vamos pensar em exemplos de fato da matemática né e avaliando tipos de possíveis aí de funções eh então mostrar aqui três exemplos e explorar um pouco esses três exemplos bom uma função f esse primeiro exemplo Qual o conjunto de partida dela esse conjunto finito 1 2 3 4 e ela vai levar até onde qual é o meu contradomínio meu conjunto

de chegada são os números naturais e como é que eu represento isso represento a regra assim né o x com essa seta aqui com esse símbolo dessa seta com esse tracinho e vai levar em F Dex né e a f Dex vai ser o quê o dobro de X então as imagens né dos meus x que estão no meu conjunto de partida vão ser os dobros vão ser 2 x Então vamos ver o um ele vai levar onde vai levar no dois fiz o dobro 2 2 x 2 4 leva no 4 o 3 vai

levar no 6 o 4 vai levar no 8 mas eu disse que o meu conjunto de chegada são todos os números naturais aqui eu só quis representar alguns dos números naturais porque não teria como representar todos obviamente Mas coloquei alguns dois aqui a mais para mostrar o quê que essa função ela primeiro é função e é função por bom ela utilizou todo mundo do meu conjunto de partida do meu domínio todos os elementos do domínio estão sendo né levados a alguém alguma imagem no meu conjunto de chegada meu contradomínio não existe nenhum desses elementos que

aponta a mais de um elemento na chegada então é sim função e tem problema ficar números de Fora que nem por exemplo coloquei o 9 e o zer não não poderia deixar elementos de Fora ali no meu conjunto de partida conjunto de chegada não tem problema eu cumprir aqueles dois critérios iniciais sobre o que é e não é função vamos ver essa segunda essa segunda o meu domínio são asão os números reais é o conjunto dos reais e ele vai levar também aos números Reis e essa regra que faz para levar de um conjunto para

o outro é o quê eu pego pego o x que está no meu conjunto de partida e elevo ao quadrado Então vou pegar alguns exemplos de números que estariam no conjunto dos reais o 1 por exemplo 1 elevado quadrado 1 ótimo -1 -1 elevado quadr também dá 1 então o -1 também aponta a 1 o z0 0 elevado quadado 0 aponta pro z0 √2 elevado Quad vai dar √2 Quad volto pro 2 então √2 leva até o 2 é função sim é função fal ah mas tem uma seta dupla ali então calma eu não posso

sair da do conjunto de partida do meu domínio e esse daí apontar para dois agora dois ou mais elementos do meu conjunto de partida chegar né a um mesmo número né ao mesmo valor lá a mesma imagem lá no meu eh cont contradomínio isso não é problema né E novamente eu consegui utilizar todos os elementos do meu conjunto de domínio consigo qualquer número real eu consigo elevar ao quadrado e eu vou obter alguém ali no no meu conjunto de chegada agora qual seria a imagem vamos refletir um pouco de dessa função f a imagem é

o então É o quê É o o conjunto de todas as imagens do meu meu x passando por F se eu elevar um número positivo ao quadrado eu tenho o quê um número positivo se eu elevar um número negativo ao quadrado eu tenho o quê número positivo também e o zero como a gente já até mostrou aqui o 0 Quad vai dar 0 não existe possibilidade de eu elevar algum número desses aqui dos reais ao quadrado e ele dá um número negativo ou seja a imagem dessa minha função o conjunto de todas as imagens de

X passando pela minha função f são somente o quê são somente os números positivos né ou zero e os números positivos né Eu nunca vou ter uma imagem ali um número que seja negativo passando por essa função f agora um último exemplo esse exemplo eh eu vou pegar um conjunto de partida como sendo os reais conjunto de chegada também os reais e a Qual é a regra que eu levo de um pro outro vai ser eu pego os X do meu conjunto de partida somo um e isso produz uma imagem ali no meu conjunto de

chegada então o zero por exemplo ele é real tá nesse meu conjunto de partida somo 1 chego em 1 -5 sai do -5 somo 1 -4 2 somo 1 chega no chega no 3 Peg uma dízima periódica aqui 0,3333 somo 1 1 33333 E aí vamos pensar é função é eu consigo pegar qualquer número real e somar um eu posso utilizar todo mundo que tá no meu conjunto de partida né E existe alguma chance de dois elementos do meu conjunto quer dizer de um elemento do meu conjunto de partida apontar para dois ou mais se

eu pegar um número real e somar um Ele sempre vai ter uma única único eu não consigo fazer por exemplo 2 + 1 e ele ser TR e ao mesmo tempo ser outra coisa então Cada Um do conjunto de partida vai se relacionar ali a Um do conjunto de chegada então é também uma função e quais seria qual seria a imagem né na verdade é que a imagem vão ser todos os números reais porque eu vou pegar todos os reais soma um e eu consigo obter todos os números reais também do meu eh contra domínio

bom a gente consegue representar isso também no plano cartesiano né é o que significa isso plano cartesiano nada mais é do que a gente organizar dois eixos ortogonais né ou seja eles se cruzam ali no zero de cada eixo Imagine que é uma reta real né duas retas reais a gente posiciona elas dessa maneira as duas cruzando no zero né ortogonalmente e eu consigo A partir dessa ideia é mapear pontos por esse plano né então por exemplo eu posso escrever um número qualquer de X como sendo X1 chutei aqui um número qualquer esse número X1

ele pode né estabelecer ali uma relação com um número qualquer também do meu eixo Y chamado y1 eu chamei ali qualquer e isso esse ponto né que possui essas coordenadas né uma coordenada X1 e y1 a gente chama de par ordenado né o x desse par ordenado ele é chamado de abscissa né e o y é chamado né o y1 de ordenada é por isso que nós dizemos que o eixo X né é o eixo das abscissas e o eixo Y é o eixo do quê das ordenadas bom a ideia de par ordenado é fácil

de entender porque par né Nós temos dois números ali dois por isso que é um par e o ordenado é importante e eu não posso escrever o y primeiro e o x depois aqui nessa representação a ordem importa então é sempre eu escrevo o primeiro x vírgula o outro x o outro Y né e tudo isso fechado ali entre parênteses e o conjunto né de todos os pares ordenados X Y né com o x e o y ambos sendo números reais esse conjunto todos os pares ordenados Dão origem ao que a gente chama de R2

né Depois quando vocês estudarem cálculo e outras disciplinas né perce como isso pode ser importante nós vamos pensar no plano depois quer dizer primeiro no plano depois no espaço pensaremos em R3 em em dimensões maiores e Então essa que é é a a ideia inicial de algo que vocês também vão explorar bem mais a fundo nas próximas disciplinas eh o gráfico né o desculpa o o plano cartesiano ele pode ser dividido né em quatro partes né A desses eixos esses eixos eles vão delimitar dividir o plano em quatro partes que nós vamos chamar de quadrantes

então o primeiro quadrante convencionamos Chamar esse aqui E aí nós temos o segundo o terceiro e o quarto quadrante né a gente vai andando aqui em sentido antihorário nomeando esses quadrantes e algo que sempre gera confusão né Principalmente alunos ali na educação básica e pensar onde Em que quadrante estão os pontos que estão sobre os eixos né que pertencem exatamente aos eixos na verdade esses pontos não pertencem a nenhum quadrante Tá e isso é uma é sempre é uma um motivo de de de dúvida de discussão né um ponto que está ali no sobre o

eixo X Ele é de qual quadrante não é de nenhum e vamos dar um exemplo agora de uma função vou considerar uma função que vai levar naturais aos naturais conjunto de partida aos naturais conjunto de chegada aos naturais como é que eu posso usar essa ideia de de plano cartesiano associado a essa ideia de funções eu posso considerar o conjunto de partida como o meu eixo X o eixo das abscissas e o conjunto de chegada aonde o conjunto o eixo Y né Então vamos pensar essa nossa função que leva dos naturais aos naturais seg uma

regra que é a regra que a gente já pensou anteriormente ele vai pegar todo x e levar em x + 1 vamos ver como é que ficaria se eu pegar tô falando dos naturais né então se eu pegar o Zero Onde que eu levo o zero eu vou levar o zero em 1 se eu pegar o 1 onde que eu vou levar esse valor 1 1 + 1 2 eu levo no Y 2 se eu pegar um valor X2 a somo um aonde que eu levo no Y 3 e assim por diante então o ponto

um por exemplo vai estar ali o o zero vai levar 0 de X né leva em 1 de y e esse é o par ordenado 0 1 o mesmo pode acontecer com cada ponto o 1 do X vai levar em 2 de y o 2 do X vai levar onde em 3 do Y e esse essa junção desses pontos o conjunto de todos os pontos né ele pode ser entendido né esse conjunto dos pares ordenados que formam né Essa essa função eles podem ser entendidos como o gráfico da função nós vamos chamar de gráfico dessa

função esse conjunto de pares ordenados né dos X que passam ali pelo pela minha F né chegando em Y Agora se a gente pegar a mesma coisa vamos pegar a mesma situação só que eu não vou mais pensar dos naturais nos naturais vou pensar dos reais nos reais então eu vou pegar aqueles mesmos pontos que nós já obtivemos porque a regra é a mesma né vou pegar o X e levar em x+ 1 agora não tô pegando só os naturais eu quero pegar os números que sejam reais ou seja se eu pegar entre o zero

e o 1 eu posso escolher alguém ali e esse alguém mais um vai chegar uma imagem em Y Se eu escolher um intervalinho menor ainda escolho ali um pontinho consigo somar um e vou obter um Y ali Se eu escolher um intervalo menor ainda eu sempre vou encontrar um X eu somo um e esse um vai produzir uma imagem de yem em Y né significa que eu consigo povoar agora e não só com aqueles pontos ali que estavam Associados aos naturais mas a todos os números re E aí eu vou produzir uma reta E como

eu tô falando em Reais tô pensando também nos negativos né eu posso pegar um negativo somar um e vou construindo esse gráfico também pro lado dos negativos e a ideia de trabalhar com gráficos é interessante também para discutir aquela ideia Inicial é ou não é função um jeito de verificar se é ou não é função a partir do gráfico por exemplo considera essa curva essa primeira curva aí eh isso é o gráfico de uma função ou não como é que eu faço para saber uma primeira primeiro critério para eu saber se era a função o

valor do meu conjunto de partida que são meus valores do eixo X eles não podem apontar para mais de um valor lá no meu conjunto de chegada se eu traçar uma reta vertical aqui ó passando pelo meu X1 por exemplo podia escolher outro lugar ela vai passar nesse primeiro ponto ponto produzir um Y2 uma imagem Y2 e eu posso bater nesse outro ponto e produzir uma imagem y1 ou seja o meu X1 quando passa pela F ele chega em dois valores o y1 e o Y2 então isso já me diz que não não é uma

função eh e eu posso né Então esse é um teste interessante para verificasse uma função a partir do gráfico traçar uma reta vertical pelo eixo das abscissas e v se ela cruza em mais de um ponto basta que em uma um único ponto ali isso ocorra para que já não seja função e um outro exemplo aqui Esse sim é uma função né a gente pode traçar várias retas aqui verificar que em nenhum momento uma dessas vai e cruzar a curva em mais de um lugar né Então nesse critério Tá OK e eu consigo utilizar todos

os pontos aqui do meu domínio eu vou considerar os pontos entre o X1 e o X2 entre o X2 e o X1 né todos esses pontos eu levo até a curva e obtenho né alguma imagem ali no meu eixo Y né então considerando que o meu domínio é só entre o X2 e o X1 é esse intervalo onde que são levados esses pontos se a gente pensar olhar bem pelo gráfico entre os Y 0 até esse pico aqui que é o y 1 e com isso a gente encerra essa primeira parte essa conversa Inicial sobre

funções espero que vocês tenham gostado e até a [Música] próxima h [Música]