ich möchte am Ende noch ganz kurz den Fall diskutieren dass wir einen nichtlinearen aktiven zweip Pool in unserem grundstromkreis haben das sehen Sie hier mal dargestellt auf der linken Seite in blau ist also wieder unser aktiver zweipol und der ist diesmal nicht linear das könnte also z.B eine Solarzelle sein na die Kennlinie einer Solarzelle ist stark nicht linear und der nichtlineare zweipol wird jetzt belastet durch einen linearen obischen Widerstand hier repräsentiert durch unseren Widerstand RA und wir möchten jetzt mal den Fall untersuchen äh das möglichst große Leistung über RA umgesetzt werden soll und die Frage
ist wie muss dazu dieser Widerstand RA dimensioniert sein dass also die abgegebene Leistung am Verbraucher maximal wird und was wir von unserem nichtlinearen aktiven zweipol kennen das sind die UI Beziehungen also die kenfunktionen also wir wissen die Spannung ist irgendeine nicht lineare Funktion des Stromes oder wir kennen den Strom als irgendeine nichtlineare Funktion der Spannung in diesem Beispiel werde ich jetzt mal den ersten Fall hier diskutieren wir kennen also unsere Spannung diese nichtlineare stromspannungsbeziehung das ist hier mal dargestellt durch diese Kennlinie also in diesem Fall ist die Spannung jetzt über großen Bereich des Stromes annähen
konstant und wenn der Strom noch größer wird dann bricht die Spannung irgendwann ein bis auf Null und wir können natürlich die Leistung von diesem zweipol berechnen indem wir das Produkt aus Spannung und Strom bilden und die Spannung ist ja unsere kenfunktion des Stromes also z von i und das ganze multipliziert mit dem Strom und sie sehen das ja auch mal grün dargestellt ist einfach nur qualitativ skizziert die Leistung in Abhängigkeit des Stromes na ja wenn wir hier bei i= 0 sind dann muss natürlich auch die Leistung Null sein weil kein Strom fließt und wenn wir
in diesem Punkt sind dann ist die Spannung U n0 dann ist die Leistung auch ull und irgendwo dazwischen ist die Leistung größer Null und es scheint offenbar ein Maximum zu geben also ein Punkt in dem maximale Leistung abgegeben wird und den wollen wir es finden ja und das können wir rein mathematisch lösen das Problem indem wir die Leistung nach dem Strom ableiten und das Maximum suchen indem wir schauen wann wird die Ableitung Null und das machen wir jetzt das heißt wir bilden die Ableitung der Leistung nach dem Strom und suchen den Stromwert im bei dem
diese Ableitung Null wird und wenn wir diesen diesen Ausdruck für die Leistung nach dem Strom ableiten dann müssen wir die Kettenregel anwenden D müssen wir also dieses Z von i ableiten und das i das heißt wir erhalten hier im ersten summanten ist das die Ableitung zich von i also die Ableitung von Z nach i i an der Stelle im multipliziert mit dem zweiten Faktor also mit i an der Stelle i m das ist also im Plus und jetzt leiten wir das i nach i ab das ist 1 multipliziert mit dem Z von i an der
Stelle im der so steht hier okay das sieht jetzt relativ wild aus ich werde das mal neu sortieren ich stelle das also um in der Form dass ich sage ich auf der linken Seite steht jetzt z von im geil durch im und das soll sein - Z STR also der Ableitung von Z nach i an der Stelle im und jetzt interpretieren wir das mal was wir hier haben z von im ist ja eine Spannung U das ist die Spannung um hier steht also ein Quotient aus einer Spannung um durch im das ist ein Widerstandswert rein
von der Dimension und auf der rechten Seite steht - z das ist also die Änderung der Spannung nach dem Strom an der Stelle im das heißt das muss auch irgendwie von Dimension her ein Widerstandswert sein genauer gesagt differentieller Widerstandswert wenn es ja nicht linear ist also halten wir fest auf der linken Seite steht unser Lastwiderstand RA im Punkt äh im Punkt ind dem wir die Leistung dem wir maximale Leistung entnehmen ich nenne RA optimal das ist also der Lastwiderstand der lineare passive zweipull als Verbraucher bei dem maximale Leistung abgegeben wird über diesen Widerstand fällt die
Spannung um ab und durch diesen Widerstand fällt Fließ dann der Strom im die Kennlinie dieses Widerstandes die ist hier jetzt oben in der Skizze malot dargestellt das ist natürlich eine Gerade durch den Ursprung das ist die kenlinie dieses passiven Lin passiven zwe Puls und der Schnittpunkt der Kennlinie des Widerstandes mit der Kennlinie unseres aktiven zweuls das ist also der Arbeitspunkt an der Stelle imum und den bezeichnen wir als Maximum PowerPoint also der Punkt bei dem maximale Leistung abgegeben wird so jetzt schauen wir ja noch mal unten in die Gleichung jetzt geht das noch weiter jetzt
gilt also für den Punkt der maximalen Leistungsabgabe dass dieser Widerstandswert gleich der ne tiefen Änderung der Spannung nach dem Strom des aktiven zweipulses und das hatten wir bereits bei der experimentellen Bestimmung der der Parameter einer ersatzscheidung da hatten wir auch gesagt bei einem linearen aktiven zweipull ist der Innenwiderstand Delta u durch Delta i und das verallgemeinern wir jetzt hier quasi für den nichtlinearen zweipol nämlich der differentielle Innenwiderstand unseres aktiven zweipols hier bezeichnet als klein ri ist gleich der negativen Ableitung der Spannung nach dem Strom des aktiven der der Kennlinie des nichtlinearen aktiven zweipols das heißt
wir erhalten den Punkt der maximalen Leistungsabgabe wenn unser Lastwiderstand RA gleich dem differentiellen in Widerstand des aktiven zweipulses ja und grafisch können Sie das also deuten mit Sie jetzt hier die Ableitung an der blau dargestellten Kennlinie bilden dann halten sie ja so eine Tangente an der blauen Kennlinie und der Anstieg dieser Tangente ist jetzt betragsmäßig genauso groß wie der Anstieg der roten geraden also da der Geraden die unseren linearen Widerstand repräsentiert okay soweit allgemein jetzt schauen wir uns das mal an einem relativ übersichtlichen rech Z Beispiel an und zwar betrachten wir folgende quadratische kennfunktion für
unseren nichtlinearen aktiven zweipol die Spannung ist also quadratisch abhängig vom Strom und wird durch diese Gleichung gegeben und die Größenwerte für leerrlaufspannung und Kurzschlussstrom sind ja ebenfalls mitgegeben und gesucht ist jetzt ein Lastwiderstand RA den wir so an diesen aktiven zwepol anschließen dass die Leistung die in diesem Wiederstand umgesetzt wird maximal ist okay die Lösung kriegen wir also über die Berechnung der Leistung die Leistung ist das Produkt aus Spannung und Strom das heißt das ist jetzt eine Funktion dritten Grades des Stromes und diese Funktion leiden wir ab nach dem Strom und suchen den Stromwert im
bei dem diese Ableitung als eine quadratische Funktion Null ist ja und wenn Sie das äh umstellen nach dem Strom im erhalten Sie ein Strom im zu Kurzschlussstrom durch Wurzel 3 also rund 1,73 Ampere und die Spannung zu diesem Stromwert zugehörig können Sie natürlich berechnen über die kenfunktion Z von i das sind dann 6 Volt und die maximal umgesetzte Leistung ist also die Spannung multipliziert mit dem Strom im Punkt der maximalen Leistungsabgabe also um mal im das sind in dem Fall 10 4 Watt und der Lastwiderstand bei dem maximale Leistung abgegeben wird ist an der Quotient
aus um und im das sind 3,47 Ohm
