um jetzt mit den thermischen ersatzschaltbildern die wir im letzten Video kennengelernt hatten wirklich produktiv arbeiten zu können brauchen wir also Möglichkeiten um den thermischen Widerstand berechnet zu können oder wenigstens einigermaßen genau abschätzen zu können und das durchzuführen müssen wir uns zunächst mal die drei Mechanismen des wärmetransportes wenigstens mal ganz grob anschauen da alle drei wärmetransportmechanismen nämlich Wärmeleitung Konvektion und Wärmestrahlung diesen thermischen Widerstand beeinflussen und wir werden das jetzt hier nur ganz ganz grob mal anreisen im Physikunterricht über das dann ein entsprechender Stelle deutlich genauer und ausführlicher noch mal behandelt werden also betrachten wir zunächst einmal
die Wärmeleitung und zwar hier am Beispiel des spezialfalls des homogenen strömungsfeldes als was das ist erkläre ich Ihnen gleich wir betrachten mal so ein Volumenelement zu einem Raumelement hier grau dargestellt mit einer Querschnittsfläche a und der Länge l und betrachtet werden soll jetzt also der Wärmetransport hier in Längsrichtung längste Strecke l und die Bedingung für so ein Wärmetransport ist ein Temperaturgefälle in Längsrichtung also es gibt eine Temperaturdifferenz zwischen dieser Standfläche und der planbaren Fläche auf der Rückseite Transport ist jetzt proportional zu dieser Temperaturdifferenz und das Strömungsfeld dieses wärmestroms das ist homogen heißt Strömungsfeld dass man
hier also im Querschnitt noch mal sieht rot dargestellt durch seine Feldlinien dieses Strömungsfeld ist in jedem Raum Punkt im Betrag und Richtung gleich also man könnte jetzt so einfach sagen der Wärme Transport Erfolg gleichmäßig verteilt über die gesamte quer Oberfläche in diesem Volumenelement und ausgehend von dieser Vereinfachung können wir jetzt also folgende bemessungsgleichung für den thermischen Widerstand hier feststellen der thermische Widerstand ist also proportional zur Länge dieses volumenelementes entgegengesetzt proportional zur Querschnittsfläche a und dann steht hier im Nenner noch so ein Faktor das ist eine Materialkonstante die sogenannte Wärmeleitfähigkeit und die werden Leitfähigkeit besitzt ihr
die Einheit Bad pro Meter mal Kelvin und Sie müssen jetzt nicht denken oh Gott oh Gott oh Gott jetzt ist ja noch mehr wieder ein neuer Formel Ausdruck den ich lernen muss für die bemessungsgleichung des thermischen Widerstandes wenn Sie sich das mal genau anschauen dann besitzt diese Formel exakt die gleiche Struktur wie die bemessungsgleichung für den elektrischen Widerstand und dann tauschen sie die Wärmeleitfähigkeit langsam durch die elektrische Leitfähigkeit Kappa aus und Sie erhalten die Formel Ausdruck den wir an entsprechender Stelle bei den komischen Widerständen bereits schon hergeleitet haben wenn Sie die Wärmeleitfähigkeit noch einmal beziehen
auf die Länge dieser Anordnung erhalten Sie einen neuen Parameter den nennen wir wärmeübergangszahl Alpha mit der Einheit Watt pro Quadratmeter und Kelvin dessen Nutzen wird jetzt hier an der Stelle vielleicht noch nicht so ganz klar aber spätestens wenn wir nachher die Konvektion und Wärmestrahlung besprechen dann werden Sie sehen dass das Alphabet ab und zu mal wieder auftaucht ja und da Wärme Strom durch diese Anordnung ist ja definiert als der Temperatur dass die Temperaturdifferenz geteilt durch den thermischen Widerstand und wenn ich hier jetzt diese bemessungsgleichung einsetze erhalte ich also den Zusammenhang dass der Wärmestrom jetzt hier
proportional ist zum also Temperaturdifferenz zum wärmeübergangszahl und so Querschnittsfläche auf der nächsten Folie habe ich ihn jetzt noch mal so eine kleine Übersicht über die Wärmeleitfähigkeit Lambda für verschiedene Stoffe einmal zusammengetragen und da sehen sie hier oben bei den Stoffen mit sehr sehr hoher Wärmeleitfähigkeit ja da finden wir jetzt wieder die üblichen Verdächtigen der Elektrotechnik das sind nämlich genau diese Stoffe die auch eine sehr gute elektrische Leitfähigkeit besitzen und hier unten die Materialien mit sehr schlechter Wärmeleitfähigkeit ja die zeichnen sich typischerweise auch durch eine sehr sehr schlechte elektrische Leitfähigkeit aus ja und das ist nicht
ganz verwunderlich da die da Wärmetransport durch Wärme Leitung ja der Erfolg sozusagen durch eine Weitergabe der Wärme Energie von Molekül zu Molekül durch Leitungselektronen die vor allen Dingen in Metallen vorliegen oder auch durch die Kopplung der Gitter Atome ja und das heißt natürlich bisschen mehr solche freie Leitungselektronen vorliegen desto besser ist die elektrische Leitfähigkeit aber auch die Wärmeleitfähigkeit und das geht sogar so weit dass man quasi feststellen kann dass in einem bestimmten Temperaturbereich der Quotient aus Wärmeleitfähigkeit und elektrische Leitfähigkeit sogar annähernd konstant ist also grob gesprochen gute elektrische Leiter sind auch gut Wärmeleiter okay der
Verben Transport durch Konvektion ist gebunden an ein Massestrom also zum Beispiel an ein bewegtes Gas oder eine bewegte Flüssigkeit und das ist ja mal schematisch in dieser Anordnung also angedeutet wir haben hier also ein was weiß ich eigentlich ein Gerät zum Beispiel das eine elektrische Leistung P aufnimmt und diese elektrische Leistung wird durch den nicht gewandelt in eine thermische Leistung P thermisches durch Konvektion das ist dieser Faktor K wird das also hier abgegeben an der Oberfläche dieses Gerätes messen wir die oberflächlichen Temperatur Tofu und in irgendwo unter Umgebung die Umgebungstemperatur tu der Wärmetransport beruht jetzt
darauf dass durch eine bewegte Flüssigkeit oder ein bewegtes Gas oder allgemein irgendein bewegtes Medium also Moleküle die Wärme hier an der Oberfläche aufnehmen und dann mit sich führen und irgendwo anders wieder abgeben und wir können auch für die Konvektion eine bemessungsgleichung zur Bestimmung des sogenannten Wärmeübergangswiderstand das heißt es dann aufstellen und diese Wärmeübergangswiderstand bei Konvektion also hier mit diesem bezeichnen K ist also jetzt definiert durch die Temperaturdifferenz durch den Wärmestrom und die bemessungsgleichung lautet jetzt wieder eins durch Alpha mal a wie bei der Wärmeleitung auch bloß dass diese wärmeübergangszahl diesmal noch ein bezeichnen kann für
Konfektion bekommt also die gleiche Struktur wie von bei der Wärmeleitung 1 durch Alpha mal Querschnittsfläche aber die wärmeübergangszahl für Konvektion die ist jetzt natürlich anders als bei der Wärmeleitung und diese wärmeübergangszahl ist abhängig von der konvektionsart und vom Medium das Medium ja das lässt sich zum Beispiel unterscheiden zwischen einem Gas einer Flüssigkeit für jedes Medium ändert sich diese wärmeübergangszahl und bei der Konditionsart unterscheiden wir eigenkonfektion und fremdkonfektion eigenkonvektion bedeutet dass aufgrund der Oberflächentemperatur dieses Medium sich in der Nähe der Oberfläche erwärmt und dadurch gibt es ein Dichter Unterschied gegenüber dem Medium in einem anderen Raum
Punkt und dieser Dichte Unterschied bewirkt dann also eine Konvektion eine ausgleichsströmung und das führt natürlich entsprechend zu einer Bewegung des Mediums fremdkonfektion bedeutet dass die massenströmung durch außen durch eine äußere Energie Aufwendung erzwungen wird zum Beispiel im einfachsten Fall also durch einen Lüfter oder durch eine Wasserpumpe und ich werde ihn dann auf den nächsten Folien auch noch mal ein paar Größenwerte geben für diese wärmeübergangszahl bei eigenkonfektionen bei fremdkonfektionen für Luft und Wasser das kommt dann später wenn man das noch mit der Wärmestrahlung vergleichen die Wärmestrahlung ist sicherlich mathematisch das anspruchsvollste an der stelle ich jetzt
zu erklären und wir werden das jetzt ja auch nur ganz ganz grob einmal besprechen so weit wird das eben brauchen die Wärmestrahlung beruht also auf der Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung also auf der Aussendung und Aufnahme elektromagnetische Strahlung und wir werden das hier für den Spezialfall oder für den vereinfachten idealisierten Fall eines sogenannten schwarzen Körper diskutieren ein schwarzer Körper zeichnet sich dadurch aus dass das Spektrum und die Intensität der Strahlung die absorbiert oder ausgesendet wird ausschließlich von der Temperatur des Körpers abhängt und dass die gesamte einfallende elektromagnetische Strahlung auch tatsächlich absorbiert wird und für diesen
Fall besagt das sogenannte Stephan Boltzmann Gesetz dass die Strahlungsleistung etwa proportional ist zur vierten Potenz der Temperatur der Oberfläche des Körpers also proportional zu vierten Potenz der Temperaturen und diese professionalitätskonstante die hier drin steckt ist dieses Sigma das ist die sogenannte Stefan Boltzmann konstante und dann haben wir noch einmal die Oberfläche das ist das große a das auch noch mal proportional zur Oberfläche zum Flächen hatte der Oberfläche sehr und jetzt haben wir hier also die Differenz von zwei Potenzen vierter Ordnung ja die Oberfläche mit der unseres unseres Geräts mit der Oberflächentemperatur tu sendet also elektromagnetische
Strahlung aus und irgendwo in der Umgebung wird jetzt elektromagnetische Strahlung wieder absorbiert und die Umgebungstemperatur ist also tu das heißt diese Differenz aus ausgesendeter und absorbierter Strahlungsleistung steckt also hier in dieser Differenz zwischen diesen beiden okay das also in Grundzügen das Stephan boltzmann-gesetz und mit so einem nicht linearen Formel Ausdruck wo auch noch jetzt die Temperatur mit vierter Potenz drin steckt damit geht ein Ingenieur überhaupt nicht gerne um also nicht lineare Gleichungen sehen wir immer schon Grundlagen der Elektrotechnik schon mal gar nicht gern und dann auch noch vierte Ordnung das heißt wir versuchen solche Ausdrücke
jetzt immer irgendwie linear zu nähern und das machen wir jetzt an der Stelle auch ja das ist ähnlich wie bei der Temperaturabhängigkeit von Widerständen auch Daten mehr gesagt es gibt um ein beliebigen funktionellen Zusammenhang zwischen dem Widerstandswert und der Temperatur aber wir sagen das jetzt einfach mal in einem bestimmten Temperaturbereich ernähren wird das jetzt mal linear und das machen wir jetzt auch ganz ganz kurz versuchen Sie das vielleicht im Selbststudium mal nachzuvollziehen mit Hilfe so einer tellerapproximation können wir also eine lineare Näherung dieses Formel Ausdrucks um den Punkt tu erwirken das heißt wir können sagen
die Oberflächentemperatur tu ist jetzt irgendein Temperaturunterschied Delta t plus Umgebungstemperatur und dann kann ich das tu ausklammern aber hätte ich folgenden ein äh Ausdruck und wenn ich das tu das dieses Theo hier oben Einsätze erhalte ich für meine Strahlungsleistung P thermisch Strahlung also folgenden Ausdruck ja und jetzt kann ich so eine Näherung hier zu Rate ziehen das also sagt eins plus und eine ganz ganz kleine Größe hoch nennen hoch n ist ein guter Nehrung eins plus n mal diese kleine Größe y das ergibt sich so aus dem teller-approximation die ich nach dem ersten Glied abbreche
ja und wenn ich das anwende hier oben auf dem auf diesen auf diesen Ausdruck für die Strahlungsleistung ja dann ist also meine Strahlungsleistung rund viermal die Stephan bolzmann konstante Sigma Umgebungstemperatur 3 das ist alles eine konstante mal Oberfläche mal Temperaturdifferenz delt und diese Konstante Firma Sigma Umgebungstemperatur hoch 3 ja der gebe ich wieder einen neuen Namen das ist wieder eine wärmeübergangszahl Alpha Strahlung diesmal halt die wärmeübergangszeit Bestrahlung und wenn wir das mal für typische Umgebungstemperaturen berechnen also 7 konstante und Umgebungstemperatur 20°c das sind 233 Kelvin und das dafür mal berechnen kommen wir auf rund 6
Watt pro Quadratmeter und Kelvin also das ist jetzt wieder ein linearer Zusammenhang was hier steht das heißt die Strahlungsleistung ist also irgendeine konstante werbeübergangszahl multipliziert mit der Oberfläche Alpha und dem Temperaturunterschied Delta t das heißt unser thermische Widerstand als wieder der Quotient aus Temperaturdifferenz und Wärmestrahlung ist also 1 durch dieser wärmeübergangszahl Alpha Bestrahlung multipliziert mit dem Flächeninhalt a also wieder der gleiche Struktur 1 durch Alpha mal a und diesmal ist es also die wärmeübergangszahl für Strahlung und in der Realität treten jetzt Konvektion und Strahlung natürlich immer irgendwie zusammen auf ne also wir werden immer irgendein
Masse Transport haben wenn wir nicht gerade uns im Vakuum befinden und eine Strahlung tritt natürlich auch immer auf also Strahlung und Kollektion treten gemeinsam auf und das heißt natürlich dass die beiden Effekte sich additiv überlagern der Wärmestrom ist also die Summe aus dem Wärmestrom für Konvektion und für Strahlung und damit addieren sich auch diese wärmeübergangszahlen und wir können also eine gemeinsame wärmeübergangszahl als die Summe von der wärmeüber Konfektion und Strahlung hier einführen ja und um ihn jetzt mal ein paar Größenordnungen an der Hand zu geben also ein paar Richtwerte für solche wärmeübergangszahlen man kann die
jetzt in Tafel werden nachschauen aber wir können uns das mal ja anschauen für vergleichsweise niedrige Temperaturen also über wenn wir jetzt also mal so die eigenkonvektion betrachten bei ruhender Luft dann ist dieser wärmeübergangszahl in etwa 10 Watt pro Quadratmeter und Kelvin bei einer aktiven Kühlung mit Luft sondern im Bereich 100 Watt pro Quadratmeter und Kelvin und bei einer Wasserkühlung im Bereich 1000 Watt pro Quadratmeter und Kevin also wenn sie mal eine leistungsfähige Grafikkarte kühlen müssen dann werden sie ja auch an der Stelle erkennen warum dann da gegebenenfalls eine Wasserkühlung entsprechend so oder vielleicht vorzuziehen ist
ja und wenn man das jetzt also vergleichen mit diesen sechs Watt pro Quadratmetern bei der für die wärmeübergangszahl bei Strahlung bei 20 Grad Celsius Umgebungstemperatur dann werden wir also sehen dass bei Luftkühlung und Wasserkühlung der Effekt der Konfektion in dem Fall überwiegt und im Vergleich dazu bei eigenkonvektion ja die Konvektion und die Wärme Strahlung etwa zugleichen Teilen auftreten okay damit haben wir jetzt also diese drei ja Mechanismen des wärmetransportes so mein aller Kürze kurz abgehandelt und im nächsten Folie sind das Video wollen wir das dann mal wieder ein bisschen praktisch anwenden und dann werden wir
uns also mal anschauen wie wir tatsächlich mal ein Anwendungsbeispiel praktisch dimensionieren können
