Funções: Função Composta (Composição de Funções) (Aula 14 de 15)

[Aplausos] Olá pessoal tudo bem vamos continuar nossas aulas sobre funções vendo agora a função composta ok pessoal inscreva-se no canal semanalmente aulas novas são postadas E aí você fica por dentro de todas as atualizações Ok vem comigo aqui ó olha só função composta diz o seguinte dadas as funções f de a em b e g de B em C vamos já fazer uns comentários acerca disso aqui ó vamos colocar por exemplo um diagrama aqui ó representando o conjunto A Ok vamos colocar aqui outro diagrama que represente o conjunto B E aqui um diagrama por sua

vez representando o conjunto C agora repare o seguinte nós temos a função f e a função f ela vai do conjunto A até o conjunto B ou seja o conjunto A é o domínio da função f e o conjunto B é o contradomínio dessa função f então Ó a f vai do conjunto A no conjunto B Então nós vamos ter isso daqui ó Aqui nós temos a aplicação da função f agora por por sua vez a função G ela está indo da onde A onde ela tá indo do conjunto B ao conjunto C ou seja

o b é o domínio e o c é o contradomínio da função G então a função G está indo aqui ó nesse sentido aqui do conjunto B até o conjunto C agora vamos fazer o seguinte ó vamos imaginar um elemento aqui assim no conjunto a um elemento x qualquer e nós vamos aplicar a função F nesse elemento x e aqui nós vamos obter o que então se a função f está sendo aplicada aqui nós vamos ter a função f f de quem f de x tá então abre parênteses aqui ó vamos colocar aqui o x

agora aplicando a função G nesse elemento nós vamos obter uma imagem aqui qual que é a imagem aqui ó olha só nós estamos aplicando a função G então aqui nós vamos ter g g de g de quem está aqui ó g de F Dex então ó g f de x Beleza agora continuando aqui ó olha só denominamos função composta de g e f a função H então H seria a função composta e essa função composta vai do conjunto A ao conjunto C diretamente ó então a função H ela vem aqui assim ó pessoal Essa é

a função H repare que paraa função f o conjunto A é o domínio e o b é o contradomínio pra função g o b conjunto B é o domínio da função g e o conjunto C é o contradomínio da função G agora na função H repara o seguinte na função h o conjunto A é o domínio e o conjunto C é o conjunto de chegada ou seja o contradomínio Então essa função H ao invés de ir do a até o c passando pela função f e pela função G essa função H ela vai diretamente do

do conjunto A para o conjunto C ela é uma função composta Então ela tá associando ali a função f e a função G para ir diretamente do conjunto A até o conjunto C Ok continua aqui comigo ó tal que H é igual agora olha isso daqui ó é igual a g essa bolinha significa composta e aqui F então a função H ela é G composta f de x ou a mesma coisa como a gente escreveu aqui embaixo ó é a mesma coisa falar então g de f de x Vamos fazer um comentário acerca dessa notação

aqui ó notem que aqui nós estamos colocando assim ó g de f de x tá isso daqui ó é a mesma coisa tá escrever assim sim do que escrever assim ó olha a sequência primeiro vem O G depois vem o f então a gente pode fazer assim ó g composta f a i de X assim como se a gente tivesse aqui por exemplo f de G de X nós teremos aqui ó primeiro F tá depois o g Aqui nós temos então F composta G parênteses e aqui fora o x tá então aqui só para explicar

a notação porque pode aparecer nas provas ó dessa maneira aqui ou dessa maneira aqui eu sei por experiência que os alunos preferem muito mais essa maneira aqui ó do que essa daqui beleza e alguns alunos ainda falam pessoal assim ó gof de X fog de X não é que está errado tá mas gof no caso seria G composta fx e fog seria F composta G Dex Beleza então Olha só vamos apagar aqui ó e vamos continuar Beleza então assim gente ó essa função H nada mais é do que g de FX reparem ó a função

h a gente escreve como aqui ela ó é G depois o f de x tá faz o caminho inverso da mesma forma a gente poderia ter mais conjuntos imagine aqui um conjunto A aqui assim um conjunto B um conjunto C e um conjunto D aumentei em um o número de conjuntos nós tínhamos três agora nós temos quatro Agora imagina o seguinte do conjunto A pro conjunto B nós temos uma função f por exemplo do B pro C A a função sendo aplicada uma função G por exemplo e do C pro D vamos botar uma função

H agora seguinte qual seria a função que iria diretamente do a pro D vamos chamá-la aqui ó de função i a letra pouco importa tá gente mas o que importa é o seguinte como é que eu posso escrever essa função I assim ó a função I pode ser escrita assim ó i de x é igual faz o caminho contrário ó é igual a h abre parênteses de G abre parênteses de f abre parênteses de X tá Então fecha todos os parênteses Ó tem 1 2 3 parênteses abertos 1 2 3 parênteses fechados pessoal então a

gente pode ter mais do que três conjuntos em uma função composta nesse exemplo aí colocamos quatro mas poderiam ser mais só que na hora de escrever a função composta a função que vai do primeiro até o último conjunto A gente segue o caminho contrário ali a gente fez o quê a função I de x é igual a h de G de F Dex sempre fazendo caminho contrário na hora de escrever ela ok vem comigo aqui ó vamos descer um pouquinho e fazer aqui um exemplo numérico para ficar bem claro como é que as coisas funcionam

vamos imaginar uma função f tá E essa função f vai do conjunto A para o conjunto B ou seja o domínio e o contradomínio e essa função f vamos dizer que ela é expressa por essa função aqui ó x + 3 OK agora vamos imaginar uma função G por exemplo aqui ó essa função G ela vai do conjunto B até o conjunto C E essa função g de X ela expressa por 2x + 1 tá inventei aqui essas duas funções agora vamos imaginar agora aqui os três conjuntos ó aqui assim ó o conjunto de partida

a Vamos colocar aqui embaixo o conjunto B Ok e aqui em cima o conjunto C Então como a gente viu Ó a função f vai do conjunto A para o conjunto B então a função f tá fazendo esse caminho aqui ó beleza Vamos colocar aqui a função f a função G ela está indo do conjunto B ao conjunto C então Aqui nós temos a função G OK agora vamos imaginar um elemento aqui no conjunto A por exemplo valendo 2 tá então aplicando a função f aqui no Conjunto a nós vamos pegar esse 2 e substituir

no x da função f Então olha como é que a gente vai ter aqui ó na função f nós vamos calcular então f de 2 Beleza quanto é que vai ficar isso aqui ó ficar então 2 + o 3 e 2 + o 3 O resultado é 5 então aplicando a função f nesse x = 2 nós obtivemos um valor igual a 5 então o 5 é a imagem da função f no ponto 2 agora aplicando a função G aqui no 5 ou seja na função g o 5 faz parte do domínio e aqui no

conjunto C nós vamos obter a imgem referente ao valor 5 agora aplicando a função G no valor 5 nós vamos pegar o 5 e substituir na função G Então nós vamos ter o seguinte nós vamos calcular então o g de 5 isso aqui dá quanto 2 x o 5 vamos escrever aqui 2 x o 5 somado com o 1 reparem primeira multiplicação depois a adição 2 x o 5 dá 10 10 com mais 1 11 então o resultado obtido Ou seja a imagem do 5 pela função G é o valor 11 que está aqui ó

pessoal agora o seguinte eu quero ir do conjunto A para o conjunto C sem a necessidade de passar pela função f pela função G eu quero fazer essa composição essa função composta a situação é a seguinte qual é a fórmula matemática ou seja qual é a função de correspondência entre entre o conjunto A e o conjunto C como é que a gente faz para descobrir a função vem comigo aqui ó reparem ó Então nós vamos descobrir qual é a função que vai do a até o conjunto C diretamente vamos chamar essa função de função H

lembre que a gente viu anteriormente a função h a gente pode escrevê-la assim ó H Dex é igual como é que a gente faz ó g de FX então ó g abre para parênteses F abre parênteses de X fecha fecha agora para descobrir a lei de correspondência Ou seja a função H Dex que a gente faz vai na função g e lá no lugar do X da função g a gente coloca o FX tá Então olha só indo lá na função G aqui ó no lugar do X nós vamos substituir por FX Então vem aqui

vem aqui também FX então nós teremos g de f de x igual Olha a função G 2 x o x ou seja 2 vees o f Dex + o 1 mais o 1 agora o que a gente faz no lugar de FX aqui ó nós vamos colocar a função FX isso aqui então será igual a 2 qual é a função f mesmo tá aqui em cima ó a função f é x + 3 então é 2 que multiplica o x + o 3 somado com 1 agora aquele dois ali ó na frente do parênteses ele

vai fazer a distributiva Vai Multiplicar o x e depois multiplicar o 3 e nós teremos o que então 2 x o x isso aqui dá 2x 2 x o 3 isso aqui dá 6 e temos mais o 1 OK agora então isso aqui vai dar 2x 6 + 1 7 então Aqui nós temos a função g de FX que nada mais é do que a nossa função H Dex pessoal então para descobrirmos essa função H que vai do conjunto A ao conjunto C diretamente a gente fez o quê na função G nós trocamos o x

X por FX só isso daí agora vamos ver mesmo se aplicando a função h no valor 2 nós obtemos a imagem igual a 11 vem comigo aqui ó vamos descer um pouquinho aqui ó aqui tá bom agora então ó aplicando H lá no valor 2 Isso aqui vai dar quanto vai dar 2 x o 2 + o 7 2 x 2 dá 4 4 + o 7 O resultado é 11 então aplicando a função h no x = 2 nós obtivemos a imagem sendo igual a 11 Ok beleza então pessoal tenho certeza que muitos de

vocês tinham essa dificuldade em entender o que significava realmente essa função composta o que que era tal da função composta aquele mecanismo ali ó tenho certeza que deu para reavivar deu para você entender um pouquinho melhor a respeito da função composta vamos fazer o seguinte agora vamos fazer uns exercícios para ficar bem claro como é que a coisa funciona e como é que aparece as questões na hora das provas vem comigo aqui ó questão 1 fala assim ó sejam as funções fx = X - 1 e GX = 3x + 2 determine e ten a

f de G2 pessoal sempre comece pelo interior aqui ó vamos fazer o quê vamos descobrir quanto é que vale g de2 Então vamos calcular aqui embaixo ó a g de 2 vai na função g e no lugar do X coloque o 2 Olha a função G aqui ó 3 x o x + 2 então será 3 x o 2 + o 2 isso aqui dá quanto 3 x 2 dá 6 + o 2 resultado é 8 Então G de2 É iG a 8 efetivamente que pode fazer ó no lugar de G de2 colocar o 8

então nós ficamos com f de 8 agora para calcularmos F de8 vá na função f e no lugar do X coloque 8 vamos fazer aqui mesmo ó na função f então colocamos o 8 aqui vai ficar 8 elevado qu 8 elevado qu - 1 primeiro a gente faz a potência 8 qu é 64 - 1 63 beleza esse aqui é o resultado agora olha o item B vamos fazer agora G da F2 a gente fez F da G2 agora G da F2 primeiramente vamos calcular F2 tá Então olha só f de 2 faz o quê

Vai na função f e no lugar do X coloque o 2 então na função f vai ficar então 2 elevado qu 2 elevado Quad Men 1 tá 2 é 4 - 1 O resultado é 3 então f de 2 é iG 3 a gente pode então reescrever isso daqui ó como sendo G abre parênteses no lugar de F2 a gente coloca o 3 Beleza agora vai na função g e no lugar do X coloque o 3 vamos fazer aqui mesmo ó na função G então 3 x o x + 2 ficará 3 x o 3

+ o 2 O resultado é 3 x 3 dá 9 9 com mais 2 11 aqui uma observação gente no item a a gente fez a f da G de2 tá no item B nós fizemos a g da F de2 trocamos ali repar que os resultados foram diferentes isso acontece na grande maioria das questões tá maioria das vezes não dá para dizer que g de FX é a mesma coisa que f de GX essa permutação essa troca aí não pode ser feita tá agora vem aqui ó no item C repare um pouquinho no item C

nós vamos fazer a g da F Dex ou seja ele quer saber aqui ó qual é a função g de FX Então o que a gente faz ó a gente vai na função g e no lugar do X da função g a gente troca por f de x tá então vem comigo aqui ó vamos puxar uma flechinha aqui vamos fazer aqui ó na função G Então vamos calcular f de x e na função G então nós colocamos 3S vezes f de x + o 2 OK agora olha só vai ficar 3 vezes quem que é

a função f a função f é x - 1 Então abre para fica x- 1 fecha parênteses mais o 2 aquele 3 ali ó na frente do parêntese vai fazer a distributiva né então nós vamos ficar com 3 ve x qu fica 3 x 3 x-1 isso aqui dá -3 e temos o mais 2 isso aqui D quanto 3x - 3 com mais 2 isso aqui dá -1 ou seja nós temos ali ó que a g de f de x = 3x qu - 1 lá no item b a gente calculou g de F2 Vamos

colocar o 2 na função ali na G de FX e ver se o resultado também é igual a 11 vem comigo aqui ó substituindo Então como a gente fez na função B vamos calcular aqui aqui ó g de F de 2 então isso aqui será igual a 3 x o 2 qu - 1 ou seja aqui ó pessoal cuidado ó temos a multiplicação e temos a potência faça a primeira potência 2 qu é 4 4 x esse 3 dá 12 12 - 1 11 reparem que o resultado ó foi o mesmo beleza então pessoal lá

no item b não foi necessário a gente descobrir a função g de FX para calcularmos a g de F de2 primeiro a gente fez a f de2 e depois fizemos a g do resultado encontrado beleza dessa aqui ó vamos fazer a última questão sobre função composta dessa aula aqui olha só o item dois diz o seguinte seja as funções reais parari Parará tem tudo isso daqui determ g de 2 agora olha isso daqui gente ó nós temos aqui ó aquela anotação lá que eu expliquei no começo da aula f composta G isso daqui ó é

a mesma coisa que o qu ó vem o f primeiro então isso aqui a mesma coisa que F abre parênteses G abre parênteses de X fecha fecha parênteses isso aqui é igual x qu - 1 repar então que a gente tem aqui a a f da G Dex e aqui ó pessoal nós temos a f Dex que que a gente faz ó lá na função f no lugar do X a gente vai colocar a função GX ou seja ali assim ó vamos colocar g de X consequentemente aqui também g de X Ok vamos fazer isso

aqui ó nós teremos então f de g x É iG 2 que multiplica o x que no caso é GX tá E temos o menos o 3 OK agora a gente sabe que f de GX nada mais é do que x qu - 1 no lugar de F de GX Vamos colocar então x qu - 1 isso aqui é igual a 2 vezes g x - o 3 beleza Olha só esse -3 ele vai lá pro outro lado ó da Igualdade trocando o sinal ou seja vai com o sinal positivo então nós teremos x qu

esse -1 com esse + 3 vai ficar mais o 2 é iG 2 que multiplica G Dex 2gx beleza esse 2 tá multiplicando ele desce dividindo ou seja g de x é iG x qu mais o 2 dividido pelo 2 agora reparem que a pergunta é determine g de 2 ou seja vamos na função g e no lugar do X Vamos colocar o 2 Então vem aqui ó nós ficaremos então com g de 2 como sendo 2 elevado Quad tá mais esse 2 e dividido por 2 isso aqui dá quanto potência primeiro tá 2 qu

é 4 4 com esse 2 aqui ó dá 6 6 di 2 3 é a nossa resposta certo então pessoal chegamos ao final da aula se você gostou da aula Clica ali em gostei faça comentários tá Fique à vontade pensa o seguinte gente matemática para aprender ela ela é um estudo um pouco mais lento é um estudo ativo né você não estuda matemática sentando na cama lendo a matéria você tem que sentar na mesa Papel em Branco resolver bastante questões acompanhar as aulas isso é um estudo gente ó que é devagar mas eu tenho certeza

que com a sua dedicação Você vai passar por todas essas dificuldades e aprender bastante essa matéria já que ela é muito importante ok pessoal Bons estudos um forte abraço e a gente se vê na próxima até mais