Cómo crear un modelo mediante Ecuaciones Diferenciales, lenguaje de funciones y derivadas

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo voy a hablar acerca de cómo crear un modelo matemático mediante ecuaciones diferenciales es decir tenemos algún fenómeno que estamos estudiando y quisiéramos este fenómeno pues modelarlo mediante alguna ecuación diferencial para explicar esto vamos a hacerlo mediante un par de ejemplos lo primero que hay que hacer es dominar bien el lenguaje de las funciones y las derivadas voy a explicar esto con un ejemplo muy sencillo con el ejemplo de una población de alguna determinada especie de animales por ejemplo una población digamos de Leones supongamos que estamos midiendo la cantidad de leones que hay en alguna región de África por ejemplo y bueno pues quisiéramos saber cuántos leones hay conforme va pasando el tiempo en este caso fíjense que se trata de fenómeno que va cambiando conforme va avanzando el tiempo este tipo de fenómenos son los que se pueden modelar mediante ecuaciones diferenciales las ecuaciones diferenciales se usan en fenómenos en los cuales una cantidad cambia conforme otra cantidad que generalmente es el tiempo va avanzando o va cambiando entonces en este caso lo primero que hay que hacer es puedes escribir alguna función que es la que nos va a estar diciendo la cantidad de leones que hay conforme avanza el tiempo podemos por ejemplo representarlo como pedete esto es una función que estamos llamando Pepe y que depende de la variable T que representa el tiempo esto hay que dejarlo explícitamente claro vamos a escribirlo por aquí ponemos que P es el número de animales y debemos decir en qué unidades lo estamos midiendo en este caso vamos a decir que lo estamos midiendo en miles IP representa al tiempo el cual en este caso lo estaremos midiendo en años ahora si nosotros por ejemplo tenemos lo siguiente P en 2 = 32 esto es un dato que debemos saber interpretar a partir de lo que dijimos aquí arriba en este caso el 2 que está entre paréntesis representa el valor de t o sea que aquí estamos diciendo 2 años y el 32 que aparece aquí es el valor de la función P en el valor dos es decir que cuando han transcurrido 2 años desde que empezamos a medir la población tenemos una población de 32 pero recuerden que este número lo estamos midiendo en miles así que esto en realidad representa 32000 es decir que hay 32000 animales cuando han transcurrido 2 años 2 años desde que empezamos a estudiar esa población por supuesto P en 0 significaría la población inicial la población con la que empezamos cuándo empezamos el estudio de la población de animales otra cantidad que es muy importante saber interpretar en estos casos es la derivada de la función que nosotros estamos tomando para modelar esa población en este caso la derivada de P respecto de este bueno hay que recordar del cálculo diferencial que la derivada se puede interpretar como el cambio la razón de cambio de una función respecto de la variable de dicha función en este caso es la razón de cambio de la población con respecto al tiempo la cual también podemos escribir como DP sobre DT esto dicho en otras palabras representa la velocidad con la que cambia la población por supuesto cuando tengamos una población de 32000 habrá una velocidad ya sea de crecimiento o decrecimiento de dicha población mientras que si tuviéramos por ejemplo si en 1000 animales la velocidad para que crece la población ya no sería la misma que cuando teníamos 32000 así que esta es una cantidad que también cambia bueno en este caso por ejemplo si tuviéramos el siguiente dato que la derivada de P en 2 = 2 bueno pues fíjense que esté dos es el valor del tiempo el cual pues también aquí representa 2 años y estamos diciendo que el valor de la derivada de P también es 2 es decir que transcurridos dos años desde que empezamos a estudiar la población tenemos que la población crece a un ritmo de 2000 animales por año es decir que se esperaría que transcurrido un año pues hubiera 2000 animales adicionales bueno si tuviéramos por ejemplo en lugar de una cantidad positiva aquí una cantidad negativa lo cual también aquí podría ser bueno una posibilidad esto significaría que transcurridos 6 años la población de crece a un ritmo de 5000 animales por año es decir una derivada positiva significa que hay una velocidad de crecimiento de la cantidad que está representando la función que en este caso es la población mientras que una cantidad negativa significa que hay un decrecimiento o sea que va reduciéndose la población bueno con todo esto ya bien claro ya podemos empezar a crear algún modelo para la población de animales para crear un modelo nosotros necesitamos conocer algún hecho respecto a esa población eso por supuesto pero podemos obtener a partir de la observación de dicha población podemos por ejemplo observar cómo se comporta esa población durante algunos meses o durante algunos años ir registrando esos datos y una vez que analicemos esos datos pues veremos si la población está creciendo o decreciendo y podremos ver pues con qué ritmo crece o decrece y a partir de ahí crearemos una ecuación que nos permitirá predecir cómo se comportará esa población en los próximos años en este caso por ejemplo algo que podría ser razonable para muchas poblaciones es lo siguiente que la población aumenta a una velocidad que es directamente proporcional al número de animales bueno voy a explicar qué significa esto de aquí cuando nosotros decimos que una cantidad es directamente proporcional a otra cantidad significa que si la primer cantidad aumenta la segunda cantidad también aumenta y en el mismo ritmo es decir que si la primer cantidad se convierte en el doble entonces la segunda cantidad también se convierte en el doble esto en el caso de las poblaciones lo que quiere decir es que si por ejemplo tenemos 2000 animales la velocidad de crecimiento va a ser el doble que si tuviéramos 1000 animales entonces conforme más animales tengamos esperamos que la población vaya aumentando cada vez más ahora aquí la cuestión es cómo podemos expresar esto en forma de ecuación matemática bueno aquí hay que recordar algo que se ve en álgebra cuando decimos que una cantidad a es directamente proporcional a una cantidad de lo podemos expresar en forma de ecuación de esta forma que a es igual a alguna constante multiplicada por B bueno en este caso entonces hay que recordar que representamos la población de animales como pedete como esta función y la velocidad con la que cambia la población es la derivada de P respecto del tiempo entonces derecho que tenemos aquí la población aumenta a una velocidad directamente proporcional al número de animales fíjense que la velocidad de prima de este sería como la a aquí mientras que la población pedete sería como ve o sea la velocidad es directamente proporcional a la población entonces lo podemos expresar en forma de ecuación como peprimar e. t. igual alguna constante k multiplicada por pedete esto de aquí ya es una ecuación diferencial la la tenemos aquí escrita en forma de función pero también la podemos escribir con esta otra anotación la derivada de P respecto de T = k por la propia P esa es una ecuación diferencial separable que se resuelve de una manera muy sencilla ya veremos más adelante como es que se resuelve bueno aquí ahora surge una pregunta este modelo que tenemos aquí resulta ser un modelo preciso es decir este modelo de escribe bien cómo se comporta esta población a través del tiempo si nosotros quisiéramos por ejemplo saber cuántos animales hay dentro de un siglo podíamos hacerlo a partir de este modelo bueno pues este resulta ser un detalle que hay que tener en cuenta siempre en este tipo de modelos y es que estos modelos no describen al 100% la realidad son modelos que se aproximan en cierta forma a lo que tenemos en la realidad por ejemplo en este caso este modelo puede resultar ser útil para cierto periodo de tiempo y por supuesto vamos a tener siempre pues algún algún pequeño error por ejemplo con este modelo tal vez podríamos predecir que la población de leones transcurridos cinco años fuera de 50.

000 por ejemplo mientras que nada edad podrían ser 70. 000 opondrían ser 30.