Condições suficientes para que uma função de duas variáveis seja diferenciável (Tópico 11, parte 1)

[Música] [Música] na aula passada a gente viu o que era uma função diferenciada eu né num ponto ea gente também viu um teorema que ajuda a gente né que sempre fica um pouco né que diz que f é diferenciado e eu um ponto pê que o x érea y 06 somente se acontecer em duas coisas vocês se lembram quais são primeiro eu tenho que garantir que existem as derivadas parciais de é fidel é fidel x calculado e xl com 10 e existe do fdny calculado em 2000 e também a gente precisa garantir que um certo

limite a 06 lembram que o limite é esse limite enorme limite quando hk tende a zero zero do que né vamos lá é o f calculado em x 0 mais h y é mais cá - fdx 010 que mais - esse daqui esse número aqui que é o do fd ao xii calculado em x 0 10 vezes h e - este número vezes carro - do fdny de x 01 03 descarto tudo isso dividido por norma de hk esse limite aqui tem que acontecer o que com ele esse limite tem que dar 10 é bom

então eu venho ver se a função diferenciável tem que ver a essas duas coisas têm que existir os derivados parciais e e se limitam tem que dar zero é bom só queria fazer algum comentário porque assim quando a gente olha as derivadas parciais então vamos fazer aqui em três dimensões eu tenho aqui o x o y oeste do z e aqui digamos tem um ponto x 0 y 10 quando eu faço é derivada parcial em relação à x significa que eu fixei o y fixo y10 aqui em várias onu x quando eu faço variação ao

x e óleo lá em cima no gráfico aqui tem eu 'tô' olhando o que acontece aqui e tem uma uma função digamos rede chico que é o f de x e y 0 tá deixo y10 fixado varia só o xvii e olha essa função de então a derivada parcial df no ponto x ericsson 10 é a inclinação dessa reta aqui lembra disso isso gente já fez direitinho então essa derivada parcial aqui é a derivada daquela função geno ponto x 0 então eu 'tô' olhando nesta direção se a função se comporta bem digamos do ponto de

vista de admitir derivada quando eu faço a derivada parcela em relação à y naquele ponto então o que a gente está pensando eu estou pensando no x 0 fixado e vou variar só na direção do y envolveria a sua segunda faria a segunda é a segunda coordenada e olhar o que acontece no ano o df tem aqui uma função hhd y que é o f e x 0 y então muda só o y e e considera a f e x 0 y a derivada de h no ponto y10 é a inclinação é bom é a

inclinação da reta gente a essa curva aqui é só essa inclinação e isso a derivada dh então é a derivada parcial df calculado em ny 10010 também agora qual é o problema o problema é que vamos olhar só aqui no plano no domínio aqui eu tenho x 0 y zé e quando o qual players derivado especiais primeiro eu olhei variando aqui né valeu x é o cálculo do iof de al x nesse ponto variando y eu calculo do fdny nesse ponto o fato de existirem as duas partes se determinadas parciais quer dizer que andando nessas

direções a função tem um comportamento bom digamos nettheim reta tangente ali é definida agora esses dois lhe estas duas derivadas não são garantia de que está tudo bem com a função olhando por outros caminhos olhando em outras direções então esse de uma certa forma esse limite aqui a galera aqui quando eu pego a guy cá né eu eu pego x 0 mais h epsilon 10 mais cara então eu eu tô pegando um ponto fora aqui né aqui 1 x 0 mas h y é mais caro mas sh e capa de ser positivo e negativo poderia

pegar em qualquer lugar aqui e eu estou fazendo um limite pra a quando esse vetor a kaká vai perdendo a 0 aqui mas esse h já poderia estar em qualquer lugar então este limite de uma certa forma ele ele faz a gente olhar em todas as direções e ver se o comportamento é tá bom em todas as direções tudo bem isso é intuitivo não não estou falando nada muito formal nem muito rigoroso é só uma coisa que esse limite enxerga mais do que só essas duas derivadas ele está dando mais informação é bom ea gente

viu na aula passada que se a função diferenciada ou seja se tudo isso acontece então eu posso concluir que a função é contínua no ponto p a gente já viu que f é diferenciado eu se f é diferenciável então f é contínuo empenho ea gente viu que a recíproca é falsa deixa eu tirar esse senhor aqui porque não precisa esta frase implica nessa né ea implicação contrária é falsa o que eu vou fazer hoje é mostrar que existe uma outra condição que você coloca aqui para garantir que a f diferenciável é uma condição mais forte

né vocês vai exigir um pouco mais da função e garante que ela é diferenciada sem ter que fazer toda essa conta é porque essas contas aqui são muito trabalhosas então se eu tiver um teorema que garanta quando é que é diferenciado e eu vou ter menos trabalho um pouquinho tudo bem vamos ver que teor ms é seja um sub-conjunto aberto do plano o ponto x ly 0 1 ponto de a eef definida de a r eu tô vendo isso aqui é bom e seja f var1 tal que existem as duas derivadas do fd ao xii

x y e dell é fidel y e x y e existem pra todos os x y los de a pra todo e eu vou suportar também que as peças derivadas que existem em todos os pontos de água elas são contínuas no x érea 10 com tudo isso aqui né com todas essas hipóteses a gente garante que então a função f é diferenciado efe é diferenciado no nesse ponto é diferenciável 1 x 0 11 é bom ou seja é eu poderia anunciar outra forma mas é assim se você tem uma função que tem as derivadas parciais

nos pontos onde as derivadas parciais são contínuas a função f é diferenciado eu acho que vale a pena ver a demonstração é um pouco trabalhosa mas vale a pena ver porque ela é bastante instrutivo então a gente acaba entendendo melhor como é que funciona certas coisas então vale a pena conhecer um pouco mais a fundo o que eu vou fazer a demonstração [Música] e aí vamos lá passo a passo eu quero provar que a função é diferenciado certo a minha conclusão é que a f é diferenciado então o que tem que ser feito para provar

que é uma função diferenciada tem aquele teorema que está escrito ali em cima né eu tenho que falar que existem as duas privadas parciais no ponto e aquele limite grande tem que dar zero tudo bem eu tenho que fazer eu tenho que mostrar isso agora eu preciso começar do nada já tem alguma coisa que dá pra aproveitar as derivadas parciais por hipótese elas existem em todos os pontos de ar em particular elas existem no x érea y10 então aquele primeiro e aquele primeiro item ali eu já tem tá então sabemos por hipótese né existem existe

dell é fidel che e che 00 e existe da fd ou y e x 0 10 tudo bem isso a hipótese já está me garantido então só me resta calcular que ele emite grande ali e eu vou escrever um pedaço primeiro e arrumar pra poder usar as hipóteses né eu vou eu vou começar a escrever assim o primeiro fazer uma figura é assim aqui eu tenho um ponto x 0 y 10 o que quer dizer aqui o conjunto a o que quer dizer mesmo que o aberto vocês lembram um conjunto é aberto para qualquer ponto

dentro desse conjunto existe uma bola aberta de centro nesse ponto o contida no conjunto certo então aqui por hipótese existe uma bola centrada em x a y 10 contida no ponto então também por hipótese como a aberta existe uma bola uma bola aberta é de continuar de centro x 0 y 10 bom e agora porque eu fiz isso porque agora eu vou pegar um par hk de forma que o x 0 mais hy 10 mais k continue aqui dentro é então seja hk schalke x 0 mais hybrid3 ou 10 mais cá - fdx ericsson 0

deixa só contar um pouco a minha idéia eu só eu vou vou baixar aqui só pra comentar o que eu quero fazer é assim como fim a ferramenta que eu tenho pra usar ou seja as hipóteses que eu tenho só falam sobre a existência das derivadas parciais da f1 em todos os pontos e aqui eu tenho que calculará que já tem derivada parcial df em um ponto não é que é o ponto x 0 10 e o que eu vou fazer ora eu olhar essa diferença e relacionar com derivados parciais também a eu vou tentar

escrever isso aqui para poder usar botes então eu vou escrever esta diferença aqui de um outro jeito tá e aí e é isso que é interessante porque vamos ver o que eu vou fazer um truquezinho eu vou somar subtrair como eu tenho eu sei alguma coisa sobre derivados parciais eu vou a sua mais subtrai efe de um ponto em que eu vario uma coordenada de cada vez então é porque aqui ó x 0 mas hy 10 mais cá e xlt 1 a 0 eu mudei as duas coordenadas então eu ouço mais subtrair um termo aqui

só vou somar ou subtrair x 0 y 10 mais k tá então daqui pra cá eu mudei só a primeira coordenada e agora vou tomar a mesma coisa pra compensar e subtraiu fx 010 tudo bem então eu sou nem subir a este termo mas qual foi a vantagem quando eu faço isso eu eu deixo fixada esta coordenada aqui está fixada eu faria sua primeira e aqui eu deixei a primeira fixada e mudei sua segunda e agora como é que eu vou relacionar isso com derivadas parciais nós vamos pensar assim ó então esse daqui e isso

essas duas diferenças eu quero relacionar com derivados parciais vamos lá eu vou definir uma nova função que haja de che que é o fdx y10 mais cá já então está fixado y mas carta afixada a segunda coordenada e eu estou avaliando sua primeira para quais x bom aqui se vê nessa nessa figura aqui ó vamos pegar um ponto x 0 esse aqui é o ponto x 0 mais h y é o mais caro aqui é o x 0 mas h e este seria o y 10 mais então é essa função gtx eu vou definir pelos

pontos que estão aqui ó fixado y10 mais cá eu estou definindo a jeneci conjunto nesse conjunto de pontos olhando o f desses pontos que estão na interseção da bolinha com com essa reta y10 mais ficar tudo bem tá então aqui seria um x pertencente ao intervalo wii intervalo e seria essa sombra que a projeção esse intervalo e aqui tá bom agora é interessante notar que o uso os pontos x 0 e fizeram mais agatão dentro de r x 0 x 0 mais h pertencem ao intervalo e e o que a gente sabe sobre essa g

eu sei de linguagem que é a derivada da g de waal a relação entre a derivada da jelly alguma coisa da f1 derivada da função g é a de ver levada parcial da f 1 calculado nesse ponto x é é fidel che calculado em x y 10 mais kaká claro isso se vocês fizerem pela definição limite aqui o limite aqui e vocês vão ver que é a mesma coisa tá bom então esta função já é derivava véu ea gente sabe que esse é derivado é contínuo tá então g é derivava eu nesse intervalo e aí

e contínua também é bom porque eu tô querendo escrever isso eu eu poderia falar que é derivava henin em particular é derivava eu no intervalo aberto que vai de x 0 até x 0 mas h aqui eu tô eu escrevi assim o transpondo h positivo mas quem poderia pensar em algo negativo também tá só só para escrever um jeito mais fácil então o intervalo aberto de extremidades x 0 x 0 mais h e ela é contínua no fechado porque ela continua no inteiro então é continuar fechado g é contínuo em no intervalo fechado x 0

x 0 mais h bom isso aqui eu estou preparando o terreno para usar o que penso é que essas duas frases aqui são as hipóteses do teorema do valor médio que vocês devem ter visto no cálculo né o teorema do valor médio disse que se a função é contínua no intervalo fechado extremidade saber derivavam no aberto então o que acontece eu vou copiar de novo isso aqui era fdx 0 a desculpa de x e y 10 mais cá né ea nós vimos que então que pelo tvm eu escrevi que era terminar vou escrever de novo

então pelo tema do valor médio existe um ponto tal que é não aqui seria entre x 0 x 0 mas h talk é a derivada calculado em x barra é rg de x 0 mas h - g20 sobre h só fazer uma figurinha quem só para recordar né eu tenho aqui 1 x 0 x 0 mais h isto esta neste consciente aqui é a inclinação da reta que liga se esse ponto inicial e o ponto final aqui esta inclinação e o que o problema diz é que tem um ponto x barra tal que a inclinação

da reta tangente em x barra conhecido com a internação daquela reta então tem algum ponto aqui digamos isso aqui tá certo então a nossa janela continua mas eu peguei só no intervalo que interessa então existe um x barra tal que a inclinação da reta tangente x barra coincide com a inclinação da reta que passa pelos pontos ali pensei que tudo bem eu tbm agora vamos traduzir pra f o que era isso aqui isso aqui é a derivada parcial df em relação à x calculada em x barra y10 mais cá e do outro lado isso aqui

é fdx 0 + h y é mais cá - f d x 0 e y 10 mais cá tudo isso sobre h com isso ficou longe de novo né com isso eu mostro que essa diferença aqui é dell é fidel x exists barra y10 mais cara tá bom copiando aqui fdx 0 10 mais k é dell é fidel x calculado em x barra y 0 mas cá vezes h tá bom então vamos voltar lá para o limite grande que a gente precisava fazer eu comecei com f e x 0 mais h y é mais cá

- fx 010 era f e x 0 mais h epsilon euskadi - fdx 00 + carro + f x 0 10 mais cá - fdx zero em 2010 repetir tudo porque ficou muito longe né então é eu acabei de provar que este pedacinho aqui pode ser inscrito de um outro jeito que envolve derivada parcial então isso aqui é igual a dell é fidel x de x é x barra y10 mais k vezes h tá bom posso falar que analogamente isso aqui pode ser inscrito de outro jeito isso aqui ó aqui eu faço x 0 fixado

o y variar então eu vou definir uma outra função vou chamar de l de y que é o f the x 0 y e aí essa função é ter inflável a derivada dela é a derivada parcial da efe em relação à y e aí eu vou poder usar de novo teorema do valor médio porque os pontos que eu estou pegando estão sempre dentro da bolinha onde as derivadas existem tá é então essa função ele aqui é eu posso de autoria do valor médio para ela também e aí eu consigo escrever esta diferença como a derivada

na ele que é do fdny calculado em algum ponto intermediário então isso aqui é del efe é o y calculado num 0 y barra vezes o acréscimo que o carro está bom é isso aqui é esse aqui é só fazer o análogo ao que já foi feito bom então o que eu vou fazer agora é calcular que ele emite grande trocando esse não é essa diferença aqui por essas duas expressões nessa soma que isso aqui então portanto o limite quando hk tende a zero zero de f e x 0 mais h epsilon 10 mais cá

- fdx 0 10 - da wef dell x de x 0 e y 0h - dell é fidel y raúl é fidel y de x 0 y 10 k sobre norma do vetor hk isso aqui eu tenho que mostrar que a 0 então como é que eu vou fazer isso aqui é limite quando a kaká tende a zero zero do que agora vai ficar maior ainda não é porque eu vou trocar essa diferença por aquela expressão que eu acabei de provar isso vai ficar a dell é fidel che calculado em x barra y10 mais carro

vezes h mais dell é fidel y calculado em 1 x 0 y barro vezes k tá bom então eu troquei esse pedaço por este gesto eu vou copiar não é fidel xx 00 h - do fdny de x 0 10 k sobre a norma de hk como é que eu posso escrever raiz quadrada dh ao quadrado mais caro quadrado tudo bem que dá pra fazer agora eu vou agrupar esse pedaço que tem h e depois do outro que tem k tá então isso aqui dá limite quando h atendia 00 vai escrever assim ó dell é

fidel x de x barra y10 mais cá - da wef de al x de x 0 10 tudo isso verdes h sobre a raiz quadrada dh ao quadrado mais caro quadrado e depois a mesma coisa com o outro pedaço um outro pedaço é do fdny eu vou pôr um colchete aqui machado del é fidel y de x 0 y barra - do fdny x 0 y 0 tudo isso vezes kahn sobre a raiz quadrada dh o quadrado mais caro quadrado tudo bem por enquanto foi sua conta agora a gente tem que pensar vamos lá o

que dá pra dizer sobre esse limite e eu esqueci de fechar aqui que eu posso falar sobre esse limite qual a função é limitada h sobre raiz quadrada de ao quadrado é uma função que está entre -1 e um né lembra a gente já fez isso aqui é uma função limitada tá e ela está entre -1 e onde consegue demonstrar né e essa também né essa aqui também é uma função limitada eo resto em que acontece com o que está lá dentro dos conselhos quando a gaio cá entendem quando para ganhar cá tende a zero

zero vamos pensar assim lembra que eu tinha 1 x 0 y 0 aqui pertinho aqui tinha uma bola aqui tinha um outro ponto que é o x 0 mais h y é mais cá esse para ac x barra y10 mais k ele está por aqui em algum lugar por aqui é um x barra porque eu x barra ataque entre esses dois né esse aqui é o x barra y10 mais carro e este outro x 0 y barra ele está em algum lugar por aqui tá bom em algum lugar ali quando eu fizer o pará gacaca

atendeu 00 este ponto vocês concordam que é bom o cara vai pra y 0 e 1 x barra bom o xis baile está em 3 x 0 x 0 mais agassi eu faço h atender a 0 o x barra junto né espreme todo mundo então esse esse ponto aqui está atendendo a xl y10 e aí será que o dell é fidel x deste ponto está atendendo a do f10 o x do do xl y10 como é que eu sei isso será que esse limite é 0 volta lá para o teorema e ver quais eram as

hipóteses a derivada parcial df em relação à x é o que contínua neste ponto então limite deste da esse então isso aqui tende a zero isso aqui vai para zero porque a dell é fidel che é contínua em x 0 e 2 x 1 0 está bom tudo bem e esse aqui é a mesma coisa tá até o fdny por hipótese é contínua nesse ponto então se o dela se eu tô num outro pronto próximo isso aqui está tendendo a zero a zero porque deu é fidel y é contínuo em x 0 y 0 então

esse limite é 0 é bom é essa demonstração é é trabalhosa nem eu sei que ela é trabalhosa mas eu acho que ela ilustra uma série de idéias né ea gente usa o tema fundamental o teorema do valor médio é um tema importante né e eu acho que vale a pena conhecer um pouco mais a fundo [Música]