[Música] [Música] alunos do curso de cálculo 3 bem vindos à aula 14 segunda parte do estudo de campos conservativo essa teoria já disse várias vezes é indício e agora vão fazer se fez um estudo de campo com seus ativos vão observar como é uma teoria elegante ou resultados de uma fineza matemática com linda e com aplicações em física aplicações bastante concreta tenho certeza que vão gostar muito dessa discussão fecharmos tudo de campos com seus ativos essa tabelinha nós temos visto o fim da aula passado 3 equivalências o campo ser gradiente a integral do tipo trabalho
do campo será diferença de potencial não depende da curva só do ponto inicial e final e é a diferença de potencial exatamente a função potencial calculado no ponto final - a função potencial calculado no ponto inicial daí diferença de potencial a condição 3 era que a circulação ou seja integral de linha do tipo trabalho sobre curvas fechadas sempre nula essas três condições equivalentes se o campo satisfaziam uma e portanto as outras automaticamente opção equivalentes se satisfaz uma e portanto todas as três deles chama-se conservativa e nós também mostramos que se ele é conservativo rotacional do
campo a 0 bom fizemos já vários exercícios de cálculo de integrais de mim eu vou mostrar o exercício agora que mostra o efeito dessa aplicação aqui se ele é conservativo rotacional interno imagine que eu queira calcular trabalho de realizado por esse campo um de x men x e y sendo gama a partir da parábola palavras também já apareceu em exercícios anteriores chegou a 40 y2 então olha só x y e z indo do ponto 4 - 1 até 424 um pouquinho mais tem xistem y tem z na curva e na integral só tem x e
y sim isso significa que a componente rdz 0 a componente de um campo sempre pode ser zero a componente no p o que o sr aqui significa componente p é constante a componente que só depende de xis ea componente r italiano dance é nula por isso não aparece a coisa muito fácil ser parametrizada a gente já mostrou essa curva então esse ponto aqui têm todos eles têm filhos constante igual a quatro a curva está no plano paralelo zy constantes igual a quatro o y - um como z é y quadrado que fica menos um y
11 no z 4 x dela vem pra frente e termina nesse ponto que tem y go 2 a 4 porque o z o quadrado para a mobilização da curva x constante igual a 4 y a tz1 water quadrado o que quiser é o quadrado do y teve menos 12 a curva vem nesse sentido aqui é bom diante dessa medida fazer integral de linha tipo trabalho esse campo o que ocorre são duas possibilidades ou parametrizar a curva e aplica a definição de campo de integral de linha do tipo campo vetorial eu tento usar a teoria de
campos conservativo se for aplicável facilita a minha vida pergunta conservativo o teste conservativo rock tem que ser nulo então eu calculo rock do campo roque do campo fator determinante jk del bel x delta é o y del deuses significando isso como operador de elevação que vai ser aplicado nas funções que estão aqui em baixo fazendo a derivada parcial em relação à variável que está indicada de multiplicar como no determinante numérico eu entendo como operador diferencial ele atua derivando em cima da função que vem do campo a direção e componente pêra um na direção j a
componente que era - x na direção cá não aparecia não dizer que a componente r a 0 e essa é a definição de rotacional o espaço na componente chu e até derivada y de zero é derivada do menu x dizer que dá zero na componente j lembra que troca o sinal mais a 0 também porque é derivado enchida constante 0 e derivados e da constante ou 0 e na componente cá nós temos derivado em x de menu x que é menos um na diagonal principal ea quiseram então - um carro observe que o rotacional do
campo é o vetor - cá portanto o retorno é diferente de zero do rock não é zero se o rock não é zero não vale aquela condição de baixo então automaticamente eu concluo que o campo não é conservativo campo conservativo hot 0 se hot não 0 diferente de zero é porque automaticamente não valeu as condições em cima então ele não é conservativa claro que é uma pergunta natural você me fazer se bon scott desce 0 podia saber que ele era conservativo então como hot diferente de zero o campo não é conservativo se tivesse dado 10
se poderia perguntar cedeu 0 ele é conservativo a resposta nós vamos ver daqui a pouco é que não nós temos campos que tem rock zero e que não são conservativo ela já famoso campo detecta do qual vou falar bastante ainda na aula de hoje mas nós acabamos de ver que o rock não é zero então não é conservativo então só resta fazer pela definição 12 x 1 x 4 de x 0 - x na curva é 44 de y é como y era ter o de y é um o z o componente é reserva e
o dz é 2t e isso tudo integrado em ter essa brincadeira dá menos quatro de t d - um a dois isso dá menos 12 então a pergunta que fica muito natural nesse momento eu queria fazer uma integral de linha do tipo trabalho não saber se o campo é conservativo calculei o hotmail diferente de zero automaticamente descobri que o campo não era conservativo e portanto não dava para usar a teoria de campos com derivativos teve que usar definição pergunta é se o rock da zero campo conservativo ea resposta em geral é não sob certas condições
assim e isso é muito refinado é muito delicado muito bonito que é o que vai nos ocupar a partir de agora o exemplo importantíssimo o campo detecta que já trabalhou com esse campo não entender porque detecta agora de derivado atleta de ângulo - y sobre esses dois meses são dois na direção e x sobre estes dois na seção 2 na direção de j só pra não ficar em uma confusão na aula passado trabalhei com o campo x sobre esses dois nomes são dois pilotos sobre estes dois na execução dois nós vemos que ele era conservativo
com função potencial meio do ln desses dois meses on 2 em seguida trocar aquele lá era x e y sac - inches esse campo não é um exemplo matemático maluco tirado do nada ele é muito ligado a fenômenos reais da física - de constantes na estrutura dele é a estrutura do do campo eletromagnético gerado por uma corrente constante um fio ideal e cumpridos e pensar um fio ideal e uma corrente constante passando ela gera um campo no espaço autor expressão desse campo a menos das constantes físicas é tem essa estrutura do evento importante vamos calcular
integral do tipo trabalho desse campo sobre a circunferência de raio r no plano xy percorrido no sentido anti horário na verdade é uma conta que a gente até já fez - y x 2 e 12 de xxx 2002 de y quando o x é r cosseno y&r cena e o galinha - rc no r consegue substituição aqui tem dois erres que cancelam o sr 2 ou menos como buscar mais que também rr cancela com r 2 que tem uns e no quadrado que tem um conselho quadrado substituição x y r e se integrando da constante
igual integral de um de 02 pi do espírito do campo detecta e 2 p já respondi que o campo não é conservativo porque ele não satisfaz o rock do campo rápido campo é o rock de um campo plano é o que deu x - é o pby que fazer é o que deu x 2 a ação é feita pela regra do quociente é a derivada de cima que é um baixo - x derivada do de baixo em si 2x de baixo em fins de baixo ao quadrado a regra observe que fica x 2 e menos
2 x 2 por isso menos dois que ficam mais opção 2 x 2 opção 2 ao quadrado é derivada do que um fim é a segunda componente que tem x derivado da primeira componente y primeiro componente que ela quer - y sobre x 2 madson 2 totalmente analógico regra do consciente ea derivação y do livro derivada do dsi - um preso debaixo da ihm - na regra do consciente o de cima que é menos y derivado de baixo em y dois eps observa que ficam menos x 2 aqui ficam menos y2 mas aqui fica mais
dois y2 então dá x 2 nas opções exatamente igual ao hotel que deu x a mesma expressão que eu acabei de obter poder o que deu x obtido por dell perdeu e como eles são iguais na hora de calcular rotacional rotacional do mundo olha aqui interessante que tá ficando como a circulação é 2pi o canto não satisfaz a condição 3 como as três condições eram equivalentes ele não satisfaz nenhuma das três mas tem o rock nulo então ele não é conservativo e tem rótulo no entanto lembra que a nossa tabelinha equivalência gradiente diferença de potencial
circuit ação lula e aplicava hot este exemplo tem hot nulo mas a circulação dele de 12 pe então não satisfaz de cima portanto implica volta vote nulo publicar dois pi 123 conservativo é falso bonito mas é mais útil do que é muito sutil esse campo então não é gradiente também não tem potencial mas ele tem potencial num sentido parcial com uma imcompatibilidade de domínio é muito interessante o que acontece aqui muito surpreendente olha para a seguinte funk soul e tem uma função também inesperada para isso é muito bonito inesperado a função xxy arc tangente y
sobre x por isso que ele chama de teta por quê aqui tem gente o ângulo né é e pensando em coordenadas polares lembra ângulo teta distância r o y rc no xr com selo à tangente do teto é o y sobre x eo teto natural chamado de teta o actor gente dell arte é o ângulo cuja tangente y sobre x ao calcular o gradiente dessa função nós vamos encontrar onde aquele campo que a gente acabou de ver que não é gradiente eu tenho um problema muito curioso ocorrendo é só agora uma derivação é uma coisa
técnica vão fazer derivada parcial dessa função fi derivada parcial em relação à x da função arc tangente não é uma função que a gente se lembra muito não aparece o tempo inteiro aqui a gente então provavelmente não tem de cabeça a derivada de arte tangente derivada de arte tangente 1 sobre um mais valor da variável quadrado a gente é um sobre um mais x 2 a 1 sobre o no caso de 11 sobre o sol quadrado ea derivada disso em relação à china por causa da regra da cadeia a derivada de um sobre x em
relação à x é - um sobre - y sobre x 2 na y sobre x é menos y x 2 - 1 então essa ação do agente um sobre um mais variável ao quadrado e derivada da variável fazendo a simplificação x 2 x 2 uma fração ac x 2 mas com dois esses dois cancela que esse x 2 e ficar menos y x 2 mais opções então a derivado em x exatamente a primeira componente do campo e é uma conta na longa à deriva do artista gente y que dá x sobre os dois assim que
fazer agora isto parece uma contradição eu acabei de mostrar que o campo detecta não é grande em ti por 111 é conservativa não pode a gradiente e acabei de mostrar uma fico já derivada da gradiente da o próprio campo tenha prendido uma aparente contradição aí mas olha o que acontece o domínio do campo é o r2 - a origem quando você pega esse campo x sobre os dois a 20 12 - y sobre os dois opção 2 o domínio é todo o plano - a origem agora a função arc tangente y sobre x ela não
está definida em todos os pontos em que x 0 a 0 o eixo y então o domínio da candidata a potencial não é o mesmo é o domínio mais restrito mas se eu pegar o cene plano x maior do que zero x maior do que zero aí o campo detecta e aquela função arquiteta gente então ambas definidas e aí ele tem um potencial que o campo detecta ele é parcialmente uma função potencial inter das uhs do domínio isso significa que se você pegar uma curva que está contida nesses m plano ele se comporta como um
campo grande em ti e integral da zero hora que coisa bonita sobre a circunferência de centro na origem de raio r qualquer nós já calculamos a integral do de teto de 12 pe então sobre essa circunferência de vermelha e turismo qualquer raio integral do espírito acabei de fazer essa conta sobre essa circunferência que é de centro 331 ela não toca o eixo y observa que a circunferência vermelha toca o eixo y peça daqui não toca o efeito se olhar só o x positivo o campo está definido ea potencial aqui presente está definida então nesta sub-região
esse campo tem potencial como tem potencial é conservativo nesse pedaço do domínio ea integral sobre essa curva zero porque aí ele é parcialmente conservativo ele não é conservativo no sentido de que qualquer circuito ação é nula mas circuit ações que não cortem o eixo y ele tem circulação longo é muito legal bom como ele é a derivada do ângulo agora fazer uma interpretação ele não é grande ele é gradiente em termos parciais do arquiteto gente aqui a gente é o ângulo teta não é derivada do teca derivada integral da derivada é a avaliação da postura
da função é uma variação do ano porque ele chama de teto e olha que coisa linda que é integral de 80 porque aqui dá 02 pe imagine que você está na origem e você olha uma partícula se movendo nessa curva e nessa curva e da origem você mede o ângulo que a partícula faixa se você está na origem ea curva que envolve começa a ser melhor quando você acompanha o ponto andando na curva você faz esse movimento é voltar e você faz um movimento de 2 tempo integral na origem e você olha para aquela curva
azul e a partícula percorre a curva azul aí quando você está na origem a curva está longe você imagina que sai de um ponto você sobe 0 é diferente você fazer isso em 10 do que você fazer isso que a variação de angra 2 p e é isso que é integral do detecta médio olha que coisa bonita rica do ângulo na verdade eu em uma coisa meio não precisa passar pelo 00 e aqui não tem o campo não está definido imagine dois pontos muito próximos de 100 positivo e fazer mas ele está na origem então
você olha essa circunferência queria tangente aqui aí você faz esse movimento e volta você faz pi ea integral do detecta sobre essa curva ep é lindo de morrer é essa leitura geométrica na avaliação do ângulo só para terminar se você trocar x ou y ao invés de y sobre che sobre colocar - também é uma função potencial só que ela está definida agora o plano - o y igual a zero portanto não está definido e chukchis então dá pra fazer é outras leituras que será o campo de testa tem funções potenciais em pedaços então essa
última que é o x y e ela não está definida no eixo x nessa curva que antes não podia calcular porque estava o potencial estava desejando y agora peguei uma outra potencial que não está definido aqui então aqui ela funciona como se fosse um potencial do campo de teste integral da 0 essa integral da fee que a variação do ângulo e aqui a variação do ângulo vai volta a 0 aqui avaliação da epe e claro em lassa origem avaliação e 2 p esses resultados são uma elegância enorme e com isso nós fechamos o estudo dos
campos conservativo [Música] [Música]
