Mecânica dos Fluidos – Aula 11 – Equação de Bernoulli

[Música] Olá caras alunas meus caros alunos do curso de licenciatura em física da Univesp estamos iniciando hoje a semana 6 aula 11 na qual vamos discorrer sobre a equação de bernu em primeiro lugar quero dizer que nós vamos gravar algumas aulas de exercícios envolvendo os conteúdos da semana 1 até a semana 6 né a equação de bernu que vamos estudar hoje pode ser pensada eh como sendo uma equação eh dinâmica e em geral aqui muitas vezes ela é incluía nesse tema não é de introdução à Mecânica dos fluidos é uma equação importante na medida em

que ela é o equivalente nãoé Não exatamente igual mas equivalente ao princípio da conservação da energia no caso da energia de uma partícula né ou do ponto material de fato se a gente admitir que a energia mecânica se conserva a gente pode mostrar que a derivada com respeito ao tempo da energia igual a zer me leva a equação de movimento e ao contrário também é válido se eu fizer uso da equação de movimento eu posso chegar à conservação da energia então existem essas duas formas né da gente deduzir como veremos depois né a equação de

bernúncia ou então fazendo uso de uma dedução bastante simples né envolvendo considerações sobre trabalho e energia potencial e assim por diante vamos deduzir esta equação né Muito bem o fato é que nós vamos começar lembrando um resultado importantíssimo da mecânica newtoniana quando um corpo está sob a ação de forças né E quando eu considero um caminho ligando digamos 1 pon1 até 1 pon2 né E quando eu calcular o trabalho realizado pela força para ir do ponto um como está aqui até o ponto dois como está aqui pode se mostrar que o trabalho realizado pela soma

das forças a força resultante agindo sobre o corpo o trabalho realizado pelas forças agindo sobre o corpo é igual à variação da energia cinética energia cinética calculada nesse ponto que está aqui menos a energia cinética calculada nesse ponto aqui então esse é um resultado já importante para uma partícula dotada da de massa M isso é um resultado da mecânica newtoniana a mecânica do ponto vamos agora calcular né o trabalho quando eu levo em conta as forças associadas à pressão que age sobre uma parte do fluido e depois eu calculo né a o trabalho realizado pela

força agindo sobre a outra parte do fluido né a ideia aqui vamos voltar só um pouco né Eh a seguinte eh a gente vai considerar aqui não é um elemento Zinho de volume eu quero chamar atenção para isso porque na dedução que vocês vão fazer essa é a dedução que vocês devem fazer pro Ensino Médio Mas aqui temos um probleminha é que a Rigor né Essa dedução aqui é boa essa dedução é válida desde que você considera um elemento Zinho de massa e de volume do corpo de outra maneira numa das passagens nós vamos ter

problemas né e eu vou explicar isso depois não agora então eu considero um elemento Zinho né Eh de volume aqui né do fluido né E esse elemento Zinho de volume tem uma massa del M que é dada pela densidade vezes o volume né e agora eu considero um elemento aqui do fluido com a mesma massa essa é a ideia agora sobre esse elemento aqui eu estou considerando esses dois né sobre esse elemento como indica Aqui nós temos a pressão né exercida sobre essa área aqui né E essa pressão é devido a essa parte do fluido

à esquerda E temos uma parte do fluido agora à direita e essa parte do fluído à direita exerce uma pressão mas essa pressão É nesse a força resultante vai ser nesse sentido né de forma que ele está né sob ação né Essa massa e depois aquela massa equivalente do outro lado né são partes do fluido né Nós temos aqui agora uma pressão que estamos chamando de p1 né e uma pressão que estamos chamando aqui de P2 né a área aqui é S2 né a área aqui é S2 e a área aqui é S1 ou A1

Talvez seja melhor A1 aqui e a2 aqui não é o fato é o seguinte agora a força F1 essa força exercida pelo fluido a esquerda ela é igual a P1 A1 o trabalho associado ao deslocamento né que nós estamos chamando Delta X1 esse deslocamento aqui né del X1 ou indicado aqui S1 né o fato é que o trabalho devido a essa força né é igual a P1 A1 x del X1 força vezes o deslocamento que é igual a P1 x del V né del V é o elemento de volume mencionado anteriormente né aqui eu tenho

o mesmo elemento de volume del V então o trabalho realizado por essa força F2 é igual a pressão 2 vezes a área A2 vezes o deslocamento del X2 aqui não é muito bem então o trabalho realizado pela soma dessas forças né é igual a P1 P2 x del V Finalmente né Nós vamos calcular o trabalho realizado pela força peso agora que está o pulo do gato e é importante chamar atenção Para isso porque na realidade a gente acaba deduzindo essa equação depois né mas considerando uma linha de corrente então para pontos ao longo da linha

de corrente equivale o que eu vou dizer agora mas de qualquer maneira se eu estou considerando um elemento Zinho de volume muito pequeno e essa massa Delta M uma massa infinitesimal né então não faz muita diferença né considerar um ponto Qualquer sobre esse elemento de volume ou considerar um ponto que caracteriza o elemento de volume se for um elemento infinitesimal então é é é essa distinção aqui porque agora eu estou usando y1 como a coordenada associada a um ponto aqui né esse aqui é y1 né E a outra coordenada aqui é Y2 é Y2 são

essas coordenadas que eu estou utilizando ou se quiserem H1 e H2 né porque se for no o eixo for neste sentido Então posso indicar y1 iG H1 o fato é que o trabalho realizado né pela força peso e agora eu estou considerando então o trabalho realizado pela força peso que é igual a m x g x y né mas aqui eu estou considerando na realidade o trabalho eh eh realizado pela força peso a diferença né a diferença de trabalhos né associadas a força peso portanto é igual a m x g y1 - m x g

x Y2 e eu estou considerando ao invés de m del m e DM melhor ainda porque aí me resolve completamente o problema de e está falando em relação a que ponto né se eu considerar um elemento muito grande é muito difícil especificar exatamente qual é esse ponto de coordenada y1 sobre o corpo né Muito bem então levando em conta tudo o que foi dito até agora né Considerando o trabalho realizado pelas várias forças né Nós encontramos que esse trabalho realizado pelas várias forças é igual à diferença de energia cinética né tem o Del M aqui

não é então eu posso perfeitamente dividir né eu posso perfeitamente dividir por o lado esquerdo aqui por del V esse lado também del M sobre del V igual a ro especialmente Como disse antes no [Música] limite no qual eu considero um elemento infinitesimal então acaba ficando DM DV mas pro aluno do ensino médio não vai ser difícil talvez entender isso Dea maneira del M sobre del V dividindo aqui por Delta V igual a r chegamos portanto a essa equação agora escrita em termos da densidade diferenças de pressão diferenças de altura e diferenças de velocidade ou

seja eu usei na realidade a A Conservação da energia né na realidade eu calculo lei o trabalho realizado pelas forças a diferença né de trabalho realizado pelas forças né e igualei isso a variação da energia cinética chegamos à equação de bernu agora né como é que eu faço eu passo tudo que tem índice dois pro outro lado e que tem índice um eu mantenho desse lado portanto para dois pontos quaisquer vale o seguinte P1 + r gy1 + r x v1 qu so 2 ig a P2 + r x g y aqui aqui no caso

é Y2 portanto né r gy2 + r V2 qu ou seja como eu não estou aqui considerando dois pontos né especiais mais dois pontos quaisquer então então eu concluo que p + r x g y + r x v qu so 2 é uma constante ao longo do movimento mas isso aqui é sempre válido quando eu considero uma linha de corrente em geral nos exercícios a gente indica as linhas de corrente para você calcular essas grandezas num ponto e no outro ponto né É como está aqui nessa figura né ou seja P1 aqui é R

né Eh é só para indicar que aqui eu tenho r r g então P1 so RG + v1 qu so 2G + H1 né veja aqui eu tenho todos os elementos né a pressão nesse ponto a pressão no outro ponto a velocidade aqui a velocidade aqui então eu tenho uma igualdade calculado nesses pontos né nesses pontos é é claro que aqui a gente não indica mas na realidade isso aqui vale ao longo de uma linha de corrente Então essa é equação de bernu que temos que fazer agora é as várias aplicações da equação A primeira

é mais simples possível né considere considere né um fluido né em repouso Ora se ele está em repouso simplesmente apago isso e agora a gente vai deduzir a lei de Steven então é um uma aplicação eu diria até bastante simples né Na realidade né a gente deduzir a lei de Steven a partir da equação de bernu essa é uma primeira aplicação não é temos agora uma segunda aplicação né que é o fenômeno de Venturi né o que acontece é que você pode fazer né um fluído passar por um tubo né né que se Estreita né

ora aqui a área é A1 aqui a área é A2 né veja que agora a gente aqui desenha as linas de corrente né então consider por exemplo essa linha de corrente que é a mais simples possível mas vale para qualquer linha de corrente né porque agora a gente especifica a altura né daquela linha de corrente muito bem mas o fato é que utilizando né a equação de bernu a gente nós somos levados esse fenômeno eh conhecido como fenômeno de Venture aqui por exemplo para esse para essa linha de corrente não há variação na altura então

que que eu tenho essa equação aqui R1 ou melhor P1 mais R v1 qu so 2 = P2 + r x v qu sobre do então se eu conhecer a velocidade aqui eu posso utilizar né a a a vazão ser constante né então se eu conheço a velocidade v1 aqui né se a vazão é constante Eu determino a velocidade V2 aqui né agora veja a velocidade V2 aqui como é mais estreito a velocidade V2 é maior do que a velocidade v1 e por essa equação a gente obtém o resultado de que a pressão aqui né

se a velocidade aqui é maior a pressão h de ser menor nãoé Esse é o fenômeno de ventur né então é claro que eu posso escrever isto aqui em função da área utilizando o conceito de vazão né mas fazer previsões né sobre a pressão nesse ponto aqui né conhecida a pressão aqui né e a velocidade aqui né Então esse é um E e essa eh esse fenômeno é facilmente observado né porque aqui eu tenho nós fazemos uma experiência né na qual temos um fluido que passa por aqui né E nessa experiência que vocês vão assistir

agora vocês vão perceber a diferença de pressão que ocorre por conta da diferença de velocidade velocidade do fluído aqui e velocidade do fluído aqui e a a essa diferença pode ser prevista pela lei de bernu Então vamos assistir esse vídeo Ok vamos começar aqui com esse tubo chamado tubo de Venture Então eu tenho o aquário com água uma bomba Então essa bomba vai jogar a água por aqui vai passar por esse tubo E vai retornar aqui pro aquário agora o clá é que a gente já sabe que a velocidade aqui é bem menor né sim

vezes maior naade né ali a velocidade é bem maior n bem maior por causa do estang exatamente e aqui eu tenho dois tubos abertos um no ponto estreito e o outro no ponto mais largo isso aqui é pra gente poder eh medir a pressão da água nesses dois pontos então vamos ligar aqui a bomba Então a gente vai fazer o líquido circular logicamente vamos ter que tirar todas as bolhas né de ar que que eventualmente estão no tubo então praticamente todas as bolhas aqui tem uma bolhinha aqui pronto praticamente entrou em regime né não temos

bolha nenhuma então a água passa por aqui passa pelo estrangulamento e volta aqui aqui pro pro aquário né então dá para observar claramente né que essa coluna de água é maior do que essa coluna de água aqui Aham isso quer dizer que a pressão do líquido nesse ponto ele é menor do que a pressão do líquido no ponto mais largo da do viro né então é uma maneira de verificar a equação de bern explícitamente examente você pode medir né no caso qual é a pressão que a velocidade é maior então a pressão É menor né

essa ideia né Exatamente é e se você quiser medir a vazão né basta pegar um um outro recipiente por exemplo né e medir em quanto tempo ele enche o copo por exemplo né eu tenho posso medir a vazão até Ah tá maneira fácil de medir né vazão exatamente e aqui a diferença de pressão então isso aqui é chamado tubo de Venture né que é usado inclusive dado a diferença de pressão você pode medir a velocidade e determinar a vazão ah medida diferença de pressão é mais fácil né exatamente então é possível mas a velocidade é

difícil não precisaria colocar Aí fica meio complicado muito muito bom muito interessante e aqui algumas experiências de demonstração né envolvendo a velocidade do fluido em torno de uma bolinha por exemplo aham então por exemplo se eu pegar uma bolinha de ping-pong e colocar embaixo do do fluxo de água você veja que a bolinha fica presa nesse fluxo né é que a água ela passa em volta da bolinha e tem uma certa velocidade uma velocidade maior né do que a água que está do lado de fora que está parada né praticamente e ela pode passar com

velocidades diferentes numa numa Face e na outra não é isso É nesse caso a velocidade é praticamente igual em todas as Faces então ele fica presa né quer dizer a pressão mais baixa aonde o fluido tem maior aham aham e aqui uma outra bolinha de isopor Ela tá presa numa numa linha né Então tá aqui então eu posso prender a bolinha uhum a bolinha de isopor aqui ela fica presa e a bolinha de de pingpong também Então essa é uma demonstração simples né da do efeito da velocidade do fluído e a pressão uhum uma outra

aplicação importantíssima né é essa sobre a asa de um avião como resultado das Diferenças de pressão na parte de baixo e na parte de cima que surge por conta das Diferenças de velocidades na parte de baixo e na parte de cima da asa de um avião Então o que acontece mas a mesma coisa acontece nos aerofólios né dos carros de corrida só que ao contrário né É para manter o carro preso no chão o máximo possível né mas surge uma força né que é a força de sustentação né Essa é uma outra aplicação porque a

gente consegue princípio determinar essa força de sustentação agora pra gente entender direito isso né Nós temos aqui uma experiência na qual nós temos uma asa de um avião né claro é semelhante é um recorte na realidade né da asa de um avião né E Agora Nós temos o avião em repouso mas o ar né que se desloca em relação à asa do avião que é um equivalente ao movimento do avião quando imaginamos o ar Como estando estático né Mas é a mesma situação Então vamos ver essa experiência aqui pra gente entender a força de sustentação

bom aqui então um ventilador para poder fazer o fluido passar aqui na no perfil de a avião né seria equivalente ao avião estar voando nessa direção né quer dizer na verdade a asa tá parada tem um vento né um túnel de vento e aqui dá para ver o perfil né que a a o ar quando passa ele vai encontrar aqui um caminho maior para passar do que na parte de baixo a parte de baixo ele praticamente passa reto enquanto que aqui ele encontra um caminho maior é como se houvesse um estreitamento naquele tubo de ventu

então nessa região o ar vai ter que passar mais rapidamente por causa do estreitamento que ocorre aqui então vamos ver o que acontece né quando eu ligo o ventilador então o vento já tá soprando E aí temos a sustentação né da da asa de avião é uma força para cima né claro por conta do do desenho lógico existe uma parte do ar né que bate aqui e tá fazendo força para cima também né no aerofólio você inverte na verdade inverte exatamente aham então dá para observar aqui que se eu evito com que o ar que

o ar passe por cima ele vai perdendo a sustentação Aham Porque aí claro né agora Tô evitando que o ar passe com alta velocidade aqui então se eu coloco essa placa a gente observa que ele perde sustentação porque agora a velocidade do ar aqui né não é tão grande aham então a gente pode até simular situações de turbulência né turbulência que o avião Experimenta né Aham que é como se houvesse buracos né no asfalto né no t do ar Aham ele pode subir e descer conforme a turbulência tem então bem bem eh visível a força

para cima por causa da diferença de pressão entre a parte de baixo e a parte de cima e no caso do carro de Fórmula Um né que é o aerofólio ele o perfil é exatamente esse só que invertido invertido né Exatamente porque eu quero que haja muito atrito então a força agora de cima para baixo né não de baixo para exatamente você inverteu inverter né então para visualizar esse Down Force que é força para baixo né a gente pode usar uma folha de papel sulfite um pedaço de folha de papel sulfite a gente faz esse

esse formato aqui né E você pode assoprar com canudinho na parte de cima por exemplo aí você vê que ela ela curva né Uhum tô empurrando o ar para baixo Uhum mas eu posso fazer isso daqui ir para baixo assoprando a parte de baixo também aham Ah isso é mais interessante porque senão fica pensando que ele baixou por conta do vento né porque esse que é o ponto aqui não aqui fica mais claro CL Olha só veja que eu tô assoprando a parte de baixo né F olha só que experiência simples Olha uma folha de

papel e um canudinho Tá certo n Esse é o DF n forç baixo isso para explicar como funciona o aerofólio na verdade aqui nesse caso né mas se inverte o argumento Na verdade tem a força de sustentação exatamente e essa força tem o nome então de força de sustentação muito bem vamos continuar essas aplicações aqui né uma das aplicações né é o tubo de né Ele é muito útil e é utilizado nos aviões inclusive né para se determinar a velocidade dos Aviões né então pra gente entender o tubo de pitô Vamos assistir essa pequena experiência

aqui para esta demonstração usaremos uma garrafa PET cortada um secador de cabelo e uma montagem de um aparato feito de vidro similar ao tubo de pitô podemos ver que nossa montagem é feita com pequeno tubinho de vidro curvado dentro de um tubo maior Este tubin curvado é ligado a um manômetro ou medidor de pressão o out lado do manômetro é ligado a tubo maior a garrafa PET cortada servirá como um colimador para direcionar o vento para dentro do tubo de vidro assim quando ligamos o secador o vento é canalizado para dentro do tubo atingindo de

frente o tubinho de vidro curvado na situação de Equilíbrio O Vento empurra o ar para dentro do tubinho causando a diferença nos níveis das colunas de água do manômetro neste momento a velocidade do ar dentro do tubinho é nula E com isso pode-se determinar a velocidade do vento por meio da diferença de pressão entre os dois lados do manômetro quanto maior a velocidade do vento maior a diferença de pressão o tubo de pitô foi criado pelo engenheiro francês hry pitot e é largamente utilizado para determinar velocidades de escoamento de fluidos por exemplo para se determinar

a velocidade de aviões o fato é que são muitas as aplicações e a gente deve então basicamente se concentrar nisso né aqui eu tenho uma expressão né paraa velocidade né como eu posso determinar a velocidade a partir da densidade do líquido do líquido da aceleração da gravidade G vezes a altura que é essa diferença de alturas aqui e a densidade digamos do ar né do fluido né essa expressão né que é importante porque a gente pode determinar experimentalmente a velocidade a partir desses dados utilizando então a equação de bernô o fato é que existe uma

maneira muito sofisticada de deduzir essas expressões e eu quero indicar o livro do professor Mauro catani onde a gente faz as passagens lá ele faz as passagens lá né então A ideia é considerar uma densidade de energia e analisar A Conservação da energia e a energia agora né é uma energia eh potencial né então aqui na verdade eu tenho energia potencial né Por unidade de volume né e eh também levando em conta aliás aqui é o potencial na verdade né Eh dividido eh pela densidade né então por unidade eh de volume né então o o

fato é o seguinte se eu multiplicar esse termo por esses três aqui eu vou obter a energia cinética a energia potencial e aqui eu levo em conta até mesmo uma energia interna né energia interna então é a forma mais complexa Eu já falei sobre Conservação da energia né então a gente parte dessa eh equação né paraa Conservação da energia tem um monte de passagens eu acho que de fato não vale muito a pena né a gente ir entrar nesses detalhes porque é um caminho muito longo né mas o que a gente acaba demonstrando a Rigor

né É isto não é isto essa equação que é equação mais geral é claro que se dep DF DT iG 0 então eu deduzo a equação de bernu Essa é a forma mais sofisticada nós não vamos fazer isto estamos indicando apenas a referência porque agora eu me livro daquele tipo de cuidado que eu preciso ter né aqui uma coisa bastante geral Eu apenas considero um elemento de massa qualquer do fluido né mas não precisa especificar um ponto sobre o fluído né essa então e essa equação aqui é mais geral porque vale até mesmo quando você

tem pressão variando com o tempo não é e a a energia potencial né variando com o tempo então essa equação mais geral eu só estou recomendando os estudantes que se quiserem aprender isso num nível um pouco mais elevado por favor com consulte Então o que nós estamos indicando para vocês como bibliografia [Música] [Música] p [Música] [Música]