GRINGS - Introdução às funções de uma variável - Aula 1

bom vamos tratar então de falar sobre funções O que que é uma função nós podemos dizer que função é uma relação entre dois conjuntos para exemplificar aqui pessoal em forma de diagrama eu coloquei um conjunto A e um conjunto B e pode existir uma relação de forma que de alguma forma o um se relaciona com o dois pronto tá criada a minha função Note que cada elemento de a de conjunto de partida está vinculado a um e somente um elemento do conjunto de chegada esse aqui tá E aí eu posso dizer que o domínio desta

função são os elementos que der a flechada é o 1 e o TR Então vamos botar aqui domínio é 1 e 3 a imagem são os que receberam a flechada a imagem é o do E o se o TR não é então imagem deste é dois a imagem do TR é o se então colocando que a imagem aqui é 2 E6 o contr contradomínio uma coisa também falada é os que ganhar é todo conjunto de chegada os que ganharam flechada e os que não ganharam também então o contradomínio são todos os elementos do conjunto de

chegada Então seria o do o se e o TR bom nós já identificamos quem é o domínio é os que dão a flechada a imagem é os que recebe a flechada e o contradomínio é os que recebe a flechada e também os que não recebe não tem problema que sobre aqui para ser função Então nós vamos ver mais tarde né algumas condições para que se enquadre dentro de função Isso é uma relação é uma relação entre dois conjuntos e para se enquadrar a categoria de função tem que ter algumas condições que nós vamos comentar daqui

a pouco só vou colocar que eu estou notando aqui pela relação que eu fiz eu até posso fazer uma lei escrever agora se a costume com a linguagem ó função função de a em B eu poderia ler isso aqui como função f que sai de a em b então a gente lê função f de a em b e eu poderia botar definida por por agora eu vou botar uma característica eu tô notando que o 1 foi multiplicado por 2 o TR também foi multiplicado por do então eu poderia colocar definida por y que a gente

geralmente associa o y ao conjunto de chegada 2 vezes o elemento de partida que é o x Então tá aí o Y para nós é variável que dependente porque depende do que eu chutar pro x e o X é variável independente Então se atribui um valor aqui Y = 2 ve quando é 1 quando é 1 2 x 1 2 fechou e quando eu atribuí o valor 3 2 x 3 2 x 3 y = 6 Fechou então 3 = 6 não tem problema que sobre aqui não pode sobrar aqui depois a gente vai ver

isso então tá a função f de a em B é definida por y = 2x tá aí então isso aqui vocês vão ver em muitos livros essa nomenclatura aqui então vão se acostumando a função f de a em B onde o a é o conjunto de partida e B é o conjunto de chegada para que uma relação seje considerada uma função é necessário que cada Elo do conjunto de partida deve estar associado a um e somente um elemento do conjunto de chegada Então vamos ver como se aplica isso na prática como se observa isso na

prática Então vamos observar nesse exemplo aqui se esse tipo de relação conjunto de partida e conjunto de chegada se isso pode ser considerado uma função cada elemento do conjunto de partida deve estar associado a um e somente um este por exemplo elemento aqui não tá associado a um tá associado a dois portanto isso não é uma função já violou uma das regras que vocês T que decorar bem porque essa regra vai ser muito importante para saber se é uma função ou se não é este um tá ligado a dois ó esse aqui tudo bem tá

ligado a um e somente um mas esse aqui já estragou tudo como é que eu coloco isso num gráfico que é muito importante um eu vou debruçar aqui no eixo do X1 o um tá ligado a três está aqui ó é esse pontinho aqui e também o um tá ligado ao quatro esse outro pontinho aqui ó um elemento do X não pode ter duas imagens o dois tá ligado A C E é só pessoal lembre que o tá aí a representação gráfica então não queiram fazer risco aqui e emendar os pontos porque aqui os elementos

são um e dois apenas são pontos então não é a função Vamos ver outro exemplo bom voltando então cada elemento do conjunto de partida deve ter um e somente um elemento no conjunto de chegada né como imagem este um tem um e somente um tem só um elemento esse número dois também tem um elemento mas o número 5 não tem um elemento não tem nenhum então isso também não é uma função porque teria que ter um e somente um uma imagem não tem nenhuma imagem também não é função Então são os dois casos onde não

é função Então vamos botar no gráfico um tá ligado a dois um tá ligado a do aqui e dois tá ligado a quatro o dois tá ligado a quatro aqui esses dois pontinhos eu representei aqui em diagrama e aqui de forma gráfica vão se acostumando então a passar pra forma gráfica que é o que a gente vai se concentrar mais tarde então revisando né não pode sobrar elemento no conjunto de partida teria que ter uma ligação mas por outro lado também não pode ter mais que uma ligação não pode ter duas imagens são os dois

casos onde não será função será uma simples relação não uma função para ser função não pode ocorrer essas duas situações bom reparando nesse caso cada elemento do conjunto de partida deve estar associado a um e somente um ó este elemento aqui tá associado a um e somente um este dois também tá associado a um e somente um então todosos elementos do conjunto de partida estão Associados a um e somente Um do conjunto de chegada não fala nada sobre tá sobrando um aqui aqui pode sobrar a a restrição é feita com um conjunto de partida cada

elemento do conjunto de partida só tem dois está ligado a um e somente um elemento do conjunto de chegada Fechou então é função como eu represento a função aqui que a gente tem que se acostumando 1x tá ligado a 3 então aqui o x é 1 e lá é TRS pontinho e 2 e qu e 2 e qu aqui está esses dois pontos representação gráfica representação por diagrama de ven e representação gráfica É isso aí pessoal neste exemplo cada elemento do conjunto de partida deve estar ligado a um e somente um esse elemento tá ligado

a um e somente um esse elemento tá ligado a um e somente um este elemento tá ligado a um e somente um então é função porque cada elemento do conjunto de partida tá ligada a um e somente um elemento do conjunto de chegada então é a função Então vamos colocar aqui 1 tá ligada a 4 está aqui 2 também está ligado a qu tá aqui e TR também está ligado a qu tá aqui vamos aproveitar e colocar o domínio domínio desta função vai ser os elementos do conjunto de partida que seria 1 2 e 3

aqui uma chave e a imagem eu vou colocar assim a imagem seria o que tá recebendo flechada somente o quatro o contradomínio é os que estão recebendo flechada e os que não tão olha só tem um que tá recebendo flechada então casualmente o contradomínio também é quatro analisando essa situação aqui cada elemento do conjunto de partida deve estar associado a um e somente um Ola esse um tá ligado ao TR tá ligado ao qu tá ligado ao 5 não é função se eu for representar graficamente o x aqui está no 1 que tá ligado ao

TR aqui pontinho aqui tá ligado ao quatro aqui também pontinho esses pontinho aqui são bem fraquinho não existe são só linhas auxiliares aqui aqui então essas linhazinha aqui são só linhas auxiliares tá aqui representação gráfica um elemento do X não pode ter mais do que uma imagem Então também não é função neste caso aqui cada elemento de X do conjunto de partida deve estar ligado a um e somente um conjunto de chegada tá ligado a um é somente um tá ligado a um somente um tá ligado a um somente um um então cada elemento do

conjunto de partida tá ligado a um e somente um perfeito Sobrou um aqui mas não tem problema não se fala nada do do conjunto de chegada só se fala de restrições para ess primeiro conjunto se eu representar aqui um com dois um tá ligado a dois tá aqui dois tá ligado A TR tá aqui e 3 tá ligada a 4 tá aqui sobrou c não tem problema aqui pode sobrar não pode aqui tá ok então aí está a representação por diagrama e a representação gráfica o domínio aqui o domínio seria o conjunto de partidas 1

2 e 3 1 2 e 3 a imagem seria os que receberam flechada 2 3 e 4 2 3 e 4 e o contradomínio todos asos que não receberam flechada seria o do o TR o qu E também o c o contradomínio é todo conjunto então analisando essa situação aqui pessoal cada elemento do conjunto partida deve ter um e apenas um esse aqui tem dois já não é este aqui tem um perfeito este aqui não tem um então tem duas violações este elemento tem um apenas um não tem dois e este um apenas um não

não tem nenhum então tem duas coisas tá sobrando um aqui e tem um que tem duas imagens coisa que não pode acontecer então não é função verifique se a relação dada é função se for função determine a imagem o domínio e o contradomínio Então pessoal dessa relação a princípio né Nós vamos ver se ela é função e como eu tô explicando eu fazer de uma forma mais pedagógica possível V pegar aqui o o conjunto A V representar aqui e vou colocar também o conjunto B aqui eu tô vendo que o conjunto A é constituído por

1 2 e 3 e eu tô notando que o conjunto B é 1 4 9 e 7 agora né vendo tudo aqui né Eu estou vendo que o conjunto que que a lei né o y aqui esse aqui é o conjunto A e o conjunto B que o y é x elevado Quad olha se o x for 1 se o x for igual a 1 nós colocando aqui né elevado ao quadrado 1 ao quadrado o y Vai ser 1 então tem uma imagem lá esperando próximo valor que eu vou testar vai ser x = 2

então isso aqui já foi vamos lá quando o x for igual a 2 o y vai ser 2 qu Y vai ser 4 ó aí a gente vai lá 2 tá ligado a 4 continuando né Agora vamos pro terceiro valor colocando ali quando o x for igual a 3 o y será igual a 3 qu 3 qu dá 9 ó deu certinho tem um 9 lá mesmo ó bom os valores de x terminaram Mas cada elemento de X tem um e apenas um correspondente cada elemento do do do conjunto de partida tem um e apenas

um correspondente no conjunto de chegada pediu também o domínio o domínio que eu vou escrever aqui são os que deram flechada conjunto de partida é um o 2 e o TR todos estão relacionados com alguma imagem A imagem dele está aqui a imagem é o que reflete lá o um tem como reflexo um o do tem como reflexo 4 e o TR tem flexo 9 a imagem tá aí agora o contradomínio o cont contradomínio é todos até os que não foram usado aqui então o contradomínio que eu Vou abreviar assim vai ser todo o conjunto

1 4 9 7 1 4 9 e 7 tá aí então então É ISO está é a função porque cada elemento do conjunto de partida tem um e apenas um correspondente no conjunto de chegada ó então é a função e o domínio e imagem e cont domínio estão aí bom aí está uma nova relação nós queremos verificar se essa relação é uma função a função de a em B que é definida por y = 2x + 1 sabem que o y também pode ser escrito como f Dex tem horas que eu vou escrever de um

jeito ou de outro então fazendo o conjunto de partida aqui um diagrama onde nós teremos o 0 1 e o 2 0 1 e 2 e o conjunto de chegada seria 1 o 2 e o c agora nós vamos ver se isso é uma função se se enquadra dentro daqueles condições né Vamos pegar a lei que tá aqui 2x + 1 2x + 1 e vamos começar a testar inicialmente eu vou pegar o x = 0 colocar aqui x = 0 Y = 2 x 0 + 1 Y = 1 ora o x = 0

está ligado A1 até agora tá atendendo as necessidades as exigências x = 1 que seria o próximo calculando Y = 2 x 1 + 1 2 x 1 é 2 + 1 Y = 3 ola pessoal 1 tá ligado a 3 mas não tem 3 então não tem ligação prosseguindo já estou vendo uma violação aqui y x = 2 que seria o último Y = 2 x 2 + 1 2 x 2 é 4 + 1 5 y = 5 ok o 2 tá ligado a 5 o 1 tá ligado a 3 que não tem

um trê lá no contradomínio então o um tá sobrando logo não é uma função porque não podia ter sobrado um aqui então isso é apenas uma relação não está elevado à categoria de função violou uma das duas regras bom a próxima questão que eu tenho aqui função f de a em B definida por y igual a mais ou menos rax vejam que eu já até omitiu definida por Deixa Se subentendido aqui no caso só tem dois valores o 0 0 e o 4 0 e 4 e no outro nós temos 0 - 2 2 e

3 vamos ver se vai ter né se as condições vão ser atendidas a lei é y = mais ou men ra x quando o x for igual a 0 0 está aqui x = 0 o y vai ser igual a mais ou menos ra 0 Ora mais ou menos não tem zero não tem sinal Então vai dar mais ou menos 0 como zer não tem sinal y é igual a 0 porque 0 e - 0 não tem sentido zero é o centro da coisa então tá ligado a um prosseguindo agora o x vai ser o

próximo que é 4 Y vai ser mais ou menos ra4 y = mais ou men 2 ora quando for 4 vai ser + 2 e -2 o que eu estou notando é que um elemento do conjunto de partida tem duas imagens Então não é função pessoal antes de prosseguir eu vou fazer uma rápida revisão dos conjuntos numéricos que existe dos conjuntos numéricos que existe os números naturais é constituído do número 0 1 2 3 então esses são os números naturais eu vou colocar aqui um uma bolinha representando o conjunto dos números naturais daí eu vou

botar aqui ó naturais is é um n tá era para ser pelo menos conjunto dos números naturais depois dos naturais tem também os números inteiros que não são quebradinho com vírgula então os números inteiros se vocês observarem bem aqui ó vou destacar aqui ó os naturais estão contidos dentro dos números inteir então quer dizer este pedacinho aqui é esse conjunto que tá dentro deste então este inteiro contém os naturais dentro deles então colocando aqui de novo ó os naturais já estavam colocados eu vou fazer um um círculo aqui uma figurinha geométrica maior dando já a

ideia que os naturais são subconjunto dos inteiros pronto a Agora eu tenho que apresentar o próximo conjunto que são os números racionais racionais são todos os números que podem ser escritos em forma de fração então todos números que podem ser escritos em forma de fração e aí nós temos né um exemplo aqui do 2/3 é uma fração ninguém tem dúvida 1 quarto pode ser até negativo - 1/4 só que tem uns que não são tão Óbvio números decimais por exemplo 0,12 pode ser escrito como 12 sobre 100 do z0 número de casa depois da vírgula

é uma fração então todos os decimais também são né todos decimais assim são frações tem também as Dimas periódicas se fosse assim 0 v 12 12 12 repetisse esse 12 sempre ora então é só pegar e fazer 12 dividido pelo 99 Qual é o número que repete o um e o dois tantos nove quanto for os números que repete também as dízimas periódicas então números racionais São todos aqueles que podem ser escrito como forma de fração e até mesmo um número natural ou inteiro aqui por exemplo número 2 dá para escrever 2 é uma fração

Sim 2 so 1 uma fração aparente também dá para escrever 4 sobre 2 que é a mesma coisa que 2 então qualquer número inteiro ou natural também é é racional então evoluindo no nosso desenho aqui de conjuntos para colocar melhor eu vou fazer um outro conjunto aqui maiorzinho ó que é os Racionais e todos os anteriores também são Racionais então está explicado todos que podem ser escrito como forma de fração são Racionais esses dois também pode ser escrito como forma de fração aparente então também são Racionais agora é claro vou apresentar para vocês os irracionais

os irracionais os irracionais não são todos os números que não podem ser escritos em forma de fração como exemplo tem esses números aqui por exemplo pi que é um número que se vocês forem colocar num computador nunca para de aparecer dígito em combinação diferente isso aqui Eu só coloquei que eu consegui capturar na minha calculadora mas aparecendo números de uma forma não periódica da mesma forma ra2 se você for extrair vai dar um número que não termina nunca de ser extraído ra3 raízes inexatas então não podem ser escritos em forma de fração colocando no nosso

desenho aqui onde é que ficaria Ficaria um conjunto aqui ao lado né que é onde eu vou botar os irracionais aqueles que não podem ser escrito em forma de fração exemplo Vamos colocar aqui aqui seria então o 0,1 2 e assim por diante aqui ficaria -3 - 2 - 1 E aí continuaria 0 1 2 aqui fora estariam as frações 2/3 - 45 e aqui √2 PI cinco raízes inexatas são os irracionais botando aqui né isso aqui seria uma cidade tipo Porto Alegre depois o estado Rio Grande do Sul e por último o maior de

todos que é o Brasil Rio Grande do Sul tá dentro do Brasil Porto Alegre tá dentro do Rio Grande do Sul e aqui ao ladinho seria um outro país chamado tipo Alemanha totalmente diferente nada incum tá e finalmente eu quero apresentar para vocês o conjunto dos números reais agora então o conjunto do números reais seria a união de todos os números que a gente viu então qualquer número que nós apresentamos aqui ó é real então eu vou botar aqui ó em vermelho aqui destacando que os reais são todos os números então qualquer um desses números

também é real então é esse conjunto que eu esses conjuntos que eu queria discriminar para vocês então agora você já sab ó real é o maior de todos apresentando então pra gente continuar o nosso assunto de funções bom vamos determinar domínio a imagem e o contradomínio né da função f de a em Z agora Z é conjunto dos números inteiros definida por FX iG x - 1 então aqui está o conjunto A eu já posso até reproduzir aqui fazer o desenho né onde eu tenho - 2 - 1 1 e zer então é o conjunto

de partida e o conjunto de chegada é todo conjunto do Z ora conjunto do Z é muito grande até nem vai dar para escrever todos os números porque são infinitos vamos fazer o nosso cálculo então aqui FX quando o x for igual a -2 que é o que temos aqui -2 é um dos valores vai dar Y = -2 qu - 1 Y = 4 que - 2 - 1 que vai dar 3 então este 2 aqui está ligado a 3 este -1 agora que é o próximo já fizemos né -1 quando X for igual

a -1 y vai ser igual a -1 qu - 1 Y = -1 dá 1 - 1 resposta 0 então o -1 tá ligado o -1 tá ligado a z0 e continuando aqui o 1 que é o próximo quando X for igual a 1 nós teremos Y = 1 qu - 1 que também vai dar zero Ora por acaso este um tá ligado ao 0 também 0 agora x = 0 o último que nós temos que fazer né fazer aqui ó x = 0 o que que nós temos que o y vai ser 0 qu

- 1 o y vai ser -1 ora então aqui voltando quando for zero tá ligado a -1 e claro vai ter outros números aqui -2 -3 - 4 vai tá cheio aqui para baixo não termina e aqui 3 4 e continua subindo não tem fim mas o contradomínio não tem problema que sobre alguns valores o que nós temos que ver se é função se é a função vamos ver cada elemento do conjunto de partida tem que est ligado a um e somente um esse 2 - 2 tá ligado a um e somente um este men1

tá ligado a um e somente um tá ligado esse um também tá ligado a um e somente um tá ligado ao zero não tem problema que chegue dois aqui o que não pode é sair dois de um daqui ó este zero tá ligado a um e somente um e todos os elementos do conjunto de parti estão ligad a um e somente um então é a função se é a função o Vamos colocar aqui domínio será todos os que jogam flechinha todos os que jogam -2 - 1 1 e 0 - 2 - 1 1 e

0 imagem todos os que são alvejados recebe flechinha 3 0 e men1 só então seria 3 0 e Men Essa é a imagem e o contradomínio o contradomínio bom aí o contradomínio é todo o conjunto os que recebe flechada e os que não recebe é o conjunto dos inteiros então o contradomínio é o conjunto dos inteiros Então tá aí pessoal é função bom pessoal nesse caso vamos verificar quais os gráficos representam funções o que nós sabemos de função é que não pode um elemento do X domínio ter duas imagens e aqui ó se eu traçar

uma reta veral paralela ao eixo do Y nesse gráfico aqui estou vendo que este x aqui Seja lá qual for ele tem uma imagem aqui e tem outra aqui então o mesmo elemento do X tem duas imagens e assim vai ocorrer com outros aqui mas só esse aqui já invalidaria não é função então não não é função por qu porque é só uma relação porque violou a regra princip não pode ter duas imagens Você só tem que fazer retas verticais se cortar duas vezes mais que uma vez não é função aqui por exemplo neste caso

aqui pode olhar Qualquer um elemento de X vai ter apenas uma imagem ó pode olhar aqui ó eu até posso ter um outro elemento aqui que tem a mesma imagem Mas cada elemento de x apenas uma imagem pode ser até a mesma aqui mas não tem problema isso pode dois elementos compactuar então nós fizer o desenhozinho aqui o que nós temos é o X1 que seria este ligado ao y1 aqui e um outro X2 aqui ligado ao mesmo Y Y isso pode cada elemento do conjunto de partida tem um e apenas um cada elemento cada

elemento do conjunto de partida tem um e apenas um então fazendo riscos verticais Aqui só corta uma vez Então realmente é função outro exemplo aqui que nós temos ó se eu fizer riscos Aqui ó estou vendo que cada elemento x tem uma só imagem aqui por exemplo ó essa linha aberta quer dizer que este elemento aqui Seja lá qual for X1 A imagem dele passa aqui e vem para essa preta aqui furada não conta então passa pela furada e vem aqui então tá esse elemento X1 tem apenas uma imagem assim como todos os demais tem

só uma imagem se fizer risquinho vertical só corta uma vez então também é função já este elemento aqui que eu fiz de propósito duas bolinas preta aqui então teria o X1 aqui só que um elemento esse esse X1 tá inviabilizando tudo porque X1 aqui ó tem uma imagem porque tá fechado da bolinha preta e esse X1 também tem uma outra imagem aqui então tem Y 1 Y do o que que quer dizer isso no nosso diagrama quer dizer que eu tenho aqui um elemento X1 que é contemplado com duas imagens aqui então isso não pode

ocorrer tem que ter um e apenas um Se vocês fizerem riscos verticais aqui vai dar certo só aqui que vai cortar duas vezes então já não é função só por causa desse único ponto uma outra situação muito clássica é a circunferência não é uma função por porque se vocês cortarem aqui um elemento x aqui tem uma resposta de im aqui e tem uma resposta de imem aqui então não é a função e aí vocês vão cortar duas vezes em vários lugares aqui já não é função então só o esse exercício reside em determinar quem é

o domínio e quem é a imagem eu tô vendo aqui que o domínio é o ponto um porque é em cima do eixo do X o 2 e o três então colocando aqui [Música] domínio é apenas o ponto 1 o 2 e o 3 e a imagem é 2 3 e 4 porque o ponto um tá ligado a dois aquela história toda imagem é 2 3 e 4 se eu fizer representação por diagrama será muito fácil né de identificar esses diagram nós vamos parar de de escrever eles né el só serve para entender no início

depois nós vamos usar só gráfico mas vamos continuar aqui 1 o 2 e o 3 é o conjunto de partida que é o x aqui e lá no Y nós temos o 1 tá ligado ao 2 o 2 2 tá ligado ao 3 e o 3 aqui tá ligado ao 4 representação aí tá agora vamos passar para um outro exemplo onde eu tenho de novo né Se vocês observar bem aqui eu não tenho 1 2 e 3 como eu tinha lá eu tenho 1 e todos os números que estão entre o 1 e o 2

1,1 um monte de número então fica inviável representar em forma de diagrama uma vez que eu vou ter 1 1,1 1 V não sei o qu e vários números que não vai dar para representar em forma diagrama então eu represento em forma gráfica que ao fazer esse essa linha cheia É como se eu tivesse feito infinitos pontinhos colado um do lado do outro tão pequ minininho que eu nem vejo que são pontinhos para mim é uma linha cheia Então nós vamos representar assim o domínio agora ó o domínio desse dessa função vai ser começando em

um e terminando em três não será um número solto é um intervalo aqui é bolinha preta então inclui então é fechado fechado eu vou representar assim para dizer que o um entra do um até o três e tudo que tiver entre eles Esse é o domínio e aí eu já incluí tudo aqui dentro diferente daquele anterior que não tinha uma linha cheia esses aqui no meio do um ao dois não tava incluído é só o um o dois e o três três pontos aqui não infinitos pontos tem infinitos pontos aqui no meio essa linha cheia

tem tende a representar isso então então o domínio é de 1 a 3 tudo que tiver entre e a imagem é de 2 a 4 é os valores que o y assume os que são atingidos esse um atinge o 2 1 vírgula não sei o que atinge o 2 Ví não sei o que e assim vai indo então a imagem começa em dois vírgula e termina em qu fechado também em bolinha fechada então o qu também participa tá aí pessoal domínio imagem né de funções agora contínuas não é só pontos é por intervalo Então aqui

tem mais uma função determine o domínio e a imagem da função eu coloquei aqui uma função chamar de F E essa função ela tem como domínio a sua projeção sobre o eixo do X então o domínio como a gente pode ver começa no um aqui só que o um aqui se vocês observar bem ele não participa ele tá aberto então participo primeiro após o um após o um tem 1,000 alguma coisa né mas é um número ligeiramente maior que um então para simbolizar que o um tá ausente eu vou escrever assim aberto no Um vírgula

Entretanto a sua projeção vai até o do e o do tá fechado então ele se projeta então também dois fechado existe alguns autores que representam aberto não desse jeito mas aberto assim fois fechado assim é a mesma coisa bom domínio ilustrado o intervalo do domínio e a imagem é a projeção da função sobre o eixo dos y começa no dois só que o dois não participa tá aberto o dois não se projeta então a imagem será aberto em dois avançando até o qu mas o quatro tá com a bolinha fechada então ele se projeta quatro

fechado assim existe aqueles autores que escrevem o aberto assim e o fechado assim então tá aí está o domínio e imagem domínio projeção da função sobre o eixo dos X imagem projeção da função sobre o eixo dos y bom pessoal pessoal esta questão aqui é para vocês se acostumarem com as nomenclaturas ó seja f a função f de real em Real quer dizer que o conjunto de partida é os reais e o de chegada também é os reais definida por essa lei 2x - 7 calcule começando né F de -2 Ora se eu estou enxergando

aqui o X é -2 então vai dar 2 2 Vamos colocar uma cor diferente 2is vezes no lugar do X eu ponho o valor que é - 2 - 7 aí tem que resolver só 2 x 2 é 4 + vez menos dá menos - 7 então somando Isso aqui vai dar - 11 então esta é a resposta do primeiro da primeira pergunta a letra b f de 1 sobre 2 igualmente F de1 so 2 Vou colocar aqui a a lei FX = 2x - 7 no lugar do X a gente coloca que o x

aqui ó é 1/2 então fica 2 ve o x que é 1/2 - 7 2 x 2 e 1 x 1 aqui 2 x 2 é 2 2 x 1 quer dizer falei besteira 2 x 1 é 2 e 1 x 2 É 2 - 7 vai dar 1 - 7 resposta - 6 então o segundo cálculo está feito letra C calcular a f de 35 bom colocando aqui em cima né que a f x = 2x - 7 então substituindo aqui no lugar do X 3/5 2 35 - 7 executando aqui o de cima

vezes o de cima dá 65 2 x 3 é 6 e 1 x 5 é 5 - 7 aqui embaixo tem umzinho invisível então prosseguindo f de3 vai dar o mínimo múltiplo comum entre 5 e 1 é 5 5 di 5 dá 1 1 x 6 6 - 5 DI 1 dá 5 5 x 7 3 5 então a resposta vai ser 35 né a função quando X for 3/5 vai ser Men 29 sobre 5 então dá dessa função abaixo né calcule o f de -3 se nós observarmos bem aqui pessoal que nós temos aqui

é que o x assumiu o valor de -3 e portanto eu vou ter que substituir dentro do x o -3 a quadrado dentro desse x eu também vou botar o valor que é -3 - 9 x -3 + 14 prosseguindo eh -3 qu para quem não sabe é -3 x -3 menos x menos dá + 99 porque 3 x 3 é 9 então isso aqui vai dar mais Men ve Men D mais 27 E aí copia o mais 14 se eu somar tudo isto a função quando X é -3 vai dar 50 bom pessoal dada

essa função aqui o valor de X para que a f Dex seja igual a 0 que que nós recebemos nós recebemos que este valor aqui tem que assumir valor zero Então vamos colocar aqui ó 0 = [Música] 3x so 2 eu posso botar que aqui tem um né 3 x x é 3x 2 x 1 é 2 - 1 sobre 3 então eu quero saber agora qual é o valor de X que dá isso essa D resultado zero aqui neste caso aqui eu poderia colocar esse zero do lado de cá é mais habitual a variável

tá do lado esquerdo então poderia botar assim 3x so 2 - 1/3 = 0 é mais natural escrever a variável do lado de cá Do lado esquerdo então agora fazendo passa-se este 1/3 para lá fica 3x so 2 = A 1/3 positivo e faz este vezes este e este vezes este vou começar pela letrinha 3x x x d x = 2 x 1 é 2 Eu estou aplicando aquela propridade Zinha A B = A B = C so D que o produto dos meios é igual a produto dos extremos eu faço a x d a

x d = b x C B X C então eu tô fazendo a mesma coisa aqui pessoal T usando isso aqui produto dos meios igual produto dos extremos passa-se o 2 o 9 dividindo vai dar x = a 2 sobre 9 Então esse é o resultado sem problema que seja uma fração pessoal