Estudo da Monotonia de Sucessões

muito bem seja bem-vindo ao canal capa desperta e neste vídeo vamos começar a trabalhar com sucessos monótonas Portanto o que que você vai entender na aula O que é uma associação monótona nem quando que a gente chama essa Associação de monotan e vai aprender a estudar Ok a monotonia deixa seus sonhos portanto reservei aqui cinco exercícios práticos é para você sair daqui mestre em classificação de sucessões portanto meu nome Pedro da Glória feliz é comissão de reduzir a matemática em brincadeira das Crianças seja bem-vindo ao canal desperta [Música] muito bem meus jovens já dei tempo

suficiente para você tentar se inscrever no canal porque este canalha é onde você vai ver matemática e caindo no seu joelho Portanto vamos aqui sermos de longa a estudar a monotonia das sucessões aquilo que nós vamos fazer é estudarmos juntos o exercício 1 2 3 agora o quarto e o quinto exercício que se resolve deste lado deixe ficar um comentário e para Além disso se quiser conferir a resposta eu vou deixar o link na descrição desse vídeo para poder comparar com a sua resolução na verdade vamos começar aqui a entender o que são sucessos O

que é uma sucessão bom uma sucessão ou sequência numérica ela é monótona quando é uma sucessão que só cresce portanto neste caso samaritamos crescente ou quando ela se os só decrescem portanto neste caso samaremos disso de uma SMD sucessão monótona decrescente Agora se a sucessão não é monotona crescente ela deve ser o monótona decrescente e se não é monótona crescente nem decrescente então a sucessão não é monotona OK para que seja monótona devo estar simplesmente a crescer ou apenas a de crescer no caso os seus termos tá bom portanto se eu tiver aqui um aqui

tenho dois aqui tem cinco vamos supor que aqui tenha 10 e reticências eu começo a perceber algo nesta sucessão os termos aqui o primeiro aqui o segundo aqui o terceiro aqui o quarto não é os termos consequentes que são aqueles que vem depois por exemplo maiores né veja que aqui tem dois é maior que um aqui tem os cinco é maior que 2 aqui tem o 10 é maior que 5 então neste caso todos os termos estão lá crescer esta daqui seria uma SMC sucessão monótona crescente portanto por que que é uma associação monotona crescente

porque o termo consequente no termo mais um é sempre maior que o termo antecedente ok que eu é mesmo terno Deu para perceber isso Esta é a condição para que Associação seja crescente note o seguinte se eu decidir se pegar o a n e jogar para lá eu teria o seguinte veja só é positivo quando vem para cá fica negativo então tem menos aqui a n veja maior que zero Então se essa diferença entre o termo a consequente e o termo Presidente sempre for maior que zero então nós temos também uma SMC sucessão monótona crescente

note o seguinte se eu pegasse aqui este mesmo gesto daria um positivo se eu pegasse este 5 - 2 daria três é positivo se eu pegasse 10 - 5 daria cinco também positivo então toda vez que a diferença entre consequente e o antecedente for maior que Zero chamaremos Isso de SMC agora outra lógica que a gente poderia usar seria a seguinte Imagine que eu compreenda que aqui tenha um a n + 1 maior que a m atenção aí porque eu vou imaginar que aqui tenha um multiplicado tá bom Um vezes a n é o próprio

on não é portanto se eu pegasse este a n multiplicando para lá divide né então dividido por a n maior porque tem maior o que ficou lá é um Então se cumprir esta este critério ou esta condição também será uma SMC para Qualquer que seja o termo ou consequente dividido pelo antecedente sempre é maior que um sim então é sucessão monótona crescer Portanto é melhor não pular o vídeo porque nós ainda vamos debater e o que aqui você tem a raízes de classificação de sucessões na mente né e meu coração se puder portanto veja como

nós vamos classificar em sucessão monotonar a decrescente Deixe me colocar a linha preta para que você entenda que este assunto é outro Ok sucessão monótona acrescenta isto vamos ver a sucessão monoto na deles sim Imagine que eu tenha aqui vamos lá colocar 10 e depois tem A7 de seguida 4 de seguida a 3 não 43 Vamos colocar um e depois vamos colocar menos Deus acho que não preciso dizer que você é velho que esses termos estão a decresceiro porque o consequente que aquele que vem depois é sempre menor que aquele que esteve antes dele né

o consequente é sempre menor que o antecedente então neste caso esses termos depressa não é assim como se coloca os números de ordem é assim então aperta o like aí então e vamos continuar não é consequente a n + 1 é menor que o antecedência que aquele que vem depois era maior que o antecedente dessa vez o consequente é menor que antecedentes se cumprir sexta condição este critério então nós perceber vamos classificar em sucessão monótona decrescente agora imagine o seguinte do mesmo jeito como nós pegamos esse laçamos para lá podemos pegar o am que é

positivo lançamos para a subtrai então teremos am mais um menos a m menor que menor que zero agora o que eu quero te mostrar uma coisa muito interessante eu vou até colocar Isto daqui a verde Ok vou colocar isso daqui é verde e vou colocar também esta parte a verde porque que eu coloquei isto a Vera porque nós vamos começar a trabalhar com exercícios onde dizem Prove que a sucessão crescente ou Prove que a sucessão e para trabalhar estes exercícios nós vamos usar esta condição ou esta condição não é só que olhando Isto ou isto

você começa a perceber que na verdade faz a mesma diferença a n + 1 menos 1 menos N A única diferença é que quando essa diferença é maior que zero nós temos uma sessão uma nota na crescente e quando esta diferença é menor que zero temos uma sensação monótona decrescente SMD agora Observe uma outra coisa muito interessante se eu pegasse este não imaginasse que estivesse multiplicando com um pego esse laço para lá e divide né então teremos o seguinte teremos a n mais um sobre a n Ok menor que um então quando a razão entre

o consequente o antecedente for menor que um nós iremos que esta Associação é decrescente então este é o xarope agora quando a sucessão tem termos que por vezes cresce por vezes decresce por vezes por vezes decretos aí nós vamos ter que dizer que esta sucessão é uma sucessão não monótona Como assim veja o seguinte Ok veja o seguinte Vamos considerar ou vamos analisar o seguinte exemplo Imagine que eu tenha aikidores depois tem a 3 depois tenha um depois tem a 5 e depois disso tem a 6 não é depois disso posso ter vou dar a

ter aqui um quatro e depois Tenho sete por aí vai não é só sucessão Não é monota porque eu cresço Depois começo a de crescer aqui de três para umas de crescemos né para depois crescermos novamente de um para cinco continuamos crescendo mais de 6 para a quatro decrescemos depois crescemos novamente isso não é uma sucessão tá bom a sucessão quando ela só cresce ou só decreto se ela só cresce SMD SMC SMD E você já sabe disso tá bom então se ela faz as duas coisas não é sucessão ela só precisa fazer uma coisa

ou crescer ou de crescer e depois surge aquela pergunta e quando ela não faz nada né quando ela não faz dela não será manopla também imagina o seguinte você tem dois tem dois tem dois tem dois tem dois tem dois e por aí vai não é então a ordem vai mudando né a posição vai mudar o n vai mudar mas os termos continuam sempre os mesmos neste caso é uma associação constante E isso não é classificação quanto a monotonia quanto a monotonia essa sucessão não é monótona Ok não é ela não cresce e nem sequer

de crença Ok então entendido isso como é que você vai trabalhar exercícios do gênero né exercícios Tem que perder o seguinte estudo da monitonia das sucessões Então você deve investigar a monotonia ou prove que esta associação é monótona decrescente né vamos supor que deram esta edição prove que essa solução em monótona decrescente ou prove que esta é uma sucessão monótona crescente bom neste caso nós teremos que trabalhar agora aperta o cinto e aí comece a apertar o like quantas vezes forem necessárias até que o YouTube entende que os seus colegas precisam ver este vídeo Portanto

vamos aqui ser mais delonga começar a praticar e praticar Então a nossa prática vai basear-se é nesta neste teoremamente teorema e no método arcaico Ok vamos explicar tudo mesmo Portanto vamos ser mais delonga pegar aqui O primeiro exemplo é estudar Caiu essa questão na prova ou Caiu essa questão na vida né Você precisa estudar a montanha dessa sucessão Então temos o seguinte vamos supor que a prova é uma prova de múltipla escolha de repente aparece lá é estudar monotonia de Justiça ou estudar uma monotonia dessa situação concluímos que é crescente decrescente constante você sabe que

se forma tem que ser crescente ou decrescente agora como fazer do jeito arcaico é só tirar o primeiro termo terá cinco menos dois vezes no lugar de N1 5 primeiro temos que dar prioridade ao produto né 2 x 5 dá 2 a diferença 3 o segundo termo o segundo termo no lugar de n coloca 2 fica 5 - 2 x o n Q2 Então temos 5 prioridade ao produto temos quatro que é a resposta é um E se eu tirasse o terceiro né 5 - no lugar dele coloca três A diferença é que fica 5

- 6 e que a diferença será igual a -1 poderia tirar até o quarto né Se for necessário mas dá para tirar aqui alguma conclusão temos cinco menos aqui oito que vai dar -3 agora olha o seguinte os termos vão avançando não é nós saímos do primeiro até o quarto o que que aconteceu com os termos da sucessão Será que os termos estão os sinais estão a decrescente ou estão a crescer Ok neste caso eu percebo que tenho três depois tenho um Depois tem menos um Depois tem menos três esses termos decrescem Tá bom então

esta sucessão é uma SM não é uma associação monótona Só que no caso é uma sucessão monótona decrescente Por que que uma sucessão monótona porque só decres e por ser só ser decrescente será sucessão monótona mas por ser decrescente É uma sensação monótona decrescente quer então numa prova de muito para as cópias só dizer isto já é tudo né Você acertou agora qual é o problema o problema é estudar a monotoniana estudar a monotonia em provas de matemática não é só achar o o segundo e terceiro sinal de todo mundo seria bom em matemática né

sem precisar de ver este vídeo Portanto o desafio quando dizem estudar a monotonia eu devo aplicar essas condições e provar que esta sucessão é monótona então costumam dizer prove que essa sessão é monótona né o estudo da monotonia ou prove que essa sucessão é monótona de crescer Por exemplo agora já sabemos que ela é monota na decrescente prove que ela é monótona decrescente Então nesse caso terá que usar fazer a diferença né do enésimo termo mais um com o enésimo termo Ok o enésimo termo mais um menos o enésimo interno então quando eu fizer essa

diferença se ela for maior que zero é crescente será for menor que zero é decrescente você vai fazer o seguinte já tem o a n o que precisa de terminar é o a n + 1 O que significa a n + 1 significa que no lugar de n vai ter que colocar em uma ajuda portanto temos aqui que colocar cinco vai ficar 5 menos 2 vezes o n no lugar de n coloque n + 1 Vamos lá temos 5 - 2 x n fica menos 2n - 2 x 1 fica menos fica menos 2 então

o número a n + 1 vai ser igual Veja só o seguinte 5 - 2 vai ser igual a 3 menos esse negócio que dá -2 então tem o a n + 1 e tenho deste lado o am toda vez que é para provar que isso é uma sucessão monoto na decrescento ou estudar a monotonia é uma questão aberta não basta só saber que ela é decrescente é só entrar com o a n mais de um sempre tendo que ser menor que o aéreo você faz isto e o resto a matemática se justifica portanto a

n + 1 é isso então coloca três menos do Gene menos que este menos agora coloque no caso azul aqui o a n que no caso essa expressão que deve estar no lugar né Então coloque lá o 5 - 2n agora esta diferença vai ser igual até que poderíamos continuar por aqui no stress mas vamos continuar por aqui esta diferença a n + 1 - a n vai ser igual a 3 - 2n menos de mais dá menos cinco menos menos dá mais dois n note Quais são os termos semelhantes no caso veja o seguinte

do Gene é negativo do Gene é positivo esses dois são simétricos agora dá para notar claramente que a diferença a n Ok a n + 1 menos a n vai ser igual três menos cinco que dá menos menos dois então o que que a gente conclui que essa diferença deu menos dois então essa diferença é negativo menos a m é menor que zero e se ele na hora que zero isto aqui é uma sucessão monótona decrescente cqd não é CDD cqd quero dizer como queremos demonstrar não é acabamos de demonstrar que é uma sucessão monótona

de crise então caiu numa questão aberta você precisa sempre fazer desse jeito Este é o caso mais simples você precisa permanecer no vídeo para ver qual como que a gente trata os casos mais complexos que é no caso de dois o caso de triste esses dois casos ficam como trabalho de casa Portanto vamos ser mais delongas para a questão número 2 esclarecer ainda mais os pontos dois temos mais um sobre animal agora se você acha que entendeu o suficiente pode pausar o vídeo e começar a tentar fazer e depois vem a conferir Portanto vamos fazer

do jeito orgasmo só pra gente saber se isso já é uma será que é uma sucessão uma nota não ou não então coloca no lugar de N1 vai ter um vezes dois dá dois fica três então tenho três umas 1 vai dar aqui 2 3 sobre 2 traz sobre dois dá zero vírgula não dá 1.5 1.5 agora se eu achasse o segundo termo que é B2 teria 2 vezes no lugar da n2 né 2 x 2 dá 4 + 1 fica 5 aqui teria dois mais um daria três cinco sobre três me parece que dá

1,666666 de por aí vai agora se eu achasse um terceiro termo que o B3 colocava três vezes dois da seis mais justifica sete então teria sete sobre aqui três mas este fica quatro sete sobre quatro vamos lá 7 sobre 4 dá 1,5 o que que eu noto aqui que os termos estão a crescer Então já sei que esta é uma SM SMC uma sucessão monota crescente Então se fosse uma questão de múltipla escolha eu já escolhia se você só uma nota vai crescendo mas o que acontece é que se cai numa questão aberta preciso demonstrar

mostrar mesmo então como é que se demonstra gente como é que se demonstra É só colocar primeiro dentro determinar o enésimo termo Major que no caso vai ser igual no lugar de n neste n você vai ter que colocar em mim mas aqui um aqui no lugar de n vai colocar n Maju mas aqui um de azeite então duas vezes Gene vai dar n 2 x 1 vai dar dois mas aqui um sobre aqui n + 1 + 1 é 2 na nossa terra e aqui temos do Gene este mas gente é três na minha

tela sobre aqui o n + 2 OK agora que achei o enésimo termo mais um devo achar a diferença entre o a n + 1 no caso eu BN tá b n + 1 e BN Então vamos colocar aqui quanto dá b n + 1 - BM se a resposta for maior que zero sucessão menor que zero na decrescente portanto antes que eu me esqueça se você é jovem moçambicano fazendo a décima segunda classe com a décima segunda classe concluída e gostaria de fazer um curso de licenciatura numa instituição pública que nem a universidade Eduardo

Imobiliária centro outras instituições públicas do nosso país capa de esperto é o lugar certo para sua preparação tá é junto seu capa desperta nos modelos presenciais ou online para sua admissão e ensino superior portanto não brinque com a sua vaga hein prepara-se para o sucesso nas disciplinas de matemática física biologia Clínica é português História portanto prepara-se para o para o sucesso para o exercício e lembrando capa de espera Líder informação de Engenheiros Ok dando continuidade aqui nós vamos ter que entender que a BN + BN + 1 foi essa expressão de termos Gerais que a

gente determinou aqui que é no caso dos n + 3 sobre aqui o m n + 2 menos Ok menos a menos quantos menos o BN que é isso então aqui dois m mais um sobre m + 1 gente boa o que que a gente faz daqui para diante bom isso é uma diferença entre duas frações a diferença entre duas frações só faz quando as mesmas tiveram mesmos denominadores este denominador é diferente deste razão pela qual eu pego eles vem me multiplicar aqui E esse vem multiplicar aqui fica m mais dois gás aperta o cinto

porque a matemática vai pipocar com a propriedade distributiva aqui b n + 1 menos B é me tornar-se a igual o denominador agora é o mesmo que no caso será que o m + 2 às vezes n + 1 ok veja só n + 2 n + 1 n + 2 n + 1 então mesmo então você só precisa colocar o mesmo denominador e começar a trabalhar apenas os numeradores propriedade distributiva este n + 1 multiplica este do gênio + 1 ok então vamos começar a fazer distribuição n x n quadrado que n quando se

encontra com n fica n quadrado n vezes 3 fica 3M ótimo agora é hora do 1 + 1 x 2 Gene Fica dois N um positivo X3 fica 3 positivo ok guys então o que que a gente faz a gente para não morrer coloca aqui o menos Ok menos que este menos menos Abrir parênteses Abrir parênteses e começar a fazer essas operações n vezes 2n fica 2n quadrado n x agora é hora do 2 2 x 2 n fica mais 4n quadrado 2 x 1 fica 2 ok ótimo E agora o que que a gente

faz prova a gente faz a coisa mais simples de fazer né distribuir um sinal menos então fica bem o negócio igual aqui temos n + 2 vezes é animais um e no numerador temos dois n quadrado mas olha que este é semelhante então fica três Gene mais dois n vai dar três gemas fica cinco n e aqui o mais três Então vamos distribuir um sinal menos e ver no que que isso vai dar menos e mais vamos lá menos e mais ficar menos dois n quadrado bom aqui houve uma falha né quando a gente fez

E aí que eu vi uma falha quando fez 2 vezes 2n fica 4m né são quadrados 2 vezes 2n fica ao 4m ótimo portanto veja que esse N + 4 n e nos dá 5n 9 se eu fizesse n + 4n vai dar 5 n então eu vou fazer menos e mais vai ficar menos cinco n é verdade que você poderia fazer menos de mais menos de mais não há problema só que eu como vejo que esses dois são semelhantes prefiro somar e ficar 5n e depois distribuir menos e mais fica menos 50 uma vez

só menos e mais dois aqui fica menos dois agora olha o truque dos gatos note o seguinte veja o seguinte eu tenho dois n quadrado aqui também tem dois metros quadrados estes dois são simétricos estudar zero tenho cinco n positivo tenho menos 5m esses dois são simétricos também vão dar zero agora Observe o seguinte tenho aqui - BN igual aqui tem o 3 aqui tem um menos dois três menos dois dá quanto na nossa terra é igual a a1 sobre n + 2n + 1 gente a gente já fez tudo Só falta tirar uma conclusão

um um que é o nosso numerador é maior que é maior que zero nós sabemos que todo n aqui pertence a números naturais todo n pertence a números naturais se todo n que no caso a ordem né a ordem que é o n pertence ao números naturais aqui deveria ser n né n de números naturais então se todo ele pertence ao conjunto dos números naturais dá para notar que este denominador que é no caso n + 2 x n + 1 bom se o n é um número natural qualquer número natural que eu colocar aqui

e outro que eu colocar aqui eu vejo que isso sempre me dá positivo Experimenta colocar um vai dar três aqui vai dar dois multiplicando 3 com 2 dá positivo né você colocar qualquer número natural lixo sempre dá positivo Então isto é sempre maior que isso é sempre maior que zero Veja só o numerador é maior que zero o denominador é maior que zero ou seja o numerador é positivo o denominador também é possível positivo com positivo significa que a resposta final sempre será positiva era só para isso a gente deu tantas bolas só para dizer

isso né que isso aqui é maior que zero agora que isso nós percebemos que é sempre maior que zero então a gente pode escrever com clareza que o Ben mais ou menos é maior que é maior que zero então fica provado ou fica mostrado e trata-se de uma sucessão neste caso trata-se de uma sucessão crescente não é porque a diferença BN + 1 tornou-se maior quiser É isto que você precisa saber agora o único último caso e ainda vamos tratar juntos é que o caso da linha do número 3 né lembrando o número 4 e

o número 5 que compra sim ok compro aqui vamos matar até o número 3 Ok número 3 desta vez nem sequer vou tentar vou achar o primeiro segundo termo né Nós vamos começar a fazer direto três temos CN igual a 4m + -1 elevado a n Ok elevado é bom queremos estudar a monotonia fazendo toda a demonstração então o que que a gente faz a gente vai colocar no lugar de ML no entanto passaríamos a ter aqui tem n então fica quatro vezes no lugar de n devo colocar então vai ficar quatro vezes enigmas abra

parentes e fecha aqui tem mais menos um elevado a n então no lugar de n deve ser Ok então CN + 1 c n + 1 vai ser igual 4 vezes GM dá 4 n na minha tela 4 x 1 fica a 4 a mais aten atenciou Temos que chamar aqui os passados de matemática em matemática B elevado a capa + C sempre será igual AB elevado a capa vezes B elevado a c toda soma nos expoentes quero dizer que é produto de mesma produto de mesma base então aqui significa vou até colocar a preta

né que significa que é menos atenção significa que é menos um elevado a n vezes menos um elevado a elevado né esse expoente desse expoente elevado a mesma base multiplicado Portanto vamos arrebentar e escrever a n + 1 vai ser igual a 4n + 4 - 1 elevado a 1 = -1 então -1 x esse negócio fica menos com mais vai dar menos aqui o menos um elevado a n Este é que é o nosso enésimo termo mais um agora vamos deixar a diferença a no caso não é a né e pronto tá bom vice-diá

desde Ok enfim você tem um coração grande sabe perdoar então perdoem Sene mas um eu mesmo termo Major menos 100 acho que a diferença que temos que fazer então esse negócio ficará igual Vamos colocar o cm azul que é no caso quatro N + 4 - 1 - 1 elevado a n Ops relaxa aí menos Vamos colocar a verde para a gente ter sucesso o CN não é o cm no lugar do CM Claro Então temos aqui quatro n mas parênteses menos um elevado a n fechamos ótimo E agora como é que a gente continua

continuando né continuando esse negócio vai ser igual às 8 Vamos colocar aqui 4m + 4 - 1 elevado a m Ops deixa em paz portanto é aqui fora tá bom então fica menos menos um elevado a r Observe o seguinte esses dois são [Música] médicos então este negócio vai ser igual observa que temos aqui agora a frente Note que a diferença CN c n + 1 menos CL vai ser igual aqui é o quadro não é quatro este este São simétrica não são semelhantes Ok veja que tem menos aqui também tem menos então aqui a

frente tem um invisível aqui também tem um invisível se quiser ver um exame microscópio Tá bom então coloca menos um menos um vai dar menos dois menos um elevado a n porque isso aqui foi duas vezes então menos um menos junto é menos dois menos dois não quer esse termo Semear Ok é tipo menos a menos já vai dar menos dois a Agora sim continuamos Ok continuamos aqui prova o que que se faz aqui como é que a gente vai tirar a conclusão Eu tenho um problemas não é eu sei que um elevado a qualquer

número sempre vai ser igual a sempre vai ser igual mas eu tenho problemas porque não é um é menos um elevado a n e o m pode ser o par e por vezes pode ser ímpar Ai Ai Ai e agora bom Agora eu tenho que tirar algumas conclusões se o n for eu sei que menos um elevado a Qualquer que seja o número para o para sempre faz com isso seja positivo então isso sempre vai ser igual a um logo se o l for para então então vamos lá então o que é prova se o

m for parental menos cm será igual a 4 menos 2 vezes se ele for para isso 4 - 2 = 2 ou a diferença CL +1 - cm foi 2 então quero dizer que foi maior que zero Ah então já podemos concluir que é uma SMC Relaxa pouco porque você é só analisou é limpar precisa analisar é nem ímpar se o m ímpar for menor que zero então isso não será uma sucessão monótona porque não pode ser crescente ao mesmo tempo ser decrescente ficar mais uma vez já tem tua alma tá bom se o Anne

fora então atenção estamos analisar é limpa o que que acontece com menos um toda vez que elevado a um número ímpar Ele sempre vai ser igual ao menos um então Saraiva temos aqui um CN mais um menos CN igual note o seguinte a nossa expressão é esta vai ficar quatro menos dois vezes quando isto é levado a um número n ímpar vai ser igual a menos junto teremos quatro mais menos de 1 x 2 fica 2 isso dá 6 OBS respondem menos de vezes menos 2 atenção respondendo isso é possível negativo positivo do lado Deu

positivo do outro lado não discuta com ninguém cara chama isso de SMC portanto a sucessão Você é igual a 4m mais menos um elevado a n é uma SM é uma SMC É uma sensação monóbula crescente porque embora tive este desafio de repartir para estudar se o n for Party o que que vai acontecer eu percebi que aqui era sempre o maior que zero aqui também a diferença continua a maior que zero e se a diferença é maior que zero Isto é sempre uma associação monótona crescer se tivesse dado maior que zero do lado menor

que zero seria uma sucessão monótona decrescente gente boa gente é abençoada estudem a sucessão da linha 4 vejam se ela é ou não se for uma nota na Big nos comentários é uma nova crescente ou decrescente a acessar o meu número 5 nos comentários agora Lembrando que vou deixar na descrição desse vídeo o link da descrição já sabe o que deve fazer não é preparar-se para o ensino superior público e garantir a sua vaga mano [Música]