Fundamentos da Matemática Elementar - Equações de 1º e 2º graus (Parte I)

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula da nossa disciplina na aula anterior nós exploramos como modelar situações cotidianas a partir de expressões algébricas né falamos em polinômios como operar com esses polinômios E hoje nós vamos dar uma continuidade a essa a essa conversa falando em equações e posteriormente nas outras aulas em inequações Então vamos lá vamos pensar um pouquinho sobre o que isso tudo quer dizer na aula anterior nós exploramos uma situação problema de frete então nós tínhamos uma empresa que fazia um fretamento e ele essa empresa cobrava né o valor final do

frete baseado na massa total calculado em quilos do seu produto mas uma taxa fixa um valor fixo de R 5 Então como é que a gente modelou isso na aula anterior o valor do meu frete ele seria R 5 mais duas vezes a massa né em quilos do nosso pedido e foi a partir daí que a gente trabalhou um pouco eh Agora se a gente pensar uma pergunta que é a seguinte se o valor do frete foi R 21 Qual a massa total lá na semana anterior a gente ficava trabalhando expressões e obtendo o valor

do frete aqui eu dei o valor do frete estou perguntando a massa né vamos ver como é que isso ficaria algebricamente né a nossa expressão 21 que é a o frete Total ele é 2 x m que é a mass kg + 5 a pergunta é Qual é o valor de m como eu faço para descobrir isso né qual a estratégia que eu uso para obter esse valor de m bom eu posso chutar posso chutar valores 1 por exemplo 2 x 1 2 + 5 7 é 21 não é diferente de 21 posso seguir fazendo

isso até que eu encontre um valor para m que satisfaça essa igualdade Ou seja que torne essa igualdade verdadeira eu vou ter um valor que 21 mais duas vezes esse M + 5 vai ser igual vai igual lá igual lá esses dois lados essas duas expressões o 21 e o 2m + 5 Então nesse sentido o m da letra aqui na na aula anterior a gente estava falando invariável aqui assume um status um pouquinho diferente eles assume um status de incógnita É aquele valor que eu quero descobrir mas ainda né ele varia sim é uma

variável mas existe nesse caso um único valor para ela que vai tornar essa igualdade verdadeira que vai satisfazer essa igualdade quando a gente tá trabalhando com essa noção de igualdade podemos dizer aqui que essa expressão que nós obtivemos 21 igual a 2m + 5 nós podemos dizer que ela é uma equação de primeiro grau primeiro grau por vocês se lembrarem da ideia de grau né de um polinômio o maior grau que aparece nessas expressões que eu estou comparando é1 2m né e m é a incógnita dessa equação Vamos pensar agora intuitivamente Como nós vamos obter

esse valor de m sem que eu precise ficar chutando valores até descobrir um que funcione essa expressão é relativamente simples até daria para fazer isso mas vamos pensar intuitivamente perguntas que eu posso fazer como eu posso interrogar essa minha expressão para obter os valores que eu necessito bom primeira coisa 21 1 = 2m + 5 e eu posso me perguntar o seguinte que valor que eu somo a 5 né eu tenho mais 5 aqui E esse essa parte aqui que eu gostaria de saber qual o valor então que valor que eu somo a 5 e

chega em 21 a gente pode pensar bom é 16 se eu somar 5 16 né 17 18 19 20 21 então 16 + 5 cheg a 21 ou seja né valor que eu somei a 2m chega a 21 é o 16 então eu chego a uma segunda expressão agora que é 16 = 2m aí nós vamos interrogar de novo essa nossa nova expressão que é equivalente a expressão anterior mas 16 = 2m Que pergunta eu posso fazer agora que número né que eu multiplico por 2is ou cujo dobro por conta desse 2m que número cujo

dobro é 16 bom 2 x 8 16 então o 8 é o valor que satisfaz a nossa e equação a gente pode fazer o teste para ver se a gente acertou mesmo né como é que eu faço eu não cheguei aqui que 8 m = 8 vamos substituir esse valor lá na primeira expressão 2 x 8 16 16 + 5 21 então 8 realmente é o valor de m que satisfaz essa equação o resultado a solução esse problema seria o valor da massa do pedido é 8 kg agora a gente pode olhar isso com pouco

mais de detalhes algebricamente o que que acontece matem quando a gente vai fazendo esse tipo de pergunta pra nossa equação né E para eu descobrir que número que somado com 5 chega em 21 o que eu faço se eu somei alguma coisa mais 5 e deu 21 se eu fizer 21 e - 5 eu chego no que nós já descobrimos que é 16 então se eui eu volto subtraindo fazendo a operação inversa mas Mas como eu tenho uma equação eu preciso tudo que eu fizer de um lado da equação eu preciso fazer do outro lado

da equação na escola muitas vezes a gente usa a alegoria da balança né então eu preciso subtrair C de um lado subtrair 5 do outro tudo que eu fazo de um lado da equação Preciso fazer do outro então aqui nesse caso é subtrair C de ambos os lados da equação 21 - 5 16 2m + 5 -5 o 5 com -5 0 16 = 2m depois o que que a gente pode fazer eu gostaria que aparecesse algo como M igual a alguma coisa porque é isso que me ajuda a solucionar o meu problema só que

eu tenho 2m como eu faço para sair de 2m aparec M uma boa ideia é dividir por 2 2m div por do vai dar só m se eu dividir um lado por dois preciso dividir o outro lado da equação também por 2 então dividindo ambos os lados da equação por 2 temos 16 di 2 = 2m di 2 e 8 iG m ou m = 8 né E é assim que a gente chega pensando em operações inversas e sempre o que eu faço de um lado da equação Preciso fazer do outro lado da equação para

pensando na tal da alegoria da balança que não fique desbalanceado a gente esteja sempre eh mantendo a igualdade né Eh e o que seria a solução né o conjunto verdade a gente chama o conjunto que resolve né a solução dessa nossa equação como conjunto verdade às vezes conjunto solução eh chegamos que m = 8 podemos escrever isso com uma notação de conjuntos que já aprendemos na nas aulas anteriores posso chamar do meu conjunto conjunto verdade como o conjunto unitário O que é a nossa solução ali m = a 8 a gente pode pensar também o

conjunto universo né o Universo são todos os possíveis valores que respondem a esse contexto do problema né nesse caso a gente vai pensar os números eh reais mas se eu olhar mais afinadamente a gente já conversou na última aula né que não é não nem todos os os números que a gente pode obter fazem sentido naquele contexto específico aqui por exemplo nós estamos falando o m representa o qu representa uma massa em quilos faz sentido eu pensar negativos números negativos não então eu vou excluir os números negativos nesse caso faz sentido eu pensar em números

irracionais não né Ah tem pi kil o meu pedido não vai fazer sentido Então nós vamos pensar Os Racionais vou tirar os negativos e aí uma opção que a gente pode fazer pensando em contexto vamos tirar o zero também porque se o meu pedido não tem massa ou seja eu não pedi nada porque que eu vou calcular o frete Então vamos fazer essa opção e vamos tirar então o conjunto universo né de os possíveis conjuntos que satisfazem essa a nossa o nosso problema eles são os números racionais né os números positivos porque não me interessa

número negativo e também não me interessa o zero a gente tira o zero também e o conjunto verdade na eh ele é o quê ele é um subconjunto desse conjunto universo importante sempre estar olhando para isso né considerando esse onde a gente tá situando o nosso problema e analisando as respostas que a gente dá ao nosso problema em relação a um contexto né Maior por isso que é interessante est olhando para isso e novamente vocês como futuros professores né professoras que vão ensinar matemática discutir isso com o aluno né não satisfazer simplesmente ah m =

8 pronto passa pra próxima O que significa ser m = 8 e se por acaso desse -8 o que que isso significa né então bater esse papo com o aluno é interessante eh esse tipo de equação só em termos de definição né eh uma equação que ela é dita de primeiro grau né chamada também de linear na incógnita x por exemplo ela é uma equação que é equivalente a algo desse formato AX = a B sendo que A e B são números reais e o a é um número diferente de zer por quê bom porque

se a fosse 0 0 x x 0 eu teria que 0 ig a b né Eu não tenho aqui uma equação vou ter uma identidade que que sempre B vai ser zero então é por isso que importante a gente dizer aqui que o a é diferente de zero pensar aqui um um problema uma situação problema eu tenho um terreno retangular né cujo comprimento desse meu terreno é o dobro da largura se por acaso minha largura fosse um meu comprimento seria dois fosse largura dois comprimento 2 x 2 4 bom um agricultor ele Estendeu um fio

de Arame de 70 32 M completamente esticado tá por todo o seu perímetro né cercou esse terreno retangular sem que faltasse nem sobrasse fio deu deu exatamente 72 m de fio certinho esticadinho bateu ali certinho Quais as dimensões desse terreno é a pergunta bom podemos desenhar esse terreno dessa maneira não sei qual é a largura não sei qual é o comprimento mas eu sei que essa relação de comprimento ser o dobro da largura vamos chamar de X podia ser qualquer letra vamos chamar de X a minha largura se x é largura então o dobro de

x é 2x 2x é o meu comprimento como é um retângulo eu tenho aqui que os lados Paralelos são iguais então eu tenho x 2x x 2x qual seria o perímetro né a soma de todos os lados seria 2x mais x + 2x + x que é o qu 6x e eu já disse ele usou 72 m de fio completamente esticados deu bateu certinho então 6x que é o perímetro é igual a 72 como eu faço para descobrir o valor de X para descobrir a dimensão da né do da largura do meu terreno Vamos pensar

eu gostaria que aparecesse x = a não 6x então se eu dividir os dois lados por 6 eu consigo isolar o X então 6x di 6 x 72 di 6 12 eu obtenho aqui o valor de x que é igual a 12 mas 12 não é a resposta do meu problema eu gostaria de saber as dimensões do meu terreno Eu descobri uma coisa que é a largura a largura é 12 mas Quanto é o comprimento o dobro de 12 12 x 2 24 Então as dimensões são 12 e 24 agora vamos pensar uma outro problema

envolvendo essa ideia Opa de terreno que é igual agora vamos pensar assim um terreno quadrado ele possui área 100 m qu Quais são as suas dimensões se ele é quadrado todos os lados são iguais se eu pensei em área Como calcular a área de um quadrado comprimento vezes largura vou chamar de x x x x x qu vamos lá então x x x iG 100 que é a minha área X qu é igual 100 como é que eu vou resolver isso aí vem um uma questão eh quando eu multiplico eu faço a operação inversa que

é a divisão quando eu tô somando eu volto pela operação inversa que é subtração se eu elevei ao quadrado Qual é a operação inversa Como é o volto eu volto aplicando a raiz quadrada e novamente fiz de um lado tenho que fazer do outro então nós chegamos aqui no que seria uma equação de segundo grau né E nós vamos resolvê-la desse dessa maneira que eu comentei aqui tirando a raiz qur X qu x tirando ra qu 100 10 x = 10 aí cuidado de novo aí a gente tem que de novo interrogar Que pergunta que

a gente faz para o nosso problema eh qual é a pergunta que eu tô fazendo aqui Eu não tô dizendo qual é a raiz quadrada de 100 eu tô perguntando qual número cujo quadrado é 100 10 ve x 10 é 100 beleza mas -10 x -10 também é 100 então é a resposta né a essa equação não é simplesmente 10 ela vai tem que levar em consideração o -10 também então vamos só dar uma olhadinha quando eu perguntar qual é a raiz de 100 resposta não é mais ou - 10 a ra 100 é 10

Porque isso é uma identidade É uma questão de da maneira que eu estou perguntando né agora quando eu tenho uma equação dessa maneira aqui eu não estou perguntando aqui qual é a raiz 100 eu tô perguntando que número quando eu elevar ao quadrado dá 100 e para isso eu tenho duas respostas pode ser o 10 e pode ser o -1 quais os valores de x que satisfazem essa igualdade é o -1 e o + 10 então o conjunto seria - 10 e 10 agora vamos voltar ao contexto do qual a gente estava trabalhando - 10

não faz sentido no nosso contexto porque eu tô falando de medida não vou usar uma medida negativa né então para responder o meu problema eu respondo usando o qu somente o 10 somente o positivo Mas é bom ficar sempre de olho porque se eu tiver trabalhando uma situação descontextualizada se eu tivesse essa minha equação x qu = 100 pura e simplesmente perguntasse Quais as raízes né que x satisfaz essa equação eh você teria que me responder + 10 ou -10 Nesse contexto aqui que eu tô falando de uma medida de um terreno né Não Faz

Sentido -10 portanto a gente vai responder só 10 fica sempre de olho qual o contexto que nós estamos trabalhando então assim como nós comentamos sobre a a resolução né da uma definição na verdade né de uma equação de primeiro grau temos aqui uma uma definição né do que seria a cara né geral o aspecto geral de uma equação de segundo grau então uma equação é dita de segundo grau também chamada de quadrática né aqui nesse caso na incógnita x se ela tem um formato que é esse ó AX + BX + C sendo que a

b e c são números reais com a diferente de zero Por que que o a tem que ser diferente de 0 Pensa bem se a for 0 0 x x qu vai dar 0 o que que me sobra BX + C E aí eu volto a ser uma equação de primeiro grau preciso que o a não seja zero para eu ser uma equação justamente de segundo grau vamos ver como que a gente pode resolver algumas equações gente chegar nessa primeira esse meu primeiro exemplo x qu = 36 a gente pensar bem eu posso resolver igualzinho

a resolver a outra do X qu = 100 aplicando né passando a raiz quadrada Em ambos os lados da equação mas vou fazer um pouquinho diferente pra gente pensar em outras estratégias possíveis de resolução e e vamos lá uma estratégia que eu vou usar aqui é o qu vamos 36 de ambos os lados da equação que que isso acontece se eu subtrair x- 36 igual a como fica o outro lado 36 - 36 realizando essa conta operando 36 - 36 0 então a minha chego a uma equação equivalente à primeira que tem esse formato x

- 36 = 0 E agora como é que eu resolvo né antes tava mais fácil passando raiz quadrada pros dois lados Agora me complicou um pouco mas se a gente lembrar das aulas anteriores eu posso fatorar essa expressão como é que eu posso fatorar essa expressão Eu tenho um quadrado menos outro quadrado tem uma diferença de quadrados né então eu consigo fatorar isso da seguinte maneira x + 6 6 qu é 36 x - 6 e como é que isso me ajuda a resolver a equação bom eu tenho um produto de dois números x +

6 e o x - 6 e eu sei que esse produto dá quanto dá zero como é que eu faço para duas uma coisa vezes a outra dá zero se uma for basta uma delas ser zero esse produto todo vai ser zero Então vamos pensar o seguinte se x + 6 for 0 eu obtenho uma solução porque quando eu multiplicar pelo x - 6 vai dar 0 que de que jeito x + 6 pode é z0 se x for -6 porque aí -6 + 6 eu chego em 0 a mesma coisa se eu pensar nesse

meu Outro fator aqui x - 6 como eu faço para x - 6 ser 0 bom se x for 6 6 - 6 0 também resolvo então a solução da minha equação é o quê Pode ser -6 ou pode ser 6 se a gente passasse a raiz ali nos dois lados da equação nós chegaríamos a isso também mais ou menos seis uma outra maneira da gente chegar ao ao mesmo resultado né uma outra estratégia e o conjunto verdade a gente pode escrever dessa maneira né as duas possíveis respostas né soluções eh nessa outra equação e

também vamos pensar em fatoração eh eu posso perceber ali que x qu - 6x + 6 ele é na verdade esse esse quadrado da diferença x - 3 qu chegando nessa expressão aqui equivalente a primeira eu vou olhar para esse exemplo anterior e esse exemplo anterior eu posso né x - 3 qu eu posso escrever como x - 3 x x - 3 e faço o mesmo raciocínio Que número que eu posso atribuir a x tal que x - 3 é 0 bom 3 3 - 3 é zero então aqui eu teria soluções né duas

soluções que são iguais né para cada um desses desses termos aqui que é TRS então o conjunto verdade aqui dessa solução que satisfaz essa equação é o 3 bom e nós encerramos por aqui na próxima aula nós vamos tratar outras outros tipos outras estratégias de resolução para equações de segundo grau então até a próxima e espero que tenham [Música] [Música] gostado m [Música]