Fundamentos da Matemática Elementar - Razões Trigonometricas no triângulo retângulo

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas a mais uma aula do nosso curso agora nessa semana nós vamos começar a trabalhar a ideia de funções trigonométricas né Eh se a gente lembrar ali da escola né a ideia de trigonometria vem ali na geometria a gente trabalha muito partindo da geometria plana e aí isso que nós vamos fazer vamos fazer uma recuperação ali de algumas das nossas lembranças do nossos conhecimentos da Educação Básica partindo da geometria partindo do triângulo retângulo né Então imagina que nós temos aqui né um um triângulo retângulo cujo os lados são AC ba

eh CB AB ou ba e no triângulo retângulo Nós Vamos considerar que esses dois lados aqui que formam né o ângulo reto eles são chamados de catetos e o outro lado é a hipotenusa e temos também aqui esse ângulo agudo que eu vou chamar de teta eh Quais são as relações né as razões trigonométricas que eu consigo obter a partir daqui do triângulo retângulo uma delas é o seno o seno desse meu ângulo teta ele pode ser de escrito como como esse cateto AC sobre o valor né da hipotenusa que é esse lado AB mesma

maneira eu posso definir o cosseno o cosseno agora ele vai ser esse cateto o cateto adjacente ao ângulo ao ângulo agudo ao ângulo teta que é BC dividido por qu sobre o qu sobre a hipotenusa novamente que é o b a conseguimos obter uma outra relação uma outra razão desculpe que é a tangente a tangente ela vai fazer a razão entre o quê entre o cateto oposto AC cateto oposto a quem a esse ângulo teta e o cateto adjacente a ele que é o BC Chegamos aqui a tangente de teta E essas são as razões

trigonométricas principais mas nós conseguimos obter outras as razões trigonométricas a partir do triângulo retângulo uma delas é a secante a secante ela é dada secante de teta né Ela é dada por quê pela hipotenusa ba sobre esse cateto AC se a gente perceber ba sobre AC né é a razão ali é inversa da do Cosseno então eu posso escrever a secante como um sobre cosseno de teta a cossecante de teta é uma razão que vai fazer o quê vai pegar essa essa hipotenusa o ba ou AB dividido pelo valor aqui do cateto BC novamente é

a razão inversa do quê do seno então eu posso escrever dessa maneira como 1 sobre seno bom secante cosecante e cotangente a cotangente de teta ela pode ser definida como esse cateto BC sobre o cateto AC mesma coisa tô pensando na razão inversa só que dessa vez do qu da tangente então eu posso escrever cotangente de teta como 1 sobre tangente de teta agora A ideia é partir desses resultados dessas razões trigonométricas e obter algumas identidades que vão ser interessantes n importantes para trabalhar outros aspectos da trigonometria né sejam ali nas funções trigonométricas seja para

resolver equações né para manipular uma série de situações para modelar situações envolvendo funções ou a trigonometria Então vamos lá vamos pensar um pouco alguns desses resultados algumas dessas identidades bom partindo dessas três razões que nós já definimos antes eu posso fazer o quê vamos pegar aqui o seno de teta não é AC sobre ba posso escrever dessa maneira né escrevo dessa maneira fazendo o qu multiplicando os dois lados por ba e depois aqui cancelando o ba que está no numerador com o ba do denominador posso fazer isso sem nenhum peso na consciência posso porque a

gente tá trabalhando na geometria no triângulo retângulo e essa medida né justamente ba não pode ser zero então ok não tenho problema em fazer isso que eu tô fazendo né Então obtenho essa expressão que é equivalente à expressão de cima vamos fazer o mesmo pro cosseno vamos chegar aqui a mesma mesmo raciocínio para que que eu fiz isso se a gente olhar bem aqui a tangente de um ângulo teta não é AC sobre BC eu não descobri agora que AC é isso e BC é isso então vamos colocar esses valores aqui nessa justamente nessa expressão

da tangente de teta substituindo ali os valores obtemos essa expressão né dividindo ba por ba obtemos 1 e nos sobra o quê que a tangente de teta pode ser escrita como seno de teta sobre cosseno de teta essa é a primeira eh identidade importante que a gente pode obter né partindo dela já sei então que tangente de teta seno de teta sobre cosseno de teta eh e sei também lá trás de que cotangente de teta é 1 sobre tangente de teta Então vamos substituir o tangente de teta por isso daqui fazendo isso chegamos a essa

fração aqui calculando aqui a divisão né dessa fração né 1 sobre seno de teta sobre cosseno de teta vamos obter que a cotangente de teta pode ser escrita como cosseno de teta sobre seno de teta agora vamos trabalhar mais um um pouquinho agora sim temos um um um resultado que é realmente muito importante né não que os outros não fossem mas esse é algo é um que vai se utilizar muito né em várias diversas situações né Nós vamos partir justamente de outro resultado importante e bem conhecido que é o teorema de Pitágoras que que o

teorema de Pitágoras nos diz que AC esse cateto ao quadrado mais a medida que BC desse cateto ao quadrado é igual a qu a hipotenusa medida da hipotenusa ao quadrado AB ou BA ao quadrado e como é que eu faço para partir daqui lembra que no último a gente conseguiu escrever seno e cosseno né como ba x seno e ba x cosseno vamos fazer o mesmo então AC eu vou substituir por ba x seno de teta BC vamos substituir por ba x cosseno de teta bom E esse ba aqui a quadrado vamos manter ali quietinho

do jeito que tá vamos fazer o quadrado né o quadrado aqui desse produto significa que eu tenho ba qu vezes o seno Quad de teta no cosseno aqui nesse nesse outro membro nós temos ba qu x cosseno qu de teta igual ao Ba qu que tava lá como aparece aqui ó nessas duas parcelas ba qu vamos pegar e colocar esse ba qu em evidência né fazendo isso nós chegamos a essa equação ba qu vees seno qu de teta mais cosseno qu de teta né tudo isso igual a ba qu vamos dividir os dois lados da

minha equação por ba quadado bom dividindo os dois lados por BA ao quadrado eu chego a que seno quadrado de teta mais cosseno quadrado de teta é igual a 1 e essa é uma uma identidade super importante né E talvez já bem sabida da maioria de vocês agora vamos partir dessa justamente dessa identidade aqui que nós chegamos e trabalhar um pouquinho em cima dela bom seno Quad de teta mais Ceno Quad de teta ig a 1 e se eu dividir os dois lados dessa minha equação por cosseno quado de teta posso posso de novo porque

eu tô trabalhando aqui dentro do contexto dos da da geometria plana do triângulo retângulo Então esse meu cosseno quadrado de teta Nesse contexto ele não vai ser zero né então eu posso dividir sem peso na consciência dividindo né os dois lados aqui da minha equação por Ceno Quad de teta e fazendo aqui a simplificação né Afinal de contas cosseno qu teta dividido por cosseno qu teta dá um nós vamos obter essa equação Por que a tangente porque se a gente lembrar lá ó seno sobre cosseno é o quê é a tangente então seno sobre cosseno

ao quadrado vai ser a tangente ao quadrado e secante de teta aqui ao quadrado por quê Porque 1 sobre cosseno de teta é secante de teta 1 sobre cosseno de teta tudo ao quadrado vai ser a secante ao quadrado de teta e vamos seguir uma ideia agora muito parecida né né com a anterior Mas se a gente dividir aquela equação por seno quadrado de teta dessa vez bom esse primeiro essa minha primeira parcela vai para um né porque eu vou ter seno Quad teta dividido por seno Quad teta dá 1 E se nós pensarmos aqui

cosseno sobre seno é o quê é cotangente é a cotangente apareceu aqui 1 so é o quê a cosecante apareceu aqui então aqui temos mais uma identidade né que é bastante eh interessante e a a a graça de você saber né todas essas identidades é você de repente partir de uma situação em que eu tenho uma uma expressão envolvendo senos e cossenos e tangentes e manipular isso utilizando as identidades para chegar em uma expressão que seja adequada ali ao contexto que você tá trabalhando ao problema que você tá tentando resolver né O que você está

tentando modelar ali naquele momento bom e é isso nessa primeira empreitada aqui sobre a trigonometria no triângulo retângulo Espero que tenham gostado e até a próxima [Música] [Música] w i [Música]