Aula 2 - Sist. lineares e não lineares. Linearização. Simulação de sistemas. Transformada de Laplace

E aí pessoal é antes de começar a aula eu acabei de terminar essa aula e eu vi que eu passei a meia hora do tempo que eu tenho tá é desculpa a gravação de aula tá um pouco nova para mim eu acho que eu tô dando por não ter o feedback de vocês eu tô falando mais do que normalmente eu falo vou tentar corrigir isso para a próxima vídeo aula e a minha sugestão para esta não ficar muito cansativa vai pausando o vídeo tá Termina a modelagem pausa tomar água termina a linearização pausa chegou em

laplace pausar termina de ver o vídeo no outro dia tá as próximas aulas eu vou tentar manter os 100 minutos essa que eu passei um pouquinho me desculpa pelo inconveniente mas vai ficar usando o vídeo vocês tem essa possibilidade aí não precisa ver tudo de uma vez não e boa aula valeu é bom pessoal tudo bem bem-vindos saia mais uma aula do curso de controle de Sistemas lineares só lembrando o que a gente tava falando na semana passada né nós comentamos o definimos o que é o problema o chamado problema de controle que consiste em

projetar um controlador que nós conversamos que pode ser interpretado como uma equação que vai guiar a saída da planta até uma certa referência desejada isso tem que ser feito de acordo com certo comportamento o que a gente faz chamou de comportamento desejado e também Conversamos sobre os conceitos de sistema o que que é um sistema pausa um vídeo aí na sua casa e lembra já conversamos sobre o conceito de malha aberta o que que é um sistema em malha aberta oi e o quê que é um sistema em malha fechada tenta lembrai você não lembrar

a volta e ver a aula de novo mas só discutindo sistema é algo que recebe a entrada e te devoro uma saída malha aberta é uma estrutura de controle que Não tem realimentação encontra na malha fechada tem a realimentação bom a gente vai conversar olho sobre conceitos fundamentais da modelagem de sistemas basicamente a gente vai falar o quê que é a modelagem e fazer um outro exemplo mais simples e vamos finalmente definir o que é um sistema linear e consequentemente discutiu que um sistema não linear vamos falar sobre um conceito de invariância no tempo de

sistemas e vamos aprender a Utilizar a série de taylor para representar um sistema não linear por um sistema linear em torno de um certo ponto de equilíbrio e finalmente a gente vai conversar sobre o uso do a transformada de laplace para resolução de equações diferenciais só lembrando que o material mais aprofundado sobre transformada de laplace vai ser de responsabilidade de leitura de vocês o que a gente vai ver aqui a soma introdução Tá bom vamos lá a como é que a gente começa um projeto de sistema de controle então imagina que você tá no seu

trabalho e você recebe uma tarefa de controlar por exemplo o ângulo de ataque de uma aeronave manipulando o profundor então o ângulo de ataque o que a gente chama de saída e o profundor é nossa entrada por onde você começa o projeto do sistema é um dos primeiros passos que a gente tem que fazer é não necessariamente é o Primeiro mas um dos primeiros passos é obter um modelo para descrever o comportamento dinâmico do processo as palavras que ela tem vermelho então quando a gente fala de novo que a gente está fazendo alusão ao uso

de equações diferenciais então talvez uma dificuldade que está associada no curso de controle é porque nós utilizamos equações diferenciais para como modelo esse procedimento de pegar um sistema físico representar ele por meio de uma Equação diferencial é o que a gente chama de modelagem então de novo modelagem é pegar o sistema físico e representar ele por um modelo matemático mas o que que é o modelo quando a gente fala um modelo o que que vem na cabeça é bom modelos são representações de sistemas então modelos são representações pode ser uma foto uma escultura uma pintura

com protótipo no nosso caso da engenharia de controle a gente trabalha com modelos na forma de Equações diferenciais que vão relacionar entrada e saída o e obter essa equação diferencial ela pode ser realizada de diferentes formas então gente já viu que modelagem é obter é pegar o sistema físico representa ali por meio de uma equação esse processo ele pode ser apresentado de diferentes formas essas formas a gente vê uma mente dividir elas em três grandes classes a caixa opaca que é onde você não consegue ter informação nenhuma sobre a relação Dinâmica entre entrada e saída

a caixa transparente que quando você tem total conhecimento do que está acontecendo ali ou total conhecimento do da relação entrada e saída e dos parâmetros e quando você não está em nenhum dos dois extremos a gente fala que eu uma caixa intermediária que é uma caixa translúcida então de um lado é a caixa opaca de outro lado e a caixa transparente e os métodos intermediários são classificados como caixa translúcida In a row do inglês greybox bom então como eu já disse lá no procedimento chamado de caixa opaca a a a gente não sabe nada nem

a estrutura e só é a gente não sabe quantas derivadas quais são as variáveis do processo a gente não tem informação nenhuma nem a gente não sabe nem essas informações que a gente chama informações estrutura de informação dos coeficientes ou seja a gente não sabe os parâmetros do sistema quais são os Parâmetros massa e inércia atrito coeficiente de amortecimento então a gente não tem nesse tipo de ferramenta de modelagem a gente não tem informação nenhuma então se a gente não tem informação em uma como é que é feito o modelo é bom o modelo são

os modelos são feitos a partir de dados experimentais tão que que a gente faz a gente aplicam certos tipos de entrada ver o comportamento da saída ea partir desse nesses dados a Gente define o modelo para o sistema um exemplo bem clássico disso é o exemplo que vocês estão vendo aí no slide que é um sistema de sistema de refinaria de petróleo né nesse tipo de sistema a escrever as equações diferenciais a parte de leis físicas que regem a dinâmica do processo por exemplo entre a entrada de óleo cru e a saída de diesel é

algo um pouco complicado então nesse tipo de sistema é comum adotar o modelagem do tipo caixa opaca você varia Entrada os ver como é que a saída se comporta ea partir desses dados você obtém um modelo matemático e joga a caixa translúcida que é um método intermediário entre a caixa o pac a caixa transparente a gente até sabe por exemplo a estrutura do modelo só que a gente não tem acesso aos coeficientes a gente não sabe os parâmetros então a gente pode usar os dados experimentais para este mais parâmetros do modelo eu estou um exemplo

que eu tô dando aqui Para vocês é um exemplo de um quarto de veículo então a gente tem aqui um pneu tudo bem e a entrada do sistema é um solavanco que esse pneu vai sofrer então a entrada do sistema é um desnível na pista e a saída a saída y é a variação da aceleração da posição do banco do passageiro do veículo aqui indicado por y bom então a gente já vai ver como é que faz para obter esse modelo matematicamente mas a estrutura do Modelo é conhecida a gente sabe que a força resultante

tá olha que a gente tem massa vezes aceleração a força resultante lara na massa né no passageiro ela é o somatório da força aqui a pista vai fazer e aí o que a pista vai fazer menos a força de do amortecedor e da mola oi de novo a gente sabe que a força que o sistema vai sofrer é a variação de deslocamento que a mola vai sofrer mas o Efeito do amortecedor no sistema são essas forças agindo nesse modelo exemplo tudo bem então nesse modelo exemplo a gente pode por exemplo até conhecer a massa pô

eu sei a massa do meu carro só que eu não sei nem o coeficiente de amortecimento da mola nem da mola que é o cá e nem o coeficiente de amortecimento do amortecedor que é uefi então nesse sistema eu posso usar dados experimentais e utilizando alguma ferramenta de identificação achar os Parâmetros do sistema então olha eu tinha a estrutura e eu identifiquei os modelos os parâmetros esse tipo de modelagem é conhecida como modelar a gente caixa translúcida oi e o extremo quando a gente tem total informação do processo eu caixa transparente no caixa lá metodologia

caixa transparente nós conhecemos as leis físicas que regem a dinâmica do processo e nós também conhecemos os Parâmetros do sistema nós medimos eles os os nós sabemos eles eles são mensuráveis então nessa metodologia nós conseguimos encontrar o modelo 100% usando a teoria usando sem a necessidade de dados experimentais eu acho que essa é a palavra-chave na na metodologia caixa transparente eu não preciso fazer experimentos e para auxiliar nesse tipo de metodologia de caixa transparente nós podemos usar diferentes técnicas método Do lagrangiano analogia diagrama de corpo livre que é o que a gente mais vai ver

aqui nesses exemplos então nesse curso a gente vai fazer alguns exemplos simples de modelagem mas nós não vamos entrar em métodos mais complicados por exemplo lagrangeano embora seja um método muito bom para fazer modelo de sistema bom então vamos lá vamos pegar ele por exemplo a gente tem um veículo esse veículo está em movimento uma certa Pisca a nossa entrada é a força desenvolvida pelo motor e a saída é a posição que esse carro anda a posição y tudo bem então entrada é a força derrubada pelo motor que nossa controlámos por meio do acelerador por

exemplo oi e a saída é a posição y e nós temos aqui o efeito de uma força de arrasto que eu de notei por f a e tá falando para assumir que a força de arrasto é linearmente proporcional à velocidade do Veículo a y tu e como é que será que a gente faz para escrever equação diferencial de sistema vamos ver um exemplo aqui bom então olha lá a gente tá com a nossa luz aqui deixou alinhar ela um pouquinho né oi e esse é o exemplo um é um exemplo de do veículo em movimento

a&z senplo um então para escrever a equação diferencial deixa eu só representar ele aqui E para ficar mais fácil é só nós temos aqui um veículo certo existe a força eo existe a força de arrasto f a e nós estamos interessados nos locamento do veículo que é y tudo bem e como é que agente faz para escrever o a equação dinâmica que rege o comportamento desse veículo nós vamos usar a segunda lei de newton somatória das forças é igual a massa vezes aceleração vamos assumir que a massa do Veículo a massa m tá bom então

a massa do veículo ver se a aceleração eu vou representar aceleração e temos de y dois pontos e é igual ao somatório das forças que estão agindo aqui no veículo quais são essas forças bom no sentido positivo aqui de y nós temos a força desenvolvida pelo motor o dt e no sentido negativo nós temos a força de arrasto que eu chamei de efe a deter só que nós sabemos que a força de arrasto ela é Proporcional à velocidade do veículo então nós conseguimos representar a dinâmica do sistema por meio dessa equação diferencial de segunda ordem

professor como assim que que é segunda ordem pessoal a ordem de uma equação diferencial é o número da maior derivada e o nosso caso a gente tem aqui ó e a derivada segunda de y por isso nós dizemos que essa equação diferencial é de segunda se torne Olá tudo bem essa equação diferencial aqui vou voltar por slide se vocês quiserem vocês vão tá usando o vídeo aí tá bom essa equação diferencial aqui ela descreve para nós a dinâmica do veículo isso é o que vai acontecer com a posição y ou o que vai acontecer com

o veículo quando você variar a entrada do processo tudo bem mas especificamente a gente tem a informação de y dois pontos da aceleração então isso aqui é que a gente chama de modelo matemático tudo bem Pessoal tá tranquilo né tá bom vamos ver mais um exemplo aqui que o exemplo 2 que é o exemplo do pêndulo invertido sem ação de controle é nesse exemplo do pêndulo invertido e nós temos aqui um pêndulo tá uma massa essa massa foi deslocada com uma posição reta do eixo vertical e nós queremos escrever a equação diferencial que vai descrever

o movimento detecta aqui do pêndulo para nós queremos escrever Equação diferencial que rege a dinâmica do ângulo reta isso vai ficar em função da força px tudo bem porque porque a componente do peso ty ela tá morta aqui na tração do fio então a única força que está agindo no sistema é a componente px vamos fazer um exemplo aqui juntos e no papel a fazer segundo exemplo então é o exemplo 2 que o exemplo do tendo e o pessoal não vou ficar me alongando muito mas bom nós temos aqui uma massa m Oi e essa

massa m está fazendo um ângulo teta com o eixo vertical nós temos aqui a componente do peso e tangencialmente aqui fazendo 90 graus com o fio de comprimento l nós temos a força que barra que é uma componente do peso dada por mg seno de teta de ter senhores devem se lembrar isso lá do estudo de física bom então vamos aplicar as leis de newton para o movimento rotacional somatória dos porky's vou chamar de Tórax é igual o momento de inércia vezes aceleração da esfera peta dois pontos de ter então momento de inércia vezes reta

dois pontos de ter que é aceleração angular é igual ao somatório de forças que a gente tem aqui no sistema nesse exemplo a gente só tem a força peso agindo no sentido contrário de teto tá nós temos menos mg seno e teta de ter tudo bem é claro que todos nós lembramos que considerando a massa m pontual o momento de mércia é dado por m verde a Distância até o centro de giro ao quadrado o que é o par ela é o quadrado aqui faltou l para transformar a força de barra em momento lá no

eixo de rotação eu tinha esquecido então aqui na verdade é mgl c no teto bom então a gente tem que ml ao quadrado testa ponto ponto de t = - m.g.l. vezes sendo de teto de ter bom eu posso cortar as duas massas eu posso cortar o quadrado com ele e nós ficamos com a Equação diferencial final do pêndulo que até tá ponto ponto de ter menos gente sobre ldc no detesta de ter bom então essa equação diferencial e ela descreve para nós o que acontece com aceleração do pêndulo para um certo reta de ter

note que a gente não tem muita informação do que vai acontecer com pêndulo por exemplo seu soltar o pêndulo a 45 graus o que que é equação diferencial desse para gente e o 145 vai ser raiz de 2 sobre 2 a Gente vai ter uma aceleração no sentido negativo e é isso que a gente pode ter de informação e quem vai nos dar certinho a o comportamento da planta para essa condição inicial vai ser a solução dessa equação então nós precisamos da solução dessa equação e todos nós sabemos que a solução dessa equação diferencial é

uma função o tempo teto é de ter que nós vamos ver depois como obter usando a transformada de laplace É bom pessoal antes de passar para o próximo exemplo só fazendo a pergunta qual que é a ordem dessa equação diferencial olá tudo bem é de segunda ordem do bem a ordem é o número da maior derivada é uma o pessoal a voltando para a aula e nós temos aqui a equação diferencial do pêndulo e de novo essa equação não nos diz muito sobre o comportamento do sistema quem vai nos descrever melhor o comportamento da do

pêndulo para um Certo ângulo vai ser a solução da equação diferencial que a gente já vai ver como obter e a ou pelo menos vai ter uma introdução de como obter né e o aqui eu tenho o terceiro exemplo um exemplo massa mola de amortecedor e eu vou deixar para vocês fazerem em casa então vocês façam em catar que tá escrito aqui é o discente vocês façam em casa também não é difícil basta somar as forças agenda no sistema é e aí vocês Vão ter uma introdução ao conceito de modelagem tudo bem aqui tá a

resposta é só um exemplo bom então reforçando modelagem é o processo de pegar um sistema físico e obter uma equação diferencial para escrever dinâmica e é para nós do curso de controle os modelos serão dados então a gente vai receber o modelo e a gente vai trabalhar com ele o porquê porque é modelagem se já é um Curso específico de engenharia modelagem um assunto muito grande como a gente viu existem diferentes técnicas diferentes abordagens para se fazer isso o que a gente viu foi uma introdução modelagem para aprender o processo agora nós sabemos o que

é modelar obter a equação diferencial a que descreve a mesma coisa um processo que nós vamos aprender a trabalhar com modelos a partir da equação diferencial mas eu entendo que talvez alguém tem um pouco mais Curiosidade para estudar modelagem porque é um assunto interessante então um curso que eu recomendo bastante é esse curso de modelagem que tendo é might lá na página do youtube e é tem aqui o link e vocês podem acessar o curso do professor tim e fazer um curso de modelagem curso bem completo de modelagem de sistema dinâmico tem o método do

lagrangeano tem método de analogia então atende diagrama de corpo livre então quem quiser estudar um Pouquinho melhor de modelagem eu recomendo o curso do professor tim a gente aqui é o curso de controle então nós vamos aprender a receber o modelo e trabalhar com ele para projetar o controlador o tom dado o modelo matemático como é que a gente analisa o comportamento do sistema então por exemplo a partir daquele equação diferencial do pêndulo como é que eu sei qual que é o período de oscilação do pêndulo por exemplo E como é que eu projeto um

controlador para aplicar um torque no eixo do pêndulo e fazer com que o ângulo se referências de posição por exemplo é bom nesse curso a gente vai aprender a fazer isso para sistemas lineares e invariantes no tempo que a gente chama de smith sistema linear invariante no tempo mas o que que é um sistema linear invariante no tempo tá bom aline realidade está associada com o princípio da superposição que eu Tenho certeza que os senhores já estudaram o que que é o princípio da superposição esse é o princípio da afetividade e da homogeneidade parabéns muito

bem todo mundo respondeu à o quê que isso o que que o princípio da superposição quer dizer para a gente ou o que que o que que é um sistema que é linear a atende então vamos lá um sistema que linear atente o princípio da superposição e o princípio da superposição dos para nós o Seguinte se você aplica o um sai y aun se você aplica o 2 sai y2 então se você aplicar uma combinação linear alfa 11 mas beta o dois a saída tem que ser alfa y un mais beta y2 ou seja a

combinação linear das entradas a pa é o a saída é uma combinação linear das é é a combinação linear das entradas tem que ser igual a combinação linear das saídas tudo bem e analisadas individualmente bom então de novo o sistema é linear se Ele obedece ao princípio da superposição o princípio da superposição desses seguinte se você aplica uma combinação linear de de entradas na planta a saída tem que ser um com uma combinação linear das saídas individuais a cada entrada professor mas eu não entendi como é que eu vou ver se o sistema linear ou

não é pô vamos ver alguns exemplos aqui eu vou ver nos exemplos por exemplo y de igual a budget é linear tem como vir aqui Oi e tim plus sistema linear deixa eu colocar a luz agora para vocês bom então exemplo sistema de sistemas lineares de verificação que sistemas lineares de verificação do seu sistema linear bom o exemplo um é ydt igual a unity e sistema linear é sim professor porque porque é só uma constante tudo bem mas vamos demonstrar esse matematicamente bom vamos lá e se você aplicar o na planta se você Fizer a

onde tem um você aplicar o o quê que vai sair y un de ter é igual a 1 de 1 é bom se você aplica o 2 na planta vai sair y2d t = o dois de ter e agora e se você aplica o 3 que é uma combinação alpha 1 o tio colocar o te aqui de ter mais beta ou dois de ter o que que vai sair é bom y3dt = a que multiplica alfa-1 de ter mais beta o dois de ter então vai sair E a e vai sair a ufa au-1 de

ter mais beta a o2 de ter é isso aqui é igual a y3dt então y3dt é igual a alpha mas olha aqui ó quem que é ah ah aoh de quem que é algo onde tem a um de que é y gt se escreve roxo um y um gt-r ah e quem que é a o 2d e a o dois de ter é y2d bom então vocês conseguem ver facilmente Que a combinação linear das entradas e resultou na mesma combinação linear das as saídas portanto trata-se de um sistema linear e aí oi tudo bem pessoal

tranquilo né nós vamos fazer um segundo desenho por aqui o que é um exemplo y e t = o ao quadrado e aí pessoal uma sugestão que eu posso dar para vocês é nesse momento pausa o Vídeo e tenta aplicar o mesmo procedimento que a gente fez para ao deter para o ao quadrado tudo bem e aí quando voltar do pausa vocês veem resolução pessoal o o quadrado de ter é linear e obviamente que não mas vamos demonstrar se você aplica o a saída y un de ter é igual a ao quadrado de ter e

se você aplica o dois a saída y2d t = 2 ao quadrado de ter e o que acontece você aplicar o 3 que é Um alfa de ter mais beta o dois de ter será qy3 vai se a combinação vai ser a mesma combinação linear das entradas será que eu vou poder escrever que alpha epsilon mais beto ay2 e é claro que não mas vamos fazer um teste y3dt é igual a a alpha 1 alpha desculpa oi tá aproveitar essa oportunidade pessoal é eu decidi escrever de canetinha para me forçar escrever um pouquinho maior e

ficar mais legal para Vocês quando eu errar e eu erro bastante eu vou riscar é a solução que a gente tem mas espero que isso não seja um grande problema aí para vocês tá bom y3dt é alfa 11 de ter mais beta ou dois dt e ao quadrado isso aqui ó é igual a alpha um deter e ao quadrado ver mais 12 alfabeta uo2 de ter mais beta o 2 que ter ao quadrado é claro que isso não é Igual isso é diferente de o alfa y un de mais mais beta y2d ou seja o

sistema e não é é linear oi tudo bem pessoal tá tranquilo difícil e não é né tranquilo então é assim que a gente faz para verificar a linearidade tá bom vamos fazer um último exemplo aqui porque ele vai ser útil para nós depois então vamos fazer o exemplo 3 E aí o que é um exemplo exemplo 3 linearidade tá pessoal y de t = u.d. termais b oi pessoal será que esse sistema linear ou não e aí aquele momento em que você dá um pausa no vídeo aperta espaço aí e tenta fazer na sua casa

é bom este sistema é não linear e eu vou demonstrar isso matematicamente apesar disso aqui são equação de reta e o dt vai gerar y de t = u.d. + bo2 vai gerar y2d O que é igual a e a o dois de ter mais b e finalmente se eu aplicar o 3 que é igual a alfa eo mais beta o dois qual será a saída é pô y3dt é igual a aqui multiplica alfa eo mais beta o dois falta o p a + b vocês conseguem perceber que ainda que o rearranjar as equações alpha

a deter mais a beta e a o dois de ter mais b a gente não consegue voltar aqui numa combinação linear das saídas por quê porque aqui ó Se você multiplicar por alpha aqui alfa y vai aparecer alfabeta e aqui não tem alfabeta por exemplo o ou seja a gente tem que y3dt e é diferente de alfa y un de mais beta y2d portanto sistema é não é linear oi tudo bem pessoal de novo se você multiplica y por alpha multiplique de são dois por beta só umas duas expressões você não vai cair aqui em

2013 ou seja a combinação linear das Entradas não gera a mesma combinação linear das na saída portanto o sistema é não linear eu sugiro aqui coisa mais recomendada a pausa o vídeo faz um teste vê se você chega no mesmo lugar se não chegou bem na aula de terça-feira pergunta o professor não conseguiu obter aquela expressão não olá tudo bem com o sol é bom voltando e aí quem são os exemplos que a gente viu né Y-gt igual ao dt y dt é igual ao quadrado de ter ydt igual a arco de ter mais b

são os três exemplos que a gente viu agora a gente viu o que que é o modelo ser linear ele atende o princípio da superposição só que a gente conversou que nós vamos trabalhar com o opa a gente vai trabalhar com slides os sistemas lineares invariantes no tempo o que é ser invariante no tempo sistema linear a gente sabe invariante no tempo professor um sistema que não Varia no tempo muito bem bom a gente já viu que a forma geral dos nossos modelos vai ser um somatório de equações diferenciais da saída oi e um somatório

de desculpa o somatório de derivadas da saída de interesse igual a um somatório da de derivadas da entrada isso x certos parâmetros como assim professor olha que o exemplo que vamos ver o exemplo aqui que a gente fez para o pêndulo e no caso do pêndulo olha lá a gente tem A derivada do ângulo de interesse que afeta = seno de teta tudo bem então olha lá a equação do veículo tem a derivada da posição y tem a entrada e tem aí a derivada da posição y que a velocidade então nossos modelos são equações diferenciais

de forma geral é um somatório ponderado de derivadas da saída de interesse com a é igual com uma somatória ponderada de derivadas da entrada manipulada esses coeficientes que multiplicam as derivadas esses Coeficientes aqui ó são chamados de parâmetros do modelo tudo bem por exemplo aqui no massa-mola-amortecedor nós temos o parâmetro coeficiente da mola nós temos o parâmetro coeficiente do amortecedor e nós temos o parâmetro máximo e e se esses parâmetros do modelo variarem com o tempo o sistema é dito sistema variante no tempo porque criativo esse o sistema essências parâmetros a não variar em com

o tempo se eles forem Constantes o sistema é dito invariante no tempo tudo bem então o sistema invariante é um sistema cujos parâmetros não vai um com o tempo tá tranquilo e o sistema variante no tempo é um sistema cujos parâmetros variam no tempo e a por exemplo hoje o que a gente viu o a do veículo certo nem ela a gente considerou que nem a massa nem o coeficiente de arrasto variam no tempo portanto o sistema invariantes no tempo Sistema linear invariante no tempo os leite e no caso da dinâmica de um de lançamento

de um foguete por essa dinâmica como a massa do veículo varia rapidamente a gente tem que o parâmetro do modelo massa ele é variante no tempo a gente tem que levar esse consideração no modelo como o parâmetro varia no tempo nós temos um sistema linear invariante no tempo tudo bem pessoal então sistema linear a gente sabe o que é invariantes aí valem onça no tempo Está associada com os parâmetros do modelo serem constantes se os modelos forem constantes é um sistema linear invariante no tempo se não é um sistema linear e variante no tempo oi

tudo bem tá bom nós estudaremos como analisar e controlar um sistema linear invariante no tempo e como que a gente faz essa análise tá certo é pô o primeiro procedimento O que a gente consegue fazer hoje em dia é uma simulação numérica o som hoje em dia com todo mundo tem um computador pessoal a gente consegue usar as ferramentas de simulação numérica por exemplo a gente vai fazer esse curso a simulação usando o simulink mas dá para fazer a simulação usando aqui teve no laboratório a gente vai fazer a simulação usando a linguagem python mas

especificamente a biblioteca num pai ou essa ai pai não lembro mas dá para fazer Simulação com outros tipos de soft a gente vai usar o simulink porque é uma uma programação diagrama de blocos e é bem fácil de entender tá então nós podemos para analisar o comportamento do sistema é simular o comportamento da planta como é que a gente vai fazer isso montando uma programação diagrama de blocos bom então o simulink é uma plataforma que permite fazer isso e a gente está considerando o simulink porque a Programação visual em diagrama de blocos então é mais

palatável talvez seja mais legal programar meu simulink do que programar em linguagem de programação honestamente eu prefiro escrever mesmo código mas tem muita gente que gosta mais da programação diagrama de blocos é preferência pessoal não tenho distinção é mas a questão que eu quero conversar aqui é como é que eu pego então a equação diferencial que a gente já viu que descreve a dinâmica do pêndulo E como é que eu monto um diagrama de simulação para isso como é que agente faz para montar esse no simulink o rock teve tá bom vamos ver se no

papel e deixa eu pegar outra folha aqui e esse é o exemplo que eu tô falando exemplo quatro exemplo de simulação ah tá vai copiando no papel comigo o pessoal eu tô copiando aqui no papel vocês vão fazendo igual entendeu se vocês quiserem E a equação diferencial do modelo é aceleração igual a menos g sobre e ele o sendo de teto de te ver tá bom vamos lá para lusa e a bom pessoal eu preciso que vocês olhem para essa equação diferencial e de bate-pronto me respondam qual que é a ordem desse equação diferencial a

segunda ordem se alguém me responder eu volto o vídeo aí por favor ah é então como é que agente faz para um Procedimento é para montar o diagrama de simulação dessa equação diferencial bom a gente vai colocar para ordem do sistema o número de integradores como assim professor nós temos aqui é um sistema de segunda ordem bom então nós vamos colocar aqui ó um integrador para cada ordem do sistema tudo bem eu já vou mostrar como isso fica no simulink eu tô só fazendo no papel o que eu tenho aqui é um triângulo e aqui

é o símbolo da integral professor Aparece um s desculpa mas é o símbolo da integral então como o sistema de segunda ordem eu vou conectar dois integradores oi tudo bem e aí é bom no primeiro integrador eu vou considerar que vai entrar y dois pontos aceleração se eu íntegro y dois pontos o que que vai sair um y ou até tá ponto perdão entra até tá ponto.no integrador sai te tá ponto entra até ta.no integrador sai reta tudo Bem até aqui é difícil pessoal sistema de segunda ordem coloquei dois integradores tá bom só que eu

sei que e o teto ah ponto ponto é igual a menos de sobre ele seno de teta bom então eu vou rir alimentar eu vou puxar de volta aqui o teto o o teto né e vou passar ele por uma função seno em cima normalmente diagramas de função nossa apresentamos em quadradinhos então sempre que é uma função exponencial Cosseno seno tangente apresenta enquadrado mas cada software adota isso de um jeito eu tô dando assim porque como tá lá no simulink é bom saiu o sinal tenta passou pela função seno o que que vai sair aqui

sendo de teto esse sendo de teto vai ser x uma constante por um ganho - g sobre ele bom então eu vou representar esse ganho por meio desse triângulo então esse triângulo representa a multiplicação Desse sinal seno de teta pela constante g sobre ele então o que que vai sair aqui ou menos g sobre lc no de teto oi tudo bem pessoal então olha aqui que a gente tem lá ao mesmo g sobre ele sendo de teto e a gente sabe que menos g7 - g sobre ele sendo detecta é o pé tá ponto ou

seja nós montamos aqui nosso diagrama de simulação é bom pessoal abrir aqui e simulink eu tive algumas dificuldades com a Simulação é tão quando a gente abre a simulink a primeira coisa que eu recomendo vocês fazerem é pelo menos no caso de controle mexer aqui nos parâmetros de configuração do solver e a normalmente ele vem com passo variável e escolha automática do solver para integração numérica a recomendação que eu dou para vocês pelo menos no curso de controle é adotar uma simulação de tamanho de passo fixo e eu particularmente gosto de adotar o Método de

runge-kutta ao método com a precisão legal que não demora muito para resolver oi e para ter uma resposta visualmente figura agradável para ela se a resposta refinada eu sugiro pelo menos nosso curso adotar um passo de integração de 0.001 vezes 10 a menos 3 que tá aqui então no nosso curso com essa configuração aqui desse mim que a gente vai conseguir simular todos os sistemas que a gente vai trabalhar tudo bem E como vocês vão receber os arquivos de simulação eles já vão com essa configuração por padrão porque o definir então vocês vão ter que

se preocupar com isso só lembrando que todos esses arquivos de simulação vai ser passado para vocês lá na nossa sala de aula no google classroom a porta como é que agente faz para montar a simulação bom vocês vão vir aqui em ylai browser e quando vocês clicarem aqui vão aparecer todos os Diagramas de simulação os blocos e simulação do simulink como eu disse o simulink é uma programação diagrama de blocos o nosso curso a gente vai usar os blocos de sistema continuo porque a gente está trabalhando os blocos de fontes sources você quiser aplicar a

entrada do tipo de grau senoidal uma constante assim que se para conseguir acompanhar o sinal por exemplo por meio de um osciloscópio ou para jogar o dado lá para o workspace no matlab nós vamos Usar operações matemáticas que tá aqui então se você quiser usar um ganho se você quiser usar uma função trigonométrica bom vamos lá vamos relembrar a gente está programando ou a gente vai programar a simulação aqui do o pedro que vocês já devem ter feito aí no papel tudo bem um dom como é que a gente começa mesmo a gente começa colocando

integradores como o sistema de segunda ordem nós vamos Colocar dois integradores 12 tudo bem então nesse primeiro integrador entre a tetra conta o ponto e sai reta ponto e você vai integrar afeta ponto e sai reta tá tranquilo pessoal quanto sai detecta o teto ele passa em uma função trigonométrica que tá aqui em operações matemáticas se você desce um pouquinho eu tenho ao a a função trigonométrica bom então o tetra vai passar nesse bloco De função trigonométrica e a saída aqui a gente sabe que é cena de teto o que nós precisamos agora multiplicar o

seno de teta por um ganho tá vendo aqui e esse ganho que no nosso caso é menos g sobre l para usar um exemplo eu vou usar a gravidade 9.70 e 1l unitário oi tudo bem então eu vou colocar aqui e seu simular agora eu não vou conseguir ver nada porque eu não tenho nada que vai nos dar a informação do que tá acontecendo na planta tô para acompanhar A simulação que nós usamos os siks por exemplo nós podemos usar aqui um osciloscópio para ver o sinal o esculpe né para ver o sinal teto agora

sim seu simular o quê que vocês acham que vão a conta que vai acontecer tá bom ele vai simular bom e o que vai acontecer aqui ó é que nós não conseguimos é que o pedro não ficou constante 10 por quê que isso aconteceu isso aconteceu porque nós não definimos condições iniciais nem pateta Nem para quieta ponto para mudar a condição inicial nosso clicamos aqui no integrador existe um cão por aqui ó que a condição inicial então por exemplo o que vai acontecer com o pêndulo se a condição inicial foi pi sobre 4 45 graus

c e a o pêndulo vai ficar oscilando tudo bem e com mais ou menos 45 graus deixa eu converter isso aqui a rádio tag e para graus para nós para ficar mais Legal de ver tão 180 por quê bom então agora a gente vai ter uma simulação em graus e a gente soltou o pedro em 45 graus ea oscilação vai ser de forma indefinida em 45 graus tudo bem pessoal e por que que ele não vai parar de oscilar ele não vai parar doce lá porque não tem atrito não tem nenhuma força dissipativa então a

gente solta o pêndulo com 45 graus ele vai ficar oscilando indefinidamente tudo bem é Porque a gente faz a simulação porque ao invés de lá no pedro pegar o pedro me soltar' ele para ele ficar oscilando eu posso simplesmente simular o comportamento da planta numericamente há como voltar lá para nossa aula e a pessoal vocês entenderam a por quê que a gente pode fazer a simulação a simulação nos dá o comportamento da placa então ao invés de nós fazermos um ensaio no sistema nós podemos montar um diagrama de simulação A este diagrama de simulação ele

vai esse diagrama de simulação e a aqui ele vai nos informar o comportamento da planta por exemplo e se eu mudar a condição inicial para 60 graus o que é pi sobre 3 o que que vai acontecer com o pêndulo e hoje vai ficar oscilando indefinidamente em 60 graus mas mais 60 - 60 tudo bem pessoal tranquilo o bom é o exemplo 2 eu vou deixar para Vocês tá desculpa só reforçando a ordem da equação diferencial é a ordem da maior de derivada e a gente começa a montar o diagrama adicionando o número de integradores

igual a ordem da planta e depois a gente vai incluindo outros blocos para fazer a simulação tudo bem quais são os outros blocos somador a gente vai incluir um ganho uma função trigonométrica vai incluir um sinal de entrada quando for o caso source vai incluir um esculpe para Você acompanhar o sinal do sistema então é assim que a gente pode simular um o comportamento de um sistema físico olá pessoal eu tenho o exemplo cinco aqui e eu não vou fazer o papel com vocês a gente veio aqui que eu não sistema de segunda ordem igual

anterior tudo bem é é o sistema que tem aqui alguns parâmetros que que eu quero que vocês façam possa o diagrama de simulação no papel e vocês receberão aí ou tá lá disponível no google play on a Simulação no simulink então pega o que vocês fizeram no papel e compara com simulink ver se vocês entendem o que foi feita entendeu então você já sabem montar um diagrama de blocos compara com que tá no simulink e eu não vou fazer isso porque ele é praticamente igual ao anterior só vai mudar que existem sinais adicionais o sinal

de force que é um sinal externo então esse sinal externo a gente vai ter que usar launcher se tá isso tá na Diagrama simulação que vocês receberão eu não vou fazer ele porque eu estou interessado em fazer esse aqui que é o diagrama de simulação do modelo de lotka-volterra para presa e predador então eu não quero que aula fica muito grande eu já tô com alguns bons minutos bom então vou apresentar que o modelo de noite cava o terra de presa e predador e é bom esse é o exemplo seis e aí eu queria que

vocês pausar assim o vídeo o e copiassem a equação de Lotka-volterra para o papel porque eu não vou copiar aqui para mim a lusa tudo bem porque senão acaba perdendo muito tempo então vou pausar o vídeo copia aí e eu vou puxar nossa lusa para fazer junto com vocês tá bom eu tenho duas equações diferenciais e sistema tudo bem acho que vocês copiaram aí existe uma equação diferencial para x ponto e uma equação diferencial para y um pouco o campo de equação diferencial ela é de Primeira ordem então eu vou ter que ter dois integradores

e um para cada a equação diferencial integrador e tem o outro integrador tudo bem em uma integrador vai entrar o x ponto e vai sair o o x e no outro integrador entra y ponto e sai ou y tá bom mas eu sei que os ponto ele é a somatória é de dois sinais então somador é eu vou Representar por esse círculo e aqui eu vou colocar dois sinais chegando olá tudo bem então existem dois sinais chegando aqui no salvador quais são os sinais olha aí na equação diferencial que eu pedir para vocês copiarem bom

existe o sinal x vezes o alfa então eu vou passar o x 1 bloco de ganho que é o alfa então aqui entre x e aqui vai sair - alfa x ó e vai ter um outro sinal que é mais beta xy então como é que eu vou Representar esse sinal xy bom nesse diagrama de blocos aqui eu vou representar esse produto por um quadradinho tá que é o mesmo quadrado que vocês vão encontrar lá no simulink bom então vai entrar aqui e o x que vai ser multiplicado e vai entrar aqui o y que

também vai ser multiplicado então xy vai sair do lado de cá xy o e os pontos ele é igual a menos alfa-x mais um beta então aqui tem que ter um Ganho beta o beta xy oi tudo bem pessoal então olha lá em x ponto é igual a alfa ou menos alfa-x mais perto xy tudo bem oi de novo antes de fazer de acompanhar esse exemplo inscrevam as equações diferenciais do modelo aí no papel não tô fazendo para ganhar um pouco de tempo bom e o y.co y ponto também é a somatória de dois finais

ah tá É um sinal é gama y a gama e aí e y estão ir para um ponto igual a cama y - delta x y então eu já tenho o sinal xy aqui ó e basta eu multiplicar ele por ou menos dela é e agora sim tudo bem pessoal então y ponto é gama y menos x y delta x y e aqui eu tenho beta x y tudo bem e tá pronto o nosso diagrama de simulação E vamos ver como é que ficou esse diagrama lá no simulink não deixa eu abrir o símbolo leite

aqui o minutinhos pessoal o que é e aí e aí agora eu vou passar a lousa para baixo o que eu tenho um fechar esse aqui a minha eu tenho aqui o modelo de simulação de a presa e predador de botika vou ter olha lá eu tenho um Integrador para cada equação diferencial tudo bem é eu coloquei aqui um bloco de produto professor onde está o bloco de produtos você vai lá na na no library bar nas operações matemáticas e procura olha lá tem um bloco escrito produto tudo bem então todas as operações matemáticas por

exemplo olha aqui ó aqui tem um som a dor tá vendo somador que só uma dois sinais todas as operações matemáticas estão aqui nas um metro por missions aqui ó o salvador para colocar Ele você simplesmente clica e solta ele aparece aqui no diagrama de programação oi e para exemplifi car eu coloquei alguns parâmetros no nosso sistema e eu vou simular o comportamento então essa esse é o comportamento do modelo de equação diferencial de presa e predador de notificar vou terra é um modelo bem interessante então vamos imaginar aqui no eixo y a gente tem

raposa ou o eixo x a gente tem raposa e no eixo y a gente tem coelho tudo bem vamos pegar um ponto Aqui por exemplo aqui em cima nesse ponto existe muito coelho aqui no eixo y e pouca raposa aqui no eixo x é bom como tem muito muita comida as raposas começam a se alimentar bem começam a se reproduzir como vai aumentando o número de raposa elas começam a comer coelho e ele vai caindo número de coelho raposa vai comendo vai se reproduzir indo mas só que ela vai matando com ele começa a diminuir

o número de coelho tudo bem então raposa Come com ele a raposa reproduz como coelho raposa reproduz como coelho só que chega uma hora que tem tanta raposa e os matarão tanto coelho o que tem pouca comida então as raposas começam a comer menos e elas têm tendência reproduzir menos elas começam a morrer morrer de fome sem morrer de alguma coisa e começa a cair o número de raposas por quê porque tem pouco coelho e tem muita raposa então morre após a morre raposa morre após os coelhos Também estão número pequeno chega uma hora que

quase acaba o número de raposos porque é porque tinha tão pouca comida que essa não tinham como se alimentar não tinha como se reproduzir então chega uma hora aqui nesse ponto que tem pouca raposa como tem pouca raposas coelhos conseguem sobreviver tendo um pouco a raposa coelho sobrevivendo eles começam a se reproduzir e aumenta o número de coelho de novo e o ciclo se repete esse modelo É um modelo que a gente chama de presa e predador tudo bem o botika volterra modelo interessante que eu quis passar para vocês é bom voltamos aqui para o

nosso curso então a gente aprendeu a representar o diagrama de simulação do boticário um terra e a gente viu como é que ele fica lá no simulink então vocês tem um exemplo cinco para treinar e também tem outros exemplos na lista tudo bem refaça exemplo de aula monta o diagrama de Simulação trem aí é bom pessoal a gente viu como simular um modelo linear e não-linear tudo bem mas nós conversamos que nosso curso vai focar na análise no projeto de controle para sistemas lineares só que todos são sistema físico tem dinâmica não-linear associadas sejam atrito

ruído de mude de uma distorção harmônica alguma coisa do tipo então como é que a gente vai fazer para controlar o sistema se nós vamos aprender ferramentas para controle de Sistema linear e todo o sistema físico tem dinâmica não-linear associada é o que a gente vai aprender a fazer o procedimento chamado linearização que é o procedimento de pegar um sistema não linear e descrever ele por meio de uma aproximação linear e para pequenas variações em torno de um ponto de equilíbrio a gente vai ver o que é um ponto de equilíbrio então linearização é pegar

um sistema não linear representa a ele por um sistema Linear em torno de um ponto de equilíbrio nós vamos fazer essa aproximação usando a série de taylor e é claro que você aí lembra o que é a série de taylor certo se não são paulo vídeo para relembrar não não precisa está aqui a série de taylor então a função em torno de um ponto de equilíbrio de operação ela pode ser aproximada por meio dessa expansão e série em qualquer a séria a função calculada No ponto mais a derivada da função e a derivada parcial da

função e aí x nas variáveis calculada no ponto vezes x menos o valor de equilíbrio mais a derivada segunda do ponto calculada no ponto de equilíbrio vezes x menos x de equilíbrio ao quadrado e por aí vai note que esse x barra é um ponto de equilíbrio é uma constante tudo bem então é a função calculada no ponto de equilíbrio a derivada da função calculadora no ponto de equilíbrio vezes X menos x barra então essa é uma expressão que permite a gente approximal a função não-linear por meio de uma série de somatórios de derivada parcial

só que a gente está considerando pequenas variações de x em torno de valor daquele bichos barra o x menos x barra ao quadrado é um valor pequeno o x menos x barra ao cubo é um valor menor ainda bom então o que a gente faz é desprezar os termos de ordem elevada nós vamos Considerar apenas os termos de ordem reduzida olá tudo bem ou seja nós vamos ficar aqui simplesmente com uma aproximação de primeira ordem da série de taylor certo e nós vamos usar essa série de taylor para representar o comportamento da função em torno

do ponto de equilíbrio do ponto de operação x barra tudo bem que é só entenderam a ideia bom então vale só ressaltar que o f de x barra é um número porque é uma função Calculada no ponto oi e a derivada da função calculada no ponto também é um número então nós temos y é igual uma constante mais o número que multiplica x menos x barra esse modelo é linear é sim ou não e não é pessoal porque porque nós já vimos que uma função e aí e aí é só ajeitar o vídeo um pouquinho

nós já Vimos que em y igual uma constante vezes a variável mais uma constante não é linear a gente visto no exemplo lá do começo da aula então a função essa equação de reta não obedece ao princípio da superposição portanto essa expressão aqui ó y = constante mas constante vezes x menos x barra também não é linear então como é que a gente vai fazer para representar isso linearmente tá bom nós vamos é E nós podemos passar o f de x para o lado de lá da expressão certo e aí nós podemos escrever o modelo

em termos de variações y e x em torno de valores de equilíbrio x barra e f de x barra oi e aí sim nós temos uma expressão que é delta y = dfdx calculada no ponto de equilíbrio vezes delta x ou seja essa é uma expressão linear para representar o comportamento da planta em torno do ponto de equilíbrio vamos fazer um exemplo aqui para ficar mais claro como É que a gente vai usar a série de taylor para linearizar sistema é bom pessoal eu vou precisar que vocês copie que a função que nós vamos linealizar

que nesse momento é y igual a x ao quadrado então nós vamos linealizar essa parábola e para isso nós vamos usar a série de taylor aproximada para e a e para sistemas de primeira ordem então vamos ver como é que isso fica a jogar lá na lusa Bom então olha lá nós vamos usar essa expressão aqui que eu já tinha copiado do formulário que é y igual a função no ponto de equilíbrio mas a derivada parcial em x calculada no ponto de equilíbrio vezes x menos x vá tudo bem nós estamos falando do exemplo 7

e esse barulho foram todas as canetinhas caindo e nós estamos falando do exemplo 7 em y igual a x ao quadrado bom então pessoal a gente vai querer Usar essa fórmula aqui ó ou essa expressão da série de taylor fdx barra mais dfdx calculada para x = x barra vezes x menos x barra então nós precisamos calcular o f de x barra ah tá e quanto que vale o ponto de equilíbrio que a gente está analisando vamos voltar lá no slide e nós estamos linearizando para o ponto de equilíbrio x barra igual a os dois

tá então vamos escrever isso aqui para x barra = 2 então a primeira Coisa que a gente vai fazer é calcular o f de x barra quanto que vale o f d2f de 2x ao quadrado aqui é 4 e para implementar série de taylor agora eu preciso calcular a derivada da função e x calculada na faxina = x barra morrendo aqui o pão quanto que vale a derivada da função derivada parcial de fx derivada de x ao quadrado 2 x se eu fizer x = 2 eu vou ter quatro a e agora agora basta usar

a série de Taylor pão y é aproximadamente fdx bar que vale 4 é mas a derivada da função x calculado no ponto de equilíbrio que também vale quatro vezes x que a variável menos o valor de equilíbrio x barra e quais as bebidas sistema para escutar mais minha noiva chegou 4x - 4 oi tudo bem pessoal então no ponto dois essa parábola pode ser aproximado por essa expressão da reta note que essa expressão não obedece o princípio da Superposição que a gente pode fazer passa o quatro para o lado de lá a gente vai ter

y + 4 = 4x e chama isso aqui de delta y delta e y = 4x então nós temos uma expressão que representa linear que representa aquela parábola em torno do ponto de equilíbrio o tom para exemplificar é a gente tem aqui a reta vermelha a parábola em azul tudo bem então a parábola está em azul a nós estamos aqui ó com o ponto dois que é o ponto de operação ponto de Equilíbrio destacado aqui e nós temos a reta vermelha que é essa reta representada por 4 x - 4 se vocês conseguem enxergar que

em torno do ponto de equilíbrio a reta e a parábola ela se comportam de maneira praticamente igual isso quer dizer que a reta ela aproxima o comportamento da parábola em torno desse ponto de equilíbrio oi tudo bem pessoal tranquilo deu para entender bom é a gente tem mais um Exemplo para fazer aqui ó que é o exemplo oito que eu também vou deixar para vocês fazerem em casa tá vou fazer isso porque aí se vocês não conseguirem fazer me procura na aula síncrona que eu posso ajudá-los mas é basicamente seguir o procedimento que a gente

viu aqui por exemplo sete tá e o que vocês vão bem ter é que o a função y = cosseno de x que é o que vocês vão utilizar em torno do ponto de equilíbrio x barra igual a zero ela é Aproximado por uma reta e com igual a 1 é isso nós podemos ver aqui no gráfico em azul nós temos o cosseno de x em vermelho nós temos a a reta e nós conseguimos enxergar que em torno do ponto x = 0 a reta ela representa o comportamento da senoide ou seja para pequenas variações

de x em torno da oi para que que nas variações de x em torno de 0 a reta e a e a função trigonométrica se comportam da mesma Maneira tudo bem pessoal então pessoal tanto esse exemplo que a gente fez juntos quando esse exemplo que vocês fizeram em casa do cocielo é uma linearização de função não é de equação diferencial que depende de uma única variável no nosso caso x quando a gente for trabalhar com o modelo os modelos vão ter várias variáveis por exemplo y y ponto y dois pontos a entrada um talvez a

derivada da entrada 1 então como é que a gente vai fazer a linearização quando O sistema tiver mais de uma variável e não somente uma variável única e nesse caso a gente vai usar a expressão da série de taylor para várias variáveis tudo bem então considere que a gente tem uma função y que ela depende de várias variáveis x1 que pode ser y x 2 que pode ser fiz um ponto xn que pode ser derivada é mesmo de y e considere um ponto de equilíbrio y barra que é calculado para x1 barra x 2 barra

xn barra a gente já vai definir o que é Ponto de equilíbrio e nesse caso a linearização do série de taylor ela fica na forma que tá apresentada aqui nessa expressão ah ah o quê que vocês podem observar que a derivada parcial ela vai ser feita em termos de todas as variáveis tudo bem então até ali até para uma variável fazer peixes a gente fazer a derivada parcial somente em x para n variar mas a gente vai fazer a derivada parcial na variável x 1 a gente vai fazer a Derivada parcial na variável x 2

a derivada parcial na variável x 3 e por aí vai então a gente vai calcular essas derivadas parciais nos pontos de equilíbrio tudo bem então é tudo calculado no ponto de equilíbrio tom uma sugestão para vocês é vocês copiarem aí já na folha de vocês essa expressão da série de taylor a em termos de várias variáveis tudo bem que a gente vai usar ela aqui nos exemplos o deixou passar aqui bom eu tô afirmando Para vocês que a gente vai trabalhar com linearização em termos de pontos ou que a representação da dinâmica não-linear em torno

de ponto de equilíbrio onde você pensa em um ponto de equilíbrio o que que vem na sua cabeça um bom ponto de equilíbrio é algo que está equilibrado que tá parado então no caso de equações diferenciais pontos de equilíbrio são os pontos nas quais o sistema tá parado ou seja os pontos nos quais as todas as derivadas são nulas Então ponto de equilíbrio da equação diferencial é um ponto de que é um ponto que o sistema se mantém na ausência de perturbações do sistema fica parado as derivadas são nulas e por exemplo vamos pensar aqui

no pêndulo invertido tudo bem nós temos aqui o pêndulo invertido só que nesse exemplo de pêndulo invertido além da força gravitacional nós conseguimos manipular um torque ter que aplicado no google este rotação do pêndulo como se Tivesse um motor ali no pêndulo e a no eixo de rotação né nesse caso a equação diferencial que descreve o modelo do pêndulo é essa aqui lembre-se que no nosso curso os modelos são fornecidos são modelos dados tá então nós vamos aprender a analisar o comportamento e projetar o controlador a partir de um dado que ao modelo é bom

a expressão do modelo essa aqui que vocês estão vendo e então qual seria o ponto de equilíbrio Desse dessa equação diferencial bom então vamos pensar em pontos de equilíbrio certo então peço que vocês copiem essa expressão no papel para nós determinarmos o ponto de equilíbrio tá então corpinho aí e agora pausa o vídeo eu vou mudar aqui para lusa tudo bem então tô aqui com a lusa e então como eu disse ponto de equilíbrio está associado com o sistema dinâmico parado sistema dinâmico parado quer dizer derivadas As mulas tudo bem então quais são as derivadas

dessa expressão que vocês copiaram mostro só tem a derivada da aceleração que até tá ponto se a gente fizer é igual a zero nós temos quiseram = 1 sobre ml ao quadrado a barra - g sobre lc no e deteto a barra mais professor o que que é esse de barra e esse até tá barra a gente não conversou com o sistema está parado conversou né então se a derivada é nula o torque ter é um torta constante Ter barra viu o ângulo certa de ter é um ângulo constante teto a barra olá tudo bem

então põe a relação de equilíbrio entre esse torque constante e o ângulo teta tá bom fazendo as devidas expressões nós vamos obter que é escrito em azul eu te barra igual a mg sendo de teto a barra o que que essa expressão dica para gente ela indica para a gente que se você Quiser deixar o pêndulo parado em uma certa a posição reta barra você precisa aplicar um pêndulo lá no eixo de rotação de ter barra por exemplo qual que é o torque que você tem que aplicar no pêndulo para manter o pedro em 0°

em que bairro igual a zero isso quer dizer que se para você manter o pêndulo certo e são pedro imagine que são pedro parado na posição 0 graus você tem que simplesmente um aplicar torque nenhum é da mesma forma se eu quiser aplicar a Reta barra e se eu quiser deixar o sistema parado na posição pe 180 graus quanto que dá o torque associado e também é zero ou seja se você quiser deixar o pedro na vertical para cima simplesmente você precisa não aplicar nada no eixo de rotação aqui se ele tiver certinho aqui liberado

ele fica parado agora se eu quiser deixar o pedro parado na posição 90 graus e quer dizer que o torque associado no eixo de rotação é mg por quê porque a 90° o que eu tenho aqui na ponta do pêndulo é a massa peso da massa e o que a gente está fazendo é fazendo torta e contra balancear o momento gerado pela massa no eixo de rotação não deu para entender pessoal o que que é um ponto de equilíbrio ao ponto que a derivada é nula o que a gente tem é uma expressão para relacionar

a posição que você quer nesse caso da saída de interesse aqui é o ângulo do pêndulo com uma entrada do sistema um parte Equilíbrio é eu não gravei o vídeo ainda mas vocês vão ter que achar uma relação similar de equilíbrio lá no caso do europeu de vocês tudo bem então lá no aeropendulo vai ter que ter uma relação entre a rotação do aero pedro e o ângulo desejado tá bom é bom voltando aqui para aula né e para nós temos essa relação de equilíbrio e a será que tem uma diferença a gente viu que

tanto pra 0° culto para pe o Comportamento do pedro o torque associado é nulo só que será que tem uma diferença de comportamento do pedro nessa posição de equilíbrio e nessa posição de equilíbrio e isto é vamos ver se eu aplico o torque na posição do pêndulo para baixo o que que ele faz e ele volta para baixo mas na posição vertical o que acontece eu aplico um toque lá em cima e ele cai então vocês conseguem ver que Para cada posição do pêndulo existe hum hum eh comportar para cada posição de equilíbrio o comportamento

do sistema é diferente então o sistema não linear ele vai representar uma coisa diferente ele vai ter um comportamento diferente e a por exemplo vamos fazer um exemplo de minimização desse exemplo do pêndulo e é no caso do e aí o ângulo reta barra igual a zero e torque barra igual a zero então o que Que está sendo solicitado é solicitado que a gente pega a equação do pedro que ela não linear professora como é que eu sei que era não-linear porque nós temos cena aqui ó então nem precisa aplicar o teste da superposição mas

caso você queira você pode aplicar na sua casa e você vai verificar que o sistema é não linear 1 essa é a gente vai linealizar essa expressão não linear em torno de teto a barra igual a zero e ter barriga ao a 0 E eu vou pedir para vocês por favor pausem o vídeo e copie essa expressar no papel para a gente poder resolver juntos tudo bem e não se esqueçam também de copiar no papel a expressão da série de taylor que a gente vai usar tá eu já tenho elas copiadas a aqui no meu

formulário então eu preparei um formulário para apresentar aula de vocês oi e eu coloquei aqui ó a série de taylor para n variáveis tudo bem ou eu vou usar ela vocês por favor copie no Papel e vocês vão acompanhando resolução comigo e vamos lá pessoal assumo que vocês copiaram a expressar no papel e a gente vai aplicar que a série de taylor para linearizar e sistema que a gente precisa fazer a presente gente precisa fazer é calcula a função no ponto de equilíbrio é mas a derivada da função em relação a primeira variável no ponto

de equilíbrio e calcular a derivada da função em relação a segunda variável no ponto de Equilíbrio no nosso caso nós temos duas variáveis o tetra de ter e o parque de ter você pode ter uma expressão de n variáveis reta ponto que essa ponto com outro tt ponto até tá ponto tudo bem o nosso carros são apenas duas variáveis então vamos primeiro calcular a função né que até tá ponto ponto de ter isso é igual a a função de torque e pateta para torque valendo 10 que é o valor de equilíbrio até tá valendo 10

então olha aí para expressão que vocês copiaram e Fala para mim quanto que dá a função para torque valendo 10 e e o teto a valendo 10 a gente tem é um sobremesa ao quadrado vezes o torque de da 0 - e sobre elles eram de zero que dá zero quer dizer que a função calculada no ponto de equilíbrio da zero pessoal isso é uma surpresa e é claro que não porque porque a função no nosso caso representa a aceleração goulart arteta certo nós estamos trabalhando com linearização no ponto de Equilíbrio então é claro que

no ponto de equilíbrio a função tem que dar zero ou seja a aceleração tem que ser nula então o f barra tem que dará 0 é bom que mais que a gente precisa calcular a derivada da função em relação a primeira variável torque no ponto de equilíbrio então seria derivada da função em relação a primeira variável o que é torque isso no ponto de equilíbrio para ter barra e tenta barra tá isso é um texto a pessoa te barra bom qual que É a derivada da função eu lembrar eu vou passar a última vez mas

eu espero que vocês tenham copiada qual que é derivada dessa expressão aqui em relação a variável torque de ter é bom muito tempo que depende torque de ter é esse primeiro termo certo e quando a gente teria vá parcialmente em em torque vai sobrar um sobre ml ao quadrado então a derivada da função em termos o torque é um sobre ml ao quadrado independente do torque e da do Ângulo reto e qual que é a derivada da função em relação a segunda variável que é tetra no nosso caso tá bom único termo que depende de

torque é o segundo termo do ângulo reto é o segundo termo que é menos g sobre elle a derivada de seno de teta de ter em relação atleta de ter que é o selo de teto ah mt só que é para gente calcular o ponto de equilíbrio que a pateta a valendo 10 bom então dá simplesmente - g sobre ele A e agora agora basta a gente aplicar a expressão da expansão em série de taylor tão reta ponto ponto de que vai ser aproximadamente alguns comportar de maneira aproximada em torno do ponto ângulo zero torque

zero por função calculada no ponto de equilíbrio zero mais a derivada parcial em relação a primeira variável calculado no ponto de equilíbrio o que é um sobre ml ao quadrado o que vai multiplicar a variável tá aqui Ó que é torch de ter menos o valor de equilíbrio que é zero é mas a derivada da segunda variável daí vale em relação a segunda variável calculada no ponto de equilíbrio menos de sobre l vezes essa segunda variável que é reta de ter ou menos o valor de equilíbrio que é zero o ou seja a função a

equação do pêndulo pode ser aproximada por essa expressão linear E quando a gente sobre l certa de ter bom então essa equação linear ela representa e o comportamento da dinâmica não linear do pêndulo em torno do ângulo ângulo zero e do torque zero associado oi tudo bem pessoal deu para entender a linearização de uma equação não linear por meio de por uma equação linear em torno de um ponto de equilíbrio já é tranquilo né o bom é a gente tem um próximo exemplo Que é pegar a mesma expressão do pêndulo tá e líderes a ela

para o ponto a reta barra igual up e torque barra igual a zero e forte e constante igual a zero eu vou deixar esse exemplo como é a mesma expressão os mesmos termos as mesmas derivadas eu vou deixar o exemplo 11 para vocês fazerem aí em casa tá se alguém não conseguir manda um e-mail a gente pode discutir na aula síncrona mas a princípio é a mesma expressão a mesma fórmula o que vai mudar até a derivada é Igual que vai mudar o ponto de equilíbrio que a gente está calculando tá a resposta está aqui

oi e aí tem uma perguntinha para vocês é a resposta que a gente vai obter pela linearização e série de taylor é linear olha na sua casa pausar o vídeo e me responde se foi a linear ou não tá bom essa expressão é não linear né gente por quê que é não linear porque nós temos um termo constante aqui e nós já vimos que quando a gente tem um termo Constante somando a não se obedece o princípio da superposição e tu como é que a gente vai fazer para aí sim a gente vai fazer junto

aqui na no papel para pegar a expressão linearizada do exemplo 11 e transformar ela em uma equação linear a gente já viu como mas eu acho importante fazermos juntos bom então vamos lá vamos aqui para a louça de novo o bom é a gente que obteve como Resultado da linearização reta ponto de t é igual a 1 sobre ml ao quadrado torque dt é mas g sobre l é perto de ti eu peço que vocês façam esse exercício de obter essa expressão em casa pai se alguém tiver dúvida por favor me procura e me avisa

mas é simplesmente seguir o mesmo procedimento então para retirar esse tema constante nós vamos chamar Tenta deter - pidfile de ter bom então filho de ter vai ser definido como reta de ter menos pe e nesse caso quanto que vale um chip ponto de o bom é a derivado temporal do lado direito da expressão fipe.de igual até tá ponto de ter enfim ponto ponto de ter é igual a reta ponto de ter bom então nós podemos reescrever essa expressão em termos de filho nós temos que sim ponto ponto de ter = 1 sobre ml Ao

quadrado torque de ter mais g sobre lx de ter então a variável se ela representa as variações de teto em torno de pe que que você quer dizer isso quer dizer que quando nós temos aqui o pedro né e aí oi tudo bem aqui tá nosso pedro quando pêndulo tiver um ângulo em pe em relação à posição original certo a variável quando o teto foi igual a pia a variável fim igual a zero ou Seja é o fim representa a dinâmica da planta para pequenas variações do teto ah o teto é esse ângulo aqui o

fio representa a a dinâmica não-linear para pequenas variações do teto ah em torno do ângulo pe oi tudo bem pessoal deu para entender então essas variações pequenas de teto em torno de pi são representadas pelo ângulo fi tudo bem e essa expressão é uma expressão É linear tá bom então a obtenção dessa expressão vocês vão fazer em casa pelo mesmo procedimento anterior eu só quis fazer essa troca de variáveis para tornar essa equação que tem essa constante nessa expressão e temos de outra variável que não tem a constante tudo bem pessoal espero que vocês tenham

entendido conseguimos aula aqui que a gente já tá quase acabando né e a morte a gente já viu e aí vocês vão receber no e-mail uma simulação que a Simulação do comportamento da dinâmica não linear do pedro comparando a dinâmica não-linear com a dinâmica linear tá eh peço que vocês abram a simulação brincar um pouquinho com ela varinha condição inicial para o modelo linear para o modelo não linear tenta entender essa simulação se não entenderem me procurem eu não falei a simulação aqui porque a alma já tá um pouquinho grande né é bom a gente

viu que existem diferenças Ou a gente viu que para o mesmo modelo o mesmo modelo não linear ou comportamento da planta pode ser diferente a questão do pêndulo para baixo eu tenho um comportamento para esse ângulo de equilíbrio aqui e para o ângulo de equilíbrio mais cima o pedro tem outro comportamento é mas a questão é como é que a gente pega o modelo matemático da planta e por exemplo esse modelo matemático para o pedro linearizada na posição para Baixo o e determina o comportamento dele sem a simulação então como é que agente faz para

determinar o comportamento da planta a partir da equação diferencial mais seis simular o bom é muito simples basta resolver equação diferencial então para a gente analisar o comportamento da planta sem simular a gente pega e olha para solução da equação diferencial tudo bem então como é que a gente resolve a equação Diferencial mesmo puxa e da cabeça como é que vocês aprenderam a resolver equação diferencial lá nos cursos anteriores que vocês tiveram bom é eu tinha eu tive um professor né graças a deus ainda está vivo que ele dizia uma frase muito boa que o

jeito mais fácil de você resolver uma equação diferencial é quando você sabe a solução ah tá então vamos pegar por exemplo essa expressão que a gente tem aí na lousa que é a no slide né que a expressão do Pêndulo o invertido e a para pequenas variações em torno do ângulo 0 bom então vamos pegar essa expressão de essa expressão que a gente sem torque tá pessoal então a nossa equação diferencial e simplesmente porque reta ponto ponto vai copiando na no papel é mesmo g sobre l peter e foi-nos dada condição inicial o ângulo inicial

até tá zero I a i o que a gente quer saber qual que é o comportamento do pedro e pra essa condição inicial então o que acontece com o pêndulo quando você solta ele a partir de uma certa condição inicial tá bom todos nós sabemos que na ausência de atrito de qualquer outra poço de simpatia a gente já viu isso e simulação o pedro vai ficar simplesmente oscilando mas como é que agente faz para ver isso a partir dessa equação diferencial a Gente precisa resolver essa equação diferencial e como é que a gente vai resolver

essa equação diferencial a gente vai partir de uma solução candidata bom então misteriosamente e a gente chuta uma solução que é o nosso assumimos e assumimos que peça de ter = cosseno de ômega-3 não existe jeito mais fácil de resolver equação diferencial do que saber solução diante mão Bom vamos lá primeira coisa se nós estamos assumindo essa solução e a pateta de zero nós temos que o ângulo inicial é um ano até tá zero isso tem que ser igual a a vezes cosseno de 0 vezes tem cosseno de 0 conselho 10 nós sabemos que é

um é só nós conseguimos obter aqui o a vale reta zero tudo bem a essa é a nossa solução quanto que vale teto a ponto é bom se tenta deter = a cosseno de ômega te reta ponto de t = E a menos a ômega seno de ômega que é a tal da regra de chaim professor não é regra da cadeia não sei se vocês sabem mas ouvi uma história aqui a primeira versão de um livro de cálculo que foi traduzido para o português e ele veio como regra de chaim e não regra da cadeia

ah ah é tão bom quando eu falei assim sala as pessoas sim aqui é um silêncio tão triste sinto falta de vocês pessoal estranho bom é derivado de novo em Relação ao tempo nós temos que a derivada de teto ponto vai aparecer menos a o ômega vem aqui para fora o melhor quadrado ou sendo joão mega ter e a derivada segunda da nossa solução candidata a essa expressão só que nós temos lá do modelo o que o tetra ponto ponto vale menos de sobre l reta de ter que é a cosseno o joão mega ter

então eu eu sei que teto aponta o ponto do modelo é menos g sobre l testa de ter e eu sei que teto de ter É a cosseno de ômega tenho simplesmente substituir as expressões então o que que eu posso fazer aqui ó eu posso cortar o cosseno dos dois lados eu posso cortar o sinal dos dois lados e eu posso cortar o ar dos dois lados oi e a gente vai obter que ômega ao quadrado é igual agir sobre ele portanto a frequência de oscilação do pêndulo é g sobre l talvez vocês se lembrem

disso lá do terceiro colegial tá então nós conseguimos achar uma constante de modo Que a nossa solução candidata satisfizesse a equação diferencial portanto a solução da equação diferencial é a que vale tetra 0 o cosseno de raiz de gl é sobre ter agora percebam que eu vou colocar no slide que vai estar mais bonitinho que na minha letra tá pessoal eu tô me acostumando a escrever de canetinha aqui ó eu estou aqui está a solução bonitinha certa Eu percebo que enquanto a gente tirava pouca informação sobre o comportamento do sistema nós tínhamos simplesmente uma equação

diferencial a solução dessa equação diferencial nos diz que quando você soltar a o pêndulo como acerta amplie conserta o ângulo reto a 0 o pêndulo vai ficar oscilando indefinitivamente com um período como a frequência raiz gl ou com período do espírito sobre raiz gl tudo bem então note que nós temos o nosso sabemos o Comportamento do pedro olhando para solução da equação diferencial certo então para analisar o comportamento de uma planta a partir de um modelo matemático nós vamos precisar resolver equações diferenciais tudo bem só que resolver a gente conseguiu fazer essa resolução de equação

diferencial um pouco fácil porque nós temos uma boa solução candidata é só que é claro que esse quase esse cenário um pouco e realista porque nós Vamos ter com ações diferenciais um pouquinho talvez mais elaboradas cuja solução não é de tão fácil obtenção então como é que a gente vai fazer para resolver essa equação diferencial nós vamos usar a transformada de laplace tá certo e aí o senhores já tiveram transformada de laplace um curso anterior eu vou começar a fazer uma revisão de transformada de laplace aqui só que o grosso da parte de revisão de

transformada de laplace é uma tarefa que O senhores vão fazer como estudo individual nós não conseguimos nessas novas semanas fazer essa revisão eu vou passar o slide para vocês eu vou passar apostila de um professor amigo meu professor edivaldo apostila excelente para vocês fazer essa revisão de transformada de laplace mas eu posso passar a ideia para que que a gente vai usar transformada de laplace no curso de controle nós somos primeiramente resolvi usar transformada de laplace para Resolver equação diferencial qual que vai ser a ideia e nós vamos pegar equação diferencial no domínio do tempo

vamos aplicar a transformada de laplace e cair no domingo da variável complexa que eu vou apelidar de frequência aqui no domínio da frequência a gente vai rearranjar as equações algébricas tão aqui no domínio essa a gente vai ter equação algébrica então nós vamos aplicar a transformada inversa de laplace E obtendo a solução da equação diferencial ah ah e esse é o procedimento só destacar que toda essa parte transformada inversa de laplace vai ser responsável de estudo de vocês e eu vou seguir o curso assumindo que vocês sabem disso é por favor estudem se não começa

a acumular a teoria para você estudar coisas que vocês não entenderam e entender o curso fica cada vez mais difícil para ver se vocês estudaram eu Devo cobrar lá no questionário uma um exercício de transformada inversa de laplace por favor estudo então olha lá de novo transformada de laplace a gente vai pegar equação diferencial aplicar a transformada de laplace vamos obter uma equação algébrica no domínio da variável s vamos rearranjar as equações e vamos voltar para o domínio do tempo com a solução a aula de hoje a gente vai ver como a gente vai para

o domínio da variável s Como a gente aplica a transformada de laplace a definição da variável da transformada de laplace essa aqui a transformada de laplace de uma função f que a gente vai denotar por f maiúsculo tudo bem é a integral sincero ou até infinito da função f esse exponencial de menos stdt a a rigor essa transformada de laplace ela vem de menos infinito até infinito mas nós vamos trabalhar com essa acho que eles chamam de unilateral com a transformada de laplace de 0 até Infinito e esse 0ss é uma variável complex tudo bem

e a gente vai assumir que essa integral existe ah ah e se alguém quiser via lá um pouco mais rigor quando transformada de laplace existe eu tô referenciando aqui o capítulo 2 do livro do ágata nos exemplos que a gente vai trabalhar que são exemplos de modelos matemáticos essa transformada é sempre bem definido tudo bem então vamos relembrar eu sei que Você já fizeram isso como é que a gente acha transformada de laplace aplicando a definição que é o exemplo 12 novamente pausem o vídeo copie a expressão aí para o papel de vocês para a

gente fazer juntos eu não vou copiar para não perder tanto tempo tá bom então nós vamos calcular a transformada de laplace deixa eu voltar para o slide para a função degrau como é que a função degrau é a função degrau ela é zero vou tentar Fazer aqui na e a vou tentar fazer aqui com linhas tá ok eu vou ter um eixo x opa escritor o eixo x - torto o eixo y a para tempo menor do que zero então aqui é o tempo é a função vários zero certo e para tempo maior do que

0 a função degrau unitário que esse exemplo que a gente tá vendo ela vale um isso aqui é uma reta tá então vamos calcular a transformada de laplace para a função degrau e como é que a gente vai fazer isso a Gente vai fazer isso pela definição ea definição da transformada de laplace eu já copiei aqui para o meu formulário tá aqui ó oi tudo bem pessoal integral de 0 até infinito a função f de ter vezes comercial de menos stdt sendo que essa variável complexa bom então vamos lá a o e ds que é

a transformada de laplace a gente representa por esse l um pouco diferente aí E da função woody te vai ser a integral de 0 até infinito de o deter exponencial de - st tdt o quanto que vale a função um para ter valendo 10 até infinito ela vale é um é o degrau unitário certo então é simplesmente a integral de - st o dt e aqui tem uma parede ó tá difícil escrever a bom qual que é integral di exponencial de - st tdt em termos de ter é menos um sobre s muito bem vezes

Exponencial de - st calculada nos limites de integração para ter valem do 0 até o infinito bom então quanto que vai dar essa integral ela é um sobre s como que é exponencial de - st para tempo valendo infinito exponencial de meros infinito vale zero opa esqueci o sinal aqui ó o quanto que vale exponencial de - st para ter valendo 10 e portanto a transformada de laplace da função degrau unitário vale É um sobre s oi pessoal o que acontece aqui com essa expressão se eu considerar um degrau de amplitude ar tá certo o

que que vai acontecer bom se eu postei um degrau de amplitude apareceria aqui nessa integral tudo bem é uma constante poderia ser retirado da integral então apareceriam a multiplicando aqui ó olá tudo bem e aparecer de um a multiplicando aqui O ou seja a transformada de laplace de um degrau de amplitude a é simplesmente e a sobre s tudo bem aparece uma constante na integral eu posso retirar essa constante de que é grau ele aparece aqui multiplicando o s ah tá esse é o cálculo da transformada de laplace e da função degrau a partir da

definição olá tudo bem se fosse uma integral de amplitude ar aparece a sobre esse bom pessoal vamos fazer esse outro exemplo Aqui que é o exemplo da função exponencial eu ia deixar para vocês fazerem em casa mas vamos fazer um segundo exemplo junto e o terceiro vocês fazem aí vocês façam aí é se alguém quiser pausar o vídeo agora já copia a expressão todo mundo que eu acho que vocês precisam fazer isso e quem quiser tenta fazer sozinha eu vou fazer aqui com vocês na nossa lousa tudo bem o som a transformada a ti laplace

da função f de vai ser a Integral de 0 até infinito de fdt exponencial de - st essa é a definição zinha então a transformada de laplace da função exponencial ela é a integral de é exponencial e no caso da função é a vezes exponencial de - alpha ter que o fdt vezes exponencial de - st tdt tá bom eu posso retirar constante na integral assim como no exemplo do degrau e eu vou juntar essas duas exponenciais em uma mesma exponencial exponencial de - s mais alpha deixam alpha de ter tá então como é que

fica a integral de exponencial de - s alpha t a menos 1 sobre s + alpha às vezes exponencial de - s mais alpha de pra ter valendo 10 até o infinito quanto que vai dar isso menos a sobre s mais alpha que vai multiplicar para ter valendo infinito ponto que vai dar exponencial de menos infinito zero para ter valendo 10 quanto que vai dar menos um então o fds = a sobre s mais O alfa oi tudo bem pessoal a transformada de laplace da função exponencial é difícil calcular a transformada de laplace a partir

da definição preciso saber integrar tirando isso a gente consegue fazer a tranquilamente bom agora sim um exemplo talvez mais elaborar dinho que é transformada de laplace da função cênico sendo hiperbólico de ter então esse eu vou deixar para vocês é lógico eu não sou Bobo né deixar mais difícil para vocês então é façam aí por pela definição a função sendo hiperbólico pausa um vídeo agora vou pausar o vídeo e faz a a o cálculo da transformada de laplace pela definição tá bom vou esperar você se pausar o vídeo se você não causou tô vendo aí

olá pessoal é claro que é uma brincadeira a gente não vai não é um curso tão aprofundado matematicamente a gente não vai ficar calculando a Transformada de laplace pela definição como eu já comentei com vocês a maioria dos conceitos de controle de que a gente viu foi desenvolvido há um tempo atrás década de 40 que a gente vai ver os conceitos de controle que a gente vai ver foram desenvolvidos em décadas de 40 50 sempre bom então eu já pensou nesse exemplo do c13 vídeos o pessoal antigamente essa mania de pensar e quase sempre com

a carga matemática for grande vai ter um Jeito mais simples de fazer o cálculo por exemplo no caso de transformada de laplace a gente usa tabela então tá tudo tá b lado a e por exemplo é a do degrau unitário olha lá degrau unitário aqui tá indicado por elle qual que é a transformada de laplace 1 sobre é se a gente fez pela definição a transformada de laplace diz policial de menos a ter qual que é a transformada de laplace 1 sobre a certo a gente acabou de fazer a transformada De laplace da exponencial pela

definição hora do siena hiperbólico lá ó transformada de laplace de ceni parabólico de ômega ter e a transformada é o mega sobre essa ao quadrado menos omega ao quadrado de novo nosso curso a gente não vai ficar muito apelando para carregar matemática no caso particular da transformada existe aqui uma tabelinha que eu tô passando para vocês muito fácil de achar na internet todo santa toda santa Referência de controle tem uma tabela de transformada de laplace a gente tinha um professor costumava falar que engenheiro de controle um bichinho preguiçoso a gente não gosta muito ficar fazendo

conta então para não ficar fazendo a integral de laplace na mão a gente pode usar uma tabelinha tudo bem pessoal e a bom antes de encerrar o juro que tá acabando e essa talvez vai ficar um pouquinho a mais de 100 minutos não tenho certeza mas é porque eu tô me Habituando ainda com essa questão da gravação da aula como vocês estão dando o feedback ao vivo para mim eu tô tentando ser bem pontual detalhista nas coisas normalmente é só um pouquinho mais dinâmico mas eu espero que vocês tenham estejam conseguindo entender o fim dessa

aula é algumas propriedades da transformada de laplace é eu vou simplesmente passar as propriedades para vocês é importante que você saiba quais são que vocês têm o isso anotado para Gente seguir nosso curso mas eu não vou ficar passando demonstração e aí eu não acho muito proveitoso ficar passando desse tipo de demonstração tá na literatura tem todo toda a referência de controle e eu acho que a gente tem aspectos mais importantes da teoria para entender tá ah mas eu vou passar aqui são falsas as demonstrações eu posso passar depois se alguém quiser eu posso mandar

a referência o gato a por exemplo um livro que tem se alguém precisar eu Mando lá a sessão do gato é que faz a revisão de transformada de transformada de laplace ir lá tende a demonstração das propriedades então o primeiro propriedade da transformada de laplace linear então uma combinação linear de transformadas de laplace é uma combinação e a transformada de laplace uma combinação linear de funções é a combinação linear é igual a combinação linear das transformadas de laplace individuais lembre-se inner Idade está associado com o princípio da a superposição deu para ouvir vocês falando daqui

o teorema da derivação real isso é muito importante tá pessoal a gente vai usar bastante para na hora de transformar uma equação diferencial e a transformada de laplace da derivada da função tão norte da derivada da função ela é é se vezes a transformada de laplace da função - as condições iniciais tá esse a gente aonde teorema Da derivação real vou falar de novo a transformada de laplace a derivada da função é é se vezes a transformada de laplace da função - as condições iniciais e no caso das no caso aqui tá demonstração e no

caso da segunda ordem então a transformada de laplace a derivada segunda da função é essa é o quadrado vezes a transformada de laplace da função - s vezes fd0 - f.de zero seja menos as condições iniciais a demonstração é o mesmo padrão anterior Basta definir que a derivada de f = gt seguir a mesma demonstração se esse fosse a derivada enésima da função então a derivada a transformada isso afasta derivada é mesma da função é essa elevado a n vezes é a transformada de laplace da função f gs - as condições iniciais que eu tô

querendo dizer transformada de laplace da derivada de fazer até na lusa que para vocês é isso trocar o papel e você como é que eu vou fazer para Comprar tanto papel se alguém tiver sugestão então a a transformada de laplace da derivada ao cubo de uma função fdt adc3 = s ao cubo vezes a função fds - aí a montagem a inversa s ao quadrado f0 - s vezes f.de 0 - f ponto zero daqui são condições iniciais o que é importante para a gente que a derivada da função a transformada de laplace da derivada

a terceira da função é essa é o cubo mês a transformada de laplace da função tá se A gente vai usar bastante na próxima aula que vocês vão ler sozinhos que aplicação da transformada de laplace para resolver equação diferencial e vamos usar para também obter a função de transferência da propriedade bastante importante não se esqueçam de anotá-la é bom pessoal sim dele vá no tempo é multiplicar por essa na frequência integrar o tempo vale dividir por s no domínio da variável s no domínio da frequência tá a então olha o tanto que Faz sentido é

por isso que lá no simulink o bloquinho de integração se a gente abriu lá no simulink e o bloquinho de integração lá no contínuos ele é um o integrador ele é um sobre s por quê porque integrar no tempo equivale a dividir por s no domínio da frequência tudo bem pessoal faz sentido tá bom nós vamos trabalhar com polinômios em s como assim polinômios viesse mostrar aqui na lousa para vocês o que é um polinômio ms por exemplo Vamos trabalhar com polinômios na forma a s mais 2 sobre s + 1 s mais três tá

nós vamos trabalhar com polinômios no domínio da variável s as raízes do numerador nds nós chamamos de zeros tão raízes são os valores ds para os quais nds igual a zero nosso exemplo nós temos 10 em menos dois as raízes do denominador dds quais são as raízes de dieta igual a zero nós vamos chamar de polos nesse caso nós temos um polo p1 - 1 e um polo p2 - 3 então só para deixar É registrado as raízes do numerador a gente vai chamar de zero ea size denominador nós vamos chamar de polos tudo bem

isso tá devidamente anotado aqui no slide placa até em vermelho como vocês vão perceber no estudo individual que vocês vão fazer na sobre transformada inversa de laplace apolo e zero fornece o comportamento muito importante da do e sobre o comportamento do sistema tá é mas se você ficar mentindo fornece a Informação de velocidade de resposta estabilidade e amortecimento como cês vão descobrir ali e última propriedade que nós vamos a ver é o teorema do valor final o teorema do valor final nos diz que o valor da função para quando o tempo vai para infinito nós

chamamos isso de regime e permanente se o sistema foi estável tá então o limite na função para tempo vale infinito é igual ao limite da função para essa e tendendo a zero para ds vez Fds note que tem um pezinho aqui é só destacando aqui esse teorema somente pode ser aplicado se a função s convergir olá tudo bem então esse teorema só pode ser aplicado se a função é esse convergir e como fazer um exemplo aqui são dois exemplos e nós terminamos a aula eu estou um pouco preocupado do tempo assim eu demorei muito peço

desculpa para os senhores e ainda tô me Acostumando com a gravação da aula tá então espero que seja da copiem essa função aí para o papel e vamos aplicar o teorema do valor final tá não deixa eu abrir a louça aqui então nós queremos calcular o limite df de ter para ter tendendo a zero ou seja o valor que a função f no tempo vai convergir e o teorema do valor final luz diz que esse limite é igual ao limite para esta tendendo a zero ds vezes fds eu vou chamar isso de f infinito não

é f Infinito é igual ao limite ds atendendo a 0 o ds vezes um sobre ss mais um e faz s4 s com s faz essa igual a zero vai dar um tudo bem então vamos ver lá se isso realmente acontece encontra para mim aí na tabela qual que é a função f de cuja transformada em um sobre s vezes é 100 mais um qual que é essa transformada procure na tabela o tom qual que é a linha é a linha 14 certo para a valendo 1 É tão para a valendo um nós temos que

a transformada df de ter é um sobre ss mais um ou seja o fdt e é uma função que é um menos exponencial de menos ter tudo bem psol ao de novo a transformada de laplace uma função a função do tempo cuja transformada dá um sobre iss mais um é a função é a linha 14 para a valendo um que é um menos exponencial de menos ter o quanto que dá essa função para tempo tendendo a infinito bom para tempo Tendendo a infinito essa exponencial vai para 0 exponencial de menos infinito e vai dar um

o que quer dizer que nossa o que tá indicando o que mostra que e a nossa o teorema do valor final de um valor correto certo agora vamos fazer que o exemplo tá escrito 15 mas na verdade eu exemplo 16 eu vou corrigir na versão que eu mandei que eu vou mandar para vocês é o exemplo 16 tá é o último exemplo da prometo então nós temos que calcular o valor de f em dm frente para Essa função fds por favor pausem o vídeo copiem ela para o papel é só nós queremos saber o f

de infinito que é o limite de tempo tendendo a infinito df de ter o que é igual a limite para essa tendendo a zero ds vezes fds é isso aqui é igual ao limite para esta entendendo a zero ds vezes um sobre ss - 1 o tom o essa corta com s oi e o f de infinito vai dar será Ou menos um tudo bem então vamos voltar lá para o slide e vamos ver se isso de fato acontece bom vamos lá procure procure na tabela escrevem no canto do papel qual que é a função

f de ter o que vai resultar na transformada um sobre ss menos um qual que é a linha e aí o bom de morro é a linha 14 né pessoal com o detalhe é que a agora vale menos um como o a vale menos um vai ficar Menos um sobre menos um vezes menos 1 - exponencial de menos menos um vezes ter ou seja a função f de ter ela é um menos exponencial de ter e qual que é o valor ou para onde vai a função ft quando te vai para infinito o t tende

a e aí e aqui pessoal tá com um erro aqui ó é aqui na verdade é menos um esqueci de me explicar pelo menos um é menos um mais exponencial de ter o corrigir isso para Vocês é e aqui tá a função certinho tá é quanto tempo vai pro infinito a função tende a infinito mas o teorema do valor final tinha os indicados que a função convergir ia para menos um o que que aconteceu qual que é o problema e o problema é que o teorema do valor final só pode ser aplicado se a seu

limite existe isso é se o limite convergir para algum número isso só vai valer para sistemas estáveis sistemas Estáveis estão associados a valores de regime permanente e constante tá então toma cuidado que o teorema do valor final só pode ser aplicado para sistemas estáveis bom pessoal é eu acho que essa aula vai ficar se não passar do tempo os dez minutinhos vai ficar bem em cima do tempo fácil do tempo é bom porque nós temos 100 minutos de aula se passa um pouquinho eu peço desculpas eu ainda estou me adaptando a segunda aula que eu

gravo nessa questão de gravação de vídeo Aula e nós vimos o conceitos básicos sobre modelagem então a modelagem é pegar um sistema físico e representa a ele por meio de uma equação diferencial tá a nossa vimos que essas equações diferenciais elas podem nos dar as informações sobre o comportamento da dinâmica da planta nós aprendemos a verificar o comportamento da planta por meio de simulação e específico a gente aprendeu a montar a simulação linguagem Gráfica e eu mostrei como fazer isso no simulink é mas vocês podem fazer isso no software de preferência de vocês os nossos

laboratórios serão realizados em python achei legal porque vocês conseguem ver como é que faz a simulação em diagrama de blocos e também como faz a simulação usando linha de código nozinhos o que é um sistema linear um sistema linear obedece ao princípio da a superposição e depois nós vimos que o Sistema também invariantes no tempo nós vimos que um sistema que não obedece o princípio da superposição é um sistema não linear e nós aprendemos a representar um sistema linear em torno de um ponto de equilíbrio o ponto de equilíbrio é onde sistema ficar parado isto

é derivadas nulas a nós aprendemos apresentar a representar o sistema não linear em torno de um ponto que a gente chamou de procedimento de linearização e a gente viu como fazer A linearização usando a expansão em série de taylor além de ter que ir lá errado e tendo tudo bem e nós vimos a a transformada de laplace vimos a definição fizemos dois exemplos juntos pela definição e vemos algumas propriedades importantes até a próxima aula é transformada inversa de laplace a priori eu tô marcando isso com como estudo individual a eu vou tentar gravar as aulas

das Próximas semanas tem muita coisa para eu preparar laboratório aula lá se eu conseguir adiantar bem material eu volto e grava essa vídeo-aula de transformada inversa se não der tempo vai ficar como estudo individual para você está e aí vocês podem me procurar para dúvidas ah beleza então vocês estudem em casa e a gente tira dúvida é isso pessoal vale