o olá pessoal eu sou professor douglas maiores vamos continuar com nosso curso de pré-cálculo na hora de hoje vamos ver outras funções trigonométricas a gente já viu a função seno a função cosseno ea função tangente vão ver outras funções trigonométrica que a gente pode trabalhar lá em calculo1 também vamos começar falando das funções trigonométricas inversas né que que é isso então por exemplo se eu tenho um ângulo de 30° e eu calcular o seno deste ângulo de 30° a gente viu lá pela tabela dos ângulos notáveis que dá meio beleza sendo de 30 é meio
mas aí também tem as funções inversas que é o seguinte se me dá um valor meio como que eu sei qual é o angulo que o selo da meio que a gente chama de sendo menos um ou também de arco seno quem era essa calculadora ver aí pode estar escrito arco seno ou sendo menos o que que é o fenômeno sou o seguinte eu vou dar um valor a resposta vai ser o que é o símbolo que os e no daquele valor então por exemplo se eu colocar na calculadora cena de 30 a resposta é
meio se eu colocar na calculadora sendo menos um de meio a resposta é 30 porque senão de 30 é meio quem tem outros ângulos que o sendo também da meio tem qualquer ângulo congro com 30 o céu também vai ser meio pega o 30 lembra que 30 mais 360 da 390 se você calcular seno de 390 também vai dar meio ou se você andar para trás também se você pode na 360 monte de vez para frente ou pode andar para trás também não se você pegar 30 tira 360 fica - 330 é um ângulo com
2:30 porque vai tá bem no mesmo lugarzinho que o 30 o seno de - 330 também da meio ok porém tem outro ângulo que não é congro com 30 que a resposta do seno também da meio porém a maioria das calculadoras ele só vai te dar uma possível resposta e como que eu consigo achar a outra resposta ok vendo a resposta calculadora me deu é isso que a gente vai ver aqui agora vamos começar com a função inversa de cosseno que o arco cosseno ok lembra-se na calculadora pode estar coçando menos um ou ar que
coça quem que é o arco coçando ta seguinte a gente vai ter um valor e a gente o arco cosseno ou coceira menos um vai-me dar qual que é o ângulo e o que você não dá exatamente aquele valor seu presente eu peguei um valor então quê que eu faço lá no circulo trigonométrico pega um valor tão valor coloquei aqui ó essa medida aqui ó é o valor que eu que deu ok tem dois ângulos possíveis que o que você não dá esse valor aqui é o que um é esse daqui que é esse ângulo
ok e o outro é o menos desse ângulo tom supor que eu coloquei aqui 0,7 tem um ângulo aqui que o que você não está exato 17 e o oposto desse ângulo também vai dar 0,7 lembra que o cosseno de x = cosseno de menos x né então seguinte a calculadora vai dar uma resposta lá para o arco cosseno a outra resposta é o que é só mudar o sinal quem só pegar o oposto vou pegar um exemplo aqui ó vamos supor que eu tô trabalhando com o que muda a cor aqui moço porque eu
tenho lá cosseno de teta igual 0,5000 seja ficou sendo de algum ângulo que eu não sei é 0,5 o que que eu faço eu vou aplicar a função inversa quem é mais ou menos que eu passo o cosseno pro outro lado entre aspas só que se eu passo o que você não outro lado eu tenho que inverter o cosseno fica o que o teto fica desse lado o cosseno passa por outro lado o arco cosseno ou só calculador de pesquisa que você mesmo se você pode também ficou sendo menos um a mesma coisa ok então
se o cosseno de um ângulo é meio quer dizer que esse ângulo eu posso calcular dessa seguinte forma arco cosseno de e-mail se você colocar na calculadora pega essa calculadora agora e vê lá se tiver cosseno apertar arcocosseno 0,5 se tiver coçando menos um aperta cosseno menos um de 0,5 e a resposta que a calculadora vai dar vai ser essa daqui a provavelmente 60° quem cuidado sua calculadora se tiver em graus lembra que graus adquirir se tiverem graus ela vai dar 60° ok se ela tiver irradiando ela vai dar resposta em radianos se elas tiverem
grado ela vai dar resposta ingrato ok então se eu me pegar uma calculadora e colocar ela em graus ou seja digo ir ela vai falar que é 60° verdade cosseno de 60 da 0,5 ok mas tem outras respostas possíveis ok tem as respostas com grossas com sessenta graus pega os 60 graus soma 360 depois são a presença de novo todos vezes você somar 360 ou tira 360 você vai chegar em um arco congruo com 60 mas tem um que não é compro com 60 também é resposta que é o seguinte em 60 é uma resposta
a resposta só trocar o sinal que é o que menos 60 o que coloca na calculadora quanto que é costume anos 60 também da 0,5 ou seja tanto 60 quanto menos 60 graus o conselho 0,5 todo o ângulo que for compro a 60 vai dar resposta meio todo o ângulo que for côngrua - 60 o cosseno também vai dar resposta mesmo bem então tem dois ângulos principais que aos 61 anos 60 e os outros ângulos que são côngruos a ele quem então guarda que ao que você não menos um isso daqui a resposta calculadora para
você ver a outra resposta correta do arco cosseno é só pegar o oposto daquela resposta que a calculadora do com quem a e no caso dos e no no caso dos e no aí é o seguinte eu vou dar um valor o valor do seno eu vou colocar no y lembra que o sereno y ok então coloquei o valor que foi me dado que no y tem dois ângulos possíveis que dá esse valor de y é o que esse daqui e esse se esse daqui for por exemplo x qual que é esse daqui é 180
tira x né então se aqui for 50 aqui é 105 80 tira 50 130 né então seja se o teto é uma resposta que a calculadora calculadora deu qual que é outra resposta 180 - centro se sua calculadora tiver radiando aí como seria você não vai o céu 180 - teto seu zap mesmo certo ok então você calculadora tiver grau 180 - certo é a outra resposta se eu tiver em radianos do pi - teto vamos ver um exemplo bom então tem lá seno de teta = 0,25 eu quero saber que ângulo que o sendo
aquele andré = 0,25 o que que eu faço eu uso lá que leandro vou passar os e no outro lado se eu passo sendo controlado inverto c no qual que é o inverso do seno é o arco seno ou sendo menos um também depende do que a nossa calculadora agora vai lá de novo coloca na sua calculadora ok a minha calculadora tava em graus então se você quiser deixar a resposta igual eu coloco em galos também vai lá e coloca arco-seno 0,25 ou se só calculadora estiver sendo menos uns e no menos um 0,25 ver
que resposta que deu aí esse teto quando eu coloco na minha calculadora arcos em 10 por 15 deu mais ou menos 14,40 e oito aproximado com 14,40 e oito graus e essa é uma resposta qual que é outra resposta possível essa resposta é calculada deu qual que é outra resposta possível é fazer 180 - essa resposta que a calculadora me deu 180 - 14,40 e oito 180 - 14,40 da 165,5 165,5 e 2 graus e quem não tem dois ângulos principais que o seno da 0,25 o seno de 14,40 e oito da 0,25 oceano de
165,5 32 também da 0,25 lembrando que qualquer ângulo que for côngrua esse também vai dar 0,25 e qualquer ângulo que for côngrua esse também vai dar 0,25 quentão a respiração esses dois anos principais e angulos congruos a esses dois quem vamos continuar agora com tanta gente como que fica otan gente agora é o seguinte o tangente unidos coloca lembra que a gente vai pegar o que a gente a gente levanta reta x igual a um pega o ângulo e prolonga essa reta do ângulo até bater aqui nessa reta do x1 então se eu abrir esse
ângulo isso daqui lá bater aqui qual que é o outro logo que vai bater aqui também o ângulo que tal posta ele que é o que eu pego esse ângulo e soma 180 então se eu pegar esse ângulo somar e tenta essa reta aqui também vai bater no mesmo ponto lá do tangente então se esse ângulo for por exemplo 50 se eu pegar 180 mais esse 50 quem 180 mais 50 vai dar 230/230 também vai bater no mesmo ponto se ele vai ter tanta gente bom ou seja se o teto é resposta calculadora me deu
qual que é outra resposta possível para o tem gente menos um vai ser 180 mais reta se eu tiver trabalhando com radiando lembrando vai sempre mais perto tem problema quando você tiver trabalhando com funções trigonométricas tem que prestar muita atenção se você tá trabalhando com um radiano ou com graus e você tem que deixar a calculadora no que você tá trabalhando bom então vamos fazer um exemplo aqui a tangente de teto a = 3 vai para ser mais a gente dá para ser três da assim tem o seno eo cosseno é uma resposta entre menos
um agora eu tenho gente pode ir até o infinito quem tangente de teto = 3q ângulo que eu coloco aqui vamos deixar esse ano sozinho passa gente outro lado no everton gente fica o arco tangente então se o tangente de teto = 3 o meu teto vai ser igual o arco tangente de três coloca na calculadora lá arco-tangente 3 ou se não tiver tangente menos um de três a minha calculadora a resposta deu foi 71,5 37 ou seja tangente de 71,5 87 da aproximadamente três porque esse daqui aproximado ok qual que é a outra resposta
a outra resposta vai ser o que sente 80 mais 71 1,57 se eu tivesse trabalhando com radiando seria pirmais ou a resposta que obtive né se e ainda mais 71 1,57 da 251 oi vírgula 57 graus ou seja tanto tangente de 250 vírgula 57 como tangente de 71 1,57 da três e qualquer ângulo que for compra é esse qualquer ângulo que for comprar esse otan gente também dá três ok resumindo a gente tem seguinte arco cosseno né tem até uma resposta que é calculado o deu qualquer outra resposta é só pegar o oposto trocar o
sinal os arcos e no teto uma resposta que obtive na calculadora qualquer outra resposta 180 - reta ou se tiver trabalho irradiando pe menos tempo no arco tangente teto ea resposta que obtive na calculadora qualquer outra resposta 180 mais reta ou se eu tiver trabalhando radiando pe nesto ok então essas são as funções trigonométricas inversas ganhar porque o oceano arcos e no arco tangente têm mais função trigonométrica dos hortência hein vamos ver aqui mais três cossecante secante e cotangente ok isso daqui que tá escrito aqui ok é bom tá decorado ok porque na hora que
você vai usar você nem precisa consultar são coisas que você tem que estar bem na sua na sua memória aí primeiro o que é co secante cossecante é um sobre seno o que é secante secante é um sobre cosseno cuidado que muita gente confunde aqui porque o cossecante começa com com então parece que é um sobre cos esse é um sobre seno e secante começa com s então parece que é um sobre sendo mas na verdade é um sobre cosseno e que a gente tem aqui a cossecante e a secante cossecante gente usa esse símbolo
aqui cospec né cossecante é o que é um sobre seno secante é o que é um sobre cosseno ok então lembra que o começa com cocô na verdade é um sobre centro começa com s e na verdade é um sobre cosseno e o que que é cocô tangente cotangente e universo de tangente não sabe então gente então cossecante universo dessecante descer no né um sobre sendo secante universo de cosseno-1 sobre cosseno né cuidado que a gente está falando de inverso multiplicativo a gente tava falando antes de inverso de função a gente vai ver também o
quê que é função inversa mas lá que a gente tava falando antes arco seno ou cosseno arco tangente é inverso de função quem a que inverso multiplicativo ou seja ele acho que tiver um dividido pela função então ser tá parecendo secante cossecante é um submenu secante ao sobre cosseno e cotangente é um sobre tangente lembra que tangencia a gente não tem que tangente a tangente de um ângulo é seno sobre cosseno eu cheguei mostrar para vocês né a tangente de um ângulo é seno sobre cosseno e como cotangente o inverso multiplicativo de teria que seria
um sobre tangente quer dizer que a gente pode falar que tem gente é sendo sobre cosseno e o cotangente é o oposto inverso né cotangente se tangente e seno sobre cosseno ou tangente é o contrário cosseno sobre seno oi ok bom então guarda aí também tem gente até no sobre cosseno ou tangente e cosseno sobre seno então essas são as funções trigonométricas cossecante secante cotangente vamos falar um pouquinho mais sobre elas quem e elas assim como seno cosseno tangente também podem ser definidas nos ciclo trigonométrico é só que a gente tem algumas relações dessa relação
fundamental da trigonometria a gente já conhece cosseno ao quadrado mas sendo ao quadrado igual a um tem outras relações vão manchar essas relações aqui no ciclo trigonométrico a seguinte o primeiro eu peguei um ângulo vou mostrar aqui primeiro eu peguei um ângulo aqui quem lembra que o cosseno x o cena no y eu levanto a reta x igual a 1 para o longa que meu ângulo aqui onde bateu essa gente essa medida tangente se eu pegar essa medida onde bateu até a origem a gente tem a secante então a secante aqui é esse ponto até
onde bateu lá no tangente lá na reta sido bom e eu posso fazer a mesma coisa com y pega a reta y = 11 e prolonga até bater nessa reta igual um esse ponto que bateu até aqui ó é a cor tangente e essa distância desse ponto até a origem é cossecante ok daqui no círculo metro não precisa decorar muito onde que fica até gente onde fica tangente seno e cosseno é bom saber mas onde fica a secante onde fica cossecante onde fica com o tangente no ciclo trigonométrico e não é não é tão importante
assim é legal assim tem essa tabelinha kay para caso precisa mas não precisa decorar não e agora vamos pegar vou pegar a gente já tinha pego um triângulo o triângulo do cosseno seno quem vão pegar esse triângulo aqui ó que eu vou desenhar de preto daqui aqui aqui perceba que esse triângulo e retângulo ok aí aqui qual que é a hipotenusa é esse tamanho que é secante então esse triângulo é podemos você cante um cateto é o tangente e o outro cateto é o raio daqui do ciclo trigonométrico e o raio a gente sabe que
é um quem então pelo teorema de pitágoras gente sabe seguinte que hipotenusa ao quadrado tem que continuar secante ao quadrado secante ao quadrado é igual esse cateto ac cá ao quadrado que é um um ao quadrado mas esse cateto ao quadrado que tem gente mas tangente ao quadrado então a gente tem essa relação aqui olhando esse triângulo aqui e a gente pode pegar também outro triângulo vamos apagar aqui a gente pode pegar outro triângulo que é esse daqui ó dá origem até bater lá na reta y = 1 volta até o eixo y e sobe
aqui perceba que aqui também o triângulo retângulo a hipotenusa esse tamanho todo aqui que eu cossecante um cateto ao cotangente e o outro cateto é da origem até aqui ó que é o raio o raio lembra que o rádio trigonometry um pelo teorema de pitágoras que que a gente tem a gente tem que ir a hipotenusa ao quadrado que é co secante ao quadrado igual ao cateto ao quadrado que é um ao quadrado mas esse cateto que a conta a gente ao quadrado ok tô pensando que essa relação a essa relação dá para gente achar
lá no ciclo trigonométrico e essa daqui eu já tinha mostrado no ciclo trigonométrico é só que professor precisa decorar essa e essas duas relações não precisa porque a gente chega facinho nessas duas só decorando essa olha só decorei só essa cosseno ao quadrado mas se não quadrado egon que que eu vou fazer eu vou dividir todo mundo porque o sinal quadrado a dividir aqui pelo cosseno ao quadrado dividir aqui porque o sinal quadrado dividir aqui porque você não quadrado o cosseno ao quadrado dividir porque senão quadrado ó divisão de duas coisas iguais dão mais cena
o quadrado sobre continuar quadrado a gente não sabe que tem gente é seno sobre cosseno seno tangente e seno sobre cosseno então se sendo sobre cosseno e tangente seno ao quadrado sobre cosseno ao quadrado é tangente ao quadrado ó e aqui a gente não sabe que secante é um sobre cosseno secante é um sobre cosseno que a gente tem um sobre cosseno ao quadrado se um sobre cosseno e secante um sobre cosseno ao quadrado é secante ao quadrado então olha só eu peguei essa relação fundamental da trigonometria cosseno ao quadrado mais senão quadrado é um
dividir tudo porque você não quadrado eu cheguei numa outra relação que falou que que secante ao quadrado igual a um mas tangente ao quadrado que essa daqui quem e nessa como que eu chego é só pegar agora tudo e dividir por seno ao quadrado eu vou dividir tudo por ser não quadrado e aí a todos os termos eu vou dividir por sinal quadrado olha só que a gente vai chegar nessa relação aqui cosseno sobre seno bom a gente sabe que cotangente lembra que sendo que tem gente é seno sobre cosseno ou tangente é o inverso
né cosseno sobre seno e se cosseno sobre seno é que eu tangente cosseno ao quadrado sobre sinal quadrado é quanto tangente ao quadrado com mike sendo ao quadrado dividido por sinal quadrado divisão de duas coisas iguais dá um e a gente sabe que cossecante é um sobre seno quem então se um sobre sendo é cossecante um sobre seno ao quadrado é cossecante ao quadrado o que a gente chegou na outra relação com secante ao quadrado igual quanto a gente ao quadrado mais um quem você viu que essa forma que a gente chega facilmente nas outras
duas formas então um resumo aqui do que a gente viu lembra que cossecante é um sobre seno secante é um sobre cosseno ou tangente é um sobre tangente mas lembra que eu posso falar aqui tangente de um ângulo é seno sobre cosseno oi e eu posso falar também que cotangente então é de um ângulo vai ser o inverso do cosseno sobre seno e e quem e a gente viu essas relações minhas aqui essas duas a gente chegou a partir da fundamental do segundo dia que a cosseno ao quadrado mas se não quadrado é bom quem
mas essas pode a gente pode usar durante nossos estudos aí de cálculo então é bom também ter anotado elas quem antes de terminar a aula eu vou mostrar para vocês como que é o gráfico da cotangente da secante e da cossecante e da tangente que eu não mostrei ainda nessa mostrar que por enquanto o gráfico do seno e cosseno eu vou mostrar dessas três e da tem gente que eu fiquei devendo também ok então vou para o geogebra novamente bom estamos aqui no jeba de novo hoje eu deixei aqui pronto em a função tangente secante
cotangente e cossecante vamos vou clicar aqui ó nathan gente esse é o gráfico da função tangente né parece um pouquinho complicado estranho né porque não tá acostumado mas essa gráfico da tangente vê-se que aqui é o thai vindo lá do menos infinito né faz uma curvinha tá aumentando ela crescente aqui né e os intervalos né e aí ela vai até o infinito depois ela vem lá do infinito menos infinito de novo cresce até chegar lá no mais efeito quem esse é o gráfico da função tangente se você vê por exemplo eu vou colocar da cotangente
filho da gente é bem parecido só que é o contrário né ela pega alguns dentro de alguns intervalos ela vai ver crescendo né nesse intervalo aquela decreto né seu intervalo aquela decreto né ela vem lá do mais infinito vai decrescendo até o mesmo 500 depois ela vem lado mas aqui de novo né então aqui a gente tem o gráfico da turma e tangente e o gráfico da cotangente aí a gente tem aqui o gráfico da secante ao quadrado a história bem mais bonito vem aqui chega pertinho deixes né vaco mais serviço novo depois vem do
menos infinito volta para o menos 500 essa da secante e essa da cossecante né vê que é bem parecido nessa secante cossecante e e são gráficos bem diferente do que a gente tinha visto até agora né mas é a gente não usa tanto igual os outros que a gente tá vendo de primeiro grau do 2º grau né de exponencial de logaritmo né mas é bom saber um pouco como que é o gráfico aqui de cada um desses né e é bom também ter o geogebra aqui né quem conhece o josé baixo onde eu gero trabalha
e com os programinhas que eu vou mandar esse daqui eu vou deixar também na descrição do vídeo que ver esses programinhas porque se você tiver dúvida qualquer função se coloca aí no geogebra ele já constrói o gráfico na hora da função que você quer né e dá para fazer outras coisas bem legais também antes de terminar eu vou colocar outro programinha do geogebra esse daqui que é o ciclo trigonométrico então a gente tem que o ciclo trigonométrico e a gente tem aqui é uma bagunça essa bagunça aqui é o que é onde fica a seno
cosseno tangente né lembra e aqui ó e aumenta aqui aqui eu vou tô mentindo pegando o ângulo né para ver que eu tô lutando ângulo diminuindo se eu pegar um ângulo aqui peguei o ângulo de 45 há 44 dias peguei o ônibus 44 e esse ponto aqui o cosseno lembra que no x os e no é no y né se a gente prolongar que essa reta até bater na reta x igual um a gente tem o tangente né vou aumentar que o meu eu lembro que a gente bater até reta aqui um a gente tem
o tangente se a gente bater até a reta y = 1 a gente tem o cotangente né essa medida daqui até aqui é o cossecante no caso aquele tá colocando a medida aqui é a mesma e daqui até aqui é o secante que ele tá colocando aqui na verdade que a mesma medida e aí você pode trabalhar aqui ó vou deixar para vocês hoje cês podem deixar individualmente não deixar só o seno e ver o sendo o que que acontece com seno ou deixar só o cosseno de desativar o é só o cosseno que que
acontece com cosseno ou sol tangente né ou só o cotangente né como que acontece com conta gente secante cossecante mesma coisa só vou colocar o tangential para você ver se eu vou aumentando o meu ângulo olha só o tangente ó deserta gente a zero que vai bater ganha aqui é zero se eu vou aumentando o meu ângulo o que que vai acontecendo ah vai aumentando aqui ó e o que a gente vai subindo vai subindo vai subindo quando chega no 90 graus no 90 graus não existe tanta gente por aqui ó o 90 graus vai
ser exatamente paralelo ou com x igual a um então nunca essa reta aqui se prolongar vai bater nessa reta aqui então 90 graus não existe né ou também porque tem gente chegou o seno sobre cosseno e cosseno de 90 e zero é outra explicação porque o tangente de 90 não existe e a gente vê o que está vindo lado menos infinito e depois cresce até o mais é como que é o gráfico gráfico da função tangente vem lá do menos infinito depois vai lá no mais infinito quem e fica rodando desse jeito aqui ok então
esse daqui é legal para você ficar brincando e ver e enxergar melhor seno cosseno tangente cotangente secante cossecante no ciclo trigonométrico ok agora sim eu terminei a aula bons estudos a todos
