Geometria Analítica - Operações com vetores

[Música] Olá alunos da Univesp sejam bem-vindos a mais uma aula de geometria analítica hoje nós vamos falar sobre operações com vetores nós vimos que um vetor V tem infinitos representantes porém somente um deles tem origem no ponto a extremidade no ponto b essa proposição diz exatamente isso dado um ponto a e representante do vetor V existe um único ponto b tal que B = A + V desta relação podemos obter a subtração simbólica v = b - a ou a b = b - a da subtração simbólica b - a é igual ao vetor AB

podemos extrair as seguintes propriedades o vetor AB é igual a menos o vetor ba e esta propriedade não é difícil de verificar veja só se o vetor AB pode ser escrito como b - a podemos reescrever essa subtração de outra forma por exemplo com o sinal de menos em evidência e para manter a igualdade precisamos ter - b e+ a dentro do parênteses por outro lado podemos mudar a posição de A e - B assim voltamos a a subtração simbólica onde a - b é igual ao vetor ba e concluímos a verificação desta propriedade a

segunda propriedade diz que se dois vetores AB e CD são iguais Então os vetores ac e BD Também o São novamente usaremos a relação que o vetor AB pode ser escrito como b - a e o vetor CD pode ser escrito como d - c queremos ch em A C no lado esquerdo da equação então de forma conveniente podemos somar C dos dois lados aqui o famoso passa para o outro lado positivo como queremos chegar em BD no lado direito da equação então podemos subtrair B nos dois lados depois de organizar as letras de forma

conveniente Isto é colocando C - A ig a d - b concluímos que o vetor AC é igual ao vetor BD e esta é a interpretação geométrica da proposição que acabamos de ver os vetores AB BD CD e ac formam um paralelogramo nós já sabemos que para um mesmo vetor existem infinitos representantes esses infinitos representantes nos dão a ideia de poder movimentar o vetor de um lado para o outro para simplificar daqui para frente vamos usar essa ideia de movimento sem precisar mencionar que na verdade estamos escolhendo um representante que fica naquela posição do plano

ou do espaço dito isso vamos para a definição de soma de vetores se estamos somando u mais V então colocamos a origem de v na extremidade de u o vetor resultante da soma é o vetor que tem a mesma origem de u e a mesma umidade de v Observe que os vetores u v e u + v formam um triângulo isso só não acontece quando u e v são vetores Paralelos seguindo a definição de soma de vetores para saber qual é o vetor resultante da soma deu por V colocamos a origem de U na extremidade

de v e o vetor resultante é o vetor que tem a mesma origem de u e a mesma extremidade de V isso fica fácil de entender se pensamos em uma soma de forças uma força de magnitude três para a direita mais uma força de magnitude 2 também para a direita resulta em uma força de magnitude 5 para a direita para vetores paralelos e de sentidos opostos o procedimento é o mesmo no entanto o vetor V anula parte do vetor u pensando novamente em uma soma de forças uma força de magnitude TR para a direita mais

uma força de magnitude dois para a esquerda resulta em uma força de magnitude 1 para a direita uma outra forma de encontrar o vetor soma caso os vetores não sejam Paralelos é o método do paralelogramo este método consiste em unir as origens de u e v e completar o paralelogramo a b c e d a diagonal do paralelogramo a c d é é o vetor u + v vamos conhecer as propriedades da soma vetorial a primeira propriedade é a comutativa ou seja somar u com v é o mesmo de somar V com u vamos ver

essa propriedade aplicando primeiro conceito que vimos para obter o vetor u + v colocamos a extremidade de v na origem de u e o vetor u + v é o vetor que liga a origem de U à extremidade de V a soma v + u colocamos a extremidade de U na origem de v e o vetor v + u é o vetor que liga a extremidade de v à origem de U veja que o vetor é o mesmo logo u + v ig a v + u a propriedade associativa afirma que para somar mais de

dois vetores você precisa aplicar a propriedade de soma 2 a 2 e que a ordem desta soma não altera o resultado final aqui queremos fazer a soma de três vetores de um lado somamos primeiro u e v e com o resultado desta soma adicionaremos o vetor w veja que o resultado é o mesmo se somarmos v e w primeiro e ao vetor v + w somamos o vetor u temos ainda a existência de um elemento neutro no caso da soma é o vetor nulo tal que a soma de u com o vetor nulo é é

igual ao próprio vetor u e para cada vetor existe um vetor oposto de tal forma que a soma do vetor com o seu oposto resulta no vetor nulo a subtração de vetores nada mais é do que somar o vetor u ao vetor oposto de v aplicamos então a definição de soma de vetores nos vetores u e - v logo colocamos a extremidade do vetor - V na origem de u e o vetor resultante é o vetor que sai da origem de u e chega na extremidade de - v na multiplicação de um vetor por um

escalar a direção do vetor é mantida mas seu comprimento e seu sentido podem ser alterados de acordo com o valor do escalar por exemplo se multiplicar o vetor V por 2 mantemos seu sentido e dobramos seu comprimento se multiplicamos V por meio mantemos seu sentido e reduzimos seu tamanho pela metade se multiplicamos o vetor V por -2 além de dobrar seu tamanho invertemos seu sentido também invertemos o sentido de v se multiplicarmos por - me2 além de reduzir o seu tamanho pela metade vamos ver Quais as propriedades da multiplicação de um escalar por um vetor

sejam quaisquer vetores não nulos u e v e quaisquer números reais alfa e beta temos um a propriedade associativa Isto é você pode multiplicar primeiro o vetor por um número e depois este produto por um outro número ou ainda multiplicar os números primeiro e depois multiplicar este produto com o vetor V dois a propriedade distributiva de Alfa em relação à soma de dois vetores três a propriedade distributiva de um vetor em relação à soma entre dois números quatro a multiplicação do número um por V dá o próprio vetor V esse exercício pode ser resolvido geometricamente

usando a definição de soma vetorial que vimos na aula de hoje Porém quando temos muitos vetores envolvidos a resolução geométrica pode ficar um pouco trabalhosa e complicada por isso neste exercício faremos a a soma desses vetores utilizando a subtração simbólica que vimos na primeira proposição desta aula Primeiro vamos identificar todos os vetores que estão na imagem e que queremos somar temos portanto os vetores ba AD DB ac e CD lembre-se de respeitar o sentido de cada um deles para cada vetor iremos escrever como a extremidade menos a origem ou ou seja o vetor ba é

igual a a - b o vetor AD é igual a d - a e assim por diante veja que algumas letras podem ser canceladas restando apenas d - a ou seja o vetor AD logo a soma de todos esses vetores resultam no vetor AD este exercício será resolvido com as mesmas técnicas que o usamos para resolver um sistema de equações lineares e isso pode ser feito Graças às propriedades de soma entre vetores e as propriedades de multiplicação entre um número real e um vetor para resolver esse sistema optei por usar o escalonamento que consiste em

manter a primeira linha e eliminar a primeira componente da segunda linha para eliminar x da linha 2 Basta fazer linha 1 menos linha do então mantenho a primeira linha e a segunda linha fica x - x = 0 2Y - par - Y = 3y u só tem na primeira linha então basta repetir 3W só tem na segunda linha então repito então fica - V Men abre parênteses 2v fecha parênteses ig a -3v a ideia de resolver o sistema nas incógnitas x e y é deixar x e y em função de u v e w

por isso eu passo TR dividindo e faço as simplificações na segunda equação depois basta substituir a expressão encontrada em Y na primeira equação deixando x isolado assim obtemos as expressões para x e y em função de u v e w façam os exercícios e espero vocês na próxima [Música] [Música] aula h [Música]