[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] >> [PEDRO] OLÁ, PESSOAL! TUDO BOM? VAMOS FAZER ENTÃO, AULA DE HOJE, ALGUNS EXERCÍCIOS SOBRE AS EXPRESSÕES NUMÉRICAS E PROBLEMINHAS MATEMÁTICOS, TÁ BOM?
ENTÃO, VAMOS COMEÇAR COM OS EXERCÍCIOS QUE ESTÃO LÁ NO MATERIAL DE APOIO DE VOCÊS, NAS ATIVIDADES DE APOIO. ENTÃO, O PRIMEIRO EXERCÍCIO PEDE PARA CALCULAR O VALOR DESSA EXPRESSÃO, UMA EXPRESSÃO MATEMÁTICA, QUE CONTÉM TODOS OS SÍMBOLOS GRÁFICOS E AS OPERAÇÕES. ENTÃO, LEMBRANDO, NÉ, QUAL É A ORDEM QUE A GENTE TEM QUE USAR, NÓS TEMOS QUE PRIMEIRO RESOLVER O QUE TÁ DENTRO DO PARÊNTESES, DEPOIS, RESOLVIDO ISSO, RESOLVER O QUE TA DENTRO DO COLCHETES E, FINALMENTE, RESOLVER O QUE TÁ DENTRO DAS CHAVES.
E É LÓGICO QUE EM CADA ETAPA DESSAS A GENTE TEM OPERAÇÕES E AÍ EU TENHO A ORDEM DAS OPERAÇÕES. PRIMEIRO EU FAÇO POTÊNCIA/RADICIAÇÃO, DEPOIS EU FAÇO PRODUTO/DIVISÃO E, POR ÚLTIMO, FAÇO SOMAS E SUBTRAÇÃO. OK?
ENTÃO VAMOS RESOLVER ESSA EXPRESSÃO AQUI. TA AÍ A EXPRESSÃO, PRIMEIRO EU VOU RESOLVER QUE TEM LÁ NO PARÊNTESES. 25 ELEVADO A ZERO, QUALQUER NÚMERO ELEVADO A ZERO DÁ UM.
ENTÃO ISSO AQUI, NA VERDADE, É UM MAIS UM. ENTÃO RESOLVENDO ALI EU VOU FICAR COM 3 MENOS. JÁ RESOLVI AQUI, OLHA, ESSA RAIZ QUE TÁ AQUI, RAIZ CÚBICA DE 64 QUE É IGUAL A 4, DIVIDIDO POR UM MAIS UM QUE DÁ DOIS.
BEM, CONTINUANDO ENTÃO, FIQUEI AQUI DENTRO COM 4 DIVIDIDO POR 2 QUE É 2, 3 MENOS 2. . .
RESOLVENDO O QUE TÁ LÁ, VAI FICAR DUAS VEZES. . .
ORA, 3 MENOS 2 É UM. UM MAIS 2 DÁ TRÊS, MAIS 8 DÁ 11. ENTÃO, FICA DUAS VEZES 11 MENOS 5 E O RESULTADO ENTÃO É 17.
ALTERNATIVA "E". TUDO BEM? PROBLEMINHA: A DIFERENÇA ENTRE AS IDADES DE MEU PRIMEIRO FILHO E DO MEU TERCEIRO FILHO É DE 4 ANOS.
SE A SOMA DAS IDADES DOS MEUS TRÊS FILHOS FOI DE 12 ANOS, E NENHUM DELES É GÊMEO, ENTÃO CADA UM TEM UMA IDADE DIFERENTE E NORMALMENTE QUANDO A GENTE FALA DE PROBLEMA DE IDADE, A GENTE SEMPRE CONTA A IDADE COMPLETA, QUE DIZER ENTÃO 11 ANOS, 12 ANOS, 15 ANOS, NUNCA 2 ANOS E 8 MESES, POR EXEMPLO. DETERMINE AS SUAS IDADES. ENTÃO É UM PROBLEMINHA SIMPLES.
. . ENTÃO VAMOS CHAMAR DE "X", "Y" E "Z" AS IDADES DOS MEUS FILHOS.
O "X" É DO PRIMEIRO, O "Y" DO SEGUNDO E O "Z" DO TERCEIRO FILHO. QUAIS SÃO AS INFORMAÇÕES QUE O PROBLEMA TÁ PASSANDO PRA NÓS? A DIFERENÇA ENTRE IDADE DO PRIMEIRO FILHO, MAIS VELHO, E O MAIS NOVO É DE 4 ANOS.
E, ALÉM DISSO, A SOMA DAS IDADES DÁ 12 ANOS. COM ISSO, EU TENHO QUE SABER QUAL É A IDADE DOS TRÊS FILHOS QUE EU TENHO. OK?
BOM, NA PRIMEIRA EQUAÇÃO, NÓS TEMOS QUE O "X", A IDADE DO PRIMEIRO FILHO, É A IDADE DO TERCEIRO FILHO MAIS QUATRO ANOS. SUBSTITUINDO NA SEGUNDA EQUAÇÃO, A GENTE OBTÉM, OLHA AÍ, A IDADE DO PRIMEIRO FILHO, QUE É O TERCEIRO FILHO MAIS QUATRO, SOMADO COM A IDADE DO SEGUNDO E SOMADO COM A IDADE DO TERCEIRO QUE É IGUAL A 12. ENTÃO, ISSO ME DÁ UMA EQUAÇÃO QUE SÓ ENVOLVE AGORA AS IDADES DO SEGUNDO E TERCEIRO FILHO.
"2Z" MAIS "Y" IGUAL A 8. TÁ? A GENTE PRECISA OBSERVAR AQUI QUE A IDADE ENTRE O SEGUNDO E O TERCEIRO FILHO, QUAL É A DIFERENÇA QUE PODE TER?
SE O PRIMEIRO E O TERCEIRO SÃO QUATRO ANOS E EU NÃO TENHO NENHUM FILHO GÊMEO, A IDADE ENTRE O SEGUNDO E O TERCEIRO PODE SER DE UM ANO, DOIS OU TRÊS ANOS NO MÁXIMO. ENTÃO, EU VOU USAR ESSE FATO PARA TENTAR DESCOBRIR QUAIS SÃO AS IDADES DOS MEUS TRÊS FILHOS. ENTÃO, SE A DIFERENÇA ENTRE O SEGUNDO E O TERCEIRO FILHO FOR DE UM ANO, OU SEJA, EU POSSO ESCREVER O "Y" COMO SENDO "1 MAIS Z", SUBSTITUINDO NESSA EQUAÇÃO QUE EU TENHO, VAI FICAR "2Z" MAIS O MEU "Y".
"1 MAIS Z" QUE É IGUAL A 8. ENTÃO, EU CAI NA EQUAÇÃO "3Z É 7" QUE NÃO ME DÁ UMA SOLUÇÃO INTEIRA, NÉ? 7 DIVIDIDO POR 3 NÃO DÁ UM NÚMERO INTEIRO.
ENTÃO, PROVAVELMENTE, A DIFERENÇA NÃO É UM ANO. VAMOS VERIFICAR AGORA SE A DIFERENÇA DE IDADE ENTRE O SEGUNDO E O TERCEIRO FILHO É DE DOIS ANOS. ENTÃO, EU VOU ISOLAR AQUI TAMBÉM, DO MESMO JEITO, A IDADE DO SEGUNDO FILHO, O "Y", ELE VAI SER IGUAL A "2 MAIS Z", JOGANDO NAQUELA EQUAÇÃO VAI FICAR: "2Z MAIS O "Y", QUE É "2 MAIS Z" AGORA, ISSO É IGUAL É 8.
RESOLVENDO EU TENHO "3Z IGUAL A 6", PORTANTO "Z" É IGUAL A 2. É UMA RESPOSTA INTEIRA. ENTÃO, ESSA É UMA POSSÍVEL SOLUÇÃO.
VAMOS DAR UMA OLHADA, AINDA TEM MAIS UM CASO. EU POSSO TER A DIFERENÇA ENTRE O SEGUNDO E O TERCEIRO FILHO IGUAL A 3 ANOS. BOM, ENTÃO O "Y" É 3 MAIS "Z", JOGANDO NA EQUAÇÃO EU VOU OBTER "3E IGUAL A 5", QUE TAMBÉM NÃO VAI TER UMA SOLUÇÃO NATURAL, UMA SOLUÇÃO INTEIRA.
ENTÃO, COM ISSO, ESTÁ DETERMINADO QUE O MEU FILHO CAÇULA, "Z", VAI TER DOIS ANOS. BOM, A IDADE DOS MEUS FILHOS VAI SER IGUAL A QUANTO ENTÃO? O "Z" TEM DOIS ANOS, A DIFERENÇA DELE PARA O SEGUNDO FILHO É DE DOIS ANOS, ENTÃO VAI TER QUATRO.
E A DIFERENÇA DO PRIMEIRO FILHO PARA O TERCEIRO É DE QUATRO ANOS. PORTANTO, O PRIMEIRO TEM QUE TER SEIS ANOS, TA? ENTÃO TÁ AÍ A IDADE DOS TRÊS FILHOS.
PEDRO PENSOU EM UM NÚMERO E, A SEGUIR, FEZ AS SEGUINTES OPERAÇÕES: ADICIONOU 30; MULTIPLICOU ESSE NÚMERO DO RESULTADO POR 7; DIVIDIU ESSE OUTRO RESULTADO NOVO POR 2. NO FINAL DE TUDO ISSO, ELE OBTEVE O RESULTADO 210. QUAL FOI O NÚMERO QUE PEDRO PENSOU?
ESSA QUE SERIA PERGUNTA QUE A GENTE QUER FAZER, TA? ENTÃO, VAMOS SEGUIR OS PASSOS, MONTAR A EQUAÇÃO E VER O QUE ACONTECE. ENTÃO VOU CHAMAR DE "X" O NÚMERO QUE PEDRO PENSOU.
DO ENUNCIADO A GENTE TEM QUE NO PRIMEIRO PASSO ELE SOMOU 30. ENTÃO, É "X MAIS 30". MATEMATICAMENTE É ASSIM QUE EU ESCREVO.
DEPOIS, ELE FEZ O QUE NA SEGUNDA ETAPA? ELE DIVIDIU O RESULTADO QUE ELE OBTEVE POR 7. ENTÃO ELE PEGOU O "X MAIS 30", E MULTIPLICOU POR 7.
ESTÁ AÍ, OLHA, MULTIPLICOU POR 7. E NA TERCEIRA ETAPA? O QUE ELE FEZ NA TERCEIRA ETAPA?
NA TERCEIRA ETAPA ELE PEGOU TODO O RESULTADO E DIVIDIU POR 2. ENTÃO ESSA É A EXPRESSÃO DAS ETAPAS EM QUE O PEDRO PENSOU A PARTIR DO NÚMERO. ELE PENSOU EM UM NÚMERO, SOMOU 30, PEGOU O RESULTADO E MULTIPLICOU POR 7, PEGOU ESSE NOVO RESULTADO E DIVIDIU POR 2.
TÁ BOM? O QUE ELE TEVE DE RESPOSTA DISSO? A RESPOSTA FOI 210.
ENTÃO ELE QUER SABER QUAL É O "X" QUE RESOLVE ESSA EQUAÇÃO. "7 VEZES 'X' MAIS 30 SOBRE 2" QUE É ESSA EXPRESSÃO QUE ESTÁ ESCRITA AQUI, OLHA, SÓ ESCREVI ELA UM POUQUINHO DIFERENTE, QUE É IGUAL A 210. ENTÃO, VAMOS RESOLVER EQUAÇÃO, EU PASSO O 2 MULTIPLICANDO PARA O LADO DE LÁ, "7X MAIS 30" VAI SER IGUAL A 420.
AQUI SE APLICA A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA, NÉ, QUE A GENTE JÁ VIU. ENTÃO, FICA "7X MAIS 210 IGUAL A 420" QUE RECAI NESSA EQUAÇÃO "X MAIS 30 IGUAL A 60". NA VERDADE O QUE EU FIZ AQUI FOI UM POUQUINHO DIFERENTE.
EU PEGUEI ESSE 7, OLHA, E PASSEI ELE DIVIDINDO PARA CÁ. É UMA OUTRA MANEIRA DE RESOLVER. ENTÃO, O NÚMERO QUE ESTÁ AQUI MULTIPLICADO POR 7 DÁ 420.
ENTÃO, ESSE NÚMERO QUE ESTÁ AQUI É 60. PORQUE 60 VEZES 7 DÁ 420. PORTANTO, "X" IGUAL A.
. . "X" É IGUAL A 30.
TÁ CERTO? EU PASSO O 30 PRA LÁ, SUBTRAIO, DE 60 DÁ 30. ENTÃO PEDRO PENSOU NO NÚMERO 30.
TÁ BOM? VAMOS LÁ, MAIS UM EXERCÍCIO AQUI. DO TOTAL DE PESSOAS QUE VISITARAM UMA EXPOSIÇÃO, DE SEGUNDA A SEXTA-FEIRA, DURANTE A SEMANA PASSADA, UM QUINTO DESSE TOTAL VISITARAM NA TERÇA-FEIRA E UM QUARTO NA SEXTA-FEIRA.
SABENDO QUE O NÚMERO DE VISITANTES DE SEGUNDA-FEIRA CORRESPONDE A TRÊS QUARTOS DOS VISITANTES DE TERÇA-FEIRA E QUE NA QUARTA E NA QUINTA 192 PESSOAS VISITARAM EM CADA DIA, ENTÃO O TOTAL DE VISITANTES NA SEMANA FOI DE QUANTO? PROBLEMINHA CHEIO DE CONDIÇÕES, CHEIO DE INFORMAÇÕES PARA A GENTE PODER RESOLVER. ENTÃO, VAMOS LÁ, VAMOS ESCREVER A EXPRESSÃO.
EU VOU CHAMAR DE "X" O NÚMERO TOTAL DE VISITANTES NA SEMANA, TA? DO ENUNCIADO NÓS TEMOS, COLOCANDO NUMA ORDEM AQUI CERTINHA DOS DIAS DA SEMANA, NA SEGUNDA-FEIRA VIERAM TRÊS QUATRO DOS VISITANTES DE TERÇA. ENTÃO NA SEGUNDA-FEIRA EU VIM COM TRÊS QUARTOS DOS VISITANTES DE TERÇA.
NA TERÇA VEIO UM QUINTO DO TOTAL DE VISITANTES. ESSA ERA A INFORMAÇÃO QUE EU TINHA LÁ NO PROBLEMA E QUE EU VOU COLOCAR AQUI, OLHA, NA TERÇA-FEIRA UM QUINTO DO TOTAL DE VISITANTES QUE EU TÔ CHAMANDO DE "X". ENTÃO, FICA "TRÊS QUARTOS QUE MULTIPLICA UM QUINTO DE X".
NA QUARTA-FEIRA E NA QUINTA VIERAM 192 PESSOAS, VISITANTES PRA VER EM CADA UM DELES. E, NA SEXTA-FEIRA, VEM UM QUARTO DO TOTAL DE VISITANTES DA SEMANA. UM QUARTO DE "X".
E EU QUERO SABER O VALOR DA SOMA DISSO, NÉ? PARA SABER QUANTOS VISITANTES EU TIVE DURANTE A SEMANA TODA. ENTÃO, NA SEGUNDA EU TENHO TRÊS QUATRO E UM QUINTO DE "X", MAIS TERÇA COM UM QUINTO DE "X", QUARTA E QUINTA VIERAM UM NÚMERO QUE EU CONHEÇO E UM QUARTO DO NÚMERO DE VISITANTES DA SEMANA VEIO NA SEXTA-FEIRA.
A SOMA DE TODOS ESSES TEM QUE DAR O QUE? "X". QUE É O NÚMERO DE VISITANTES QUE EU TIVE DURANTE A SEMANA TODA.
ENTÃO ESSA É MINHA EQUAÇÃO. AGORA EU TENHO QUE TRABALHAR, AGORA VIROU O QUÊ? UMA EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU SÓ NA VARIÁVEL "X".
ENTÃO, TRABALHANDO ESSA EQUAÇÃO, EU TENHO "X" MENOS "3" SOBRE "20X" MENOS UM "QUINTO DE X" MENOS "UM QUARTO DE X" IGUAL A "384". O QUE EU FIZ? EU SOMEI ESSES DOIS E PEGUEI TUDO ISSO AQUI QUE TINHA "X" E PASSEI PARA O OUTRO LADO.
NÃO FOI TÃO LONGE ASSIM. PASSEI PARA O OUTRO LADO AQUI OLHA. TINHA UM "X" LÁ E DEIXEI "X" DE UM LADO E O QUE NÃO TEM "X" DO OUTRO, NÉ.
ESSE "3 SOBRE 20" É O PRODUTO "3 VEZES UM", "4 SOBRE 5", PRODUTO DE "3 QUARTOS POR UM QUINTO". AÍ, RESOLVENDO A EQUAÇÃO, EU VOU CHEGAR QUE "X" É IGUAL A 960 VISITANTES. ENTÃO NAQUELA SEMANA TIVERAM 960 VISITANTES NAQUELA EXPOSIÇÃO.
OK? AGORA UM PROBLEMA DA OBMEP, A OLIMPÍADA BRASILEIRA DA MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS DE 2013. É UM PROBLEMINHA INTERESSANTE.
A JANAÍNA ESCREVEU NO QUADRO NEGRO DOIS NÚMEROS CUJA SOMA É 1357. ELA OBSERVOU QUE UM DESSES NÚMEROS PODERIA SER OBTIDO APAGANDO O ALGARISMO DAS UNIDADES DO OUTRO NÚMERO. QUE NÚMERO É ESSE?
OU, NA VERDADE, TA PERGUNTANDO AQUI QUAL É ESSE ALGARISMO. NÓS VAMOS DESCOBRIR ATÉ QUEM SÃO OS NÚMEROS, NA VERDADE. TA?
BOM, COMO QUE A GENTE RESOLVE ISSO? EU TENHO QUE LEMBRAR UM POUQUINHO AQUELA HISTÓRIA DE ALGARISMOS. COMO É QUE VOCÊ REPRESENTA OS ALGARISMOS DA UNIDADE.
. . O NÚMERO TEM LÁ A MILHAR, CENTENA, DEZENA E UNIDADE.
ENTÃO, SE EU APAGUEI O ÚLTIMO, EU TIVE OUTRO NÚMERO. ESSES DOIS, QUANDO EU SOMO, DÁ 1357. ESSE É O PROBLEMA.
ENTÃO, VAMOS CHAMAR DE "X" E "Y" OS DOIS NÚMEROS. SUPONHA QUE "X" É UM NÚMERO QUE AO SE RETIRAR O ALGARISMO DAS UNIDADES RESULTA NO "Y". ENTÃO O "X" É UM NÚMERO QUE QUANDO EU TIREI O ALGARISMO DA UNIDADE, ELE RESULTOU NO "Y".
A SOMA DOS DOIS DÁ AQUELE NÚMERO QUE TA. DO ENUNCIADO A GENTE TEM QUE A SOMA É 1357. VAMOS DENOTAR POR "Z" O ALGARISMO DAS UNIDADES DO NÚMERO "X".
ENTÃO, "X" TEM UM ALGARISMO DE UNIDADE QUE TO CHAMANDO DE "Z". É ESSE CARA QUE ELE TA PEDINDO PARA DETERMINAR. COMO O "Y" EU CONSIGO OBTER DO "X" RETIRANDO UM ALGARISMO, EU POSSO GARANTIR QUE O "Y" POSSUI UM ALGARISMO A MENOS QUE "X".
SE VOCÊ PEGA UM NÚMERO LÁ, 3584, E VOCÊ RETIRANDO UM ALGARISMO VAI DAR OUTRO NÚMERO, 358, É PORQUE ESSE NÚMERO QUE EU TENHO AQUI AGORA TEM UM ALGARISMO A MENOS QUE O NÚMERO ANTERIOR. VOCÊ TIROU UM DOS ALGARISMOS, DIMINUIU. EU NÃO SEI SE ELE VAI TER TRÊS, QUATRO ALGARISMOS, MAS ELE FICOU COM UM ALGARISMO A MENOS.
ENTÃO, EU POSSO FALAR QUE O "X" VAI SER 10 VEZES "Y", PORQUE ELE TEM UM ALGARISMO A MAIS. . .
MAIS QUEM? O ALGARISMO DA UNIDADE QUE EU RETIREI. É ASSIM A RELAÇÃO ENTRE OS DOIS.
O "Y" EU OBTENHO DE "X" RETIRANDO O "Z" E ELE VAI ACABAR TENDO UM ALGARISMO A MENOS. ENTÃO ESSA É A RELAÇÃO QUE EU TENHO. PORTANTO, SE EM "X" MAIS "Y" EU POSSO TROCAR O "X" POR "10Y" MAIS "Z" MAIS "Y", ISSO TEM QUE DAR 1357.
ENTÃO, EU VOU FICAR AQUI, OLHA, "10Y MAIS Y" DÁ "11Y MAIS B" IGUAL A 1357. DESCULPA, ESSE "B" AQUI NA VERDADE É "Z". TÁ GENTE?
NÃO TEM "B" AQUI NA HISTÓRIA, É O NÚMERO "Z" AQUI. "11Y MAIS Z" IGUAL A 1357. AGORA, "Z" É UM ALGARISMO.
ENTÃO ELE SÓ PODE SER UM NÚMERO ENTRE 0 E 9. ELE É UM ALGARISMO. NOS SÓ PODEMOS TRABALHAR NO SISTEMA DECIMAL DE 0 ATÉ 9, ESSES SÃO OS NOSSOS ALGARISMOS.
ENTÃO, DA EQUAÇÃO ANTERIOR, QUE EU TENHO "Z É IGUAL A 1357 MENOS 11Y". VEJA SÓ: SE EU DIVIDIR 1357 POR 11, VAI DAR 123 E O RESTO VAI SER 4. PORTANTO, ESSE NÚMERO "Z" QUE EU TO QUERENDO É JUSTAMENTE A DIVISÃO, É O RESTO NA DIVISÃO DO NÚMERO 1357 POR 11.
PORQUE O NÚMERO QUE EU TINHA ELE ERA 11 VEZES "Y", SOMADO COM "Z", DARIAM 1357. ENTÃO ELE É O RESTO NA DIVISÃO DE 1357 POR 11. ENTÃO O ALGARISMO QUE EU TÔ PROCURANDO É O ALGARISMO 4.
PORTANTO "Z" É IGUAL A 4. QUAIS SÃO OS NÚMEROS? OS NÚMEROS ESTÃO AQUI, OLHA, UM NÚMERO É O 123 E OUTRO NÚMERO É UM 1234.
SE VOCÊ SOMAR OS DOIS VAI DAR 1357 E SE VOCÊ TIRAR O 4 DESSE ALGARISMO VAI DAR O NÚMERO ANTERIOR, 1123. OK? BOM PESSOAL POR HOJE É SÓ, NA SEMANA QUE VEM A GENTE VAI VER UM POUQUINHO SOBRE RAZÃO, PROPORÇÃO, QUANDO QUE GRANDEZAS SÃO PROPORCIONALMENTE DIRETAMENTE PROPORCIONAIS E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.
TÁ BOM? ATÉ LÁ. OBRIGADO.
ATÉ A PRÓXIMA.
