¿Qué SON las INTEGRALES DEFINIDAS e INDEFINIDAS? | El TEOREMA FUNDAMENTAL del CALCULO

el día de hoy vamos a analizar y realmente entender qué hay detrás de uno de los teoremas más importantes de las Matemáticas un teorema que establece una relación entre dos de las ramas de las Matemáticas más importantes y que Aparentemente eran distintas Su comprensión revolucionó al mundo tal y como lo conocemos el día de hoy analizaremos el teorema fundamental del cálculo y Por qué es tan importante [Música] dos de las ramas más importantes de las Matemáticas son el cálculo diferencial y el cálculo integral el cálculo diferencial surge de resolver el problema de la tangente que

a su vez está relacionado con el problema de la tasa de cambio la resolución de este problema dio origen al concepto de la derivada y por otro lado el cálculo integral tiene su origen en el problema del área y su solución de origen al concepto de integral definida pero en principio ambas no parecían tener algo en común sin embargo el profesor de Newton Isaac barrow fue el primero en comprender la relación inversa entre la derivación y la integración posteriormente Newton y lepis usaron esta relación en la forma del teorema fundamental del cálculo y lo convirtieron

en una disciplina matemática como tal el teorema fundamental del cálculo logra conectar el cálculo diferencial e y se puede considerar como uno de los más grandes logros del intelecto humano Pero qué es precisamente el teorema fundamental del cálculo y Por qué es tan importante supongamos que tenemos una función ft que es continua en un intervalo cerrado a b y cuya gráfica se ve de la siguiente manera tomamos un punto fijo a y graficamos el área bajo la curva desde el punto a hasta un punto variable representado por x podemos usar la integral definida para Hallar

el área bajo la Gráfica de esta función y la expresión que nos dará el área será igual al integral definida desde a hasta x de la función F de T por el diferencial de T recordemos que al resolver una integral definida el resultado que obtenemos es un número y que si la función es positiva en ese intervalo este número geométricamente representa el área para este caso el punto a es fijo mientras que el punto x es un punto variable por lo tanto esta área está en función de la variable x si deseas puedes pensarlo como

el área acumulada desde el punto a hasta el punto x y por lo tanto vamos a denotarlo por la función a mayúscula que es una función que depende de X pero ahora veamos Qué sucede con la derivada de esta función a dex para derivar esta función haremos uso de la definición formal de derivada de esta forma la derivada de la función a dex es igual al límite cuando h tiende a 0 de a evaluado en x + h - AX / h y lo siguiente que tenemos que hacer es encontrar el valor de a evaluado

en x + h y a evaluado en x para realizar la diferencia de ambas pero tengamos en cuenta que H es un pequeño incremento tal como podemos ver en la animación Y además recordemos que AX se definió como el integral desde a hasta x de F de T por lo tanto si evaluamos la función a en x + h geométricamente esto significa el área bajo la curva de la función desde el punto a hasta el punto x + h y a esta expresión Tendremos que restarle a dex que es el área desde el punto a

hasta el punto variable x sin embargo al realizar esta diferencia de áreas el área resultante es igual al área comprendida entre x y x + H Pero cómo hallamos el área de esta región y para esto vamos a tomar un valor c que pertenece al intervalo comprendido entre x y x + h y haremos una aproximación al área que estamos buscando mediante la construcción de un rectángulo cuya base será igual a h y la altura será igual a la función f evaluada en el punto c tal como podemos ver aquí en la animación Pero esto

es solo una aproximación que en principio no es demasiado buena como podemos verlo aquí mismo de esta manera la derivada de a de X será el límite cuando H tienda 0 del área de este rectángulo que es igual al producto de su base que es H por su altura que es F evaluado en C podemos ver que el término H se simplifica y nos queda que la derivada de AX es igual al límite cuando H tienda cer0 de la función evaluada en el punto c finalmente tomamos el límite cuando H tienda a cero y al

hacer esto podemos ver cómo el valor de c tiende al valor de X Y además el área del rectángulo tiende hacia el área que estamos buscando por lo tanto en el límite cuando H tienda a cer la función F evaluada en C es igual a la función f evaluada en x y de esta forma obtenemos un resultado muy importante que la derivada de la función AX es igual a la función FX y por lo tanto existe una relación entre la función AX que definimos al inicio y la función F que ya conocíamos y ahora vamos

a hacer un cambio en la notación para estar acorde con la notación presente en algunos libros de cálculo definimos a la función AX como el integral desde a hasta x de F de T sin embargo vamos a utilizar la letra f mayúscula para denotar a la función AX de esta forma el resultado que obtuvimos nos quedará de la siguiente manera y este primer resultado que obtuvimos será conocido como la primera parte del teorema fundamental del cálculo y podemos enunciarlo de la siguiente manera si tenemos una función F minúscula que es continuo sobre el intervalo cerrado

a b entonces la función F mayúscula de X definida por la integral desde a hasta x de la función F de T donde x es una variable que pertenece al intervalo cerrado a b se tendrá que esta función F mayúscula también será continua sobre el intervalo cerrado a b y derivable sobre el intervalo Abierto aa b y se cumple que la derivada de la función F mayúscula de X es igual a la función F minúscula de X si utilizamos la notación de lepis podemos expresarlo de la siguiente forma y esta notación nos muestra que si

primero integramos la función F minúscula y luego derivamos el resultado volvemos a obtener la función F minúscula de x y este resultado nos sugiere que la derivación y la integración son operaciones inversas la primera parte del teorema fundamental del cálculo nos dice que la derivada de F mayúscula de X es igual a la función F minúscula de X utilizando la notación de leis podemos expresarlo de la siguiente manera y aquí sabemos que F minúscula de X es la función conocida y según esta relación si derivamos F mayúscula debemos obtener F minúscula por lo que podemos

utilizar esta relación para conocer Cuál es la regla de correspondencia de la función F mayúscula por ejemplo supongamos que F minúscula de X es igual a dos veces x para este caso tendríamos que la derivada de F mayúscula de X debe ser igual a dos veces x si Queremos saber qué función es F mayúscula solo debemos preguntarnos cuál es la función que al derivarla nos dará como resultado dos veces x y para ello aquí tenemos que hacer el proceso inverso a derivar y de esta forma tomando en cuenta las reglas de derivación básicas podemos hacer

el proceso inverso y darnos cuenta que F mayúscula de X debe ser la función x cu ya que si derivas esta función obtendrás dos veces x y esta función nueva que obtuvimos a partir de la función inicial será conocida como la antiderivada de la función F minúscula de x y la denotamos mediante la misma letra pero escrita en mayúscula el nombre de antiderivada precisamente proviene del hecho de haber realizado el proceso inverso a derivar para calcular esta nueva función sin embargo podemos darnos cuenta que x cu no es la única antiderivada ya que si derivamos

la función x cu + 5 también obtenemos 2s veces x y lo mismo pasa con x + 9 x + pi o x cu - ra cuadrada de 2 es decir podemos obtener infinitas antiderivadas para la función F minúscula de x y todas estas se diferencian en la constante que acompaña al término x cu de esta forma podemos escribir de manera general a todas las antiderivadas de la función FX como x cu + una constante c y vamos a denotarlo por G mayúscula de x y esta nueva función será conocida como la antiderivada general de

la función FX si tenemos otra función su antiderivada general la denotaremos por G mayúscula de X que es igual a f mayúscula que hace referencia a la antiderivada de la función F más una constante que es un número real y esta última expresión Será muy útil para hacer la demostración de la segunda parte del teorema fundamental del cálculo y para la segunda parte del teorema fundamental del cálculo tenemos una función F minúscula que es continua en el intervalo cerrado a b supongamos que queremos hallar la integral desde a hasta B de la función F minúscula

de T dada que la función F minúscula es positiva en este intervalo geométricamente este integral representa el área bajo la curva luego construimos la función F mayúscula de X la cual definimos como la integral definida desde a hasta x de F minúscula de T muy bien recordemos que esta función se puede interpretar como el área acumulada desde el punto a hasta el punto x y también sabemos que la antiderivada general G mayúscula de X es igual a la antiderivada f mayúscula de X más una constante y lo primero que haremos será evaluar la antiderivada general

en x = a que será igual a la antiderivada f mayúscula evaluada en a más la constante pero la antiderivada f mayúscula evaluada en a geométricamente representa el área bajo la curva desde el punto a hasta el punto a y como vemos en la animación para este caso tenemos que el área acumulada es nula por lo que este término es igual a cer por lo que G mayúscula de a es ig a 0 más la constante y de aquí concluimos que la constante C es igual a la antiderivada general G evaluada en a luego reemplazamos

esta constante en la expresión anterior y obtenemos la siguiente expresión y ahora vamos a evaluar la antiderivada general G en x = B que será igual a antiderivada f mayúscula evaluada en b + g evaluada en a y veamos Qué sucede con la antiderivada f mayúscula evaluada en B geométricamente Este término significa el área bajo la curva de de la función desde el punto a hasta el punto b y que es igual al integral definida desde a hasta B de la función F minúscula de T y al reemplazar en la expresión anterior obtenemos lo siguiente

y ahora vamos a despejar la integral de a hasta B de la función F minúscula de T y para ello restamos ambos miembros el término G de a y obtenemos que G evaluado en b - g evaluado en a es igual al integral desde a hasta B de la función F minúscula de T por el diferencial de T y para terminar vamos a evaluar la antiderivada general G en los puntos a y b por ejemplo la función G evaluada en B es igual a la antiderivada f mayúscula evaluada en b + g evaluada en a

- G evaluada en a que es igual a antiderivada f mayúscula evaluada en a + G evaluada en a y al desarrollar esta expresión obtenemos lo siguiente donde podemos ver que los términos G evaluado en a se anulan mutuamente y Finalmente nos queda que la antiderivada f mayúscula evaluada en B menos la antiderivada f mayúscula evaluada en a es igual a la integral definida de a hasta B de la función F minúscula de T y este importante resultado se conoce como la regla de barrow y nos dice que la integral definida de una función continua

F minúscula en un intervalo cerrado a b es igual a la diferencia entre los valores que toma su antiderivada f en los extremos la segunda parte del teorema fundamental del cálculo nos proporciona una manera más eficiente de resolver integrales definidas y de manera más sencilla que utilizar la definición formal mediante el límite de la suma de riman y veamos ahora la derivación e integración como procesos inversos en conjunto podemos expresar el teorema fundamental del cálculo de la siguiente manera suponga que F minúscula es una función continua en el intervalo cerrado a b la primera parte

Establece que si definimos la función F mayúscula de X como la integral definida desde a hasta x de la función F minúscula de T Entonces se cumple que la derivada de F mayúscula es igual a la función F minúscula la segunda parte nos muestra que la integral definida desde a hasta B es igual a evaluar la antiderivada de la función f minúscula en los puntos a y b la primera parte del teorema fundamental del cálculo se puede expresar de la siguiente manera derivada con respecto a x del integral definida desde a hasta x de la

función F minúscula de T es igual a la función f dex en esta expresión podemos ver que si primero integramos la función F minúscula y luego la derivamos obtenemos nuevamente la función original F minúscula y dado que la derivada de F mayúscula de X es igual a f minúscula de X la segunda parte del teorema fundamental del cálculo se puede expresar de la siguiente manera integral definida desde a hasta B de la derivada de F mayúscula de X es igual a la antiderivada f mayúscula evaluada en B menos la antiderivada f mayúscula evaluada en a

en esta expresión podemos ver que si primero derivamos la función F mayúscula de x y luego integramos esta función obtenemos nuevamente F como F mayúscula evaluada en B - F mayúscula evaluada en a y como vemos tomadas juntas las dos partes del teorema fundamental del cálculo nos muestran que la derivación e integración son procesos inversos ya que cada una deshace lo que hace la otra el teorema fundamental del cálculo es el más importante en este campo de las matemáticas y se puede considerar como uno de los logros más grandes de la mente humana sin embargo

necesitamos una conveniente notación para las antiderivadas debido a la relación dada por el teorema fundamental del cálculo entre las derivadas e integrales por tradición utilizaremos esta notación de la s alargada de las integrales definidas pero sin colocar los límites de integración de esta forma este símbolo representará a la antiderivada general de la función F minúscula de x y por lo tanto se llama integral indefinida de una función F minúscula a la antiderivada general de la función en nuestro caso denotamos a la antiderivada general por GX y esta expresión será igual a la integral indefinida de

la función F minúscula de x y que a su vez es igual a la antiderivada f mayúscula de X más una constante el símbolo del integral indefinida hace referencia a todas las antiderivadas de la función F minúscula de X esta notación implica que al derivar la antiderivada f mayúscula de X debes obtener la función F minúscula de X Por ejemplo si nos piden hallar la integral indefinida de la función x cu significa que tenemos que hallar la antiderivada general de X cu es decir el conjunto o familia de funciones que al derivarlos den x cu

para este caso la antiderivada general es la función x c / 3 + una constante c ya que al derivar esta expresión con respecto x obtenemos la función x cu y también recuerda que es importante colocar la constante c ya que como dije la integral indefinida hace referencia a hallar la antiderivada general de una función y por lo tanto la presencia de la constante es muy importante y veamos ahora la diferencia entre el integral definida y la integral indefinida por ejemplo del lado izquierdo calcularemos la integral definida de 0 a 1 de la función x

cu utilizando la regla de barrow esta integral definida es igual a su antiderivada que es x c / 3 evaluada en los límites de integración y que será igual a 1 elevado cuo / 3 - 0 elevado cuo ent 3 y que es igual a 1 ter y como vemos una integral definida es un número y ahora calculemos la integral indefinida de la función x cu en este caso tenemos que encontrar la antiderivada general de la función x cu que es la familia de funciones x c / 3 + una constante C donde c es

una constante que pertenece a los números reales como vimos aquí una integral indefinida representa a un conjunto o familia de funciones y ahora que ya sabemos la diferencia entre entre el integral definida e indefinida es momento de hablar de las reglas de integración sin embargo dado que existe una relación entre derivadas e integrales podemos hacer uso de las reglas básicas de derivación para obtener las reglas básicas de integración recordemos que las reglas básicas de derivación provienen de utilizar la definición formal de la derivada si quieres profundizar en estas reglas te recomiendo ver el video que

hice sobre este tema donde entenderás mejor cómo surge algunas de las reglas más básicas y empecemos utilizando esta regla de derivación básica la derivada con respecto a x de x = 1 y ahora calculemos la integral indefinida del diferencial de X Pero cuál es la función que tenemos que integrar pues mejor escribamos la expresión de esta manera como vemos la función que se integrará es la función constante igual a 1 por lo que hallar este integral significa en encontrar la familia de funciones que al derivarlos nos dan como resultado uno y como vemos arriba al

derivar la función ig x obtenemos 1 por lo que la integral indefinida del diferencial de X es = a x + una constante c la derivada con respecto a x de la función K * x es igual a k y ahora calculemos la integral de una función constante igual a K tenemos que preguntarnos Qué función al arla nos da la constante k y como vemos en la regla de derivación esta función debe ser la función K * x más una constante c la derivada con respecto a x de la función x elevado n es ig

a n * x elevado n - 1 y ahora calculemos la integral indefinida de la función x a la n para este caso tenemos que preguntarnos qué familia de funciones al derivarlos nos darán la función x elevado a n Y en este caso hay que pensar un poco más y utilizar la regla de derivación para hacer el proceso inverso y la función que al derivarla nos dará x elevado n será la función x elev n + 1 / n + 1 más una constante c y podemos comprobarlo fácilmente si derivamos esta expresión donde podemos ignorar

la constante ya que su derivada es igual a 0 entonces deriv demos la función x elevado a n + 1 / n + 1 con respecto a x para esto utilizamos la regla que vimos al inicio el exponente n + 1 multiplica al término x elevado n + 1 y el exponente se le resta una unidad y todo esto dividido por n + 1 y Aquí vemos que el término n + 1 se simplifica y en el exponente solo nos queda n ya que 1 - 1 = 0 y de esta forma la derivada Es

simplemente x elevado a n por lo que sí comprobamos que nuestra antiderivada sí es la correcta Entonces al integrar la función x elevado a n el resultado es la función x elevado al exponente n + 1 dividido entre ese mismo exponente y con la restricción de que n tiene que ser diferente a -1 la derivada de la función e elevado a x es igual a la misma función e elevado a x donde e es el número de eiler y ahora calculemos la integral indefinida de la función e elevado x es decir qué función tenemos que

derivar para obtener la función e elevado x y con ayuda de la regla de derivación esta función debe ser la función e elevado x más una constante c y para la siguiente regla de integración tengamos en cuenta lo siguiente si x es un número real mayor que 0 Tendremos que la derivada con respecto a x del logaritmo natural de X es igual a 1 / x y por otro lado si consideramos valores de X menores a 0 Tendremos que la derivada de la función logaritmo natural de - X es también igual a 1 / x

y ahora vamos a calcular la integral indefinida del diferencial de x entre x y esto es lo mismo que el integral indefinida de la función 1 ent x tenemos que preguntarnos Qué función tenemos que derivar para obtener 1 / x y con ayuda de las derivadas del inicio es fácil darnos cuenta que tenemos dos posibles funciones la primera es la función logaritmo natural de x cuando x Es mayor que 0 y la segunda función es el logaritmo natural de - x cuando x es menor que 0 sin embargo Esta es la definición del valor absoluto

por lo tanto la integral del diferencial x / x es igual al logaritmo natural del valor absoluto de X más una constante c la derivada con respecto a x de la función exponencial a elevado a x es igual a la constante a elevada a x y todo esto multiplicado por el logaritmo natural de a teniendo en cuenta esto calculemos la integral indefinida de la función a elevado a x lo que tenemos que hacer es encontrar una función que al derivarla nos dé la función a elevado x y pensando un poco con ayuda de las reglas

de derivación podemos con concluir que esta función debe ser la función a elevado x entre logaritmo natural de a + una constante c y esto podemos comprobarlo fácilmente si derivamos el término a elevado a x entre logaritmo natural de a dado que 1 entre logaritmo natural de a es una constante puede salir de la derivada y nos queda 1 entre logaritmo natural de a por la derivada de la función a elevado a X Y utilizando la regla de derivación nos qued qued da lo siguiente 1 entre logaritmo natural de a * a elevado X por

el logaritmo natural de a donde claramente vemos que el término logaritmo natural de a se simplifica y nos queda solamente a elevado a x y por lo tanto la derivada de una función exponencial a elevado a x es igual a la base a elevado a x entre el logaritmo natural de a más una constante c y pasemos ahora a las integrales de razones trigonométricas en empecemos analizando la derivada del seno de X que es igual al coseno de x y ahora vamos a calcular la integral indefinida de la función coseno de X para ello tenemos

que preguntarnos Cuál es la función que tenemos que derivar para obtener coseno de x y como vemos en la regla de derivación esta función tiene que ser el seno de X pero más una constante c y veamos ahora el caso para el coseno de X sabemos que la derivada del coseno de X es igual a men seno de X ahora calculemos cuál es la integral indefinida del seno de X tenemos que preguntarnos Cuál es la función que tenemos que derivar para obtener seno de x y como vemos en la regla si derivo el coseno de

X obtenemos - seno de X sin embargo necesitamos obtener seno de X entonces para ello la función que buscamos debe ser - coseno de X ya que al derivar obtenemos seno de X Y a esta función le agregaremos la constante c la derivada de la tangente de X es igual a la secante al cuadrado de X ahora calculemos la integral indefinida de la función secante al cuadrado de X en este caso nos preguntamos Qué función tenemos que derivar para obtener secante al cuadrado de x y como vemos en la regla de derivación esta función que

buscamos debe ser la tangente de X + una constante c la derivada de la cotangente de X es igual a os cosecante cuadrado de X Y ahora calculemos cuál es la integral indefinida de la cosecante al cuadrado de X tenemos que preguntarnos Cuál es la función que tenemos que derivar para obtener cosecante cuadrado de x y como vemos en la regla si derivo la cotangente de X obtenemos os cosecante cuadrado de X sin embargo necesitamos obtener cosecante cuadrado de X entonces para ello la función que buscamos debe ser menos cotangente de X ya que al

derivarla Ob tenemos cosecante al cuadrado de X Y a esta función le agregamos una constante c la derivada de la secante de X es igual a la secante de X por la tangente de x y ahora calculemos la integral indefinida de la función secante de X por tangente de X en este caso nos preguntamos Qué función tenemos que derivar para obtener secante de X por tangente de x y como vemos en la regla esta función que buscamos debe ser secante de X más una constante c la derivada de la cosecante de X es igual a

os cosecante de X * cotangente de X Y ahora calculemos cuál es la integral indefinida de la cosecante de X por la cotangente de X en este caso tenemos que preguntarnos Cuál es la función que tenemos que derivar para obtener cosecante de X por cotangente de X como vemos en la regla si derivo la cosecante de X obtenemos - cosecante de X * cotangente de X sin embargo necesitamos obtener cosecante de X por cotangente de X entonces para ello la función que buscamos debe ser menos cosecante de X ya que al derivarla obtenemos cosecante de

X por cotangente de x y esta función le agregamos la constante c y de esta manera podemos resumir las reglas básicas de integración las cuales hemos deducido con ayuda de la tabla de derivadas de funciones básicas Pero estas no son las únicas reglas básicas de integración ya que Podemos agregar muchas más y como viste aquí podemos obtenerlas casi de manera directa a partir de las correspondientes reglas de derivación como te mostré aquí Lo importante es entender muy bien los conceptos como el teorema fundamental del cálculo Y a partir de ahí podemos ir deduciendo por nuestra

cuenta muchas cosas sin embargo existirán integrales muy complejas para las cuales ya se necesitan desarrollar nuevos métodos de resolución y algunos de estos métodos son la sustitución por otra variable la sustitución trigonométrica fracciones parciales o la integración por partes métodos que ya iremos viendo a lo largo de otros videos y antes de descubrir el teorema fundamental del cálculo desde los tiempos de eudoxo y Arquímedes hasta el época de Galileo y fermat los problemas del cálculo de áreas volúmenes o longitudes de curvas eran problemas tan difíciles que solo algunas Mentes privilegiadas eran capaces de resolverlos pero

gracias a los nuevos métodos que desarrollaron Newton Y leis estos problemas tan complejos se convirtieron en problemas cuya resolución estaban al alcance de cualquier persona que estuviese dispuesta a aprender el cálculo no es solo un conjunto de fórmulas raras y ecuaciones sino es la herramienta que ha desbloqueado puertas hacia el entendimiento profundo del universo desde las leyes del movimiento de Newton hasta la teoría de la relatividad de Einstein el cálculo ha sido el lenguaje que ha traducido los misterios de la realidad cada derivada y cada integral ha sido un paso hacia delante en la comprensión

de la naturaleza y la resolución de problemas que antes parecían imposibles nos ha permitido avanzar en la ciencia la tecnología la ingeniería y tantos otros Campos que han transformado nuestra vida Y como dijo Newton se he visto más lejos ha sido porque he subido a hombros de gigantes una forma muy grata de reconocer que sus descubrimientos no hubiesen sido posibles sin el trabajo de todos los científicos que lo precedieron Y es que el conocimiento que construimos se construye sobre los cimientos construidos por las generaciones pasadas porque el trabajo colectivo a lo largo de los años

es capaz de lograr cosas increíbles y porque nuestra curiosidad por entender de mejor manera al mundo nos ha llevado a comprender cosas asombrosas sigamos siendo curiosos y descubramos todos aquellos misterios que están pendientes por [Música] resolver [Música] [Música] [Música] ye [Música] ah