Kap. 6.3 Knotenspannungsanalyse - Teil 1

ja herzlich willkommen zum Kapitel 6. 3 das trägt den Titel knotenspannungsanalyse und die knotenspannungsanalyse ist eines der wichtigsten Verfahren der Elektrotechnik zu Analyse von Schaltungen und die knotenspannungsanalyse bildet unter anderem die Grundlage der computergestützten Analyse Software Spice und deswegen werden wir hier also auch diese umfangreiche Kapitel diesen Verfahren widmen und bevor wir so richtig loslegen müssen wir am Anfang ein paar Begrifflichkeiten noch einmal einführen wir brauchen den Begriff des bezugsknotens und ein bezugsknoten ist ein Knoten im Netzwerk der erst einmal willkürlich gewählt werden kann wie es hier steht es bietet sich aber an einen Knoten zu wählen der mit möglichst vielen Zweigen verbunden ist das verringert später dann den Rechenaufwand und ein Knoten der eine Regel mit sehr vielen Zweigen verbunden ist ist der massek deswegen werden wir jetzt auch in den zukünftigen Beispielen die wir diskutieren als bezugsknoten in der Regel die Masse wählen der zweite Begriff den wir klären müssen ist was ist eigentlich eine knotenspannung und da bekommt er das Verfahren seinen Namen eine knotenspannung ist die Spannung zwischen einem beliebigen Knoten im Netzwerk und dem bezugsknoten da schauen wir uns das hier mal an Beispiel an in dieser Skizze die sehen hier so einen netzwerkzweig und schraffiert sei jetzt einfach ein beliebiger zweipol der diesen netzwerkzeug beschreibt und die Knoten sind hier mit M und N entsprechend bezeichnet der bezugsknoten wird in der Regel mit 0 bezeichnet und die knotenspannungen sind jetzt also die Spannungen also die Potenzial Differenzen zwischen dem jeweiligen Knoten also m oder n und dem bezugsknoten und hinsichtlich der Bezeichnung der Knoten Spannungen verwenden wir jetzt also die Konvention um 0 ist jetzt also die minutenspannung gerichtet vom Knoten m zum bezugsknoten 0 und das Schöne ist wenn wir die knotenspannungen im Netzwerk kennen können wir alle weiteren zweigspannungen durch diese knotenspannungen ausdrücken in diesem Fall also die zweigspannung UN also das Spannungsabfall vom Knoten m zum Knoten n lässt sich jetzt durch die knotenspannungen wie folgt ausdrücken naja bilden sie hier gedanklich mal eine Masche das haben wir aus diesen drei Spannungen besteht ein geschlossenen Umlauf dann ist also die zweitspannung umn die Differenz der Knoten Spannungen un 0 - u null und diese knotenspannungen werden wir jetzt also zunächst einmal für das Beispiel aus dem Kapitel 6. 2 einführen das heißt wir werden jetzt ja auch bei der knotenspannung ist Analyse wieder das Beispiel aus Kapitel 6.

2 betrachten und dafür führen wir jetzt hier zunächst einmal die knotenspannungen ein also das ist schreib es noch mal in Klammern dahinter die Folie 6 14 und ich zeichne jetzt hier nicht das ganze Netzwerk noch einmal sondern entsprechend nur die Knoten also der Knoten 1 der Knoten 2 und der Knoten 3 und der bezugsknoten 0 hier unten die zweigspannungen die wir bereits eingeführt hatten zeichne ich ebenfalls ein das wäre also das Spannungsabfall über dem Zweig 1 ist die zweitspannung uz1 hier die zweigspannung uz2 die zweigspannung uz3 und dann hatten wir den zweig-4 hier das ist die zweitspannung uz4 der Zweig 5 die zweitspannung uz5 und der Zweig 6 verbindet den Knoten 1 mit dem Knoten 3 das heißt die zweigspannung uz6 in der Form okay um jetzt die knotenspannung in einzuführen wähle ich einen bezugsknoten das ist mein Knoten 0 und definiere jetzt die knotenspannungen von jedem weiteren Knoten im Netzwerk zum bezugsknoten das heißt ich zeichne die jetzt mal ein rot ein das wäre die knotenspannung U10 vom Knoten 1 zum bezugsknoten die knotenspannung U20 vom Knoten 2 zum bezugsknoten und die knotenspannung U30 vom Knoten 3 zum bezugsknoten und jetzt ist also das Versprechen wenn ich diese drei knotenspannungen im Netzwerk kenne dann kann ich alle weiteren zweitspannungen direkt aus dem Knoten Spannungen berechnen und das vereinfacht dann natürlich die Suche nach einem zweigspannungen und zweigströmen erheblich also wenn ich das so verspreche dann müssen wir das jetzt auch mal hinschreiben also die zweitspannung uz1 können wir durch die Knoten Spannungen wie folgt ausdrücken naja man sieht hier in das Skizze die zweigspannung uz1 ist identisch mit der knotenspannung U10 ähnliches gilt für die zweigspannung uz2 die ist gleich der knotenspannung U20 und die zweigspannung uz3 ist gleich der knotenspannung U30 ja die zweigspannung uz4 kann ich jetzt ausdrücken als Differenz aus der knotenspannung U10 und der knotenspannung U20 und bilden sie gedanklich hier in diesem Fenster einen den maschensatz aus U10 U20 und uz4 dann erhalten sie uz4 ist gleich U10 - U200 ähnliche Verfahren wir mit der knotenspannung uz5 die zweigspannung uz5 ist also die Differenz aus der knotensprung U20 und der knotenspannung U30 und die knotenspannung uz6 ja hier können Sie also ein maschensatz bilden über diese äußere Masche bestehend aus der knotenspannung U10 der zweigspannung uz6 und der knotenspannung U30 und da erhalten Sie die zweitspannung uz6 ist gleich U10 - 3. 0 okay jetzt haben wir also die Knoten Spannungen eingeführt und jetzt können wir hingehen und einen Algorithmus uns anschauen für die knotenspannungsanalyse und dafür müssen wir zunächst einer kleinen Voraussetzung treffen das heißt diese Algorithmus lässt sich jetzt so unmittelbar erstmal nur anwenden wenn wir hier steht die UI Relation der Zweige bekannt sind und sich die zwei und sich nach den zweigströmen auflösen lassen das heißt wir müssen erst in der Lage sein für jeden Zweig ein zweigstrom als Funktion der zweigspannung zu formulieren da ein Fall wo das nicht so einfach geht ist bei idealen Spannungsquellen zum Beispiel da hatten wir gelernt dass bei idealen Spannungsquellen zweigstrom keine Funktion da zwei Spannung ist wie man dann mit solchen zweiten umgehen kann das schauen wir uns später an so und jetzt folgt ein Algorithmus und erschrecken sie dann nicht das müssen sie jetzt nicht sich hinsetzen und das auswendig lernen sondern wir nutzen den Algorithmus einfach am Anfang mal um uns daran zu orientieren und Sie werden feststellen wenn man dann mal ein zwei drei Beispiele gerechnet hat dann geht einem das in Fleisch und Blut über und dann hat man das verinnerlicht also zunächst wählen Sie in Ihrem Netzwerk einen bezugsknoten und dann führen Sie die Knoten Spannungen ein so wie wir das gerade eben in diesem Beispiel aus Kapitel 6. 2 eben schon vorgeführt haben danach stellen Sie die K-1 knotengleichungen auf als ihr Netzwerk hat k-knoten das heißt es gibt K-1 unabhängige knotengleichungen und für jeden Knoten außerdem bezugsknoten stellen sie also die knotengleichungen auf unter Verwendung der stromspannungsbeziehungen an den Zweigen und dann drücken Sie die zweitspannungen durch knotenspannungen aus wie das funktioniert das schauen wir uns gleich im Beispiel an und dann bekommen sie ein Gleichungssystem aus K-1 knotengleichungen zur Bestimmung von K minus 1 knotenspannungen und das können sie lösen hier im Schritt 3 das ist dann ein mathematisches Problem und wenn Sie das Gleichungssystem lösen erhalten Sie die kam -1 knotenspannung und dann folgt im vierten Schritt die Berechnung von gesuchten Größen das können jetzt beliebige zweigspannungen oder zweitströme sein aus den Knoten und ich formuliere hier noch eine Hilfestellung die kann von Ihnen genutzt werden muss nicht genutzt werden das ist so ein bisschen individuell ob man das mag oder nicht es ist noch möglich sich die das aufständer knotengleichungen dahin gehen zu erleichtern dass man eine Transformation durchführt von Spannungsquellen mit in Widerstand in Reihe in eine äquivalente Stromquelle mit Parallelwiderstand einigen fällt es dann leichter die knotengleichungen aufzustellen und wenn Sie diese Transformation nicht machen möchten funktioniert das ganz genauso und in den folgenden Beispielen die ich durchführe werde ich das mal durchführen diese Transformation und auch nicht durchführen das werden sie dann entsprechend merken okay und wenn Sie jetzt das erste mal solche Beispiele hier rechnen oder jetzt auch ein weiterer mitschreiben dann legen Sie sich diesen Algorithmus irgendwo auf dem Tisch so dass sie da mal wieder drauf schauen können ich werde jetzt auf die nächsten Folien und die nächsten Beispiel hier entsprechend kommen aber werden sie immer mal wieder einen Blick auf diesen Algorithmus um das hier nachzuvollziehen wir werden das jetzt an dem uns bekannten Beispiel aus Kapitel 6.

2 einmal durch existieren und hier sehen Sie die Quellen Transformation wir haben jetzt hier also auf der linken Seite die Spannungsquelle Q mit rein Widerstand haben wir ersetzt durch eine Äquivalent durch eine äquivalenten zwei Pool aus einer Stromquelle mit parallelen ihnen Widerstand und was die auch sehen ist dass wir die Widerstandswerte jetzt hier durch leidwerte ausdrücken die Widerstände R1 R2 und so weiter drücken wir aus durch die entsprechenden Leitwerte G1 2 und so weiter das vereinfacht einfach ein bisschen die Schreibweise beim aufstehender knotengleichungen es funktioniert aber natürlich ganz genau so auch wenn Sie mit den Widerstandswerten arbeiten okay im ersten Schritt wählen wir jetzt unseren bezugsknoten das ist der Knoten 0 hier unten und nummerieren alle weiteren Knoten in unserem Netzwerk das werden also die Knoten 1 2 3 dann führen wir die knotenspannungen ein das wären jetzt wie hier dargestellt die knotenspannungen U10 U20 und U30 die über den Zweigen 1 2 und 3 hier entsprechend abfallen ja und dann folgt das Aufstellen dieser K-1 knotengleichungen das heißt ich wechsele jetzt gleich wieder das Schreibprogramm und werde jetzt für den Knoten 1 den Knoten 2 und den Knoten 3 entsprechend die knotengleichungen aufstellen und ein kurzer Hinweis wir verwenden jetzt bei der Knoten Spannungsanalyse folgende Konvention nämlich wir zählen aus dem Knoten ausgehende Ströme positiv das können Sie auch anders machen ist dann mathematisch genauso richtig führt aber später dazu dass sie dann sehr viel Minuszeichen mit sich führen deswegen einfach meine Empfehlung die Konvention beachten ausgehenden Ströme werden positiv gezählt die zweigströme habe ich jetzt hier schon einmal hinterlegt das heißt solange wir diese Scheidung gerade noch sehen für den Knoten 1 lautet der knotensatz plus iz1 das ist der zweigstrom durch den Zweig 1 plus iz4 plus iz6 ist gleich null und das werden wir jetzt einmal aufschreiben also wir bilden die K-1 knotengleichungen wie bereits eben erläutert für den Knoten 1 lauten die Knoten lautet die knotengleichung iz1 plus iz4 plus iz6 ist gleich null schauen wir noch einmal in die Schaltung zum Knoten 2 aus dem Knoten 2 heraus fließt der Strom iz2 und der Strom iz5 und in den Knoten 2 hinein der Strom iz4 der wird also negativ gezählt entsprechend lautet der knotensatz für den Knoten 2 iz2 - Z4 plus iz5 ist gleich Null und für den Knoten 3 auch hier noch mal ein kurzer Blick in die Schaltung iz5 und iz6 sind Fliesen in den Knoten hinein und die Z3 fließt aus dem Knoten heraus und ist damit einzige der positiv gezählt wird also iz3 - Z5 Minus iz6 ist gleich null okay und jetzt stehen wir vor der Aufgabe dass wir diese zweigströme durch knotenspannungen ausdrücken müssen und ich zeige das jetzt einmal exemplarisch ganz ausführlich für den zweigstrom iz1 also schauen wir dazu einmal die Gleichung sie sehen iz1 setzt sich zusammen aus einem Strom durch den Leitwert G1 und einem Strom durch diese Stromquelle das heißt wenn wir hier an diesem Knoten mal den knotensatz aufstellen dann lautet der iz1 plus uq mal G1 minus der Strom durch G1 ist U10 mal G1 ist gleich Null und das können wir dann nach iz1 umstellen also schreiben wir das mal auf knotensatz dort liefert mir iz1 plus OQ * G1 das ist der Strom von der Stromquelle herührend minus U10 mal G1 das ist der Strom durch G1 ist gleich null und das umgestellte nach iz1 liefert mir die Spannungsdifferenz U10 - uq multipliziert mit dem Leitwert G1 na und das nehme ich jetzt und setzt das hier oben in meine knotengleichung für den zweigstrom iz1 ein und so muss ich jetzt für alle sechs zweigströme die zweigströme entsprechend durch die knotenspannungen ja und Bauelement Parameter ausdrücken und sie werden aber gleich sehen das geht bei den allermeisten zweigströmen sehr sehr einfach also schreiben wir also diese drei knotengleichungen noch einmal auf knotengleichung 1 der zweigstrom iz1 den hatten wir gerade bestimmt ist ur1. 0-ukuma G1 plus wir brauchen den zweigstrom iz4 schauen wir einmal in die Schaltung noch ein der zweigstrom iz4 den erhalten wir durch Multiplikation dieses leitwerts G4 mit der zweigspannung uz4 uz4 ist die Spannung vom Knoten 1 zum Knoten 2 gerichtet und wir hatten gerade eben die zweitspannung uz4 hier oben ist sie ausgedrückt durch die zweigspannung durch die knotenspannungen U10 und U20 nämlich uz4 ist U10 - U20 und das multiplizieren wir jetzt also mit G4 und haben den zweigstrom iz4 also plus U10 minus U20 mal G4 das ist mein zweigstrom iz4 plus ja und für den zweigstrom iz6 geht das ganze ähnlich auch hier können wir noch einmal die Schaltung schauen der zweigstrom iz6 ist also der Leitwert G6 multipliziert mit der zweigspannung uz6 und uz6 hatten wir gerade eben von hergeleitet ist U10 - U30 also hätten wir hier U10 minus U30 mal G6 und das ist null ja und hier sehen Sie jetzt schon warum es sich anbietet mit Leitwerten zu arbeiten wenn Sie jetzt hier mit Widerständen rechnen müssen Sie die bei jedem Summanden so ein Bruchstrich mitschreiben das versuchen werde einfach zu vermeiden und arbeiten deswegen ja sehr gerne Mitleid werden ja und für den Knoten 2 ist das jetzt ganz analog ich mache jetzt ein kleines bisschen schneller der zweite Strom iz2 ist also der Strom hier die Z2 ist die Knoten Spannung U20 multipliziert mit geht zwei minus iz4 iz4 hatten wir hier oben schon ist also U10 minus U20 mal G4 plus iz5 ja und iz5 ist zweitspannung uz5 multipliziert mit G5 und uz5 ist U20 minus U30 das wird multipliziert mit G5 und liefert mir i Z5 mal G5 ist gleich Null und die dritte knotengleichung lautet jetzt müssen wir noch einen Blick auf den Zweig 3 werfen der zweigstrom iz3 ist hier eingezeichnet die Z3 und wenn Sie jetzt hier mit den knotensatz aufstellen erhalten Sie die knotengleichung iz3 ist gleich U30 mal G3 - IQ also U30 mal G3 minus IQ das ist mein zweitstrom iz3 - iz5 iz5 hatten wir hier in der zweiten knotengleichung schon also - U2 0 - 3. 0 mal G5 - iz6 auch das hatten wir bereits in der ersten knotengleichung der dritte term also Minus U10 minus U30 mal G6 und das ist gleich null okay ja aus elektrotechnischer Sicht ist das Problem damit erledigt aber so können wir das natürlich nicht stehen lassen diese drei Gleichungen dienen jetzt also der Bestimmung der drei Unbekannten U10 U20 und U30 und wir können in einem ersten Schritt jetzt diese Gleichungen mal ordnen nach den drei knotenspannungen also knotengleichungen ordnen und wir erhalten damit die drei knotengleichungen noch einmal plus etwas schöner hingeschrieben nämlich G1 plus G4 plus G6 mal U10 minus G4 mal U20 minus G6 mal U30 ist gleich G1 mal UK das ist die erste Gleichung die zweite knotengleichung lautet minus G4 mal U10 plus U20 wird multipliziert mit G2 plus G4 plus G5 und u3.

0 wird multipliziert mit minus G5 und das ist Null und die dritte Gleichung lautet dann minus G6 mal U10 minus G5 mal U20 plus G3 plus G5 plus G6 mal U30 ist gleich IQ okay ja damit haben wir jetzt drei Gleichungen für drei Unbekannte dieses Gleichungssystem kann man lösen Verfahren dazu haben sie in der Mathematik kennengelernt und dann bekommen sie als Lösung also diese drei Knoten Spannungen und können dann alle weiteren zwei Spannungen und über die UI Relation dann auch zwei Ströme in Ihrem Netzwerk bestimmt und am Ende schaue ich noch einmal auf diese Folie und schreibe dieses Gleichungssystem jetzt hier noch einmal in Matrix Schreibweise noch mal auf das ist das gleiche Gleichungssystem bloß folgendermaßen formuliert ich habe hier vorne also eine Matrix mit den entsprechenden Leitwerten hier ein Vektor mit den Knoten Spannungen und auf der rechten Seite ein Vektor mit den einströmungen der entsprechenden unabhängigen quellströme in die jeweiligen Knoten und dieser Matrix hier vorne die nennt man Knoten admittanzmatrix admittanz ist eine Leitwert also Knoten leitwertmatrix und das Gleichungssystem sieht der mathematisch also folgendermaßen aus ich habe hier die Multiplikation dieser Knoten Leitwert Matrix mit dem Vektor der knotenspannungen und das ergibt den Vektor der einströmungen schauen wir uns das mal ganz kurz ein bisschen näher an dieser Weg wurde einströmungen ja das sind für den jeweiligen Knoten also Knoten 1 und Knoten 3 die einströmungen von unabhängigen Quellen in diesen Knoten hineingezählt das heißt wir Knoten 3 ich habe ja also eine unabhängige Quelle IQ die ist vom Vorzeichen her in den Knoten einfließend gerichtet und beim Knoten 1 habe ich hier eine Stromquelle mit dem quellstrom Okuma G1 die also in diesen Knoten eins hineingerichtet ist und diese Knoten admittanzmatrix ist jetzt folgendermaßen konstruiert in der Hauptdiagonale finden Sie jetzt die Summe all jener Leitwerte die mit dem jeweiligen Knoten verbunden sind also hier im Diakon oder im Element 1 1 entsprechend die Leitwerte die alle mit dem Knoten 1 verbunden sind also der Leitwert G1 G4 und G6 beim diagonalelement 22 all jene Leitwerte die mit dem Knoten zwei verbunden sind G2 G4 und G5 und so weiter und so fort und in den nebendiagonal Elementen finden Sie die negative Summe all Jena Leitwerte die als Verbindung zwischen den jeweiligen Knoten fungieren also hier das Element 1 2 ist also der negative Leitwert als Verbindung der Knoten 1 und 2 das heißt Knoten 1 und Knoten 2 sind über den Leitwert G4 verbunden und der mit negativen Vorzeichen findet sich jetzt hier in diesem Element danebendiagonale und hier bei der Position 1.