NÚMEROS REAIS, SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE NÚMEROS REAIS

[Música] Olá estudantes espero que vocês estejam bem números reais sequências e séries de números reais nessa unidade a gente vai falar um pouquinho sobre corpos corpos ordenados números reais sequências limites de umas sequências propriedades aritméticas dos limites subsequências sequências de caxi limites infinitos e séries numéricas pouquinho longo mas é muito gostoso esses assuntos eu tenho Certeza que vocês também vão gostar bastante então vamos lá começando a falar sobre corpos Qual que é a definição dado um conjunto k a gente chama esse conjunto de corpo quando munido de duas operações já conhecidas são elas a adição

e a multiplicação então um conjunto o k vai ser um corpo quando ele é munido de adição e subtração e satisfazem certas condições chamadas axiomas do corpo vamos ver então qual são quais são esses axiomas Do corpo eu tenho axiomas para adição e eu tenho axiomas para multiplicação que um conjunto k deve eh satisfazer para que eles sej um corpo tá bom então eu vou pegar eh para cada parte de elemento x y em k certo a adição vai ser x + y que essa adição de dois elementos também vai estar no corpo e a

multiplicação corresponde ao produto de x x y e esse produto também tem que pertencer ao corpo tá então se x e y tá no corpo a soma e o produto também deve estar além Disso a gente tem aqui as os axiomas da adição O primeiro axioma é o A1 a gente chama de associatividade Tá bom então dá x y e z pertencentes ao corpo somar x y e z dessa forma é a mesma coisa de somar x y e z dessa forma se a gente pensar eu quero Somar 2 + 4 + 6 como que

eu faço você não vai conseguir pensar em Quanto que é 2 + 4 + 6 como que como seu cérebro faz essa conta 2 + 4 mais 6 2 + 4 6 + 6 12 tá bom ou então é mesma coisa de fazer 4 + 6 10 + 2 12 Tá bom então Sempre que a gente vai somar números a gente soma de 2 a 2 tá então o que que a gente tá falando aqui somar x + y e depois somar esse resultado com Z é a mesma coisa de somar o x + y

o z o y + z primeiro e depois somar o x certo então esse aqui é o primeiro axioma da associatividade o segundo axioma gente a gente chama de comutatividade é de é indiferente Somar 2 + 4 e 4 + 2 tá então x + y y + x é a mesma coisa tá elemento neutro existe um 0 k que pertence a k Esse elemento eu vou chamar ele de elemento neutro e ele vai ser tal que para todo k para todo x pertencente a k se eu ch somi esse x com esse k vai

dar o meu próprio x se eu somi esse elemento com próprio com x vai dar o próprio x certo então 0 x + 0 = 0 + x pela propriedade da comutatividade que vai ser igual ao próprio x parece muito Óbvio isso mas aqui a gente é muito Óbvio quando a gente trata da soma usual que é o que a gente conhece mas a soma Eu posso definir ela como sendo uma soma não usual uma soma diferente tá bom então quando é uma soma um pouquinho diferente isso aqui já fica um pouquinho eh não complicado

mas já fica sai um pouquinho do trivial do Óbvio Tá bom então não encarem tudo como Óbvio pro pr pra adição que a gente já tá acostumado que a gente chama de usual isso aqui é trivial mas quando a gente toma uma adição eh diferente cria uma nova regra de adição isso daqui não é tão trivial Tá bom E quem que vai ser o elemento simétrico então para cada x pertencente a esse corpo vai existir um elemento que a gente vai denotar por - x que também vai pertencer a esse corpo tal que quando eu

somo x com simétrico dele vai dar quem o neutro certo o elemento neutro o elemento neutro da adição usual é o zero Mas se a gente troca a regra de adição também nem sempre o elemento neutro vai ser o zero tá bom bom Continuando os axiomas aqui a gente tem então os axiomas da multiplicação Tá bom associatividade então lado x y z pertencente a k a gente tem novamente que se eu multiplico x e y e depois multiplico isso por Z é a mesma coisa de eu multiplicar y e z e depois multiplicar por x

a ordem dos fatores não interno não altera o produto tá bom comutatividade x x y = y x x tá elemento neutro o elemento neutro na multiplicação usual aqui agora vai ser o Um Então existe o um que tá pert que é pertencente ao corpo então o corpo possui o elemento um esse elemento um vai ser diferente do elemento eh neutro tá bom o zero k certo tal que para todo X no k quando eu multiplico 1 por x ou x por 1 que a gente viu pela comutatividade que não importa isso daqui vai dar

o próprio elemento x tá esse aqui então é o elemento neutro e o inverso multiplicativo Qual que é o inverso multiplicativo então então para Cada k para cada x pertencente a esse corpo k o X Ele tem que ser diferente de zero Tá bom então não inverso não existe inverso multiplicativo de zero então X tem que ser diferente de zero existe x a -1 Que também está em k tal que quando eu faço a multiplicação de X vezes o inverso de x é igual a 1 esse inverso de X aqui eu posso escrever ele como

1 sobre X então quando eu multiplico x x 1 so X cancela e quem é que vai sobrar para mim o um que é o elemento neutro da Multiplicação certo bom continuando aqui eu tenho alguns exemplos de corpo o conjunto dos números racionais q com as operações usuais de adição multiplicação é um corpo tá bom então que é um corpo e aqui eu vou ter o conjunto Z que ele é formado da seguinte forma ele é o par zero e um no qual zero representa os inteiros pares e e um representa os inteiros ímpares tá

bom com as seguintes operações Lembra que eu falei que a Gente pode definir operação então aqui eu vou ter 0 + 1 iG 1 ou seja quando eu somo o número par com o número ímpar vai dar um número ímpar pode fazer um exemplo aí mentalmente para vocês verem 2 + 3 é 5 5 é ímpar Tá bom quando eu somo um número par com número par vai dar outro número par 2 + 4 é 6 par com par D par tá um ímpar com ímpar dá par 3 e 9 são ímpares 3 + 9

12 que é par multiplicação então quando eu multiplico um par por o ímpar sempre dá par por Exemplo 6 x 3 dá 18 tá um par por um ímpar dá um par um par por um par dá um par 2 x 4 8 tá o ímpar por o ímpar dá um ímpar 5 x 7 35 5 ímpar 7 ímpar resulta em 35 que também é ímpar Tá bom então Z2 é um corpo tá bom o simétrico inverso de cada elemento é ele mesmo certo bom continuando a gente já definiu o que que é um corpo

um corpo é um conjunto que satisfazem a esses axiomas tá e o que que é um corpo ordenado vamos conhecer então essa definição de corpo ordenado Então o corpo ordenado é um corpo k certo Ou seja é um conjunto k que é um corpo que satisfaz aqueles axiomas no qual Podemos destacar um subconjunto p tá então tem um p que é subconjunto de k esse P eu vou chamar ele de conjunto dos elementos positivos de k tal que as seguintes condições ou propriedades são satisfeitas Então nesse p são satisfeita a propriedade P1 e a P2

a P1 fala que assume o produto dos elementos positivos São positivos tá então quando eu somo dois elementos positivos eles são positivos conjunto P não é o conjunto dos elementos positivos se eu falo que eu tô somando um elemento positivo mais um outro elemento positivo isso aqui vai dar para mim um elemento positivo quer dizer o quê quer dizer que a soma está em P certo então a soma está em p e a multiplicação também est D está dentro de p Tá bom então a gente fala que ele é fechado pra soma e paraa multiplicação

Certo ã da mesma forma dado x pertencente a esse corpo apenas uma das três alternativas ocorrem tá então eu tenho x pertencente ao corpo o X Ele pode pertencer ao p se ele é positivo ele pode o - x pode pertencer a p certo no caso se o X é positivo se o X é negativo perdão o - X é positivo então se ele pertence a p Ele é positivo se ele é negativo quer dizer que ele não pertence a p mas o inverso multiplicativo dele Pertence a p tá ou ou o outro caso é

ele ser igual a zero Tá bom então se eu afirmo que x tá em k apenas um desses três casos aqui são verdadeiros tá bom bom dessa forma se indicarmos como p o conjunto dos elementos menos x ou seja x pertence a p - x é o conjunto dos elementos que não são positivos certo então eles vão pertencer a - p Tá bom quem que vai ser o k o k Então vai ser formado pela união do conjunto dos números positivos união Com o conjunto dos números não positivos tá que pode ser estrito da forma

- x união com zero que não é nem positivo nem negativo tá bom ele muito ele é neutro certo el não tem sinal sendo esses conjuntos dois a dois disjuntas que que é conjunto de juntos já vimos isso na aula passada esse conjunto E esse eles não são disjuntos por quê eles têm interseção 2 A2 disjuntos quer dizer que se eu analisar eles dois a dois eles não se intersectam esse não tem Interseção com esse esse não tem interseção com esse esse não tem interseção com esse nem com esse aqui tá bom então dois a

do eles não se interceptam tá eh os elementos de menos p são chamados de elementos negativos tá bom exemplos de Corpos ordenados o conjunto dos números racionais é um corpo ordenado Por quê o conjunto P é formado por frações positivas a gente sabe que todo elemento de q vai ser escrito como a divisão quociente de dois Elementos naturais então p sobre q tal que q é diferente de Zero Certo então eh inteiros tá p e q inteiros q é diferente de zero então o conjunto P é formado por frações positivas quando é que é positivo

quando p e q é simultaneamente positivos ou simultaneamente negativos tá bom ou seja frações cujos numeradores e denominadores são números naturais Tá bom então o conjunto Q é um corpo ordenado o conjunto Z2 ele não é um corpo ordenado por quando eu somo um Número ímpar com um número ímpar isso vai dar para mim um número par certo então a soma não estaria definida dentro do conjunto dos números ímpares certo então uma vez que um deve ser positivo e a soma dos dois números positivos deve ser um positivo certo temos a conta de tradição som

somarmos um com ele mesmo certo ã corpos ordenados nos corpulos ordenados a gente tem uma relação de ordem que a gente chama de menor ou Maior Caso vocês tenham dificuldade para definir o Quem que é o maior Quem que é o menor eu vou ensinar uma regrinha para vocês Vocês vão fazer um cortezinho aqui ó esse número aqui não parece um quatro é um quatro meio esquisitinho mas parece e esse número aqui ele não parece um sete é um sete meio esquisitinho mas parece quem que é menor o quatro ou o sete o quatro é

menor Então significa que esse símbolo aqui que é o símbolo de menor o set é maior Então significa que Esse símbolo aqui que é o símbolo de maior Tá bom então isso é uma Mazinho pra gente nunca esquecer quem que é o maior Quem que é o menor e não confundir tá E também massete para vocês ensinarem pros alunos de vocês eh bom transitividade quais são essas propriedades dessa relação de ordem menor e maior relação da transitividade x menor que y e y Men que Z que que eu vou ter uma reta X é menor

que Y uma reta ordenada Então a reta para cá X é menor que Y Ok eu tenho um Y que é menor que Z que que eu concluo eu concluo que o X é menor do que o z também tá então isso aqui é a transitividade ok tricotomia então se eu tenho x e y pertencente a um corpo ocorre apenas uma ou X é menor que Y ou X é maior que Y ou x = y é um desses três certo não tem um caso que foge disso tá bom monotonicidade da adição se x é

menor que Y então para todo Z pertencente a k Nós temos que X é menor que Y certo então se eu somar Z Em ambos os lados dessa desigualdade essa desigualdade ela ainda vai prevalecer Tá bom então ó se eu somar Z de k e somar Z de k esse sinal de menor ainda continua tá bom mesma coisa se acontecesse pro sinal de maior tá bom e a o4 a gente tem essa mesma propriedade porém agora com a multiplicação se eu multiplicar Z de ambos os lados podem acontecer duas coisas se o z é positivo

ou seja Z maior Que z0 certo então a gente tem que o sinal da desigualdade ele preserva tá então aqui tá menor ele continua menor mas se o z é negativo Z menor que zero o sinal troca antes era menor então agora aqui ficou maior tá bom observação aqui outra relação de ordem que a gente conhece é o menor ou igual ou maior ou igual certo quando a gente tem essa relação de ordem as propriedades o1 O3 e o4 elas continuam a mesma não muda nada tá bom a O2 ela Sofre uma pequena modificação Então

em vez da gente ler a A2 como sendo isso daqui a gente vai esquecer isso aqui e a gente vai ler ela da seguinte forma eh ou x é menor ou igual ao próprio x certo que é conhecida como Reflex dade E além disso eh a outra propriedade né tal que a O2 ela é substituída por duas propriedades uma delas é a Reflex tidade e a outra é o seguinte se x é menor ou igual do que y y é menor ou igual do que X isso aqui acontece se isso somente se x e y

são iguais ok Um é menor que o outro e o outro é menor que um só ocorre ao mesmo tempo se os dois são iguais tá bom então quando a gente tem essa relação de ordem aqui a gente vai substituir essa O2 pela propriedade da Reflex reflexividade em que X é menor ou igual a x e por essa outra propriedade aqui se x menor ou igual do que y y menor ou igual que x isso só acontece se isso si y é igual a x Ok bom considerem um corpo ordenado k tal que os naturais

sejam subconjuntos desse corpo k tá bom Aqui eu vou construir os nossos conjuntos tá a gente já construiu o conjunto dos números naturais tá bom eh agora a gente vai construir os outros conjuntos vamos ter definir os outros conjuntos Tá bom então considere um corpo ordenado k tal que o conjunto dos números naturais eles sejam subconjunto de k Então é só isso finalizou aqui Próximo tópico os simétricos dos elementos de n ou seja - n mais o z0 n natural tá bom - n com n natural mais o zero forma o conjunto dos números inteiros

ou seja quem que é o conjunto dos números inteiros é o conjunto dos naturais mais os inversos dos números naturais mais o zero Tá bom então o que que eu falo antes eu tinha que o n tá contido no k agora eu vou ter que o n tá contido Nos inteiros que tá contido no k ok bom vamos desenhar isso e eu vou fazer aqui então o conjunto dos números naturais aqui naturais tá conjunto dos números naturais ele está contido no conjunto qual conjunto dos números inteiros que eu denoto por Z Ok e o conjunto

dos números inteiros ele aqui ó dentro do corpo K Ok então até então a gente tem isso aqui vamos continuar para ver então onde que isso que vai levar a gente nós temos também que o conjunto dos números racionais pode ser formado da seguinte forma ó então qualquer número racional eu posso escrever ele da forma P sobre q tal que p e q são inteiros e q é diferente de zero ou seja Qual o conjunto dos dos QS certo dos números racionais quem vai tá dentro dele o Próprio Z que quem tá dentro do próprio

Z o próprio n certo então o conjunto dos números q também vai est dentro desse corpo ordenado Tá bom então agora aqui eu vou acrescentar mais um conjunto aqui azul e eu vou chamar esse conjunto azul de q que são são os conjuntos dos números racionais Tá bom então o conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos Números naturais Tá bom eu vou copiar isso daqui agora que a gente vai tá a gente vai utilizar isso nos próximos slides bom

quero definir com vocês o que que é o valor absoluto valor absoluto é o módulo a gente já trabalhou com o módulo desde o ensino médio em vários momentos da nossa vida então acho que não é novidade para ninguém tá mas agora Vamos definir o módulo formalmente aqui dentro da análise real tá bom Um corpo ordenado K Em um corpo ordenado k Quem que é o valor absoluto de um elemento x ele é representado por módulo de X tá E ele é dado por - x se x é menor que 0 e x x se

x é maior ou igual a zero por exemplo que que significa eh eu falar que eh o módulo de x é igual ao máximo entre - x e x por exemplo vamos supor que x é igual a -2 se x é igual a -2 módulo vai ser então o máximo essa aqui é a função máximo tá entre - x Então - -2 e o próprio x que é -2 qual que é o máximo menos men2 é 2 positivo certo Qual que é o máximo entre dois positivo e dois negativo é o próprio dois então módulo

de -2 é igual ao próprio 2 Tá bom então esse daqui é a definição formal do que que é o módulo e aqui eu ainda tenho um corolário se eu tenho a x e B pertencente a um corpo eu tenho que o módulo de X - a é menor ou igual a B se somente se a - b é menor do que x que é menor ou igual a a + b como Que eu chego nisso Vamos fazer uma continha aqui a x - a desculpa x- a Vai ser menor ou igual a B isso

aqui é equivalente a eu dizer que - B é menor ou igual x - a que é menor ou igual a B certo que que eu vou fazer agora Note que o x tá sozinho aqui no meio dessas duas desigualdades para eu deixar o x sozinho aqui no meio também eu preciso fazer se assumir certo não vou fazer isso com mágica vou fazer isso na frente de vocês ó eu vou somar a Em todos os lados da desigualdade Então vou ficar - b + a menor igual que x - a + a menor ou igual

que b + a certo então Ó esse a cancela com esse a aqui a gente vai ter a - b Só troquei esses dois aqui de lugar que a gente já viu que pode fazer isso né para uma propriedade que a gente acabou de ver é menor ou igual que a mais o B que é exatamente igual a isso daqui tá bom então o que que significa eu falar aqui x - a é menor ou igual que D significa eu falar que x tá Compreendido entre a - b e a + b tá bom só

uma observação Zinha que a gente vai usar daqui a pouquinho gostaria que vocês passassem a enxergar o módulo também como distância entre dois caras da reta tá bom x módulo de X - a pode ser visto como a distância entre x e a então o que que se significa eu falar que módulo de X - a é menor que igual que B significa eu falar que a distância entre x e a é menor ou igual que B tá Bom bom alguns eh resultados que a gente tem aí de módulo para módulo Tá bom então dado

x y z pertencentes a um corpo os elementos arbitrários do eh elementos arbitrários né do corpo k a gente tem a seguinte relações então aqui a primeira relação é que o módulo da soma é sempre menor ou igual que a soma a soma dos módulos bom o produto o módulo do produto é sempre igual ao produto dos Módulos a diferença entre o módulo de x e o módulo de y é sempre menor ou igual que o módulo de módulo de x menos módulo de Y que vai ser menor ou igual que a diferença de x

e y em módulo tá bom e o módulo de x- Z vai ser menor ou igual do que x- y + y - z essa última aqui às vezes ela não é tão trivial mas a gente vai pensar o seguinte lembra que eu falei para enxergar o módulo como sendo distância Vamos ver isso aqui a Distância entre x e z Vai ser menor ou igual do que ó a distância entre x e z é esse tamanhozinho aqui certo esse comprimento ela vai ser menor ou igual que a soma das distâncias de x e y então

x e y aqui mais isso daqui certo ou seja se eu tiver aqui uma formiguinha que vai percorrer esse caminho aqui e outra formiguinha que vai que vai percorrer esse caminho aqui a primeira formiguinha vai chegar mais rápido certo se elas Tiverem numa velocidade constante Com certeza tá bom então a distância se eu for direto até o Z do X Vai ser menor do que se eu passar no Y primeiro e depois eu ir pro Z ok e por que que é menor a igual porque se o vou duplicar isso aqui hum ó Por que

que é menor ou igual porque se eu tenho o y exatamente em cima dessa reta aqui de todo jeito eu vou ter que passar por y mesmo para chegar em Z Tá bom então a distância de X a y e de y Até Z a mesma distância de X até Z direto Tá bom já que Y é um ponto pertencente a essa reta que liga o x até o Z Tá bom então isso daqui seria essa última aqui tá bom as outras são um pouquinho mais triviais mas vocês podem pensar com exemplos dessa forma também

para entenderem bem essas propriedades aqui do módulo tá corpos ordenados ainda falando sobre Corpos ordenados O que que são subconjuntos Limitados Tá bom vou ter um subconjunto X do corpo k tá então X é um subconjunto do corpo ordenado k dizemos que X é limitado superiormente quando existe um B em k nesse corpo ordenado Note que b não necessariamente precisa estar em x tal que qualquer xizinho desse X é menor ou igual que B certo então aqui eu vou ter o meu k meu corpo k tá eu vou ter aqui o meu subconjunto x xão

Tá bom então para cada xinho que eu pegar aqui dentro ó eu consigo exibir um B que ele pode ser aqui ó tão próximo dessa Fronteira aqui quanto eu queira ou ele nem precisa fazer parte tá do conjunto x se for um conjunto aberto tá daqui a pouquinho a gente vai definir abertos fechados então aqui em rosa eu tenho o meu b e para qualquer xizinho de X esse B aqui é o maior Tá bom então o meu xizinho ele é menor qualquer xizinho é menor ou igual que o meu B tá bom para todo

xinho em xizão tá de forma análoga nós temos que X é limitado inferiormente quando existe um a Ok existe um a também pertencente a k não necessariamente a vai pertencer a x tá bom tal que qualquer xizinho do X do xão vai ser maior que esse a vai tá à direita desse a Tá bom então ó qualquer xizinho vai ser maior ou igual que o a para todo xinho em x tá bom um conjunto que ele é limitado inferiormente e superiormente ao mesmo tempo ele é chamado de limitado então o Conjunto ele só é limitado

se ele é limitado superiormente e inferiormente tá bom bom continuando nossa aula passando agora pro assunto de números reais o que que é o Supremo Vamos definir aqui então Supremo Então eu tenho que X é um subconjunto de k é um subconjunto limitado superiormente do corpo ordenado k então eu sei que é um subconjunto limitado superiormente tá um elemento B é chamado Supremo de x quando B é a menor Das cotas superiores de X em k tá que que que quer dizer quer dizer o seguinte eu tenho aqui então um corpo k um subconjunto X

xão eu vou falar que B é o Supremo vou escrever ele aqui B ele é o Supremo quando ele é a menor das cotas superiores de X cotas superior são elementos que são aqui ó que são qualquer x qualquer x de xão é menor do que essas cotas superiores aqui certo e a menor Das cotas superiores que é esse b aqui ela é chamada de supremo de X por exemplo eu posso pegar esse essa cota superior aqui tá bom essa cota superior aqui que eu vou chamar ela de Belinha Ela é maior que todos os

elementos de x que tá aqui mas ela não é a menor cota superior por quê Porque existe essa B aqui que é menor do que qualquer B linha tá bom B é a menor cota superior e ainda assim B é maior do que qualquer elemento de X Tá bom então a definição de supremo De x é b é o Supremo quando B é a menor das cotas superiores Ok em outras palavras B é o Supremo de um conjunto X contio em k se somente se as duas condições abaixo são satisfeitas para todo X então ó

para todo x eu tenho que X é menor ou igual que B certo Então nesse caso B é uma cota superior tá bom E C pertencente a k ele é tal que todo x também é menor que C então C também é uma cota superior certo mas eu quero que B seja o Supremo ou seja B é cota superior mas ele é a menor das cotas superiores ele é menor que qualquer C nesse caso aqui ó chamei de Belinha Mas a gente pode chamar qualquer cota superior de C Vai ser menor vai ser maior do

que o b tá bom B vai ser a menor das cotas superiores e eu denoto B com como sendo sup de X tá bom bom definimos Supremo agora a gente define o ínfimo um elemento a é chamado de ínfimo de x quando a é a maior das Cotas inferiores de X então Ó vou desenhar aqui de novo eu tenho o conjunto k o corpo K eu tenho aqui o conjunto x que é um subconjunto de k tá bom eu tenho aqui que aí ó várias cotas inferiores desse meu conjunto x certo por quê Porque para

qualquer cara que eu tomar aqui ó qualquer um desses caras que tomar que eu tomar aqui vai ser menores do que o x ou seja o x Vai ser menor do que qualquer um que tiver Ali atrás certo esses risquinhos aqui que eu fiz ok E além disso é a maior das cotas inferiores a maior das cotas inferiores não é essa não é essa aqui a maior das cotas inferiores vai ser essa aqui certo então aqui então vai ser o meu a E essas outras cotas inferiores aqui é o que eu tô chamando de C

Tá bom então se C Ele tá em k é tal que qualquer x do meu x do meu xão aqui é maior do que C C é uma é uma cota inferior Só que eu não quero qualquer Cota inferior eu quero a maior delas Tá bom então o meu a vai ser maior que qualquer cota inferior E aí eu vou chamar o meu a de ínfimo de X tá Note que quando eu quero B eu quero a menor das cotas superiores por quê Porque eu tô aqui à direita porque eu tô pegando sup como agora

eu tô pegando da esquerda paraa direita a minha cota inferior vai ser a maior das cotas inferiores tá bom bom eh exemplo se eu tenho o conjunto x que Ele é formado por esse intervalo aqui a e b tá então eu vou desenhar isso aqui eu tenho conjunto x Na verdade eu vou ter o k que é o corpo eu vou ter o conjunto X e os extremos do conjunto x vai ser o a e o b tá bom o ínfimo de x nesse caso vai ser o a ó vai ser o a e o

sup de X vai ser o próprio B certo ah e aqui eu quero ressaltar que o sup e o ínfimo eles nem sempre vão pertencer ao x tá bom e nesse caso aqui como aqui é um conjunto aberto tá tá excluindo o a E tá excluindo o b a é ínfimo b é sup Mas nenhum deles pertencem ao conjunto x tá eles não pertencem ao conjunto x certo bom Vamos definir agora quando é que o k é um conjunto completo Um corpo completo seja k um corpo ordenado dizemos que k é completo quando todo subconjunto

x de k não vazio limitado superiormente possui Supremo em k certo então é um corpo completo quando o Supremo de um subconjunto não vazio está em k tá então enquanto na definição Quando é um subconjunto não vazio limitado superiormente vai vai ter Supremo é analogamente se é não vazio e limitado inferiormente com certeza vai possuir um ínfimo tá bom e agora a gente tem o axioma fundamental da análise matemática existe um corpo ordenado completo denotado por R chamado de corpo dos números reais então aqui a gente define quem é o r tá bom R é

um corpo ordenado completo do que é chamado de conjunto dos números reais tá bom E Aqui a gente volta para aquele desenhozinho que a gente tava fazendo lá no início até o momento a gente tem isso aqui certo a gente tem o corpo dentro desse corpo a gente tem o conjunto dos números naturais a gente expandiu o conjunto dos naturais e foi pro conjunto dos números inteiros expandindo o conjunto dos números inteiros a gente vai pro conjunto dos números racionais A gente vai expandir mais ainda esse conjunto tá Olhem aqui os elementos do Conjunto R

dos conjuntos dos números reais R menos o conjunto dos números racionais ou seja menos tudo isso aqui ó tá ou seja são os números que não são Racionais estão R mas não são Racionais ou seja não podem ser escrito dessa forma aqui certo eu vou chamar esse conjunto de conjunto dos números irracionais eu vou chamar de I tá bom Um exemplo de Número irracional é o dois aqui deixo para vocês provarem que ra2 é irracional uma prova bem comum eh pode vir a cair em alguma prova que vocês forem fazer algum teste Tá bom então

então eu deixo aí como exercício fazer a prova de que ra2 é um número irracional tá então aqui eu vou ter o conjunto dos números eu vou ter que desenhar esse k de novo aqui então eu vou ter o conjunto dos números reais fazer ele maiorzinho aqui então Esse daqui é o conjunto dos números reais só que aí que que a gente tem até agora a gente tem que o conjunto o corpo contém o conjunto dos números reais que contém o conjunto dos números racionais que contém conjunto dos números inteiros que contém o conjunto dos

números naturais mas onde que entra agora o conjunto dos números irracionais bom conjunto dos números irracionais está contido no Conjunto R mas ele não contém nenhum dos outros conjuntos tá Então conjunto dos números irracionais eu vou desenhar ele aqui ele é isolado dos outros tá I Ok bom então aqui a gente fecha a nossa parte de teoria né de conjuntos aqui então a gente tem tem o corpo k corpo k ele praticamente vai vai ser abrangido por todo o r certo ã definição de conjunto denso eu tenho aqui então um X agora aqui eu passo

a não falar mais do R tá eu passo do k Agora já que o r é um conjunto completo é um corpo ordenado e completo Agora eu vou tomar R como sendo o meu maior conjunto tá bom que ele vai abrangir Todas aquelas propriedades que a gente já estudou então eu vou pegar um X que agora é subconjunto de R eu vou falar que X Ele é denso em R quando todo o intervalo aberto possuir um ponto de X ok então todo intervalo aberto possui um ponto de X aí nesse caso eu vou falar que

X é denso em R tá bom em outras Palavras X é denso em R quando dados a menor que B em R A e B arbitrários nós podemos encontrar um X que tá aqui entre a e entre o b tal que esse x tá aqui no xão Tá bom então essa daqui é a definição de conjunto denso Ok exemplo se a gente considerar esse conjunto CZ o conjunto dos números racionais ó perdão dos números reais que não são inteiros tá então conjunto dos números reais que não são inteiros temos que X é denso em R

porque todo intervalo AB é um conjunto infinito ao mesmo tempo que existe no máximo quantidade finita de inteiros n Tais que a é menor que n que é menor que b então portanto qualquer intervalo a possui elementos de x que são números reais não inteiros tá então se eu tenho aqui uma reta eu tenho aqui o conjunto A e B aberto quando eu quero fazer aberto eu posso fazer um parêntese aqui aberto tá bom conjunto fechado ele é denotado por colchetes certo conjunto fechado ele é Denotado por colchetes então A e B é um intervalo

aberto tá bom e é um conjunto infinito tá então aqui eu tenho infinitos números dentro desse intervalo aqui certo então qualquer intervalo entre qualquer intervalo a b vai existir elementos de X aqui dentro que são números reais não inteiros por exemplo se eu pego aqui o a = 1 e o b = a 2 dentro entre o intervalo 1 e do eu consigo encontrar um x um xinho aqui que ele pode ser escrito por exemplo como um 36 por exemplo e esse 136 ele pertence a x por quê Porque X é o conjunto dos números

que não são inteiros certo então dentro de qualquer a que eu qualquer intervalo que eu tomar eu consigo um elemento desse conjunto aqui dentro Ok bom Vou definir agora o que são sequências uma sequência de números reais é uma função x que vai dos naturais até os reais definida no Conjunto dos números naturais e tomando valores dos números reais ok Além disso x de n que era o que a gente colocaria né quando a gente tá escrevendo Por exemplo FX vai ser representada agora por xn tá bom E será chamado de enésimo termo da sequência

tá bom notações usaremos parênteses para indicar a sequência x tá então Ó quem quer sequência x X1 X2 X3 alguma coisa xn mais outras coisas ou eu vou escrever assim ou eu posso escrever Assim tá xn tal que n é um natural ou apenas o xn aqui tá bom Por exemplo eu quero que a minha sequência xn tá é é a função que vai de n até R tal que xn tem essa lei aqui de Formação ó 1 sobre n então para cada n que eu pegar aqui para cada enzinho que eu pegar aqui no

conjunto dos números naturais esse número vai ser associado a um valor real aqui tá Então quem que vai ser a sequência Vai ser 1 so 1 que é 1 1 sobre 2 1 so 3 1 so 4 e assim sucessivamente Então essa daqui ó é a minha sequência certo outro exemplo de de sequência é a sequência constante quando todos os termos da minha sequência são iguais tá então essa sequência yn aqui eu chamo ela de sequência constante e ela é utilizada para provar bastante coisas que a gente vai ver agora PR frente tá bom bom

sequências limitadas e datas Tá bom então uma sequência xn eu falo que ela é limitada quando existem A e B reais tal que a é menor ou igual que x Que xn que é menor ou igual que B para todo n ou seja para qualquer índice aqui pode ser o X1 X2 X3 X4 qualquer índice qualquer cara da minha sequência vai tá entre a e b certo Eh Ou seja ela é limitada quando aqui é um intervalo fechado Tá bom quando existir um intervalo A e B que contenha todos os termos da nossa sequência xn

tá então todos os termos da minha sequência xn vai tá aqui dentro caso xn não seja limitada a gente vai falar que ela é Ilimitada Ok bom a gente já viu sobre sequências vamos falar então o que que são subsequências então dado uma sequência xn que que é uma subsequência de xn então uma subsequência de x é a restrição da função x a um subconjunto infinito dos naturais digamos N1 menor que n2 menor que N3 menor que ni e assim sucessivamente tá então esse n linha aqui vai ser um um subconjunto de n Tá bom

então eu vou escrever que x linha Certo é uma subsequência da minha sequência X é vai ser igual a minha xn certo restrita ao conjunto A esse subconjunto dos números naturais que eu denei por n linha certo ou seja xn1 xn2 xni ou então eu posso denotar isso escrever isso como xn índice n índice I tá bom Vale lembrar que esse n restrito aqui ele tá contido no n é infinito se somente se é é ilimitado tá então eu tô pegando aqui um Subconjunto ilimitado tá bom porque é infinito tem que ser infinito então para

todo n0 pertencente a esse n restrição aqui vai existir um n pertencente a esse n tal que n0 vai ser menor que esse ni então para qualquer ni que eu pegar para qualquer n0 que eu pegar eu consigo eh encontrar um mi que seja maior do que esse n0 Tá bom então ele vai ser infinito e portanto ilimitado bom classificação das sequências eu posso classificar minha Sequência em crescente então dizemos que uma sequência xn ela é crescente quando X1 é menor que X2 que é menor que um X3 que é menor que todos os outros

termos tá bom assim sucessivamente quando xn é menor que xn + 1 para todo n Tá bom então o X1 é o menor termo xn + 1 vai ser o maior termo o maior termo eh independente do n né porque o n ele pode crescer tanto quanto eu queira então qualquer vai ainda vai existir o xn + 2 xn + 3 xn + 4 certo então por Isso que eu falo que é para todo n porque aqui eu posso continuar somando mais 1 + 2 + 3 + 4 no n isso aqui pode se tornar

um número tão grande quanto eu queira ã caso xn seja menor do que o xn + 1 Então se isso aqui for válido para qualquer n a sequência é chamada de não decrescente por quê posso ter uma sequência que ela é decrescente ela é crescente numa parte e ela é decrescente na outra parte já já Vou entrar na parte de não de ser decrescente Tá bom então quando essa sequência para todo xn o próximo cara ainda é maior o próximo cara ainda é maior o próximo cara ainda é maior ou seja essa sequência ela não

vai decrescer nunca ela vai ser estritamente crescente certo então ela é crescente E além disso ela é não decrescente tá bom de forma forma análoga a minha xm ela é decrescente quando X1 é maior que X2 que É maior que X3 que é maior que todo o resto até o xn que é maior que xn + 1 Tá bom então ela vai ser decrescente quando o maior termo da minha sequência é conhecido que é um X1 todos os outros termos são menores que esse X1 e estão decrescendo progressivamente Tá bom então dado caso o meu

xn seja maior ual xn + 1 para qualquer n ou seja essa essa sequência ela é estritamente eh decrescente certo então eu vou falar que ela é não crescente ela Nunca vai crescer tá bom então quando uma sequência pode ser classificada em crescente decrescente não crescente ou não decrescente a gente chama ela de monótona tá bom bom limite de uma sequência vamos falar um pouquinho sobre isso se a é limite de uma sequência xn então quando n é um natural muito grande xn é um valor muito próximo de a certo e o limite quando existe

ele é único Tá bom então o que que que tá falando se o a é um limite Quando o n é muito grande o meu xn se aproxima cada vez mais fica cada vez mais próximo de a Tá bom então matematicamente se a é limite da sequência de xn Então se dado um é esse é pode ser tão pequeno quanto eu queira tá bom e ele vai ser arbitrário vai existir um n0 natural tal que a distância Lembra que eu falei que era para começar a enxergar o módulo como sendo distância a distância de xn

e a vai ser menor que Y sempre que o n Excede o n0 sempre que o n é maior do que o n0 Tá bom então quanto menorzinho for quanto mais próximo o xn tiver do a certo maior o n vai ter que ser maior eu vou ter que tomar valores de n tá bom isto é o limite da minha sequência xn É iG a a se somente si para todo é maior que 0 vai existir um n0 natural tal que ponto e vírgula eu leio tal que também tá bom tal que se n é

maior do que n0 isso implica que a distância de xn e a Vai Ser menor do que o meu é Ok notação eu vou falar então que o limite de xn É iG a a ou o limite de xn é = a a quando n tende ao infinito Ok então dizemos que X tende a a que significa isso aqui ou converge para a e a gente escreve isso aqui xn indo para a Ok se xn possui um limite dizemos que ela é convergente tá então o que que é uma sequência convergente é uma sequência possui

limite caso contrário a gente vai chamar essa Sequência de divergente tá bom bom alguns resultados aqui sobre sequência se o limite existe ele é único tá essa frase a gente já vê lá desde cálculo né quando o limite existe ele é único se o limite de xn é igual a A então toda a subsequência de xn também vai convergir para a tá bom corolário se um X se o limite de x xn É iG a A então para todo k natural o limite de xn + k tá bom também vai ser igual a a tá

ou seja se o limite de xn tá indo para a se Eu ficar mais um pouquinho próximo de a o limite vai continuar indo para a se eu ficar mais um pouquinho próximo certo se eu continuar seguindo ali a linha da minha sequência Isso aqui vai ficando cada vez mais próximo de a e pode se aproximar de a tanto quanto eu queira Tá bom toda sequência convergente é limitada tá muito importante toda sequência convergente é limitada Mas nem toda sequência limitada É convergente por exemplo se eu tenho aqui essas sequências xn que é igual a

1 - 1 1 - 1 1 - 1 e assim sucessivamente tá bom essa sequência ela é limitada inferiormente e superiormente ela é limitada inferiormente por men1 e ela é limitada superiormente por um positivo se ela é limitada inferiormente superiormente então eu concluo que ela é Ltda ela é limitada certo ela é limitada mas ela não converge porque para convergir tem que existir um é tão Pequeno quanto eu queira certo maior que zero tal que a distância de dois dois elementos aqui na frente certo tem que de de um a né vamos supor que converja

para a então de um xn menos o a aqui tem que ser menor que esse é aqui mas por mais que eu pegue n tão grande quanto eu queira tá natural tão grande quanto eu queira essa distância aqui ó sempre vai existir um um é certo que contradiz isso daqui tá bom sempre eu vou poder pegar um é e é muito menorzinho tal que isso Aqui não vai valer tá bom essa sequência aqui ó ela fica oscilando entre menos 1 Men 1 Men um ela Ela não pula para nenhum lugar ela não decide se ela

quer ficar no um ou no menos um certo então a gente afirma que ela não é convergente por mais que ela seja limitada ela não é convergente Tá bom toda a sequência monótona limitada é convergente que que é monótona ou ela é estritamente crescente estritamente decrescente não crescente não decrescente certo Então ela sempre vai para algum lugar certo ou ela vai crescendo e se ela é limitada o limite dela é o o valor pelo qual ela converge tá bom então se ela é monótona ou ela só cresce ou ela só decresce limitada tá então ela

cresce para um lugar ela tá indo para um lugar então ela tá convergindo para aquele lugar tá então eu posso afirmar que ela vai ser sim convergente e se uma sequência monótona possui uma subsequência convergente Então essa Sequência xn também é convergente tá então às vezes eh é às vezes em alguns casos a gente pode ter que não sei se a minha sequência é convergente mas eu sei que essa sequência ela é monótona e eu sei que ela possui uma subsequência convergente Então se ela possui uma subsequência convergente ela também é convergente tá bom bom

B propriedades aritméticas dos limites ã alguns resultados tá bom se o limite de xn É iG 0 yn é uma sequência limitada certo Então limite de xn = 0 eu sei que Y eu sei que yn é limitada então o limite da multiplicação dessas duas sequências também vai ser igual a zero bom se essa eh se o limite de xn é igual a a e o limite de yn é igual a B então esses três a gente tem acontece essas três coisas aqui vamos verificar a soma desses limites aqui vai ser a + b certo

a subtração vai ser a - b tá bom Por quê Porque o limite da soma é a soma dos limites limite da subtração é a Subtração dos limites tá bom ã a multiplicação também de xn por yn também vai ser a x b tá bom eh a divisão também vai ser a sobre B sendo que o b tem que ser diferente de zero nesse caso para existir essa divisão Tá bom e controlamos o índice n tomando suficientemente grandes de forma que yn seja diferente de zero tá bom e teorema da permanência de sinal Então se

o limite de xn ig a a que é maior que z0 vai existir um n0 natural tal que se n Excede n0 se n é maior que n0 então a xn também vai ser maior do que zero Ok bom corolário consideremos xn e yn sequências convergentes aqui eu já tô falando que elas são convergentes Tá bom então se xn é menor que yn para todo n o limite da XN também vai ser menor do que o limite da Y n tá outro corolário se a minha xn ela é convergente tá tomei uma xn convergente xn

é maior que a para todo para todo n então o limite de xn também Vai ser maior que a Tá bom então consideremos xn e yn os extremos certo então ZN eh a gente vai tomar uma ZN entre xn e yn n então para todo n natural Ok se o limite de xn é igual ao limite de yn então o limite de ZN também vai ser igual ao limite desses dessas outras duas sequências certo então se o limite xn de yn a o limite de ZN também é igual a a tá bom porque essa sequência

tá compreendida entre essas duas aqui ok bom próximo assunto subsequências já Definindo subsequências tá a aqui a gente vai ver alguns resultados algumas coisinhas a mais sobre esse tema e já iniciamos com o teorema a pertence a r então a é um número e esse número é o limite de uma subsequência de uma sequência xn Se e somente si então ma é o limite de uma sequência se somente si para todo é maior que zero existe uma quantidade infinita de índice n tal que xn vai pertencer a a - y e a + y certo

que que Isso aqui fala pra gente vou tomar primeiro essa reta aqui tá então aqui eu tenho o meu a certo aqui então eu tenho o meu extremo que é a- é meu outro extremo que é a + y aqui ficou com rinho de sinal aqui é mais Ok ã o que que vai acontecer eu sei que para uma quantidade infinita de índices NS se a é limite de uma sequência Então tem alguma sequência caminhando para esse valor aqui significa que tem um Xn tão próximo de a quanto eu queira se eu pegar o É

nesse desse tamanho aqui né Se eu pegar o é desse TAM tamho aqui vai ter um xn por aqui se eu pegar um é desse tamanho aqui ainda vai existir um xn al no meio e se eu pegar um é desse tamanhinho aqui eu ainda consigo exibir um xn que ainda esteja entre uma distância menor de a do que o Esse é Tá bom então eu consigo ter para uma quantidade infinita de índice quer dizer que esse xn aqui às vezes esse n vai ter Que ser um índice muito grande para aproximar de a tanto

quanto eu queira depende da velocidade né de convergência eh mas vai existir um xn entre dentro desse intervalo aqui a - y e a + y Tá bom outra forma de visualizar Isso é se eu falar que Y é o raio de uma bola aqui eu tenho uma imagem que a gente vai chamar isso aqui de uma bola a aberta tá bom Por isso que o tracejado o contorno dessa bola aqui tá pontilhado tá então isso aqui é uma bola aberta eu vou falar Que essa bola está centrada em a certo e eu vou falar

que o raio dessa bola é é tá então se o a é limite de uma subsequência de xn Então quer dizer que tem alguma subsequência de xn C minha and aqui em direção a a Tá bom então por mais pequeno que eu tome o meu raio se eu pegar um raio ainda menorzinho aqui ó eu ainda consigo exibir um cara da subsequência aqui dentro certo bom ah o que que é então ponto de aderência nós chamamos o valor real a de Valor de aderência de uma sequência xn quando a é o limite de alguma subsequência

de xn Tá bom por exemplo aqui eu tenho xn tendendo a a quando n tende ao infinito tá bom a é o único valor de aderência de xn certo eh Além disso eu tenho essa sequência aqui ó 0 1 0 2 3 3 tem zero como seu único valor de aderência apesar de ser divergente o que que isso significa essa sequência ela é divergente tá ela não tá convergindo para nenhum lugar mas eu Consigo pegar uma subsequência de zeros ó vou pegar esse zero vou pegar esse zero vou pegar esse zero e vou criar uma

sequência de zero essa sequência aqui que eu acabei de escrever ela é subsequência dessa sequência aqui certo então Eh quem é o valor de aderência o zero o zero é o valor de aderência dessa sequência dada aqui por quê Porque eu consegui pegar uma Subsequência tal que o limite dessa subsequência é Zero Certo então quando algum número for eh limite de uma subsequência esse número eu vou chamar ele de ponto de aderência Ok valor de aderência já a sequência 0 0 01 também Diverge vocês concordam por ela não tá convergindo para lugar nenhum ela ela

fica pulando entre o 0 0 0 igual aquela sequência que a gente viu Men 1 Men 1 Men 1 1 essa sequência Então ela é Divergente certo e ela possui como valor de aderência o zero e o 1 por quê Porque quando eh eu tenho a subsequência 0 0 essa subsequência aqui ela é convergente tá E ela conver ela o limite dela é Zero Certo então se zero é o limite de uma subsequência ele é o valor de aderência dessa sequência aqui tá outra subsequência é a sequência constante 1 1 e eu sei que essa

sequência converge para um limite dela é Um certo um também é ponto de aderência dessa sequência aqui por quê Porque existe essa subsequência que converge para um certo um limite de alguma subsequência dessa sequência Então isso que é a definição de ponto de aderência certo bom alguns resultados consideremos xn uma sequência limitada tá então a minha sequência é uma sequência limitada o limite do ínfimo de xn é o menor valor de aderência e o limite do Supit xn é o maior valor de aderência certo então aqui a gente tem o maior e o menor valor

de aderência da minha sequência xn Tá bom toda sequência de números reais limitada possui uma subsequência convergente Tá bom então toda sequência de números reais se é real é uma sequência de reais e se é limitada possui uma subsequência convergente ok uma sequência de números reais xn Limitada ela é convergente se somente se o limite do ínfimo é igual ao limite do sup ou seja se possui um único valor de aderência Tá bom então uma sequência de números reais ela é limitada uma sequência de números reais limitada ela é convergente se ela possui um único

valor de aderência certo por isso também que aquelas outras que a gente as funções as sequências anteriores que a gente viu tipo aquela 1 z0 um z0 por isso e aqui etc né por isso Também que ela não é convergente tá porque possui mais de um valor de aderência Ok ã consideremos a igual ao limite do ínfimo de xn Ok e b o limite do sup de xn onde xn é uma sequência limitada Tá bom então para qualquer é maior que z0 tá então ó qualquer maior que zer vai existir um n0 natural tal que

quando n e c de o n0 então a- Y vai ser menor que xn que vai ser menor que b - y certo ou seja Eh a é o maior e B é o menor número com essa propriedade Ok bom chegamos quase ao finalzinho aqui a gente vai entrar agora em sequências de Coxi sequências de Coxi são umas sequências especiais eh que a gente tem e Vou definir sequência de cox com vocês consideremos xn uma sequência de números reais ok dizemos que xn é uma sequência de coi quando quando dado um maior que z0 arbitrário

vai existir um n0 natural tal Que se m e n excede n0 então m xn e xn a a distância entre xm e xn é menor que y o que que eu tô falando aqui eu tô falando que uma sequência de cochi se Quando eu pegar aqui então a minha sequência a minha sequência eu vou ter que quando eu eu vou ter algum xm e algum xn tal que a distância de xm e xn ela é tão pequena quanto eu queira tá bom E como é que eu consigo como é que eu consigo uma sequência

tão pequena quanto eu queira avançando os índices m E n Tá bom então a partir de um m e um n que são maiores que o n0 Então a partir de m n tomados maiores do que esse n0 que ele estou afirmando que ele existe certo a distância de x m com xn Vai ser menor do que é OK então isso é a definição de sequência de Coxi eh falando de uma forma mais geral na sequência de cxi seus termos lá do finalzinho da minha sequência eles ficam cada vez mais próximos Tá bom então essa

distância vai ficando cada vez menor tá Bom observação a teorema primeiro toda sequência convergente é de coxinho tá se é convergente Qual que é a definição de convergência a distância se ela converge pro ponto a se essa sequência aqui ó xn tá convergindo pro ponto a a distância de xn até a é menor do que a y certo então quer dizer que eu consigo aproximar xn tanto quanto eu queira de A tá porque eu consigo pegar o y tão pequeno quanto eu quiser Então essa é a definição de convergência se eu tô pegando caras tão

pequenininhos tão próximos de a quanto eu queira vocês concordam que um cara de xn tá cada vez mais se aproximando um do outro também certo para caber dentro desse intervalinho aqui pequenininho então eu tô fazendo que esses caras se aproximem cada vez um do outro também então por isso que se é convergente é de kxi mas eu falo para vocês tomarem Cuidado pro seguinte Caso nem toda a sequência de kxi é convergente tá bom primeira coisa que eu gostaria de ressaltar é que se uma sequência ela é convergente ela é convergente em um espaço tá

em algum conjunto Tá bom então mesmo que ela se ela for convergente se o limite dela for um valor que tá para fora desse conjunto ela não é convergente tá dentro desse conjunto por exemplo eu vou tomar aqui agora uma xn que é uma sequência de reais uma sequência nos Reais exceto zero tá bom essa sequência ela vai ser definida por 1 sobre n tá Note que xn é cchi por que que xn é cchi porque eu posso provar que eu posso pegar um é tão pequeno quanto eu queira se eu pegar um é tão

pequeno quanto eu queira vai existir um n0 natural tal que a distância de xn com xn é menor que Y para todo MN maior do que n0 certo então é Coxi mas ela não é convergente por quê essa sequência Não essa sequência ela converge para zero certo ó se eu pegar 1 Sobre 1 1 so 2 1 so 3 1 sobre 100 1 so 1000 estão vendo que esses valores aqui estão ficando cada vez menores quando eu divido um por um número muito grande Isso aqui vai tender para Zero Certo só que zero não pertence

a r estrela certo pelo fato de R não pertencer a r estrela eu posso afirmar que essa sequência ela não é convergente em R estrela tá bom que foi onde essa sequência foi definida ela é até ela é convergente em R mas não onde É que eu defini essa sequência Ok então peguei aqui um exemplo de sequência que é de cxi mas que não é convergente tá bom para vocês ficarem espertos com essa observação aqui tá bom ã alguns resultados sobre sequências de cochi toda sequência de cochi de números reais é convergente Tá acabei de

falar que nem toda a sequência de coochi é convergente mas se é uma sequência de números reais se é Coxi e é uma sequência de números reais Eu afirmo que ela é convergente tá bom aquele caso não era sequência de números reais porque não pegava o zero Tá bom então por isso que é cchi mas não converge para aquele Conjunto R estrela tá bom se eu se fosse o r é um é uma sequência de Coxi é uma sequência de reais então é convergente certo e o que eu tenho um lema toda a sequência de

Coxi é limitada Ok se uma sequência de cich n possui uma subsequência que converge para a tá então uma sequência De cor XXN vai possuir uma subsequência convergente para a certo o que que significa significa que a subsequência xn I converge para a Então quer dizer que essa minha sequência xn também vai convergir para a tá bom bom limites infinitos consideremos xn uma sequência de números reais eu vou falar que xn tende ao infinito quando o limite de xn quando n tende ao infinito é igual ao próprio infinito Ok Isto é quando para Todo número

real a maior que 0 dado de forma arbitrária pudermos encontrar o n0 natural tal que se n excede n0 então xn vai ser maior que a certo então aqui tá a definição de e de quando é que xn converge para mais infinito logo se o limite da minha sequência xn é igual a mais Infinito ou seja essa sequência ela está tendendo pro infinito Positivo eu posso falar que essa xn ela é ilimitada superiormente ela não possui limite superior ela tá indo pro infinito Certo mas ela é limitada inferiormente Ok a Além disso toda subsequência de

xn também tende pro infinito então se a sequência tende pro infinito a subsequências também vão tender pro infinito tá bom de forma análoga nós dizemos que uma sequência tende para menos infinito quando dado um a maior que zero arbitrariamente a gente encontra o n0 natural tal que se n excede n0 então xn também vai ser menor que menos o a Ok e o mesmo é válido para Quando qu a gente tem o limite de uma sequência tendendo a menos infinito tá bom ela é ilimitada inferiormente tá bom bom por fim a gente encerra falando sobre

séries numéricas Vamos definir então o que que é uma série consideremos A N uma sequência de números reais utilizando-a formamos uma nova sequência SN cujos elementos são as somas que são chamadas de as reduz da série somatório de am Ok Ou seja eu tenho am eu vou chamar de S1 o A1 S2 vai ser A1 mais A2 SN Então vai ser o A1 mais o A2 mais o an Ok até o an então o termo an é chamado de eno termo ou termo geral da série certo então se existir o limite S que vai ser

o limite de SN ou seja o limite de A1 mais A2 até o an certo então aqui o limite da SN tá diremos que a série an ela é convergente e o limite S será chamado de soma dessa série Tá bom então a gente escreve chama de S que é o limite tá vai ser a soma dessa série ó Que vai ser n o somatório de n variando de 1 até infinito de an que vai ser igual a A1 A2 A3 A4 a n e assim sucessivamente Tá bom então se a sequência das reduzidas não

convergir dizemos que a série é divergente Tá bom então a série ela é convergente então o limite existe tá bom o limite dessa série existe a gente chama de soma da série se o se a sequência da reduzidas não convergir a gente fala que essa série aqui ela Também é divergente tá bom observação às vezes é conveniente considerar séries do tipo que o somatório vai de zero até infinito certo que começam com a0 ao invés de A1 mas aí H casos e casos tá bom alguns resultados bom se o somatório de an é uma série

convergente tá se isso daqui é uma série convergente então o limite de a n igual a 0 tá bom exemplo essa série aqui que é o somatório de -1 n elevado a n + 1 certo é divergente pois o seu termo Geral não tende para zero tá bom isso daqui não vai para zero tá das propriedades de limite de sequência a gente tem que isso daqui é válido se o somatório de an que é a série em an e em BN são séries convergentes então quando eu somo essas duas séries também vai vai convergir tá

bom e se isso daqui converge para todo real n todo x Real certo se eu multiplicar x dentro do somatório o mesmo que multiplicar x fora do Somatório então isso aqui também vai com convergir por quê Porque se isso aqui converge quando eu multiplicar por um X vai convergir também tá bom então não vai interferir na convergência e por fim se o somatório de an é igual a s e de DN ig a t então a multiplicação também converge e o seu limite é s x p tá bom Aqui eu tenho alguns outros resultados de

séries é alguns resultados a gente já conhece a partir de cálculo que fala pra gente os testes né que a Gente faz para ver se uma série ela converge ou não tá eh eu vou passar um pouquinho por cima porque alguma das coisas Vocês já viram e a maioria dessas coisas aqui está demonstrada ou no livro de cálculo de vocês ou então no livro de análise introdução análise Real Tá bom então vocês podem dar uma olhadinha no livro e depois também podem consultar esse slide com mais tranquilidade Tá bom então teorema um consideremos a n

maior ou Igual a zer para todo o n natural eu tenho que essa série aqui somatório de an ela converge se somente se as reduzidas dela que são as SNS formma uma sequência limitada certo aqui eu tenho o corolário que é o critério da comparação tá bom que daí eu vou comparar duas séries e aí a partir dess de uma outra série eu vou eh afirmar se ela converge ou se ela Diverge aqui tem o critério de coochi para séries tá bom ã toda série absolutamente Convergente ela é convergente Ok ã aqui tem outros resultados

outros corolários né aqui esse corolário aqui é o teste da raiz que também é um teste para ver se a série é convergente ok Ah aqui tá um resultado que vem do teste da Raiz e a gente tem aqui o teste da Razão também que a gente já viu em cálculo tá bom para ver se as séries convergem ou não eh teorema outro teorema para vocês darem uma olhadinha alguns teoremas e Corolários aqui corol o teorema de diril de Abel e de leis podem ajudar vocês também a resolver atividades ou fazer demonstrações tá bom para

não prolongar muito a aula eh eu vou deixar a leitura para vocês fazerem E é isso que eu tinha para comentar na aula de hoje fiquem atentos ao cronograma qualquer dúvida entre em contato com o tutor de vocês e eu vejo vocês na próxima aula referente à unidade quatro Tá bom tchau [Música]