Mecânica Quântica 2 - Introdução e espaço de Hilbert do elétron - Aula 7.1

Olá a todos Eu me chamo Felipe e sejam bem-vindos ao primeiro vídeo de mais um curso que eu estou começando a postar aqui no meu canal né o canal a física que é o curso de mecânica quântica 2 né esse curso o nome é bem sugestivo Corresponde à continuação do primeiro curso que eu postei aqui no canal né que foi o de mecânica quântica 1 que eu poi em 2021 né no caso a ideia aqui é continuar com a imenta para fazer um único curso de mecânica quântica que seria equivalente né ao contato com mecânica

quântica que todo estudante de física tem que ter né na segunda metade da graduação n pelo menos to estudando de física bacharelado né enfim que é o contexto em que essas disciplinas são obrigatórias né mecânica quântica 1 obrigatório e e mecânica quântica dois né uma optat cória né como a gente brinca que normalmente ela não é obrigatória é uma optativa mas é aquela optativa que a gente tem meio que obrigação de fazer né Por se tratar de um curso de continuação do de mecânica quântica aqui do canal a numeração das aulas ela não vai começar

do um tanto que percebam se o primo primeiro vídeo do curso de quântica 2 só que olha só a aula é a aula sete por quê Porque da aula 1 até a aula 6 né foram as aulas né de quântica no curso de quântica 1 e aí como esse curso é exatamente uma continuação né para você ver direto realmente então né eu decidi começar aqui ele na aula 7ete né enfim mesma metodologia que eu estou fazendo com curso de eletromagnetismo dois né enfim que foi a continuação do DI Eletro 1 que eu postei aqui no

canal né bom antes da gente começar o curso de Fato né só enfim comentar um pouquinho com da referência né E como é que vai ser mais ou menos o andamento aqui do curso né eu vou seguir a mesma referência que Eu segui no curso de quântica 1 né quando eu digo a mesma referência Claro a mesma coleção digamos assim porque agora a gente muda o volume no curso de quântica um Eu usei o livro do Cohen né o Quantum mechanics Volume 1 do Cohen eu vou continuar usando o livro do Cohen só que agora

claro né vai ser o volume do certo E no caso eu não vou tratar o volume 2is inteiro Ok eh no caso vai ter um capítulo que eu não vou tratar que vai ser o de espalhamento né Eu não acho ele um capítulo para ser tratado no contexto de graduação né no sentido não de que não é importante mas no sentido que eu já acho que o espalhamento é um assunto complexo suficiente para que ele não faça parte da ementa da graduação que é uma ementa básica né de fato então acabei tirando né de forma

que enfim o curso aqui vai continuar a partir do segundo capítulo né do volume 2 que é o capítulo né sobre o Spin do elétron que vai ser né o desse vídeo daqui que inclusive já vou esclarecer um pouquinho né porque pode parecer né Por esse nome que enfim vai ser uma aula redundante com um dos Tópicos que eu já tratei no curso de quântica 1 né Além disso né é importante enfatizar quando eu falo que eu vou usar o livro do Cohen né o quanto mecanics do Cohen Eu não vou usar o livro inteiro

por quê Porque se você não conhece o livro do Cohen você vai ver que enfim se você for ver ele pessoalmente ou baixar ele na internet você vai ver que ele é um livro gigantesco ele é muito grande só que ele é muito grande porque ele tem o a parte do livro texto principal né a sequência principal P dos assuntos e depois ele tem os complementos de cada capítulo e os complementos São enormes Muitas vezes os complementos são maiores do que o próprio Capítulo né tanto que tem muita gente que brinca que o livro do

Cohen é um livro de complementos com um texto principal ele tem muitos complementos né e os complementos eles vão sendo usados né a gente usa aqueles complementos eh à medida que a gente vê necessidade né Às vezes você tá indo para alguma área específica que um dos complementos é importante né às vezes também você tá indo para uma pós--graduação que tem que ver um curso de quântica né mais puxado E aí você vai mesclar o texto principal com as os textos né no caso das dos complementos para poder enriquecer mais a discussão e tudo né

mas no caso né eu tô seguindo só o texto principal porque se você só segue o texto principal ele corresponde a um curso de quântica da graduação né então é bem né enfim natural da gente seguir mas claro né eu tô usando o livro do Cohen mas a mecânica quântica independe da referência então você pode usar outr outras referências também né Você pode usar o livro Por exemplo do sakurai que é né enfim bem conhecido e super do nível do do do livro do Cohen né dá para usar tranquilo para um curso de quântica da

da da graduação né Você pode usar o livro Por exemplo do mcentire também que é super tranquilo enfim né existem outras referências de quântica que você pode usar eu vou inclusive deixar algumas sugestões né de referências de quântica né para você usar aqui também na descrição Ok junto claro né com o textinho mais ou menos falando sobre esse curso de quântica do mas então vamos lá né Sem Mais enrolações vamos começar o nosso curso de quântica 2 né Começando aqui com a nossa aula sete que vai ser a aula sobre o Spin do elétron né

dependendo né de quem tá assistindo pode achar meio esquisito né a aula 7 ser do Spin elétron porque lá na aula 3 do curso de quântica 1 eu cheguei a fazer o tratamento de spin ma sistema de dois níveis né e o exemplo principal quando a gente vai falar de spin mail é exatamente o Spin do elétron né então de uma certa forma a gente já fez o tratamento do Spin elétron né tanto no capítulo trê que era realmente de spin me né que é o caso do Spin elétron e também né depois no capítulo

5 que foi o de teoria geral de Momento Angular que eu fiz um tratamento para momentos angulares Gerais né né que aí poderiam ser orbitais ou de spin e né enfim mostrei também como é que a gente usa toda aquela teoria geral de Momento Angular para também né Por Exemplo né aplicar para o caso particular de spin meio que é o Spin do elétron E no caso quando eu coloco aqui a aula 7ete Spin do elétron né Eu me refiro de fato ao tratamento do elétron como sendo uma partícula com Spin né isso porque quando

a gente falou de spin ou de um Momento Angular Eu tratei né do Spin do Momento Angular como uma grandeza física separada a descrição do Spin a descrição do Momento Angular na mecânica quântica né mas eu não tratei a descrição do Spin misturado com as outras né questões envolvendo a partícula que possui aquele Spin por exemplo né quando a gente tem um elétron Um elétron ele tem mais informações digamos assim do que somente o Spin né E quando a v falar de probabilidades por exemplo né de você fazer alguma medida né No que diz respeita

a um elétron Você pode encontrar você pode fazer medidas no caso né de spin então você pode encontrar um elétron com Spin mais ou menos na direção Z Mas você também pode se perguntar qual que é a probabilidade do elétron sem encontrado e um determinada uma uma determinada posição ou com um determinado Momento Angular orbital ou então né enfim né com um determinado momento linear né o ponto que eu quero dizer é que quando a gente fez o tratamento de spin a gente fez o tratamento só do Spin né e não do Spin né na

partícula como um todo tratando a partícula né nos seus outros graus de liberdade que não somente o interno né então a ideia dessa aula 7 é mostrar como é que a gente faz né o tratamento aqui né usando mecânica quântica para poder descrever um elétron que além de ter um spin meio também pode ser encontrado em posições no espaço né enfim como é que a gente faz para mesclar as duas descrições a de spin e a parte toda envolvendo função de onda né envolvendo posição E essas partes todas e um comentário importante Apesar dessa sétima

aula se chamar Spin do elétron veja toda a linha de raciocínio que a gente vai construir aqui como algo mais Geral do que somente Spin do elétron né a ideia aqui da sétima aula é mostrar como é que a gente junta os tratamentos de spin com os tratamentos de posição de partícula momento enfim os graus de liberdade externos e internos de uma partícula então aqui na verdade tanto faz se é um elétron se é um próton se é um nêutron se é um átomo aqui tanto faz qual que é o valor do Spin se é

Spin meio se é Spin 1 se é Spin 2 não interessa né no caso aqui só se chama Spin do elétron porque o Spin do elétron que é o Spin meio é o Spin não trivial mais simples que a gente tem né porque é um sistema de dois níveis então claro né eu vou fazer toda essa construção né aplicada para o sistema mais simples que é o de spin meio E aí no caso né Spin do elétron é somente pelo fato de que o El também né enfim uma partícula bem estereotipada enfim bem recorrente uma

partícula bem abundante todo mundo conhece Tem simpatia até todo mundo gosta então é só por conta disso mas a linha de raciocínio vale por exemplo se você quisesse descrever uma partícula que tem spin um vale é o mesmo raciocínio só fazendo né no caso as correspondências né do do que a gente tá fazendo aqui para Spin mail para spin um usando no caso né como auxílio né a aula 5 de teoria geral de Momento Angular mas bom levando em conta que a gente já fez um tratamento de spin meio né E que eu inclusive já

mostrei para vocês né como é que a gente faz para poder tratar né no ponto de vista de mecânica quântica o a parte de posições enfim os graus de liberdade externos Momento Angular orbital é posição momento enfim os operadores e tudo primeira coisa que a gente vai discutir aqui agora é como é que é o espaço de Hilbert né quando você vai descrever uma partícula levando em conta os graus de liberdade externos e internos por quê Porque a gente já viu qual que é o espaço de Hilbert para o spin e para os graus de

liberdade externos por conta disso como objetivo dessa aula é fazer uma descrição conjunta obviamente a gente vai aproveitar as descrições em separado que a gente fez né do Spin e da parte dos graus de liberdade externos mas então vamos lá né na mecânica quântica toda a partícula né pelo menos nos regimes que nós estamos trabalhando aqui no nosso curso de mecânica quântica pode ser descrita em termos de seus graus de liberdade internos e externos né Vamos começar pelos graus de liberdade internos que são né no caso né descritos pelo Spin como o nosso tratamento aqui

é direcionado para o Spin do elétron então claro né o Spin que a gente vai trabalhar aqui vai ser o Spin meio né e bom se tratando de um grau de liberdade né como é que a gente descreve no caso esses graus de liberdade do elétron no ponto de vista da mecânica quântica a gente descreve em termos de vetores de estado né e levando em conta que a gente tá usando vetores de estado esses vetores de estado moram em um espaço de Hilbert que é o espaço que eu vou chamar aqui de HS o espaço

de Hilbert né relacionado ao Spin dos graus de liberdade internos né sempre a gente tem né um espaço de Hilbert que é um espaço atorial primeira coisa que a gente faz é quais são né enfim os estados desse cara né Desse espa de Hilbert que servem como base para poder expandir qualquer estado de spin se vocês se lembrarem uma forma natural e bem conveniente da gente construir uma base né para o espaço de Hilbert na mecânica quântica é através de um conjunto completo de observáveis que comutam por quê porque se a gente tem um conjunto

de observáveis primeiro né que comutam significa que é possível encontrar uma base comum de a estados de todos esses observáveis como eles são observáveis né Por definição né enfim pelos postulados eles são descritos né Por operadores Auto adjuntos Então se operador é autoadjunto significa que né é possível encontrar uma base ortonormal né de al estad né no caso de al vetores desses observáveis E além disso O conjunto ser completo significa que qualquer estado né do nosso espaço de Hilbert em questão né em que atuam esses observáveis né consegue ser escrito como uma combinação l ar

né dos al estados desse conjunto né completo de observáveis que comutam né no caso para os graus de liberdade internos que são de spin que é um tipo de Momento Angular se vocês se lembrarem né o conjunto completo aqui no caso de observáveis né que comutam é o conjunto formado pelo operador S Quad e sz né sendo no caso o s quadado né o operador do módulo ao quadrado do Momento Angular né no caso aqui de spin e o sz né o operador da componente Z do Spin da partícula no caso aqui questão se vocês

se lembrarem né o operador s quadado comuta com qualquer componente de Momento Angular né seja em X em Y ou em Z e né enfim o s quadado com uma dessas componentes forma um conjunto completo né no caso a gente escolhe por Tradição A componente Z mas nada impede PR gente fazer a construção toda para e s s qu isx ou s qu is y e aí no caso né os al estados comuns desses caras para o contexto de spin meio são Quem são os cats mais e menos né que de fato expandem né enfim

todos os estados possíveis de spin meio ok que são exatamente estados que moram aqui em HS então né esses caras daqui né moram em HS não somente isso né mas enfim o espaço expandido né pelos cats mais e menos é exatamente né enfim é igual aqui no caso o espaço de Hilbert de spin né enfim e aqui entra né Toda a nossa descrição de spin meio que eu não vou ficar repetindo né enfim qualquer coisa é só você voltar na aula três né do curso de mecânica quântica então esses são os graus de liberdade internos

levando em conta um elétron né nos regimes que a gente tá trabalhando né e os graus de liberdade externos no caso os graus de liberdade externos são por obviedade todos os graus de liberdade que não são internos Ou seja que não são de spinha aqui no nosso contexto né mas enfim para ser um pouco mais né menos Óbvio no caso né mais preciso e menos Óbvio os graus de liberdade externos são aqueles que envolv os graus de liberdade da partícula com o ambiente que o cerca né no caso o Spin meio Tanto Faz aonde a

partícula está como é que ela tá se movimentando não interessa a o Spin que é um grau de liberdade interno diz respeito a uma característica somente da partícula sem analisar absolutamente nada do Entorno os graus de liberdade externos já envolv no caso né os graus de liberdade da partícula né no ambiente todo então envolve posição envolve momento Momento Angular né todas essas né grandezas né dizem respeito aos graus de liberdade externos né no caso aqui os graus de liberdade externos eles são descritos também né Por um espaço de Hilbert né onde moram no caso os

estados correspondentes aos graus de liberdade externos né que eu vou chamar aqui de h r para poder né enfim simbolizar né o espaço de Herbert relacionado à parte de posição da partícula né e da mesma forma se tratando de um espao de Hilbert a gente tem né que encontrar uma base para poder trabalhar né e de preferência uma base ortonormal né que enfim para que a gente consiga fazer as coisas de mecânica quântica de uma forma bem mais conveniente mais limpa né como é que a gente pode encontrar uma base para esse cara através de

um conjunto completo de observáveis que comutam para os graus de liberdade externos existe mais do que uma escolha natural de conjunto completo de observáveis que comutam para que a gente né construa a base do nosso espaço de Hilbert para dar três exemplos né desses conjuntos né a gente pode usar o conjunto dos observáveis X Y né no caso aqui x y e z Ok os operadores de posição mesmo né a gente pode escolher os operadores PX py e pz né de momento ou então a gente também pode usar a AM miltoniana L quadrado né no

caso aqui o Momento Angular orbital Ok E lz no caso né de Momento Angular orbital né todos esses conjuntos daqui né enfim formados por três operadores né formam no caso aqui né formam conjuntos completos de observáveis que comutam E aí no caso né enfim a gente pode descrever os os os estados né de HR como sendo uma combinação linear dos al estados de qualquer um desses né três conjuntos que tudo funciona né tranquilo desses três conjuntos os dois que a gente tem mais naturalidade para trabalhar são o primeiro e o terceiro né o primeiro porque

envolve enfim as posições mesmo do espaço né Toda vez que você tá trabalhando com funções de onda né que são função né no caso de x y e z indiretamente Você tá trabalhando né no caso né escrevendo as suas funções de onda enfim escrevendo seus estados quânticos em termos da base né de al estados desses três operadores E no caso o terceiro porque foi o tratamento né enfim foi o conjunto completo que a gente usou na aula de átomo de hidrogênio quando a gente estava trabalhando com potenciais centrais por conta disso né nesse contexto de

graduação a gente tem mais naturalidade para trabalhar com esses dois conjuntos completos né a gente não trabalha muito no espaço de momento apesar de ser extremamente importante né Principalmente para alguns contextos como por exemplo física de estado sólido né enfim né a base de momento é importantíssima só que a gente não trabalha tanto com ela assim né no curso de mecânica quântica da graduação né então é mais natural que a gente trabalhe né com essas duas né no caso eu vou fazer a descrição desse Capítulo né pensando nesse conjunto completo aqui tanto faz o que

você usa Ok no caso eu vou fazer né pensando nesse cara só para que eu possa escrever os al estados dessa forma daqui né como sendo um R vetor porque vamos lá como é que a gente escreve os alo estados no caso né desses três conjuntos completos aqui a gente vai escrever ele como sendo X Y Z aqui a gente escreve como PX py pz e esse último a gente escreve como KLM né enfim levou tando em conta que esses dois conjuntos são os mais naturais pra gente nesse contexto de graduação e que usando esse

primeiro conjunto aqui né dos vetores de posição eu consigo escrever esse Cat de uma forma né mais né compacta como sendo simplesmente R vetor né que né contém aqui x y z eu vou no caso fazer o nosso tratamento pensando nesse conjunto completo Ok então enfim né só para deixar claro então eu vou pensar aqui né no nosso HR como sendo né o espaço expandido né no caso aqui pelos cats R E aí no caso né enfim qualquer vetor né que mora nesse espaço de Rib pode ser escrito como sendo uma combinação linear desses vetores

daqui mas bom no curso de quântica 1 a gente tratou esses dois tipos de grau de liberdade separadamente né agora como é que a gente faz para tratá-los em conjunto para poder pensar num elétron como sendo uma partícula com grau de liberdade internos e externos para poder responder à pergunta por exemplo Qual que é a probabilidade de um elétron ser encontrado em uma det determinada posição no espaço com o Spin mais ou com Spin menos né como é que a gente faz esse tratamento conjunto né bom assim como qualquer coisa na mecânica quântica a gente

vai descrever um elétron a partir de vetores de estado que é o tratamento natural né enfim vetores de estado que moram no espaço de Hilbert em um espaço de Hilbert faz parte da construção dos postulados da mecânica quântica então na prática a nossa pergunta aqui de como é que a gente faz o tratamento conjunto né de grau de liberdade externos e internos passa em né passa por responder à pergunta qual é o espaço de Hilbert que a gente vai descrever o elétron né porque obviamente toda a descrição vai ser a partir de vetores de estados

que moram nesse espaço de Hilbert né bom levando em conta que eu quero tratar né nesse espaço de Hilbert os graus de liberdade externos e internos e levando em consideração que esses dois tipos de grau de liberdade são independentes né são independentes uns dos outros então né a forma que a gente tem né de tratar o elétron como um todo né enfim o espaço de Hilbert que a gente né utiliza para poder descrever o elétron é o espaço de Hilbert né construído a partir do produto tensorial desses dois espaços de Hilbert né do interno e

do externo né no caso eu cheguei a comentar um pouquinho sobre o produto tensorial no último vídeo da nossa terceira aula de spin mail né inclusive foi até um vídeo que eu adicionei depois de um tempo razoável que eu fiz o curso de quântica 1 que é que no caso né enfim eu falei do produto tensorial para quando a gente quer descrever um sistema de duas partículas por exemplo qual era a essência lá se você quer descrever duas partículas que são né no caso enfim partículas Diferentes né em uma única descrição você gostaria de pegar

os espaços de Hilbert de cada uma delas e colocar no mesmo espaço de Hilbert e a forma que a gente tem de fazer isso né de construir um espaço de Hilbert a partir de vários outros espaços de Hilbert é a partir do produto tensorial né levando em conta que os espaços de Hilbert dos graus de liberdade internos e externos são independentes né e os estados que constroem esses espaços de Hilbert tem que né ser utilizado para poder construir o nosso espaço de Hilbert né do elétron como um todo então a forma natural de gente construir

esse espaço é a partir do produto tensorial então eu vou inclusive né enfim colocar um retângulo aqui em torno né enfim porque né Toda a nossa descrição desse Capítulo vai ser né enfim de estados que moram nesse cara daqui né Vamos lá levando em conta que esse espaço de Hilbert é construído como exp produto tensorial significa que como é que são os típicos estados pertencentes a esse H os típicos estados são construídos a partir né de um produto tensorial aqui no caso do espaços né dos Estados de de e posição e de spin aqui no

caso esse éson Leia ele como sendo mais ou menos Ok só para poder simbolizar no caso né A projeção de spin né E aí no caso né eu vou dar o nome né Desse Cat de R é então esse cara daqui é enfim né um vetor de estado que carrega informação de posição grau de liberdade externos e grau de liberdade interno porque ele fala qual que é a configuração de spin e esses caras aqui né moram no caso no nosso espaço de Hilbert H Ok e é isso né o meu objetivo com esse vídeo era

realmente apresentar o curso e fazer essa introdução ao espaço de Herbert que a gente vai trabalhar né então Enfim vou encerrando esse vídeo e eu volto né com vocês no próximo pra gente trabalhar um pouquinho nesse espaço de Hilbert enfim entender como é que é essa descrição do eletron né como sendo uma partícula também com Spin n