Fundamentos Matemáticos para Computação - Proposições, Representações Simbólicas (Libras)

[Música] Olá alunas e alunos do curso de fundamentos matemáticos para computação meu nome é Cláudio Fabiano Motta Toledo eu vou acompanhar vocês nessa disciplina e nesta vídeo aula vamos falar de proposições representações simbólicas e patológicas vou começar com uma visão geral inclusive da disciplina depois apresentar conectivos e valores lógicos a ideia de tautologia e contradição e equivalências totológicas uma disciplina ela vai fornecer uma base matemática para auxiliar outras disciplinas como é o caso de projeto de algoritmos e noções de complexidade para isso vamos introduzir os fundamentos de matemática discreta principalmente considerando conceitos algébricos e lógicos

bom nessa parte de lógica que vamos iniciar hoje começamos estabelecer no conceito de proposição proposição é uma sentença que você consegue atribuir um valor verdade ele é falso ou verdadeiro então dois é primo nós sabemos que dois é divisível por um e por ele mesmo logo ao número primo isso é verdadeiro até é plana temos já bastante ciência né para sustentar o fato de que a terra não é plana isso é falso X é maior que 20 bom nós não temos contexto domínio não sabemos o domínio de X Então nós não temos como não sabemos

se x é uma coleção de objetos XX são valores inteiros Então nós não temos uma ideia Clara para poder estabelecer isso como uma proposição por outro lado a pergunta Quem ganhou o jogo tem mesmo o mesmo problema quer dizer uma pergunta como que eu vou contextualizar isso né e atribuir um valor verdade então nós não temos como fazer essa atribuição de valor verdade para perguntas questionamentos Então não é uma proposição a inflação Será menor este ano algumas pessoas podem concordar que isso seja verdadeiro dá para o cenário de pandemia outros podem discordar que até o

fim do ano ela vai disparar o fato é que eu consigo atribuir um valor verdade então é uma proposição para compor proposições nós usamos conectivos no caso conectivo e que eu tô apresentando Aqui passa a ideia de conjunção ou seja o que eu quero que a proposição A e B ocorra para isso nós interpretamos esse conectivo com uma frase como Ema mas também Além disso E aí nós temos aqui Maria dentista mas gosta de doce então o ar seria uma representação para Maria dentista ou B para proposição Maria gosta de doces e aí nós podemos

fazer a composição disso Uai Maria dentista ou uma se representa conectivo e gosto de doce seria Maria gosta de doces B E aí temos formalmente essa representação para conjunção A e B e analisar os valores verdades bom para isso criamos uma tabela verdade com todas as entradas possíveis onde se Maria for dentista e de fato gostar de doce o que foi estabelecida verdadeira por outro lado se Maria dentista que não gosta de doces é falso porque nós supunhamos as duas condições e uma delas não ocorre então é falso o contrário a mesma coisa se Maria

não é dentista e gosta de doce uma das condições não é satisfeita Então o que foi dito não ocorre já que supunha Maria dentista e Maria gostando de doces nesse caso se Maria não é dentista e não gosta de doce também vai ser falso ou seja sempre falso quando pelo menos uma das condições nós se verifica na conjunção na disjunção temos a ideia do ou inclusive Então esse símbolo aqui e a frase então ficaria Maria dentista ou gosta de doce nesse caso basta uma das condições ocorrer Então se Maria dentista e de fato Gosta de

doce verdadeiro mas se Maria dentista e não gosta de doce continua vale porque queremos uma uma proposição ou outra acontecendo se Maria não é dentista e gosta de doces continuava só vai ser falso se as duas condições não se identificarem certo então é sempre verdadeiro quando uma das condições se verifica no ou inclusive no ou exclusivo conhecido como show ou short em inglês né temos esses dois símbolos que vocês vão encontrar no livro para representar e considere essa intensa neste momento João toca piano ou João toca guitarra nesse caso nós estamos supondo que ou ele

está no estado de toca piano ou no estado de tocar guitarra se João toca piano e toca guitarra ao mesmo tempo isso não faz sentido porque nesse momento ele vai estar fazendo uma coisa ou a outra exclusivamente se ele toca piano e não toca guitarra coerente com a proposição a proposição se mostra válida se ele não toca piano mas toca guitarra a mesma coisa agora por outro lado se ele não toca piano e não toca guitarra ele era suposto está em um dos estados e ele não está nesse momento então é falso bom A negação

ela faz uma inversão da proposição são se Maria dentista é a proposição dada A negação disso é Maria não é dentista nós invertemos o valor verdade certo isso é verdadeiro é falso ser falso é verdadeiro só que temos que tomar alguns cuidados por exemplo negar que vai fazer sol amanhã seria não vai fazer sol amanhã uma negação válida ou é falso que vai fazer sol amanhã agora afirmar como contraponto que vai chover amanhã não seria uma negação uma negação correta seria uma negação incorreta já que por exemplo poderia estar nublado né Então temos que ter

esses cuidados Em lógica outro caso você comprou um joguinho ele é difícil e caro essa sua proposição negar isso não é dizer que o jogo não é difícil e não é caro porque lembre-se basta que uma das condições não se verifique para isso aqui ficar inválido digamos assim então nega isso vai mais vai nessa linha ou seja o jogo não é difícil ou não é caro certo essa seria uma negação correta ou se você quer usar um antônimo a mesma coisa você não vai poder afirmar o jogo é fácil e barato e sim o jogo

é fácil ou barato bom no condicional nós temos uma ideia de uma situação levando a outra por exemplo se Maria tirar férias então ela vai descansar então a seria Maria Tira Férias onde chamamos isso de antecedente e B seria Maria vai descansar que é o consequente então nós temos a verdade a implicando levando a verdade b e podemos fazer a leitura desse há então B se mas vamos ver a tabela verdade disso se Maria tirar férias então ela vai descansar Se ela tira férias e descansa O que foi dito é verdadeiro né a férias levou

Maria descansar se por outro lado Maria tira férias e não descansa significa que o que Foi estabelecido é falso por outro lado se Maria Não Tira Férias nós não temos como verificar essa relação de Maria tirar férias levar ela a descansar então essa proposição Continua sem poder ser verificado então a princípio ela é verdadeira mesma coisa Maria Não Tira Férias e Maria não descansa não muda nada essa primeira proposição não foi verificada para a gente avaliar o consequente dela então continua valendo né falso e falso mas o resultado é verdadeiro Nesse contexto diferentes formas em

português da gente passar essa ideia então se há então b a condicional AB ou de interpretar isso melhor dizendo né a logo b a só se B ocorre a somente se deu ocorre persegue de a é uma condição suficiente para B ou seja basta a para verificarmos B e B é uma condição necessária para a uma vez que a foi verificada Então tudo isso é uma maneira nos ajuda a começar a ter essa noção da implicação e os exercícios é claro vamos ajudar a trabalhar essas ideias essa ideia o bico adicional ele ele atua da

seguinte forma é você tem o condicional na ida e na volta vamos pensar assim Maria acorda cedo sem somente você chega no horário é o trabalho então nós temos Maria acorda cedo e Maria chega no horário as duas proposições então necessária e suficiente para B E como que fica o valor verdade disso nós avaliamos a ida e a volta e o bico adicional é a conjunção disso a implicando em b e bem clicar Então dessa forma nós vamos ter verdadeiro falso falso e verdadeiro então Observe que para interpretar o bico condicional olhando as entradas nós

observamos que quando os valores verdades são idênticos o resultado do bico condicional é verdadeiro quando os valores verdades são diferentes o resultado do bico condicional é falso bom agora que temos a noção dos conectivos podemos estabelecer formam representações mais complexas E aí temos o conceito de fórmula bem formulada que é uma cadeia que forma uma expressão válida então por exemplo aqui temos uma expressão válida ou João estuda ou João trabalha Além disso ele gosta de cozinhar Então temos a para João estuda o conectivo ou B para o João trabalha repare que esse conectivo ou aqui

é só para passar a ideia de junção Além disso ou ponto passando a ideia do e ele gosta de cozinhar é o próprio ele e o próprio João Então nesse caso nós teremos essa representação matemática onde isso aqui forma uma proposição e essa aqui compondo essa fórmula bem formulário E para isso então torna-se importante estabelecer a ordem de precedência então para conectivos dentro de vários parênteses efetua as primeiras expressões dentro dos parênteses mais internos depois nós avaliamos A negação com prioridade sobre conjunção e disjunção depois o condicional depois o bico condicional então por exemplo uma

maneira de você enxergar essa expressão seria que você primeiro aplica A negação depois avalia a disjunção e não essa forma A negação não tá aplicada a expressão como um todo tá na proposição abaixo nessa fbf aqui nós vamos ter que primeiro vamos avaliar lembre-se ou ou para depois o condicional Então nesse caso você avalia a disjunção para depois avaliar a implicação essa interpretação não segue a precedência estabelecida está errada bom nesse caso quando mas nós é claro podemos usar os parênteses para estabelecermos a nossa precedência e temos que podemos identificar nas fpfs os conectivos principais

como é o caso que o ou eu conectivo principal o mais interno é implicação o condicional Depois temos aqui A negação e unindo tudo como conectivo principal o outro aqui também temos essa identificamos essa expressão conectada pelo conectivo principal a essa segunda né e internamente aos parentes temos esse e o ou depois vamos ter aqui uma negação e uma outra implicação bom e quantos valores de verdade são possíveis dependendo da quantidade de proposições simples que eu estabeleço né então se eu tenho uma proposição ela vai ser verdadeiro ou falsa se eu tenho duas proposições eu

já passo a compor isso com quatro possibilidades três proposições me alavanca Ou seja eu tô sempre dobrando agora 8 possibilidades então Observe que quando eu falo de possibilidades né a maneira de você entender essa árvore é o que que para cada caminho que eu sigo eu vou ter uma composição uma entrada diferente então para três proposições simples eu vou eu vou ter todas essas entradas possíveis como representadas por cada caminho que eu sigo aqui nessa árvore tá então para n proposições Como já deu para perceber aqui eu vou ter dois elevado a n resultados possíveis

de combinações para avaliar bom E aí chegamos ao conceito de tautologia que era uma maneira da gente estar verificando o significado dessas expressões por exemplo uma patologia ela é uma fórmula proposição que é sempre verdadeira para qualquer tipo de interpretação possível ou seja Maria médica ou Maria não é médica quer dizer é estranho isso né você é como se você pegasse um conjunto E o complementar dele e o início você tem tudo então Observe verdadeiro e falso e falso e verdadeiro compostos não ou então nessa forma isso aqui Esse resultado é sempre verdadeiro na minha

tabela verdade fazendo com que essa expressão aqui seja uma expressão uma forma que eu classifico como patológica representa uma tatoologia outro exemplo amanhã não vai chover amanhã vai chover ou o céu estará Azul Portanto o céu estará Azul Então eu tenho aqui A negação não vai chover vai chover o céu estará azul e o céu estará Azul aparecendo novamente ou seja compõe isso ponto e com essa expressão ou essa aqui entre parênteses e tudo isso aqui implicando no céu está Azul dessa forma quando eu vou avaliar essa tabela verdade eu tenho que fazer aí eu

tenho reparem que eu tenho o anegado já se refere ao ar é uma aplicação sobre a Então eu tenho duas proposições o que eu vou me dar quatro entradas possíveis então eu acompanho A ou B compõe o anegado e o A ou B e depois faça o resultado da implicação que nesse caso Observe isso aqui implicando em B falsa e falso é suposto verdadeiro verdadeiro eu verifico aqui que implicou em verdadeiro então é verdadeiro e aqui é falso que já impõe a mantém a proposição como válida e eu tenho uma patologia na contradição a fórmula

ou proposição ela vai ser sempre falsa né para qualquer tipo de interpretação possível então por exemplo Maria é médica e Maria não é médica caramba eu não vou conseguir ter os dois estados ao mesmo tempo Então nesse caso aqui compondo com um exemplo bem claro mas verificamos a contradição da proposição né então você quer dois estados contraditórios então um outro exemplo disso tá aqui nessa implicação eu tenho já montei aqui parte da tabela o que que nós vamos ter nós vamos compor o a ou não a o que me leva o a ou não a

tudo verdadeiro ou b e o não B tudo falso e isso implicando nisso o que que vai acontecer vai ser tudo falso Então eu tenho uma contradição porque tá cada evento do antecedente o consequente não se verifica tudo falso com tradição uma equivalência patológica ela ocorre quando essa bico condicional é uma patologia então nós representamos uma um bico adicional patológico com essa expressão aqui chamamos de um equivalência talcológica para indicar que a preposição a é equivalente a proposição B Ou seja eu posso usar tanto a como B porque ele se equivale né então podemos substituir

a Turbo vice-versa então por exemplo Esse é o caso da lei de Morgan onde negar uma disjunção significa negar cada termo de uma conjunção Então o que eu vou ter aqui eu vou ter Eu nego a nego B faço o A ou B aqui nego A ou B então eu vou sempre montando passo a passo cada termo da minha patologia e agora eu tenho o que não há eu não bebo em seguida quando eu estabeleço a equivalência Observe que esse meu primeiro termo eu faço falso falso verdadeiro e esse meu segundo tempo falso falso falso

verdadeiro valores verdades iguais vão vir condicional é sempre verdadeiro então isso aqui é uma patologia e recebi condicional é uma equivalência estabelece uma equivalência otológica conhecida como lei de moda Então nós vamos ter algumas propriedades representadas por equivalência patológico como é o caso da comunicatividade quando trocamos a ordem dos fatores na disjunção ou conjunção associatividade que é Quando distribuímos mudamos a ordem dos parentes quando todos os conectivos são iguais então isso não faz nenhuma alteração uma expressão equivale a outra temos a distributividade que é quando distribuímos aqui por exemplo Nós temos dois conectivos diferentes então

eu distribua aqui para dentro Então essa expressão é equivalente a essa aqui e vice-versa a mesma coisa que quando o e está do lado de fora e eu passo distribua ele para dentro da expressão elemento neutro que é quando eu compõem aqui com o zero representando a situação sempre falso uma situação sempre verdadeira então a ou falso essa entre a e verdadeiro Vai resultar em a e o complementar aí não há é um a ou não há é um e a e não há é falso zero como a gente viu nos exemplos anteriores então aqui

só para verificar nós temos o um como sempre verdadeiro zero como sempre falso e um verdadeiro e falso replicando os valores de verdade do ar o a e não há sempre falso o a e um equivalente ao a vai ser sempre verdadeiro e o ai não a equivalente ao falso sempre verdadeiro que faz com que isso aqui seja uma equivalência tautológica bom dessa forma é nós temos aqui expressões do tipo nós podemos fazer uma aplicação disso usando códigos então por exemplo se a pressão Inicial for maior que a pressão final e não temos a pressão

Inicial maior que a final e temperatura maior que 20 não temos problema disso eu faço comando um se não eu faço comando 2 a minha proposição seria pressão Inicial maior que a pressão final e temperatura maior que 20 nesse caso o que que vai acontecer eu tenho um aqui e negação de A e B beleza temos essa fdf aqui simplificar ela então o que que vai acontecer eu uso os equivalências patológicas nós vamos fazer aqui nossa primeira demonstrução para deduzir uma expressão mais simples aplicando a lei de demóvel eu troco o valor verdade do a

e b para não há ou não b a partir da negação em seguida eu utilizo a distributiva aqui tem uma contradição e tem um elemento neutro esse o falso ou essa proposição vai dar para preposição dessa forma eu saio dessa expressão e chego numa expressão mais simples que significa representar o meu código do ponto de vista lógico com é dessa forma ou seja eu gera um código mais simples bom todos esses conceitos foram retirados da sessão 1.1 do nosso material básico tá espero que você estudem essa parte tá E com isso encerramos a nossa primeira

vídeo aula [Música]