Fundamentos da Matemática Elementar - Expressões algébricas e polinômios

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas de modo geral nessa semana Vamos explorar maneiras de modelar situações cotidianas segundo uma perspectiva algébrica trata-se de um exercício de matematização ou nesse caso uma albri da realidade objetivamente Vamos estudar equações expressões algébricas salvo algum caso específico Vamos considerar essas discussões sempre dentro dos números reais tudo bem Bom vamos lá para entendermos melhor essa ideia Vamos considerar o seguinte exemplo Imagine que realizamos o pedido de um produto e a empresa responsável pela entrega cobra um frete de acordo com a massa total do pedido em quilogramas Digamos que ela cobre

R 2 a cada quilo no entanto ela sempre cobra um valor fixo de R 5 Independente de quantos quilogramas tiver o pedido Total então por exemplo se o pedido Total tiver 3 kg então Pagaremos 3 x 2 + 5 6 + 5$ 11 esse tipo de sentença matemática denominamos expressão numérica ela é composta por números operações e também pode contemplar outro símbolos como parênteses colchetes Chaves mas até aqui nada novo não é mesmo no entanto podemos nos perguntar se existe uma expressão que generalize o valor do frete para Qualquer que seja o valor da massa

do pedido então vamos pensar nessa situação há um valor que nunca muda independente da massa total do produto o valor fixo de R 5 como ele é sempre acrescido ao valor do indicaremos como mais 5 o que varia no cálculo do frete é justamente o valor da massa do produto Vamos então Chamar esse valor de m como cada quilo cobra-se R 2 então 5 + 2m e essa é a expressão que traduz o valor do frete para um pedido de massa M qualquer M em quilos sentenças Matemáticas como essa são denominadas expressões algébricas tem praticamente

as mesmas características de uma expressão numérica mas incorporam também letras nesse exemplo a letra M pode assumir diferentes valores ela é uma variável já o valor fixo 5 nunca se altera Ou seja é uma constante Se quisermos calcular o frete para determinada massa em produto basta substituir M pelo valor da massa em quilos por exemplo se nosso produto tiver 10 kg então Pagaremos 5 mais 2 x 10 que é 25 se tiver kg então Pagaremos 5 mais duas vezes 0,5 que é R 6 nos referimos aqui a 25 e 6 como valores numéricos da expressão

algébrica quando m é 10 e quando m é 5 0,5 percebam que se tratarmos dessa expressão por um viés puramente matemático podemos escolher qualquer valor real para m no entanto ao trabalhar situações como essa em sala de aula inspiradas em um contexto real é interessante problematizar os limites desse contexto por exemplo não faz sentido atribuir um valor negativo para m né diferente desse cenário que é absurdo as situações que Possivelmente não ocorreriam por exemplo M = 0 significa que não pedimos nada não é verdade por que calcular então o frete ou então M = 1000

kg 1 Tonelada independente do valor do frete Será que essa empresa conseguiria realizar essa entrega bom voltando à nossa expressão algébrica Inicial nesse caso o que faz essa expressão ser algébrica é justamente esse termo vamos nos referir a ele como um termo algébrico podemos verificar que ele é composto por sua vez somente de produtos entre letras e números mesmo que a letra estivesse sozinha por exemplo M poderíamos interpretar esse fato como 1 x m de volta ao termo algébrico 2m podemos perceber que ele é composto de duas partes uma literal m e uma numérica chamada

também de coeficiente que nesse caso é dois vejamos outros exemplos de termos algébricos Como podemos verificar o coeficiente numérico se relaciona com a parte literal apenas por produto Note que a parte literal pode conter além de outras variáveis potências dessas variáveis os termos algébricos por si só já são expressões algébricas mas nós podemos construir diferentes expressões algébricas adicionando números como no nosso exemplo Inicial ou outros termos algébricos Por exemplo agora Vamos considerar um tipo específico de termo algébrico o monômio como é um termo algébrico trata--se de um produto entre coeficiente numérico e a parte literal

mas ainda os expoentes das variáveis devem ser números inteiros não negativos isso é 0 1 2 3 e assim por diante vejamos mais alguns exemplos né Note que essas expressões algébricas não são monômios uma vez que não se encaixam na definição de monômio raiz de XY pode ser escrito em forma de potência XY elevado 1 so 2 ou seja o expoente das variáveis não é inteiro similar é o caso anterior podemos escrever X sobre 2Y como 1 sobre 2 ve XY elevado a -1 aqui o expoente é negativo A + B também não é um

monômio pois apresenta uma adição entre variáveis sem produto como vimos nesse último caso Podemos relacionar vários monômios por adições e subtrações obtendo polinômios Mas você pode estar se perguntando temos frações e raízes nesses seus exemplos aí né não podem ser polinômios desse jeito bom lembre-se que essas restrições dizem respeito às variáveis não aos coeficientes numéricos agora vamos falar de um outro conceito importante o grau de um polinômio o grau de polinômio ele Corresponde à maior soma dos expoentes das variáveis de cada monômio que o compõe por exemplo em √5 Y mais 3x o expoente de

y é 1 de X também é 1 e cada um desses monômios tem somente uma variável maior expoente é então o qu um portanto este polinômio tem grau 1 vejamos AX elev 2 - 2ax + 3x aqui nesse primeiro hom monômio temos duas variáveis a e x o grau de cada monômio é então a soma dos expoentes de cada variável como o expoente de a é 1 e de x é 2 o grau desse monômio é o qu 1 + 2 = 3 aqui temos 1 + 1 = 2 e aqui nesse outro temos 1

qual é o maior grau entre eles é 3 então este é o grau do polinômio agora 2 so 3 M elevado cu + M elev qu - M nesse caso temos 3 2 e 1 Portanto o grau do polinômio é 3 por fim a elevado 5 B + B qu c - c c d a quarta aqui temos 5 + 1 6 2 + 1 3 3 + 4 7 a maior soma é 7 logo o grau desse polinômio é 7 como você pode perceber na maioria desses exemplos consideramos polinômios constituídos por mais de uma

variável agora pro prosseguimento dessa aula e também em relação aos textos base da semana passaremos a considerar polinômios somente com uma variável como esse aqui eh estudar esse tipo de polinômio ele vai ser particularmente útil quando discutirmos equações M equações e também funções lá nas próximas semanas entretanto Vale ressaltar que as operações e propriedades que estudaremos na sequência também vale para polinômios de várias variáveis como o de partida podemos pensar uma definição mais formal para um polinômio de uma variável como essa daqui um polinômio na variável X é uma expressão dessa forma em que n

é um número inteiro não negativo a0 a1 e assim por diante até an são coeficientes reais com a n diferente de zer chamamos de a 0x elevado a 0 que é equivalente a a zer do que de termo constante usualmente também podemos denotar um polome utilizando uma letra maiúscula seguida por parênteses com uma variável no seu interior nesse caso vamos escolh a letra P bom chegamos ao fim dessa vídeoaula nas próximas trabalharemos operações envolvendo polinômios até a [Música] próxima [Música] k n [Música]