Introdução aos Grafos - Aula 01 de Teoria dos Grafos

O Olá pessoal eu sou o professor Douglas maiores seja bem-vindo ao meu canal Vamos começar aí nesse vídeo um curso aí sobre teoria dos grafos que que é isso grafos para que serve onde moram o que come né então vamos aprender um pouquinho aí sobre grafo essa aula vai ser uma introdução aos gráficos para dar uma ideia saber o que que é um grafo nas próximas aulas a gente vai falar um pouquinho mais sobre isso quem Então Essa é uma introdução aí do que que é um gráfico para que serve um pouquinho então vamos começar

vocês lembram de algumas brincadeiras que a gente fazia quando era criança é por exemplo olha só essa casinha aí chegava lá para o seu amiguinho que a senhora você consegue fazer essa casinha aqui colocando o lápis no papel uma vez e fazer a casinha inteira sem tirar o lápis nenhuma vez do Vê se consegue o desafio você fazer isso aí você ia lá né tem assim frio para Fui Desafiado vou tentar fazer vamos lá tentar fazer então aí você também que está assistindo tenta fazer tenta fazer essa casinha que eu sem tirar o lápis do

Papel Então vamos lá vou pegar aqui atrás aqui vou vir aqui para baixo vou vir para cá vou vir para cá vou vir para cá vou vir para cá para cá o pai sou lindo só medi falar senão não pode passar por cima de ontem você já passou Você não pode tirar o lápis do papel e você não pode passar por onde você Passou frente então não posso passar aqui como que eu vou fazer esse esse aí você ficava lá quebrando a cabeça para tentar fazer até que você conseguia a fazer né Opa peguei aqui

peguei aqui passo aqui passo aqui venho aqui subir aqui vem aqui o pai você criança comemorar ver conseguir essa é uma brincadeira que a gente fazia eu pelo menos já fiz quando era criança né de tentar fazer um desenho colocando ligando pontos né ligar pontos sem tirar O lápis do papel e sem passar duas vezes pelo mesmo traço aqui eu consegui fazer esse desenho aqui repetir esse desenho sem tirar o lápis do papel e sem repetir o mesmo traço você conseguiu também fazer pois é essa é uma das coisas que os gráficos a teoria dos

grafos estuda Você sabia que se a gente sabe a teoria dos grafos só de olhar isso daqui isso daqui é um gráfico na verdade a gente vai ver quiser que eu gravo só de olhar esse daqui eu já tenho certeza que é Possível fazer esse de e tirar o lápis do papel e sem repetir e eu sair eu sei até onde que eu começo qual por que que eu comecei por esse daqui porque eu já sabia que era ali que a gente podia começar ou aqui ou aqui sei se você começar por aqui ou por

aqui você consegue fazer esse desenho agora tenta começar nesse você não vai conseguir tenta começar nesse você não tá conseguindo tenta começar nesse você não vai conseguir tenta lá tem que Começa nesse faz aí começa nesse tenta fazer esse desenho sem tirar o lápis papel e sem repetir nenhum traço você vai ver que você não vai conseguir como que eu sei disso porque eu já estudei a teoria dos gráficos e eu sei que pela teoria dos grafos e limite ela me disse que estudar quem é impossível fazer esse desenho Começando por aqui ou eu tenho

começar por esses aqui ou por esse. Aqui e por exemplo se eu mudar um pouquinho o desenho Olha só Do Jeito Que tal e se Dizem que ir então coloquei aqui os pontinhos agora você aí na sua casa tenta fazer exatamente esse desenho ligando esses pontinhos aqui com traços de forma aqui de novo você não pode passar duas vezes pelo mesmo traço e você não pode tirar o lápis do Papel tenta fazer você não vai conseguir sabe porque porque esse desenho aqui é impossível de fazer com essas regras como que eu sei disso por causa

da teoria dos grafos a teoria dos gases me Fala que esse desenho que é impossível fazer o outro era possível Começando por um dos berços dos pontos que eu mostrei esse daqui eu posso começar por qualquer um nunca vou conseguir resolver nunca vou conseguir fazer esse desenho Tá conseguir fazer o desenho ou eu vou ter que repetir um traço Ou eu vou ter que tirar o lápis do papel com essas duas regras não dá para fazer o clima dessa outra brincadeira de criança também que fazia lá três Casinhas aí coloca lavá-la a água luz e

telefone aí chegava seu coleguinha ó eu aposto aí r$ 10 com você que você não consegue ligar as três casas na água as três casas na luz as três casas no telefone só que você tem que ligar por linhas e essas linhas não podem se cruzar Tenta aí aí você falar vou tentar vamos lá vamos tentar Tá vou tentar Então essa casinha aqui ó vou ligar ela na água vou ligar ela na luz vou ligar ela no telefone fácil tá fácil essa casa Aqui ó vou ligar E aí a culpa vou ligar ela na água

vou ligar e ela na luz rota afasta faça falou conseguir vou ligar ela não tem fone tá fácil Tenta aí você na sua casa também vê se você consegue eu liguei essa casa no telefone você já tentou E sim quem fez essa brincadeira se você já fez essa brincadeira fala aí nos comentários se você fez e se você conseguia quando era criança Será que você conseguir Quando ela quer executar tá fácil por enquanto eu tô conseguindo já liguei ó a primeira casa nos três a segunda casa nos três agora que que eu vou fazer essa

casa aqui eu vou ligar no telefone tá fácil Essa casa eu vou ligar na luz vou ligar na luz ó ó vou ligar na água vamos ligar essa casa na arca vou ligar essa casa na água ou pó ó como eu sou esperto ó ó liguei na água liguei na água aí vocês vão com amiguinho só falta só falta são aí você Vai ligar aqui e não consegue ligar na luz e aí você era criancinha e ficava chateado que você não conseguiu e você testava mil vezes mil formas e nunca dava certo sabe porque não

dá certo porque é impossível como que dá para saber quem é impossível estudando grafos se a gente estudar a teoria dos gráficos a gente vai conseguir saber que é impossível Ligar essas três casas com essas três aqui a água luz ou telefone sem que as linhas se cruzem então lá Quando você era criança não é porque você não sabia não que você era burro não é porque é impossível mesmo né que você ficava triste podia ter ficado triste que eu não conseguiu nunca resolver esse problema não conseguiu nunca resolve esse problema porque não tem solução

realmente E aí fala o problema que foi onde nasceu a teoria dos gráficos foi nesse problema aqui das pontes de konigsberg quando o Berg é uma cidade que tinha Sete Pontes e muita Gente acreditava Essa cidade e aí o pessoal que visitava o pessoal que morava lá tinha uma dúvida será que eu consigo passar pelas sete pontos a tem a ponte um dois três quatro cinco seis sete será que eu consigo passar pelas Sete Pontes de forma que eu não precise repetir nenhuma ponte porque o pessoal lá que ele passa por essa essa essa essa

essa e agora eu vou ter que repetir ponte chega uma hora que tinha que repetir alguma ponte aí eles queriam Caminhos queria achar um caminho que passasse pela Sete Pontes mas que não precisasse passar duas vezes pela mesma fonte E aí pensar um tempão pensar um tempão se você quiser até ó olha aqui ó eu coloquei aqui para você e pensa no caminho você consegue achar um caminho por exemplo eu vou andar aqui ó tô aqui vou começar aqui ó vou passar pela ponte um depois eu vou passar pela ponte cinco vou andar para cá

vou passar pela por essa ponte depois eu vou passar Por essa ponte vou andar para cá vou passar por essa ponte e depois eu vou passar por essa Três Pontes três e agora que que tem a gente não passou pela com sétimo a eu vou nadar mas não vale nada também não vale entra na água Vale pegar a barra que não vai pegar nada você tem que pegar só você tem que ir de uma ilha para outra só de ponte Essa é a regra você só pode passar você não pode nadar Ah tá então quê

que eu tenho que fazer a eu tenho que passar repetir a ponte seis Para passar pela com sete e aí ninguém conseguia resolver esse problema ninguém consegui achar um caminho que passasse pela Sete Pontes e que não precisasse repetir em uma ponte ou que não precisasse nadar o rio alitan porque se nadar Beleza dá para passar sete pontos mas não vale a pena segue as que eles estabeleceram lá quem que resolveu esse problema aí levar esse problema lá para o Leonardo other quero matemático muito conhecido pelas a se ele não resolver Solucionar esse problema ninguém

soluciona e o óleo começou a pensar nesse problema começou a pensar nesse problema e foi pensando nesse problema que ele criou a teoria dos grafos e com a teoria dos grafos que ele criou Ele demonstrou que é o que impossível a resolução das pontes de cones o ponto quando Bergs é impossível é impossível passar pela sete pontas sem precisar sem repetir nenhuma ponte como que Ele demonstrou isso lá pela teoria Dos grafos que ele criou e ele criou essa teoria só para resolver esse problema depois teve um monte de Outras aplicações então lá em 1736

ele mostrou que o problema das sete pontos de cones Berg era impossível mas para isso Ele criou uma teoria dos grafos E falando em Leonardo olha vocês já ouviram falar esse nome Leonardo other vocês lembram lá na aula inaugural do meu curso de pecauto meu curso pré cálculo tá aí no YouTube lá na aula Inaugural do meu curso pré cálculo eu mostrei minha árvore minha árvore de orientadores né que tinha eu o meu orientador de doutorado o orientador de doutorado do meu orientador que vai que orientador e orientador do orientador de orientador e a gente

viu que essa árvore uma hora chegava no no lápis que foi o criador do Carlton ou seja se você pegar onlines e pegar o orientando dele do tentando Heliodoro então dele dor então dele chega em mim né eu tô na linhagem Ele do Criador e do cálculo e eu também estou na linhagem ali ó do Olha que é o criador da teoria dos grafos Olha lá sik pra quem não lenda na minha vida na minha árvore oriental lógica né começa lá comigo Douglas depois que meu orientador de doutorado o Carlito aqui orientador de doutorado dele

orientador de doutorado dele passa lá pelo lá Grande até chegar no Leonardo other então Leonardo Olha é o que foi o orientador Do orientador do orientador de orientador e orientador durante a dor do meu orientador de doutorado e se você subir um pouquinho mais aqui ó tá online né Olá bem disse que foi o criador do cálculo e aqui o óleo que foi o criador aí da teoria dos grafos mas ele fez um monte de outros é avanços na matemática também então também tô na linhagem aí do Leonardo other Mas afinal de contas o que

que é um gráfico Então é só um gráfico é um conjunto de vértices a Gente pode chamar esses vértices de e o que são vértices são pontos e arestas ou arcos que que são essas arestas são traços são riscos que ligam esses versos então preste atenção que o que a gente fez de brincadeira de criança não era. Ligar. Com tracinhos com risquinhos isso era grafo cada. Um vértice cada risquinho é uma aresta em que cada aresta conectar dois versos né então cada risco conecta: diferentes dois vértices então pegar um problema Aqui para gente tentar entender

melhor e a partir desse problema a gente vai ver algumas coisas diferentes de grafos bom então já numa escola algumas turmas resolveram realizar um torneio de vôlei participam do torneio as turmas 6º a 6º B 7º a sétimo B 8º 8º B essas seis turmas vão participar desse torneio de vôlei e alguns jogos foram realizados até agora Quais jogos isso daqui ó o sexto A jogou com o sétimo o sétimo mês e eu tava o b o 6º beijo eu vou para o 7º a 8º 8º B o sétimo a jogou com o 6º a

6º B no sétimo B jogou com o 6º ao 8º aí eu tava B 8º a jogou com o 6º B com o sétimo E Oitavo ver e o oitavo beijo eu vou com o 6º a 6º B 7º b e 8º A então eu posso representar esse jogos realizados desse campeonato de vôlei até o momento como um garfo Olha só o meu grafo cada. Vai ser uma sala 6 a 6 vezes 7 ás 7688 B cada ponto cada vértice sim é uma sala Oi irmã e Cada traço cada arestas é um jogo Então eu

só o sexto A jogou com o Oitavo B no 6º a hoje eu vou cortar vou ver aqui também falou que eu estava beijo conserto assim porque se o sexto A jogou foi tava bem tava um beijo eu vou consertar então só uma aresta apesar de aqui tá falando duas vezes né 6º ao 8º B 8º B situar só uma aresta é suficiente porque teve um jogo entre os dois a gente vai ver que quando a gente for representar escrever esta a gente vai escrever só 6 a 8 b não vai precisar escrever o oito

B6 lá porque no nosso Caso a gente tá falando é por enquanto de grafos é que não são direcionados quando a gente fala de grafos direcionados a gente vai falar apresentar o sexto o esse ponto vem para esse aí tem uma direção e aí se for ida e volta aí eu tenho que fazer dois duas arestas uma de ida e uma de volta mas no caso enquanto não tem direção não tem problema só uma aresta já tá conectando os dois bom então o sexto haja o Goku sétimo a Ao traz aqui ó o sexto A

jogo sétimo B Olha o traço aqui no sexto A jogou oitavo B Olha o traço aqui e eu vou fazendo todos os traços ao sexto B jogou com o sétimo a jogo 8º a jogo oitavo B no sétimo a jogo o sexto bem acerto aí você já tinha desenhado o sétimo beijo o Goku sexto ar já tinha desenhado o jogou com o oitavo B de um pouco 8º a 8º a além do sétimo B com vocês Tudo bem ele jogou também oitavo b e eu estava Beijar Tem todos né todos os já falei oitava o

Beijo eu vou cortar voar eu estava o beijo eu vou com o sétimo B 8º beijo eu vou com o 6º B ou e talvez eu vou consertar então perceba que todos os jogos realizados até o momento estão representados aqui nesse grupo que que porque esse é um gráfico porque eu tenho pontos Ou seja eu tenho vértices e eu tenho arestas ou seja traço ligando esses versos se você vê que significado de cada. É uma turma de cada aresta O jogo foi realizado foram só de olhar Isso aqui o campeonato está completo todos os jogos

foram realizados não nem todos os jogos foram realizados quando todos os jogos foram realizar foram realizados a gente vai ter Cada traço ligado com todos os outros quando isso acontecer a gente vai ver na próxima aula é a gente ter um grafo completo fica um gato completo em que cada vértice é ligado com todos os outros se todos os estiver ligado com todos os outros eu tenho um grave completo aí Nesse caso eu vou ter um torneio finalizada é só vê lá quem que é o campeão Tom bom definir mais formalmente estão algum grafo é

um par de conjuntos aqui ó ver EA ouvir é o conjunto de vértices E aí é o conjunto de arestas Lembrando que vértices são pontos arestas são traços que deu esses pontos quem Então sempre que eu falar de um grafo eu vou falar do conjunto dele de vértices é muito dele de arestas então por Exemplo exemplo que a gente usou da turma dos jogos do campeonato de vôlei a gente vai chamar esse gráfico aqui esse gráfico de G Então esse gráfico hoje esse grafo G é composto pelos conjuntos B de vértices a arestas Qual é

o conjunto ver em conjunto ver de perto é o que sexto A sexto besta at Moacir aqui um beijo estadual e talvez e qual que é o conjunto de arestas não cujo endereço é que eu né os seus a liga com set a vocês a liga com 7B perceba que eu sei Lá tá ligado com sete anos não tô escrevendo aqui que o set Ah tá ligado com seis a porque aqui como não tem direção a hora não importa Então se inscrever duas vezes eu escrever seis a sete alto ligando já já tô mostrando que

eu tô ligando esses dois conversa se eu inverter é a mesma coisa seria o mesmo se tiver direcionado e já mudou um pouco mas no caso que quando a gente está falando de garotos que não tem direção não são direcionados tanto faz isso 17 ao escrever 7 a 6 a é mostrar que esses dois versos estão esses dois versos estão ligados por uma festa então aqui são jogos realizados no sexto A jogo o sétimo ar os textuais eu vou que sétimo b e o sexto a jogar o que tava B cada tracinho aqui ó tá

representado por um par de veces Ok então meu caso aqui meu grafo e esse é o conjunto de vértices e esse é o conjunto de arestas cada arestas é o que é uma ligação entre dois vértices A beleza e olha só vamos tentar definir um nome Zinho aqui ó que é adjacente que quer dizer assim gente ó quando existe uma aresta ligando dois vértices dizemos que esses vértices são adjacentes Então nesse caso aqui ó oitavo oitavo B tem uma aresta ligando esses dois vértices tem então esses dois vértices são adjacentes O 8º B 8º e

o sétimo oitavo as que o sétimo B tem uma aresta ligando eles ou seja eles são adjacentes no nosso caso que eles aquele Jogaram o 7B Os sete a tem uma aresta ligando esses dois versos não tem então esses 767 a são vértices que não são adjacentes no caso aqui não aconteceu o jogo no caso do nosso exemplo E além disso o seguinte o ar esta é incidente os versos Então como 8º a e o sétimo B são vértices adjacentes quer dizer que tem uma aresta que liga Eles essa tarefa eu falo que é uma

aresta o incidente aos vértices 8º a e Sétimo Dia por exemplo se eu falar qual que é Aresta incidente aos vértices 8 bem 6B 8b 6B é essa aresta que eu tô falando então se eu tô falando da aresta que é incidente aos vértices 6B 8b eu tô falando dessa festa Ok então se eu falar esta incidente é aresta que toca naquele verso em seu falar vértices adjacentes quer dizer que tem uma aresta que liga esses dois versos se não tiver uma reta que liga esses dois vértices não são vértices adjacentes aqui eu coloquei como

exemplo tá lá e o sétimo B são Vértices adjacentes tem um arestas clica agora no caso 7007 lá não são versos de acende porque não tem nenhuma aresta que liga aí Vamos definir mais uma coisa quantidade de vértice quantidade arestas quantidade Vert O que é quantos vértices tem a gente representa aqui ó por esse símbolo aqui ó a chover um traço EA quantidade Alerta é o mesmo símbolo só que a gente vai usar o ar isso é simples o que quantidade de vértices o número diversas é Quantos Versos tem no carro Quê que é o

número de arestas e quantas arestas tem o grafo tô nesse caso aqui ó Quantos versos vértices tem um dois três quatro cinco seis seis vértices quantas arestas tem dá para contar aqui ou aqui um dois três quatro cinco seis sete oito nove ou dá para conta aqui 123456789 crescida que aqui eu tô mostrando duas representações no meu braço aqui eu tô mostrando o meu gráfico na representação de conjuntos eu tô falando quem que são os vértices quem Que são as arestas e aqui eu tô mostrando o meu braço numa outra representação e lá para representação

em forma de desenho né que é pontinhas e tracinhos Então são duas formas que a gente viu de representar grafos até o momento tem outras formas de representar gastos tem a gente vai ver nas próximas aulas mas por enquanto a a fala de conjuntos né e a forma que de desenhos de pontinhos e assim beleza número de vértice número de arestas isso É tranquila só ver Quantos versos tem quantas arestas tem e a gente pode falar também do grau de um vértice o que que é um grau de um vértice aqui ó o número de

arestas 15 dem sobre o vértice V é chamado grau de se ver se ver eles não simbolização por de ver que que é dever é o grau do vértice V você tinha quantas arestas incidem naquele Vectra Só se eu pegar aqui o sexto A qual que é o grau do Vert sexto a quantas arestas incidem melhor uma aresta ou estar esta ou estar Estas três arestas então no caso o grau do Vert seis a é 3 por quê que o grau do vai sair três que tem três arestas que incidem sobre ele ou seja três

arestas que tocam nele e se eu pegar por exemplo do 6B quantas Qual que é o grau um dois três três arestas O que quer dizer que o Galé três e do sétimo ao sétimo a só tem duas arestas que passa por ele que ensine sobre ele então grava é só 2 a e no sétimo B 7º B também três arestas O grau e três e no 8º a 8 a 3 arestas o gráfico também é 3 o grau também três já 8b um dois três quatro Então são quatro arestas que incidem sobre o vértice

8b então o grau de 8 BF4 no nosso problema o que significa isso isso daqui significa quantos jogos foram realizados no sexto A realizou três jogos enquanto oitavo B por exemplo realizou quatro e o 7º a por exemplo realizou só dois ovos só participou de dois jogos então beleza A gente falou um pouquinho aí de grafos Definir o que que são versos adjacentes Como representar um gráfico como é que o gráfico é o que é um conjunto diverso um conjunto de arestas eu posso representar ele como forma de conjunto só que o conjunto B O

conjunto A eu posso fazer um desenho dele né em que cada vértice um ponto e cada aresta um traço e eu five aqui também o quê que é grau de um vértice dela não bom né É só por quantas arestas ensinei naquele vértice e vamos ter antes de Terminar a aula vamos ver algumas aplicações da teoria dos grafos então é que a gente tem um grafo Resumindo um grafo é isso né são pontinhos vértices e esses pontinhos Verdes são ligados por tracinhos arestas e onde que eu posso usar essas brincadeiras aí de criança de pegar

e fazer uma casinha sem tirar o lápis do papel ou desligar três casinhas na água na luz no telefone onde que eu posso usar por exemplo eu trabalho numa empresa de logística e eu quero fazer Entregas por várias cidades então tenho várias cidades que eu tenho que ir aí o seguinte qual que é o melhor caminho porque tem várias ligações que eu posso fazer entre as cidades eu posso sair de São Paulo e para Rio e lá para o espírito santo e para Minas Gerais voltar para São Paulo ou eu posso sair de São Paulo

e para Minas Gerais e do Espírito Santo para Bahia voltar para o Rio de Janeiro os caminhos que eu posso fazer Qual que É o melhor caminho para o trabalho na empresa de logística até fui entregar em várias cidades Qual que é o melhor caminho Qual que é a primeira cidade a segunda cidade Ter a cidade Qual que é a rodovia que eu tenho que pegar como que a gente faz para estudar Isso grafos a gente transforma o nosso problema aí da das entregas se em grafos cada. Uma cidade que eu tenho que passar cada

tracinho vai ser uma rodovia que liga essas cidades fui aí eu preciso saber Qual que é o melhor caminho é o caminho mais barato ou menor caminho tô conseguindo fazer entrega em todas essas cidades ou por exemplo se eu tô numa cidade só e o trabalho lá na logística da dos lixeiros porque Qual que é o problema do lixeiro problema dos lixeiros a seguinte e eu quero distribuir na cidade caminhões de lixo e esses caminhões de lixo tem que passar em todos os quarteirões para pegar o lixo de todos Os quarteirões Ok só que ele

não pode repetir em quarteirão porque se ele repetir um quarteirão de passa duas vezes no mesmo quarteirão no mesmo dia eu tô gastando gasolina à toa porque eu passei uma vez naquele quarteirão peguei os lixos se eu passar uma segunda vez não precisava ter passado lá por que que eu vou passar uma segunda vez Então como pegar e passar por todos os quarteirões da minha cidade sem repetir quarteirão Para não gastar gasolina à toa você Percebe que isso é a brincadeira de criança que a gente falou a brincadeira de criança não era colocar o papel

o lápis no papel e passar por todos as bolinhas sem tirar o lápis do Papel porque o caminhão não pode voar e por outros quatro povo o outro quarteirão e também sem as duas vezes no mesmo traço porque se eu passar duas vezes mesmo traço no caso do caminho eu tô gastando gasolina à toa então mesmo problema lá que a gente Fazia de criança de fazer um desenho sem tirar o lápis do Papel sem passar duas vezes pelo mesmo caminho é um problema por exemplo dos lixeiros do do da empresa que trabalha com a coleta

de lixo como fazer passar por todos os carteiros que eu posso pensar o seguinte cada quarteirão é um Marés têm 1-1 cada esquina um vértice Então tem que passar por todos os tracinhos por todas as arestas coletando lixo só que eu não posso repetir É porque se eu repetir Essa tô gastando combustível à toa como que resolver esse problema já que o problema é um gráfico e envolve um gráfico como resolver problema com a teoria dos grafos pode ter mais teoria dos grafos Por exemplo quando eu vou fazer uma rede de computadores a internet por

exemplo um grande grafos e se você fazer uma rede de computadores locais também posso tratar isso como um garfo então a rede computadores ao cada computador Esse é um vértice e cada ligação entre esses computadores é uma aresta isso daqui é um garfo ou por exemplo uma rede social né a interação que acontece de cada usuário né esse daqui amigo desse amigo desse amigo desse que amigo desse em na rede social eu posso pensar que cada pessoa é um vértice e cada ligação pode ser de amizade pode ser de mensagem por exemplo é o mar

esta e eu posso estudar a teoria os atores gatos para estudar essa rede social ou por exemplo Os metrôs de uma cidade eu posso representar por um gráfico ou de forma mais geral o sistema de ter de transporte de uma cidade na envolvendo metrô ônibus trem eu posso juntar tudo isso num grafo Só para tentar estudar o que que o que que eu tenho que fazer eu tenho que fazer uma linha de metrô a mais será que eu tenho que fazer uma rua mais então isso daí com que a gente posso dar através da teoria

dos grafos então conselho como você viu a teoria Dos gráficos dá para usar bastante E aí a gente só tá vendo aí o começo por enquanto nas próximas aulas gente vai ver bastante ainda coisas sobre teoria dos grafos aprender um pouquinho melhor e vai ver algumas coisas como resolver esses problemas que eu citei aqui como que a gente pode resolver umas brincadeiras lá de criança como que a gente pode resolver elas Ok então não perca esse curso aí faça comigo em telhas grafos e se você gostou dessa Aula não esquece de dar o like de

compartilhar quem te avisar seus amiguinhos aí para vim também assistindo os cursos do meu canal e não esquece também de se inscrever no canal um abraço a todos bons estudos o Olá pessoal eu sou o professor Douglas maiores seja bem-vindo ao meu canal Vamos começar aí nesse vídeo um curso aí sobre teoria dos grafos que que é isso grafos para que serve onde moram o que come né então vamos aprender um Pouquinho aí sobre grafo essa aula vai ser uma introdução aos gráficos para dar uma ideia saber o que que é um grafo nas próximas

aulas a gente vai falar um pouquinho mais sobre isso quem Então essa é uma introdução aí do que que é um gráfico para que serve um pouquinho então vamos começar vocês lembram de algumas brincadeiras que a gente fazia quando era criança é por exemplo olha só essa casinha aí chegava lá para o seu amiguinho que a senhora você consegue Fazer essa casinha aqui colocando o lápis no papel uma vez e fazer a casinha inteira sem tirar o lápis nenhuma vez do Vê se consegue o desafio você fazer isso aí você ia lá né tem assim

frio para Fui desafiado vou tentar fazer vamos lá tentar fazer então aí você também que está assistindo tenta fazer tenta fazer essa casinha que eu sem tirar o lápis do Papel Então vamos lá vou pegar aqui atrás aqui vou vir aqui para baixo vou vir para cá vou vir para cá vou vir para Cá vou vir para cá para cá o pai sou lindo só medi falar senão não pode passar por cima de ontem você já passou Você não pode tirar o lápis do papel e você não pode passar por onde você passou frente então

não posso passar aqui como que eu vou fazer esse esse aí você ficava lá quebrando a cabeça para tentar fazer até que você conseguia a fazer né Opa peguei aqui peguei aqui passo aqui passo aqui venho aqui subir aqui vem aqui o pai você criança Comemorar ver conseguir essa é uma brincadeira que a gente fazia eu pelo menos já fiz quando era criança né de tentar fazer um desenho colocando ligando pontos né ligar pontos sem tirar o lápis do papel e sem passar duas vezes pelo mesmo traço aqui eu consegui fazer esse desenho aqui repetir

esse desenho sem tirar o lápis do papel e sem repetir o mesmo traço você conseguiu também fazer pois é essa é uma das coisas que os gráficos a teoria dos grafos estuda Você sabia que se a gente sabe a teoria dos grafos só de olhar isso daqui isso daqui é um gráfico na verdade a gente vai ver quiser que eu gravo só de olhar esse daqui eu já tenho certeza que é possível fazer esse de e tirar o lápis do papel e sem repetir e eu sair eu sei até onde que eu começo qual por

que que eu comecei por esse daqui porque eu já sabia que era ali que a gente podia começar ou aqui ou aqui sei se você começar por aqui ou por aqui Você consegue fazer esse desenho agora tenta começar nesse você não vai conseguir tenta começar nesse você não tá conseguindo tenta começar nesse você não vai conseguir tenta lá tem que começa nesse faz aí começa nesse tenta fazer esse desenho sem tirar o lápis papel e sem repetir nenhum traço você vai ver que você não vai conseguir como que eu sei disso porque eu já estudei

a teoria dos gráficos e eu sei que pela teoria dos grafos e limite ela me disse Que estudar quem é impossível fazer esse desenho Começando por aqui ou eu tenho começar por esses aqui ou por esse. Aqui e por exemplo se eu mudar um pouquinho o desenho Olha só Do Jeito Que tal e se dizem que ir então coloquei aqui os pontinhos agora você aí na sua casa tenta fazer exatamente esse desenho ligando esses pontinhos aqui com traços de forma aqui de novo você não pode passar duas vezes pelo mesmo traço e você não pode

tirar o lápis do Papel Tenta fazer você não vai conseguir sabe porque porque esse desenho aqui é impossível de fazer com essas regras como que eu sei disso por causa da teoria dos grafos a teoria dos gases me fala que esse desenho que é impossível fazer o outro era possível Começando por um dos berços dos pontos que eu mostrei esse daqui eu posso começar por qualquer um nunca vou conseguir resolver nunca vou conseguir fazer esse desenho Tá conseguir fazer o desenho ou eu vou ter Que repetir um traço Ou eu vou ter que tirar o

lápis do papel com essas duas regras não dá para fazer o clima dessa outra brincadeira de criança também que fazia lá três casinhas aí coloca lavá-la a água luz e telefone aí chegava seu coleguinha ó eu aposto aí r$ 10 com você que você não consegue ligar as três casas na água as três casas na luz as três casas no telefone só que você tem que ligar por linhas e essas linhas não podem se Cruzar Tenta aí aí você falar vou tentar vamos lá vamos tentar Tá vou tentar Então essa casinha aqui ó vou ligar

ela na água vou ligar ela na luz vou ligar ela no telefone fácil tá fácil essa casa aqui ó vou ligar E aí a culpa vou ligar ela na água vou ligar e ela na luz rota afasta faça falou conseguir vou ligar ela não tem fone tá fácil Tenta aí você na sua casa também vê se você consegue eu liguei essa casa No telefone você já tentou E sim quem fez essa brincadeira se você já fez essa brincadeira fala aí nos comentários se você fez e se você conseguia quando era criança Será que você conseguir

quando ela quer executar tá fácil por enquanto eu tô conseguindo já liguei ó a primeira casa nos três a segunda casa nos três agora que que eu vou fazer essa casa aqui eu vou ligar no telefone tá fácil Essa casa eu vou ligar na luz vou ligar na luz Ó ó vou ligar na água vamos ligar essa casa na arca vou ligar essa casa na água ou pó ó como eu sou esperto ó ó liguei na água liguei na água aí vocês vão com amiguinho só falta só falta são aí você vai ligar aqui e

não consegue ligar na luz e aí você era criancinha e ficava chateado que você não conseguiu e você testava mil vezes mil formas e nunca dava certo sabe porque não dá certo porque é impossível como que dá para saber quem é impossível estudando grafos Se a gente estudar a teoria dos gráficos a gente vai conseguir saber que é impossível Ligar essas três casas com essas três aqui a água luz ou telefone sem que as linhas se cruzem então lá quando você era criança não é porque você não sabia não que você era burro não é

porque é impossível mesmo né que você ficava triste podia ter ficado triste que eu não conseguiu nunca resolver esse problema não conseguiu nunca resolve esse problema porque não Tem solução realmente E aí fala o problema que foi onde nasceu a teoria dos gráficos foi nesse problema aqui das pontes de konigsberg quando o Berg é uma cidade que tinha Sete Pontes e muita gente acreditava Essa cidade e aí o pessoal que visitava o pessoal que morava lá tinha uma dúvida será que eu consigo passar pelas sete pontos a tem a ponte um dois três quatro cinco

seis sete será que eu consigo passar pelas Sete Pontes de forma que eu não precise Repetir nenhuma ponte porque o pessoal lá que ele passa por essa essa essa essa essa e agora eu vou ter que repetir ponte chega uma hora que tinha que repetir alguma ponte aí eles queriam caminhos queria achar um caminho que passasse pela Sete Pontes mas que não precisasse passar duas vezes pela mesma fonte E aí pensar um tempão pensar um tempão se você quiser até ó olha aqui ó eu coloquei aqui para você e pensa no caminho você consegue achar

Um caminho por exemplo eu vou andar aqui ó tô aqui vou começar aqui ó vou passar pela ponte um depois eu vou passar pela ponte cinco vou andar para cá vou passar pela por essa ponte depois eu vou passar por essa ponte vou andar para cá vou passar por essa ponte e depois eu vou passar por essa Três Pontes três e agora que que tem a gente não passou pela com sétimo a eu vou nadar mas não vale nada também não vale entra na água Vale pegar a barra que não vai pegar nada você tem

Que pegar só você tem que ir de uma ilha para outra só de ponte Essa é a regra você só pode passar você não pode nadar Ah tá então quê que eu tenho que fazer a eu tenho que passar repetir a ponte seis para passar pela com sete e aí ninguém conseguia resolver esse problema ninguém consegui achar um caminho que passasse pela Sete Pontes e que não precisasse repetir em uma ponte ou que não precisasse nadar o rio alitan porque se nadar Beleza dá para passar sete pontos Mas não vale a pena segue as que

eles estabeleceram lá quem que resolveu esse problema aí levar esse problema lá para o Leonardo other quero matemático muito conhecido pelas a se ele não resolver solucionar esse problema ninguém soluciona e o óleo começou a pensar nesse problema começou a pensar nesse problema e foi pensando nesse problema que ele criou a teoria dos grafos e com a teoria dos grafos que ele criou Ele demonstrou que é o que impossível a Resolução das pontes de cones o ponto quando Bergs é impossível é impossível passar pela sete pontas sem precisar sem repetir nenhuma ponte como que Ele

demonstrou isso lá pela teoria dos grafos que ele criou e ele criou essa teoria só para resolver esse problema depois teve um monte de Outras aplicações então lá em 1736 ele mostrou que o problema das sete pontos de cones Berg era impossível mas para isso Ele criou uma teoria dos grafos E falando em Leonardo olha vocês já ouviram falar esse nome Leonardo other vocês lembram lá na aula inaugural do meu curso de pecauto meu curso pré cálculo tá aí no YouTube lá na aula inaugural do meu curso pré cálculo eu mostrei minha árvore minha árvore

de orientadores né que tinha eu o meu orientador de doutorado o orientador de doutorado do meu orientador que vai que orientador e orientador do orientador de orientador e a gente viu que essa árvore Uma hora chegava no no lápis que foi o criador do Carlton ou seja se você pegar onlines e pegar o orientando dele do tentando Heliodoro então dele dor então dele chega em mim né eu tô na linhagem ele do Criador e do cálculo e eu também estou na linhagem ali ó do Olha que é o criador da teoria dos grafos Olha lá

sik pra quem não lenda na minha vida na minha árvore oriental lógica né começa lá comigo Douglas depois que meu orientador De doutorado o Carlito aqui orientador de doutorado dele orientador de doutorado dele passa lá pelo lá Grande até chegar no Leonardo other então Leonardo Olha é o que foi o orientador do orientador do orientador de orientador e orientador durante a dor do meu orientador de doutorado e se você subir um pouquinho mais aqui ó tá online né Olá bem disse que foi o criador do cálculo e aqui o óleo que foi o criador aí

da teoria dos grafos mas ele fez um Monte de outros é avanços na matemática também então também tô na linhagem aí do Leonardo other Mas afinal de contas o que que é um gráfico Então é só um gráfico é um conjunto de vértices a gente pode chamar esses vértices de e o que são vértices são pontos e arestas ou arcos que que são essas arestas são traços são riscos que ligam esses versos então preste atenção que o que a gente fez de brincadeira de criança não era. Ligar. Com tracinhos Com risquinhos isso era grafo cada.

Um vértice cada risquinho é uma aresta em que cada aresta conectar dois versos né então cada risco conecta: diferentes dois vértices então pegar um problema aqui para gente tentar entender melhor e a partir desse problema a gente vai ver algumas coisas diferentes de grafos bom então já numa escola algumas turmas resolveram realizar um torneio de vôlei participam do torneio as turmas 6º a 6º B 7º a sétimo B 8º 8º B essas seis Turmas vão participar desse torneio de vôlei e alguns jogos foram realizados até agora Quais jogos isso daqui ó o sexto A jogou

com o sétimo o sétimo mês e eu tava o b o 6º beijo eu vou para o 7º a 8º 8º B o sétimo a jogou com o 6º a 6º B no sétimo B jogou com o 6º ao 8º aí eu tava B 8º a jogou com o 6º B com o sétimo E Oitavo ver e o oitavo beijo eu vou com o 6º a 6º B 7º b e 8º A então eu posso representar esse jogos realizados desse campeonato de vôlei até o momento Como um garfo Olha só o meu grafo cada. Vai

ser uma sala 6 a 6 vezes 7 ás 7688 B cada ponto cada vértice sim é uma sala Oi irmã e Cada traço cada arestas é um jogo Então eu só o sexto A jogou com o oitavo B no 6º a hoje eu vou cortar vou ver aqui também falou que eu estava beijo conserto assim porque se o sexto A jogou foi tava bem tava um beijo eu vou consertar então só uma aresta apesar de aqui tá falando duas vezes né 6º ao 8º B 8º B situar só uma aresta é suficiente Porque teve um

jogo entre os dois a gente vai ver que quando a gente for representar escrever esta a gente vai escrever só 6 a 8 b não vai precisar escrever o oito B6 lá porque no nosso caso a gente tá falando é por enquanto de grafos é que não são direcionados quando a gente fala de grafos direcionados a gente vai falar apresentar o sexto o esse ponto vem para esse aí tem uma direção e aí se for ida e volta aí eu tenho que fazer dois duas Arestas uma de ida e uma de volta mas no caso

enquanto não tem direção não tem problema só uma aresta já tá conectando os dois bom então o sexto haja o Goku sétimo a ao traz aqui ó o sexto A jogo sétimo B Olha o traço aqui no sexto A jogou oitavo B Olha o traço aqui e eu vou fazendo todos os traços ao sexto B jogou com o sétimo a jogo 8º a jogo oitavo B no sétimo a jogo o sexto bem acerto aí você já tinha desenhado o sétimo beijo o Goku sexto ar já tinha desenhado o jogou com o oitavo B de um

pouco 8º a 8º a além do sétimo B com vocês Tudo bem ele jogou também oitavo b e eu estava Beijar Tem todos né todos os já falei oitava o beijo eu vou cortar voar eu estava o beijo eu vou com o sétimo B 8º beijo eu vou com o 6º B ou e talvez eu vou consertar então perceba que todos os jogos realizados até o momento estão representados aqui nesse grupo que que porque esse é um gráfico porque eu tenho Pontos Ou seja eu tenho vértices e eu tenho arestas ou seja traço ligando esses

versos se você vê que significado de cada. É uma turma de cada aresta O jogo foi realizado foram só de olhar isso aqui o campeonato está completo todos os jogos foram realizados não nem todos os jogos foram realizados quando todos os jogos foram realizar foram realizados a gente vai ter Cada traço ligado com todos os outros quando isso acontecer a gente vai ver na próxima Aula é a gente ter um grafo completo fica um gato completo em que cada vértice é ligado com todos os outros se todos os estiver ligado com todos os outros eu

tenho um grave completo aí nesse caso eu vou ter um torneio finalizada é só vê lá quem que é o campeão Tom bom definir mais formalmente estão algum grafo é um par de conjuntos aqui ó ver EA ouvir é o conjunto de vértices E aí é o conjunto de arestas Lembrando que vértices são pontos Arestas são traços que deu esses pontos quem Então sempre que eu falar de um grafo eu vou falar do conjunto dele de vértices é muito dele de arestas então por exemplo exemplo que a gente usou da turma dos jogos do campeonato

de vôlei a gente vai chamar esse gráfico aqui esse gráfico de G Então esse gráfico hoje esse grafo G é composto pelos conjuntos B de vértices a arestas Qual é o conjunto ver em conjunto ver de perto é O que sexto A sexto besta at Moacir aqui um beijo estadual e talvez e qual que é o conjunto de arestas não cujo endereço é que eu né os seus a liga com set a vocês a liga com 7B perceba que eu sei lá tá ligado com sete anos não tô escrevendo aqui que o set Ah tá

ligado com seis a porque aqui como não tem direção a hora não importa Então se inscrever duas vezes eu escrever seis a sete alto ligando já já tô mostrando que eu tô ligando esses dois conversa se eu Inverter é a mesma coisa seria o mesmo se tiver direcionado e já mudou um pouco mas no caso que quando a gente está falando de garotos que não tem direção não são direcionados tanto faz isso 17 ao escrever 7 a 6 a é mostrar que esses dois versos estão esses dois versos estão ligados por uma festa então aqui

são jogos realizados no sexto A jogo o sétimo ar os textuais eu vou que sétimo b e o sexto a jogar o que tava B cada tracinho aqui ó tá representado por Um par de veces Ok então meu caso aqui meu grafo e esse é o conjunto de vértices e esse é o conjunto de arestas cada arestas é o que é uma ligação entre dois vértices a beleza e olha só vamos tentar definir um nome Zinho aqui ó que é adjacente que quer dizer assim gente ó quando existe uma aresta ligando dois vértices dizemos que

esses vértices são adjacentes Então nesse caso aqui ó oitavo oitavo B tem uma aresta ligando esses dois vértices Tem então esses dois vértices são adjacentes O 8º B 8º e o sétimo oitavo as que o sétimo B tem uma aresta ligando eles ou seja eles são adjacentes no nosso caso que eles aquele Jogaram o 7B os sete a tem uma aresta ligando esses dois versos não tem então esses 767 a são vértices que não são adjacentes no caso aqui não aconteceu o jogo no caso do nosso exemplo E além disso o seguinte o ar esta

é incidente os versos Então como 8º a e o sétimo B são vértices Adjacentes quer dizer que tem uma aresta que liga Eles essa tarefa eu falo que é uma aresta o incidente aos vértices 8º a e Sétimo Dia por exemplo se eu falar qual que é aresta incidente aos vértices 8 bem 6B 8b 6B é essa aresta que eu tô falando então se eu tô falando da aresta que é incidente aos vértices 6B 8b eu tô falando dessa festa Ok então se eu falar esta incidente é aresta que toca naquele verso em seu falar

vértices adjacentes Quer dizer que tem uma aresta que liga esses dois versos se não tiver uma reta que liga esses dois vértices não são vértices adjacentes aqui eu coloquei como exemplo tá lá e o sétimo B são vértices adjacentes tem um arestas clica agora no caso 7007 lá não são versos de acende porque não tem nenhuma aresta que liga aí Vamos definir mais uma coisa quantidade de vértice quantidade arestas quantidade Vert O que é quantos vértices tem a gente representa aqui ó por esse Símbolo aqui ó a chover um traço EA quantidade Alerta é o

mesmo símbolo só que a gente vai usar o ar isso é simples o que quantidade de vértices o número diversas é Quantos versos tem no carro Quê que é o número de arestas e quantas arestas tem o grafo tô nesse caso aqui ó Quantos versos vértices tem um dois três quatro cinco seis seis vértices quantas arestas tem dá para contar aqui ou aqui um dois três quatro cinco seis sete oito nove ou dá Para conta aqui 123456789 crescida que aqui eu tô mostrando duas representações no meu braço aqui eu tô mostrando o meu gráfico na

representação de conjuntos eu tô falando quem que são os vértices quem que são as arestas e aqui eu tô mostrando o meu braço numa outra representação e lá para representação em forma de desenho né que é pontinhas e tracinhos Então são duas formas que a gente viu de representar grafos até o momento tem outras formas de representar Gastos tem a gente vai ver nas próximas aulas mas por enquanto a a fala de conjuntos né e a forma que de desenhos de pontinhos e assim beleza número de vértice número de arestas isso é tranquila só ver

Quantos versos tem quantas arestas tem e a gente pode falar também do grau de um vértice o que que é um grau de um vértice aqui ó o número de arestas 15 dem sobre o vértice V é chamado grau de se ver se ver eles não simbolização por de ver que que é dever É o grau do vértice V você tinha quantas arestas incidem naquele Vectra Só se eu pegar aqui o sexto A qual que é o grau do Vert sexto a quantas arestas incidem melhor uma aresta ou estar esta ou estar estas três arestas

então no caso o grau do Vert seis a é 3 por quê que o grau do vai sair três que tem três arestas que incidem sobre ele ou seja três arestas que tocam nele e se eu pegar por exemplo do 6B quantas Qual que é o grau um dois três três arestas O que quer dizer que o Galé três e do sétimo ao sétimo a só tem duas arestas que passa por ele que ensine sobre ele então grava é só 2 a e no sétimo B 7º B também três arestas o grau e três e

no 8º a 8 a 3 arestas o gráfico também é 3 o grau também três já 8b um dois três quatro Então são quatro arestas que incidem sobre o vértice 8b então o grau de 8 BF4 no nosso problema o que significa isso isso daqui significa quantos jogos foram realizados No sexto A realizou três jogos enquanto oitavo B por exemplo realizou quatro e o 7º a por exemplo realizou só dois ovos só participou de dois jogos então beleza A gente falou um pouquinho aí de grafos definir o que que são versos adjacentes Como representar um

gráfico como é que o gráfico é o que é um conjunto diverso um conjunto de arestas eu posso representar ele como forma de conjunto só que o conjunto B O conjunto A eu posso fazer um desenho dele né em que cada vértice Um ponto e cada aresta um traço e eu five aqui também o quê que é grau de um vértice dela não bom né É só por quantas arestas ensinei naquele vértice e vamos ter antes de terminar a aula vamos ver algumas aplicações da teoria dos grafos então é que a gente tem um grafo

Resumindo um grafo é isso né são pontinhos vértices e esses pontinhos Verdes são ligados por tracinhos arestas e onde que eu posso usar essas brincadeiras aí de criança de Pegar e fazer uma casinha sem tirar o lápis do papel ou desligar três casinhas na água na luz no telefone onde que eu posso usar por exemplo eu trabalho numa empresa de logística e eu quero fazer entregas por várias cidades então tenho várias cidades que eu tenho que ir aí o seguinte qual que é o melhor caminho porque tem várias ligações que eu posso fazer entre as

cidades eu posso sair de São Paulo e para Rio e lá para o espírito santo e para Minas Gerais Voltar para São Paulo ou eu posso sair de São Paulo e para Minas Gerais e do Espírito Santo para Bahia voltar para o Rio de Janeiro os caminhos que eu posso fazer Qual que é o melhor caminho para o trabalho na empresa de logística até fui entregar em várias cidades Qual que é o melhor caminho Qual que é a primeira cidade a segunda cidade Ter a cidade Qual que é a rodovia que eu tenho que pegar

como que a gente faz para estudar Isso grafos a Gente transforma o nosso problema aí da das entregas se em grafos cada. Uma cidade que eu tenho que passar cada tracinho vai ser uma rodovia que liga essas cidades fui aí eu preciso saber qual que é o melhor caminho é o caminho mais barato ou menor caminho tô conseguindo fazer entrega em todas essas cidades ou por exemplo se eu tô numa cidade só e o trabalho lá na logística da dos lixeiros porque Qual que é o problema do lixeiro problema dos Lixeiros a seguinte e eu

quero distribuir na cidade caminhões de lixo e esses caminhões de lixo tem que passar em todos os quarteirões para pegar o lixo de todos os quarteirões Ok só que ele não pode repetir em quarteirão porque se ele repetir um quarteirão de passa duas vezes no mesmo quarteirão no mesmo dia eu tô gastando gasolina à toa porque eu passei uma vez naquele quarteirão peguei os lixos se eu passar uma segunda vez Não precisava ter passado lá por que que eu vou passar uma segunda vez Então como pegar e passar por todos os quarteirões da minha cidade

sem repetir quarteirão Para não gastar gasolina à toa você percebe que isso é a brincadeira de criança que a gente falou a brincadeira de criança não era colocar o papel o lápis no papel e passar por todos as bolinhas sem tirar o lápis do Papel porque o caminhão não pode voar e por outros quatro povo o outro quarteirão e Também sem as duas vezes no mesmo traço porque se eu passar duas vezes mesmo traço no caso do caminho eu tô gastando gasolina à toa então mesmo problema lá que a gente fazia de criança de fazer

um desenho sem tirar o lápis do Papel sem passar duas vezes pelo mesmo caminho é um problema por exemplo dos lixeiros do do da empresa que trabalha com a coleta de lixo como fazer passar por todos os carteiros que eu posso pensar o seguinte Cada quarteirão é um Marés têm 1-1 cada esquina um vértice Então tem que passar por todos os tracinhos por todas as arestas coletando lixo só que eu não posso repetir É porque se eu repetir essa tô gastando combustível à toa como que resolver esse problema já que o problema é um gráfico

e envolve um gráfico como resolver problema com a teoria dos grafos pode ter mais teoria dos grafos Por exemplo quando eu vou fazer uma rede de computadores a Internet por exemplo um grande grafos e se você fazer uma rede de computadores locais também posso tratar isso como um garfo então a rede computadores ao cada computador Esse é um vértice e cada ligação entre esses computadores é uma aresta isso daqui é um garfo ou por exemplo uma rede social né a interação que acontece de cada usuário né esse daqui amigo desse amigo desse amigo desse que

amigo desse em na rede social eu posso pensar que Cada pessoa é um vértice e cada ligação pode ser de amizade pode ser de mensagem por exemplo é o mar esta e eu posso estudar a teoria os atores gatos para estudar essa rede social ou por exemplo os metrôs de uma cidade eu posso representar por um gráfico ou de forma mais geral o sistema de ter de transporte de uma cidade na envolvendo metrô ônibus trem eu posso juntar tudo isso num grafo Só para tentar estudar o que que o que que eu tenho que fazer

eu Tenho que fazer uma linha de metrô a mais será que eu tenho que fazer uma rua mais então isso daí com que a gente posso dar através da teoria dos grafos então conselho como você viu a teoria dos gráficos dá para usar bastante E aí a gente só tá vendo aí o começo por enquanto nas próximas aulas gente vai ver bastante ainda coisas sobre teoria dos grafos aprender um pouquinho melhor e vai ver algumas coisas como resolver esses problemas que eu citei aqui como Que a gente pode resolver umas brincadeiras lá de criança como

que a gente pode resolver elas Ok então não perca esse curso aí faça comigo em telhas grafos e se você gostou dessa aula não esquece de dar o like de compartilhar quem te avisar seus amiguinhos aí para vim também assistindo os cursos do meu canal e não esquece também de se inscrever no canal um abraço a todos bons estudos