[Música] ao contrário da mecânica clássica onde o descritor do Estado de um sistema é a função horária a equação horária a equação que nos diz em que posição o sistema está na mecânica quântica Esse descritor é a amplitude de probabilidade nos dois casos tanto na mecânica clássica quanto na mecânica quântica o o problema fundamental é o seguinte se eu conheço a situação do descritor de um sistema num determinado instante como é que eu vou prevê Em que situação esse descritor está daqui algum tempo então na mecânica clássica o descritor da da situação de um sistema
formado por partícula é a função RT e a equação de movimento o que que ela faz ela faz o seguinte se eu conheço R num certo instante t0 eu Prevejo queem é R num instante T posterior E no caso da mecânica clássica também no instante anterior se eu supuseram alterando o movimento dessa partícula se mantiveram inalteradas no caso da mecânica quântica a gente já sabe o descritor é a amplitude de probabilidade então o nosso problema é duplo em primeiro lugar se nós conhecemos a amplitude de probabilidade para todos os para todas as posições X no
instante t0 nosso problema é determinar qual é amplitude de probabilidade para todas as posições X no instante T posterior veja que aqui eu já tô especializando pro caso de uma dimensão porque eu quero evitar complicações matemáticas no caso da mecânica quântica também vai ser importante determinar quais são a os estados possíveis num determinado instante eh para situações nas quais o sistema tem uma energia bem definida lembre-se que como todos os todos os as grandezas dinâm em mecânica quântica nós em princípio não temos um valor bem definido para essas grandezas nós temos a o que nós
fazemos é são previsões probabilísticas existem no entanto estados especiais que são chamados Nesse contexto de estados estacionários Nos quais a energia é bem definida e nós vamos aprender como determinar Quais são esses estados de energia bem definido eles são chamados estados estacionários isso aqui me diz qual é a evolução Temporal da amplitude probabilidade isso aqui me diz qual é a amplitude de probabilidade ou função de onda que descreve corretamente os estados estacionários anuncio logo que os estados estacionários na mecânica quântica moderna tem um papel equivalente ao papel das órbitas de bor no átomo de hidrogênio
lembre-se que na no átomo de hidrogênio no modelo de do átomo de hidrogênio construído por boh ele foi capaz de identificar órbitas nas quais e o átomo podia viver indefinidamente as órbitas estáveis do átomo de hidrogênio as órbitas estáveis do átomo de hidrogênio vão passar a ser chamadas daqui a pouco de estados estacionários do átomo de hidrogênio se a gente souber como manipular estados estacionários o primeiro problema se torna fácil porque nós podemos escrever qualquer função de onda como uma combinação linear de estados estacionários Esse é um teorema na verdade que vem da álgebra linear
eu vou traduzir esse essa frase em linguagem algébrica em linguagem matemática é assim a equação de schrodinger completa a equação de schrodinger dependente do tempo ela tem um conjunto de soluções esse conjunto de soluções forma um espaço vetorial certo isso é uma linguagem algébrica esse espaço vetorial tem eh nesse espaço vetorial eu posso escolher uma base na na verdade posso escolher mais de uma base portanto eu posso descrever qualquer elemento desse espaço vetorial como combinação linear dos elementos desta base Existe uma grande variedade de bases possíveis assim como no espaço cartesiano existe uma uma infinidade
de bases possíveis uma dessas bases no caso de sistemas quânticos é a base formada pelos Estados estacionários desse sistema então eu posso dizer usando de novo a linguagem algébrica que o conjunto dos Estados estacionários de um sistema quântico com constitui uma base do espaço de soluções da equação de movimento se eu sei como cada elemento da base se comporta eu sei como o elemento genérico desse espaço vetorial se comportará porque é simplesmente uma combinação linear daqueles eu vou começar por lhe mostrar que a quantização de energia ou a quantização de ondas não é na verdade
um fenômeno quântico na verdade já está presente eh em situações clássicas e ela está presente nessa nesse contexto das ondas estacionárias clássicas vamos imaginar então que nós temos um sistema clássico uma corda vibrante e vamos ver de que maneira a gente estabelece ondas estacionárias clássicas sobre uma corda vibrante a corda vibrante é um sistema formado por uma corda e vamos imaginar aqui para começo de conversa que essa corda tem dimensões tem comprimento muito grande depois a gente vai ver o que acontece quando eu diminuo o comprimento dela e eu vou estabelecer essa corda uma onda
estacionária você deve ter aprendido que uma maneira de você estabelecer uma onda estacionária sobre uma corda vibrante é você fazer trafegar sobre ela duas ondas progressivas de igual amplitude e que se movem em sentidos opostos então Imagine que nós vamos produzir essas ondas progressivas sobre a corda vibrante Aqui está a forma de onda de uma onda progressiva se movendo para a direita você sabe que que essa forma de onda pode ser escrita como uma função de X - VT onde v a velocidade com que essa onda progressiva trafega pra direita e uma uma uma onda
senoidal como essa pode ser escrita na forma veja que isso aqui tem a forma adequada porque se eu posso fatorar o número de onda k sobra x - Ô sobre KT Ô sobre k é a velocidade o que tá escrito aqui é k que multiplica x- VT isso tem a forma correta é uma função dessa composição da posição com o tempo x- VT se eu agora fizer trafegar sobre essa corda uma onda progressiva que tem a mesma amplitude que ela mesma velocidade mas que se mova no sentido oposto e aqui está o sinal representando então
que ela se move no sentido oposto à primeira então eu posso Eh agora superpor essas essas duas ondas essa equação é uma equação diferencial linear O que significa dizer que se eu tenho duas soluções dessa equação qualquer combinação linear dessas duas soluções também é a solução isso chama-se o princípio da superposição portanto essa forma de onda que eu acabo de escrever no quadro a soma dessas duas dessas duas funções também é uma função que satisfaz a equação da onda portanto essa forma de onda pode se estabelecer naquela corda e por um teorema da trigonometria isso
aqui pode ser escrito como uma um produto de um seno por um cosseno isso que está aqui é o que nós chamamos de uma onda estacionária e o que eu estou lhe mostrando com esse exemplo é que é possível eu construir uma onda estacionária clássica sobre uma corda superpondo duas ondas de igual velocidade que trafegam em sentidos opostos se eu fizer isso a superposição das duas produz uma onda estacionária O que significa dizer isso significa que nós temos aqui a função de onda escrita como um produto de uma função só de X por uma função
só de t e essa é a característica fundamental dessa onda estacionária dado um valor de x aqui está o eixo X dado um valor de X eu tô olhando para um certo ponto aqui está um valor de X escolhido quando eu fixo esse valor de X eu tô fixando o valor da função FX então a forma de onda que eu estou examinando é como é que essa onda o que que essa onda faz com esse ponto da corda em função do tempo e o que ele faz é uma oscilação cossenoidal em particular existem pontos x
para os quais o seno de KX dá z0 basta que k x x seja e um múltiplo inteiro de Pi então Qualquer que seja o valor x a posição X para para o qual para a qual KX D um múltiplo inteiro de Pi é FX dá 0 se FX dá zero você pode deixar o tempo passar quanto você quiser que aquele ponto não vai sair do lugar esse ponto é chamado um nó dessa forma de onda estacionária nós podemos também identificar pontos Nos quais essa oscilação como função do tempo tem amplitude máxima na verdade isso
aqui funciona como se esse produto B X FX fosse a amplitude com a qual um ponto particular da corda está vibrando com frequência angular Ômega essa amplitude será máxima quando o seno for máximo e o seno é máximo quando o seu argumento é pi sobre 2 ou um múltiplo ímpar de pi sobre 2 então nós temos esses pontos Nos quais a amplitude É máxima nós chamamos esses pontos de ventres dessa dessa onda estacionária a forma que a gente vai observar vai ser portanto algo assim o que eu estou representando aqui é uma superposição de várias
fotografias tiradas dessa corda n em cada você você tá vendo que existem pontos nessa corda que ficam sempre parados são os nós os outros pontos estão oscilando em função do tempo com amplitudes que depende da posição que eu esteja observando aqui estão os ventos que são os pontos Nos quais essa amplitude É máxima Ora se eu tenho o uma situação como essa se eu tenho uma onda estacionária imposta a uma corda vibrante eu poderia por exemplo imaginar que eu seccion lembre que eu tava que eu comecei pensando numa corda de comprimento muito grande eu posso
seccionar essa corda em dois nós por exemplo aqui e aqui quando eu faço isso nada se altera Porque como são dois nós aquilo que está dentro desses nós o que sobrou da corda continua oscilando do mesmo jeito isso porque eu fiz a sessão na da da corda exatamente naqueles pontos que estão parados eu posso dizer que eu posso estabelecer uma onda estacionária numa corda de comprimento finito basta para isso se eu se eu tenho se os dois extremos desse desse desse segmento que eu que eu seccione estão fixos então eu posso estabelecer uma onda estacionária
contanto que existe uma relação simples de estabelecer entre o comprimento da corda e o comprimento de onda dessa forma de onda que sobr vamos chamar de a o comprimento da corda então a tem que ser igual a um número inteiro de meios comprimentos de onda na minha representação aqui a é igual a duas vezes a metade do comprimento de onda da da onda estacionária que eu desenhei de uma forma geral eu posso dizer que isso aqui é n x / 2 Essa é a condição para que uma para que uma onda estacionária se Estabeleça numa
corda vibrante que tem suas extremidades fixadas isso quer dizer que os comprimentos de onda possíveis de se estabelecer numa corda vibrante de extremidades fixas é dado são dados por aquela equação 2 A so n portanto os comprimentos de onda possíveis de se estabelecer num corda vibrante com extremidades fixas são quantizados E isso não tem nada a ver com mecânica quântica certo isso tem a ver apenas com o f de que a imposição de que as extremidades são fixas faz com que só sejam possíveis o estabelecimento de alguns comprimentos de onda e não qualquer um na
verdade nós vamos ver no decorrer dessa exposição a quantização dos níveis de energia em mecânica quântica tem o mesmo fundamento tem a mesma raiz nós vamos ver que quando a gente escrever a equação de schrodinger em particular a equação de scher independente do tempo que é aquela que vai nos determinar os estados estacionários as soluções fica que tem sentido físico dessa equação serão aquelas que respeitem determinadas condições de contorno e a obrig a que essa solução respeite certas condições de contorno nós vamos ser levados a condições semelhantes a essas E são essas condições que vão
eh fazer aparecer a noção de quantização em mecânica quântica h [Música]
