Olá querido Estudante eu sou professor Douglas Gomes venho trazer física todo dia para você no encontro de agora nós vamos estudar a cinemática do movimento harmônico simples como esse movimento acontece quais as características dele com profundidade para você entender significativamente tudo que está acontecendo se você gostou dessa iniciativa deixe o seu joinha quer ver mais vídeos como esse se inscreva aqui no canal e Ative o Sininho das notificações para receber aviso quando tiver vídeo novo quero aprender física comigo excelente Acesse o meu site professor douglasgomes.com esta aula que você vai ver agora é uma aula
que está lá é uma amostra para que você saiba Como é feito o nosso trabalho com qualidade vem comigo que a gente tem muito aprender nessa aula de agora nós vamos começar o estudo do movimento harmônico simples que também é conhecido como MHS nós vamos entender porque que ele tem esses nomes e como é que ele vai acontecer que movimento é esse pelo que você pode observar aqui na nossa tela você deve estar vendo um pêndulo e uma massa acoplada uma mola e uma bolinha aí num tal de um eixo X em todos esses três
casos eu vou apresentar para você o chamado movimento oscilatório o movimento de vai e vem de um pêndulo o movimento de vai e vem de uma massa acoplada a uma mola e uma e o movimento qualquer de um vai e vem aqui sobre um eixo X esses movimentos de vai e vem do jeito que estão apresentados aqui são chamados movimentos oscilatórios Vamos estudar mais características desses movimentos a primeira característica é que são movimentos retilíneos talvez por alguns instantes você fale mas este pêndulo ele está fazendo um movimento Curvo se a gente diminuir o ângulo de
abertura a curva é muito pouco perceptível outra coisa é um movimento periódico movimento harmônico simples ele se repete em intervalos regulares de tempo ele é um movimento vai e vem chamado movimento oscilatório bom propriedades de uma MHS o que que nós precisamos conhecer primeira propriedade ele tem uma propriedade chamada período que é um intervalo de tempo Para que ocorra uma repetição do movimento que você está estudando outra propriedade característica desse movimento de vai e vem desse movimento harmônico simples é que ele apresenta uma frequência de acontecimento Douglas mas o que é frequência Alguém já deve
ter perguntado para você com que frequência você vai ao cinema com que frequência você vai à praia com que frequência você sai para se divertir com seus amigos a frequência corresponde a quantidade de vezes que você faz uma determinada coisa num certo intervalo de tempo por exemplo eu costumo ir à praia cerca de duas vezes por ano então eu já acabei de te dizer qual é a frequência com que eu vou à praia uma fórmula matemática para expressar isso seria o número de repetições dividido pelo intervalo de tempo em que essas repetições vão acontecer agora
vejam que interessante se eu quiser que ocorra uma única repetição quanto tempo eu devo esperar que se passe Pois é um período então todo objeto que se move como a frequência constante com o período constante com uma regularidade de repetição vai apresentar uma repetição a cada período se o período for medido em segundos uma vez a cada segundo significa um Hertz Então esse hz significa Hertz e também significa repetições por segundo também conhecido como rps Tem mais alguma propriedade sim a pulsação é muito comum se falar no movimento harmônico simples de uma propriedade chamada frequência
angular mas você talvez pergunte no movimento de vai e vem onde é que eu vou ter um ângulo bem vamos começar te dando a expressão matemática para depois a gente descobrir onde é que tem ângulo no movimento de vai e vem a gente diz que essa tal desta pulsação de um MHS ou frequência angular do MHS é 2 pi vezes a frequência dele aqui em Hertz este 2 pi vezes a frequência também poderia ser expresso Como Dois pi dividido pelo período e fazendo isso esta pulsação seria medida em radianos por segundo já que este 2
pi se referiria a um ângulo que a medida em radianos Douglas eu ainda não estou entendendo onde é que está o ângulo nesse tal deste MHS é por isso que eu vou responder esta pergunta para você de onde vem o ângulo em um movimento harmônico simples pois bem existe um estudo que se pode fazer do MHS que é o seguinte todo movimento de vai e vem pode ser estudado como se fosse a sombra de um movimento circular e uniforme todo vai e vem periódico pode estar relacionado a um movimento circular também periódico o famoso movimento
circular uniforme veja que a cada período de rotação deste objeto Eu tenho um vai e vem do MHS e aqui que vem uma parte interessante o que nós chamamos de período no MHS não é o tempo para ir é o tempo para ir e voltar vai e volta depois de passar por todos os pontos da nossa trajetória veja aqui que para cada ponto que eu vou ocupar aqui no eixo X existe um ângulo correspondente ali no ciclo trigonométrico seguinte Imagine que eu tenho um movimento de vai e vem em que nós observamos uma posição x
mínima Menos a e uma posição máxima mais a colocando zero aqui no meio então a gente teria zero um dois três quatro até a tal da amplitude a e 0 -1 - 2 - 3 - 4 até menos a amplitude a e é aqui que vem a parte interessante nesse movimento de vai e vem se você for fazer uma função horária deste X Ele vai variar com o tempo como se fosse uma função é trigonométrica Esta função trigonométrica chamada função harmônica este vai e vem aqui seria um cossenoide que tem o mesmo jeito da função
seno mudando só o comecinho aqui este vai e vem tanto você pode observar na senoide como na cor nos gráficos do semi e do Cosseno em função do tempo daí vem esta tal dessa história de movimento ser harmônico o seno e o cosseno as funções seno e cosseno são chamadas funções harmônicas porque são funções periódicas que se repetem intervalos regulares de períodos mas também são contínuas a gente não costuma usar trás a tangente por exemplo porque a tangente também a secante aconsecante acabam apresentando descontinuidade nas suas funções Vamos estudar um exemplo de como é que
esse tipo de problema pode aparecer para você mas antes de a gente ir para o problema Verifique que esta projeção que eu estou fazendo esta sombra que você está vendo fazer um vai e vem de um movimento circular poderia ser você numa roda gigante num parque de diversões ao meio-dia e aqui você teria sua sombra no chão te acompanhando para um lado e para o outro vamos ver como já caiu isso no ENEM um enfeite para berço ele é constituído de uma aro metálico com um ursinho pendurado que gira com velocidade angular constante grife isso
daí o aro permanece orientado na horizontal de forma que o movimento do ursinho seja projetado na parede por sua sombra a sombra de um movimento circular uniforme projetado na parede enquanto o ursinho gira sua sombra descreve Que tipo de movimento o movimento retilíneo harmônico e simples ah certo Douglas como é que isso deve estar acontecendo vou representar para você Como você pode ver Enquanto ursinho gira a sua sombra na parede vai fazendo movimento de vai e vem caracterizando o movimento retilíneo harmônico simples vamos estudar agora a parte que é considerada mais complexa do estudo desse
movimento que a cinemáticas funções horárias do movimento harmônico simples diz aqui então para a gente nossa próximo ilustração eu não saberia como fazer diretamente a posição desse objeto aqui embaixo esta sombra daquele movimento circular que a gente acabou de ver eu não saberia como descrevê-la com o tempo mas eu já aprendi lá no estudo do movimento circular uniforme que a medida que você tem este movimento circular acontecendo uniformemente este ângulo Fi que é o chamado posição angular ele varia igual ao do movimento uniforme Essa é igual a s0 + VT você usa fia igual a
fizeram mais Ômega T onde Ômega é a velocidade angular neste movimento é o movimento circular uniforme apresenta uma velocidade aqui do movimento circular de módulo constante a direção e o sentido vão se modificando mas o módulo desta velocidade não se modifica e tem uma aceleração chamada aceleração centrípeta que é igual a v ao quadrado sobre o raio mas x aqui ela vai ter uma característica chamada amplitude amplitude é a maior distância que esse nosso objeto vai se encontrar da posição Central no caso do movimento circular essa distância seria o raio então enquanto que no movimento
circular nós dizemos que existe um raio o correspondente aqui no movimento da sombra no vai e vem vai ser chamado de amplitude bom agora nós vamos começar Pensando neste triângulo que eu acabei de destacar de amarelo a posição x aqui da nossa sombra que está positiva que estamos do lado positivo de X Ela seria a projeção né este cateto aqui na horizontal deste triângulo amarelo se você for aplicar a função cosseno o cosseno deste vai ser o cateto adjacente dividido pela hipotenusa neste triângulo Amarelo a nossa hipotenusa seria o raio que a gente está chamando
de amplitude Então se o cosseno de fi vai ser o cateto adjacente x dividido pela hipotenusa que é amplitude eu posso isolar o x e dizer que x é igual a a vezes o cosseno deste ângulo Fi que é chamado posição angular bem vamos continuar quer encontrar o valor da velocidade desse movimento circular a gente vai precisar de um pouco de geometria a velocidade do movimento circular está aqui a velocidade da sombra seria a sombra daquele vetor velocidade você tem de projetar um vetor velocidade aqui ao longo desse eixo X sombra daquele vetor velocidade ali
de cima seria este vetor V mas como a gente está trabalhando no eixo X a gente vai considerar o valor de ver negativo por estar contrário ao tal do eixo X bom eu vou trazer esse vetor V aqui de baixo aqui para cima para ficar mais fácil de enxergar é o mesmo vetor aqui de baixo aqui em cima outra coisa que eu vou fazer eu vou notar que se este ângulo é fim este ângulo bem aqui também é filho este triângulo que você vê nesta posição é o mesmo triângulo daqui se aqui Vale fio ali
vale o mesmo fim e este daqui também será você pode aproveitar para exercitar seus conhecimentos de geometria fazendo a semelhança entre este triângulo e este outro triângulo aqui que eu estou percorrendo com a seta bom neste triângulo Verde a gente vai usar a função seno o seno de fi vai ser esta velocidade dividido pela hipotenusa Olha que legal como a velocidade negativa a gente vai botar um sinal de menos para deixar positivo porque menos com menos dá mais e quando você for isolar a velocidade aqui a velocidade V vai ser menos vc vezes o seno
de fi onde vc corresponde a velocidade deste movimento circular que aqui está acontecendo e é uma velocidade constante em módulo porque é um movimento circular uniforme vamos agora ver um pouco mais pegue este vetor aceleração e projete pegue a sombra dele sobre esse eixo X também tá no sentido negativo não é verdade agora nós vamos trazer este a para cá eu estou olhando para este outro triângulo que é um triângulo laranja que aqui ficou neste triângulo alaranjado você vai ver que este ângulo de verde é o mesmo dali ó são ângulos congruentes correspondentes olhando para
cá você vai poder escrever que o cosseno deste ângulo que é aquele mesmo Fi vai ser o cateto adjacente que esta aceleração aqui a sombra da aceleração dividido pela hipotenusa que seria a aceleração do nosso movimento circular como a gente sabe que esta aceleração aqui da sombra tá negativa a gente põe o sinal de menos para transformar em mais porque menos um valor negativo da Positivo para a gente não ter grandes complicações Na vida isolando nós vamos ter essas três equações Mas você se lembra de quanto é que vale cada um desses valores da velocidade
do movimento circular e da aceleração do Circular Pois eu vou revisar aqui para você a velocidade do movimento circular é velocidade no movimento circular é a velocidade angular vezes o raio raio aqui que a gente está chamando de amplitude e a aceleração centrípeta do movimento circular uniforme é a velocidade angular ao quadrado vezes o raio Ômega ao quadrado vezes o raio a gente troca o raio pela amplitude aqui do movimento agora lembrando a última parte S não é igual a s0 + VT no movimento uniforme em termos de ângulo Fi é igual a fizeram mais
Ômega T onde este Ômega é a chamada velocidade angular o ângulo percorrido dividido pelo tempo com isso nós Montamos todas essas equações Douglas e o que nós vamos fazer agora juntar essas equações todas e é o que nós vamos fazer na nossa próxima parte tá aqui a primeira a segunda a terceira equação e aquela última lista que eu havia apresentado para você nós vamos substituir esta expressão aqui E esta outra a colar e o resultado disso são estas três expressões o valor de X vai ser a cosseno de Fi mas o tal do fim é
Ômega T mas fizeram Douglas o que que é isso aqui o fizeram é o ângulo Inicial o ômega seria a velocidade angular então eu substitui os fios por Ômega T mas fizeram e substitui o v né o v do Circular por Ômega vezes a aqui ó Ômega a e substitui a aceleração do Circular por Ômega ao quadrado vezes a e daqui olhando para todas essas substituições você enxerga com alguma facilidade que aqui em cima apareceu a cosseno de Ômega T mas fizeram e aqui embaixo também este pedaço da equação aqui embaixo é igual aquele x
ali em cima então é muito comum você ver em problemas de movimento harmônico simples esta relação aceleração no MHS é menos Ômega ao quadrado vezes x este Ômega está relacionado à frequência angular ao 2p vezes a frequência se a gente for pensar um pouco mais a respeito disso a gente poderia dizer que a aceleração é a força resultante sobre a massa não é verdade se a gente faz isso dá para a gente encontrar uma expressão para a força resultante no MHS a força resultante do MHS vai ser menos M Ômega ao quadrado x mas como
a massa e o ômega são constantes este M Omega ao quadrado vai ser uma constante e como resultado nós vamos ter que no MHS a força resultante é do tipo menos KX Interessante não é mesmo então aqui a gente acabou de descobrir como é o funcionamento de um movimento harmônico simples em termos de posição e função do tempo velocidade em função do tempo Aceleração em função do tempo e Vimos que a força resultante no MHS é do tipo menos KX vamos resolver um problema para ver se a gente está no caminho certo pois vem comigo
Diz aqui esta questão que peneiras vibratórias são utilizadas na indústria de construção para classificação e separação de agregados em diferentes tamanhos o equipamento é constituído de um motor que faz vibrar uma peneira retangular disposta no plano horizontal para separação dos grãos em uma certa indústria de mineração ajusta-se a posição da peneira de modo que ela Execute o movimento harmônico simples um MHS de função horária x = 8 cosseno de 8 B onde é a posição medida em centímetros e teu tempo em segundos o número de oscilações a cada segundo executado por essa peneira é de
quanto vamos lá a gente aprendeu que x é igual a 8 vezes o cosseno de 8 PT + 0 Douglas onde eu aprendi isso aqui no enunciado Douglas esse mais é não dá para somar com zero acaba sendo o mesmo que nada você fala mais porque que você fez isso Ora eu aprendi a isso a gente aprendeu agora na aula que a função horária da posição pode ser expressa como x = a cosseno de Ômega T mas fizeram agora a gente compara o 8 corresponde a amplitude este oito pi corresponde ao Ômega e este 0
a tal da fase inicial chamada constante de fase inicial do movimento estes ângulos fiff 0 ganham o nome no MHS de fase do movimento bom então há igual a 8 cm Ômega 8 pi radianos e a fase inicial zero Douglas e aí aí que você vai ver que 8π radianos por segundo corresponde a dois PF 2 pi vezes a frequência e esta frequência fica então igual fazendo as contas a 4 hz porque porque oito pi é igual a 2 pi vezes F Qual é o número que multiplicado por 2 pi vai dar 8 pi 4
por isso a gente vai marcar como opção correta b de bola nosso próximo estudo agora é o comportamento de X da velocidade e da aceleração no movimento harmônico simples como é que isso vai acontecer na hora que você tem o movimento de vai e vem eu estou mostrando aqui os três vetores para você conseguir observar que eu sei é difícil a gente entender algumas coisas só no papel observando o movimento é muito mais fácil e é aqui que isso vai acontecer Olha a posição x a posição x vai para um lado e vai para o
outro esse comportamento da posição x você consegue observar muito bem agora vem a parte interessante vamos ao comportamento do vetor velocidade no movimento de vai e vem este objeto está parando nos dois extremos em um extremo ele para ó velocidade zero e troca a velocidade zera e troca de sentido zera e troca de sentido então nos extremos a velocidade é igual a zero um dia que a velocidade ganha então o seu maior valor no meio do percurso só quando ela tá passando aqui pelo meio do caminho é onde a velocidade ganha o seu maior valor
porque porque vamos olhar para aceleração aceleração cuidado não tem uma relação Direta com a velocidade aceleração Por incrível que pareça tem uma ligação direta com a força e quando você pensa em termos de mola onde é que a mola Faz maior intensidade de força nos extremos do movimento por essa razão o valor da intensidade da força vai ser máxima nos extremos assim como também a aceleração é nos extremos dos movimentos que você vai ter o máximo de valor de aceleração acontecendo dá para perceber isso que é onde a força elástica aqui no caso dessa mola
que tem uma força do tipo KX Você se lembra da lei de Hulk é nesses extremos que a aceleração e a força resultante serão máximas e vem a parte aqui interessante onde a força é máxima a velocidade é zero ó Veja onde a mola está esticadona que é onde ela faz mais força e por isso provoca uma maior aceleração a velocidade é zero por outro lado quando a mola Não tá deformada aqui nesta posição Central aceleração e a força não zero não tem força nem aceleração no meio deste movimento mas aqui no meio do caminho
é onde você tem a maior velocidade no movimento de vai e vem é no meio do caminho que toda energia potencial terá se transformado em cinética lembra dos princípios da Conservação da energia a gente pode usar aqui e os valores máximos e mínimos que a gente tem o valor o máximo que o máximo que o x pode obter vai ser a o valor de a que a nossa amplitude o valor máximo da velocidade é Ômega a e o valor máximo da aceleração Omega ao quadrado vezes a Douglas é verdade isso lembra que o x é
igual a a cosseno de Ômega T + x0 A velocidade é menos Ômega a seno de Ômega t + 0 aceleração é menos Ômega ao quadrado A bom aquele restante no máximo vai dar um a função seno e cosseno no máximo dá por isso que o x máximo é a velocidade máxima é Ômega a e aceleração máxima é Ômega ao quadrado vezes a vamos ver um exemplo de problema de como isso pode acontecer para você diz aqui na questão da Unesp quem é um parque de diversões existe uma atração na qual participante tenta acertar as
bolas de borracha na boca de uma figura de um palhaço que presa uma mola ideal oscila em movimentar o único simples entre os pontos a e e passando por BCD de modo que o ponto c é o ponto médio do segmento onde a mola apresenta seu comprimento natural uma pessoa ao fazer suas tentativas acertou a primeira bola quando a boca passou por uma posição em que o módulo da sua aceleração é máximo e acertou a segunda bola quando a boca passou por uma posição onde o modo de sua velocidade é máximo dos pontos indicados na
figura essas duas bolas podem ter acertado a boca da figura do palhaço respectivamente nos pontos volta aquela animação olha exatamente a animação que eu te mostrei No primeiro caso ele disse que acertou a primeira bola quando passou pela posição em que o módulo de sua aceleração é máximo aceleração É máxima onde a força é máxima é preciso força para ter aceleração já dizia Isaac Newton Então a gente vai ver que ou na posição e ou na posição a nossa aceleração vai adquirir valor máximo Então aqui das nossas opções a gente poderia marcar o que diz
a ou e isso nos traz duas opções ou a opção a né que começa com a ou a opção de que começa com E essas duas posições o nosso aceleração é Cadê pá módulo da aceleração máxima e a segunda bola quando passou por uma posição em que a velocidade tem valor máximo onde é que é este bloco tem maior velocidade ao passar pela posição C Opa aqui pega C aqui não pega assim eu marco então portanto como opção correta a opção a de amor para a gente lembrar do que a gente acabou de estudar eu
vou aproveitar o gancho para trazer uma nova informação para você vem comigo o período no MHS dá para a gente saber o tempo que demora para ir e voltar com base nas expressões que a gente estudou agora a pouco lembra que F é igual a - m Ômega ao quadrado x E eu chamei esse conjunto de k é um em massa vezes Ômega ao quadrado eu posso escrever que este tal deste Ômega é a raiz quadrada de k dividido pela massa só passar o m para o outro lado e tirar a raiz quadrada dos dois
lados de tal maneira que eu lembro que o ômega é dois p vezes a frequência portanto a frequência de um MHS é um sobre Dois pi raiz quadrada de k sobre m e se você quiser o período É só inverter a frequência então fica Dois pi raiz de m sobre k com isso nós terminamos esta primeira etapa do nosso estudo do MHS gostou desse nosso vídeo o seu joinha quer ver mais vídeos como esse se inscreve aqui no canal e Ative o sino das notificações para receber aviso quando tiver vídeo novo Este vídeo é uma
parte do nosso curso de termologia óptica e ondas então se você gostou acesse meu site professor douglasgomes.com um forte abraço e até lá a gente se vê [Música]
