Aula 18 - Representação no espaço de estados.

E ir pessoal tudo bem bom bem vindos a nossa décima oitava aula do curso de controle de sistemas lineares na última aula nós estudamos o que são diagramas polares vocês se lembram é no caso de sistemas de controle é uma forma de se representar a resposta em frequência do na qual cada ponto aqui do plano complexo é relacionado com o módulo e com a fase da função de transferência para uma certa frequência ômega para nós Temos um módulo de giro oi e a fase de g nós vimos o que é o princípio do argumento e

verificamos queremos permite estudar a quantidade de polos e zeros dentro de um certo contorno e vimos que está relacionado com a quantidade de voltas na origem do mapeamento da função ao longo de um contorno fechado gama ah e por fim usamos esse princípio e os diagramas polares para aprender como aplicar o critério de estabilidade de Marketing o critério estabilidade market como vocês se lembram nos permite estudar a estabilidade em malha fechada a partir da resposta em frequência de malha aberta para ganhos proporcionais proporcionais pequenos e elevar a mais especificamente nós vimos que o número de

polos nós aprendemos aplicar o critério de estabilidade na arte e basicamente o número de polos de malha fechada instável instáveis ou estável o número de polos instável não o número de Polos instáveis de malha fechada agora sim a z é igual número de polos estáveis de malha aberta ter mais o número de voltas do menos um de uma a função de transferência ao longo do contorno the night controle de marketing e como vocês se lembram é o contorno que envolve todo semi-plano direito a partir da aula de hoje nós vamos aprender a trabalhar no espaço

de estados o espaço de estados que é uma forma de representação diferente para a equação Diferencial então nós aprendemos a pegar com ação diferencial transforma linearizar transformada na função de transferência e a partir da função de transferência nós vimos como da estabilidade como estudar o comportamento em malha aberta como projetar um controlador por meio do lugar geométrico das raízes permitem a função de transferência da carga de nicolas black por aí vai nós vamos fazer o mesmo procedimento de análise e Projeto usando a representação no espaço de estados então uma forma alternativa de representação ah ah

é claro que como é uma forma alternativa de representação ela está relacionada com a função de transferência porque as duas formas te permitem representar uma mesma equação diferencial o mesmo sistema cada forma de representação tem suas características e portanto suas vantagens e suas desvantagens tudo bem Hoje é uma aula de introdução a essa representação no que nós chamamos de espaço de estados eu estou retornando o nosso curso é um curso de controle de sistemas lineares e controlar o sistema é impo a esse processo essa planta esse sistema físico um certo comportamento desejado tudo bem esse

comportamento pode ser pode envolver robustez pode envolver precisão pode envolver velocidade de resposta por exemplo E a no caso do dinâmica de um veículo o sistema físico pode ser a dinâmica de velocidade ao longo da rodovia e o comportamento desejado pode ser fazer com que essa velocidade siga referências fornecidas por um operador e os primeiros passos para projetar um sistema de controle para atender a esse requisito consiste em representar matematicamente esse processo por meio de um modelo matemático um procedimento que nós chamamos de modelagem modelagem É bom modelagem foi vista por meio de caixa translúcida

e tosse também aprendemos a obter modelos a partir da tanto da função da resposta em frequência conta da resposta ao degrau vocês se lembram desses métodos que nós podemos chamar de caixa translúcida perdão e a caixa transparente é por meio das equações físicas no caso da dinâmica do veículo nós podemos obter a equação que representa essa dinâmica usando a segunda lei de newton que diz que a Aceleração do veículo depende ou a massa vezes aceleração do veículo é igual ao somatório de forças nosso caso estamos considerando a força o desenvolvida pelo motor e a força

de arrasto dada por b vezes y ponto e simplesmente nós passamos a massa dividindo os termos da direita e como esse exemplo aqui do veículo nossos modelos geralmente serão equações diferenciais no domínio do tempo e analisar o comportamento da planta Envolve a resolução dessa equação diferencial o que nós aprendemos a fazer por meio da transformada de laplace e da transformada inversa de laplace só que nós verificamos que esse procedimento de solução pode ser um pouco trabalhoso sobretudo se a você você na hora da utilização da expansão em frações parciais não cai em termos conhecidos então

tem que haver um certo arranjo matemático o futebol como alternativa a ficar Resolvendo a equação diferencial para obter o comportamento do sistema nós aprendemos a relacionar o comportamento no domínio do tempo como a localização de polos e zeros da função de transferência se lembra que a função de transferência é a razão entre as transformadas de laplace do sinal de saída e do sinal de entrada isso vai nos dá origem a uma certa função que representa um sistema gps tudo bem essa função que está relacionada com a Resposta ao impulso tá bom usando essa função de

transferência nós definimos por exemplo que são zeros o que são polos vimos que os pólos estão relacionados com a estabilidade do sistema olá tudo bem e aprendemos várias técnicas de análise projeto por exemplo usamos o ralph burns para ver quantos polos instáveis de malha fechada a gente tinha aprendemos o lugar geométrico das raízes para verificar o que ocorre com Os polos de malha fechada quando o ganho da planta varia vimos que nós podemos representar a dinâmica da planta por meio da resposta em frequência e aprendemos formas diferentes para analisar a resposta em frequência por exemplo

de diagrama de bode o critério estabilidade da ect e a carta de nicolas black é a ideia é aprender a fazer passos similares a esses usando o espaço de estados que é uma forma alternativa de Se representar um sistema físico e a essa parte da teoria que envolve o estudo do controle utilizando espaço de estados é por vezes chamada na literatura de controle em um moderno e aquela parte da teoria que foi o que utiliza a resposta a função de transferência é o que alguns autores chamam de controle clássico tão dos escrevi aqui então isso

que é controle clássico essa parte de controle mais vamos chamar assim mais antiga né que Foi boa de night lá década de 40 50 60 e já essa parte da teoria que usa espaço de estados ela se for polarizou mais recentemente porque nós vamos ver com essa essa teoria ela usa muito o cálculo matricial o que foi facilitado pelo advento das ferramentas computacionais uma das grandes vantagens da teoria de controle no espaço de estados é a representação de sistemas multivariáveis e o que tipicamente aparece processos práticos um sistema real normalmente ele Tem margem uma entrada

e mais de uma saída vale comentar que embora seja uma vantagem da representar essa mais fácil de status o nosso curso não envolve o controle de sistemas multivariáveis então nós não vamos estudar isso nesse curso mas uma das grandes vantagens de se trabalhar no espaço de estados ea representação de sistemas multivariáveis tudo bem basicamente o que muda de um sistema sisu para o sistema que é sistemas iso é pra da única saída a Única para o sistema mimo múltiplas entradas múltiplas saídas a o que muda basicamente é a dimensão das matrizes envolvidos na representação então

se você sabe por jantar o sistema de controle no espaço estado para um sistema com uma entrada e uma saída a extensão dessa representação para um sistema mais complexo de também das ferramentas de projeto não é tão trabalhosos assim tá bom então o que eu estou tentando Explicar para vocês aqui nós temos um modelo matemático no domínio do tempo o que é uma equação diferencial o e nossa aprendemos até aqui no curso a trabalhar com esse modelo no domingo da variável s o que eu coloquei aumente chamei de domínio da frequência e essa análise é

feita usando a função de transferência e nós vamos agora aprender a transformar equação diferencial em uma forma no espaço de estados que é uma forma Alternativa de representação a essa representação nós vamos ver que ela vai ser denominada ou ela vai ser definida em termos de uma de um vetor de estados x e nós vamos aprender escrever a equação diferencial em termos de matrizes a e me se e de tudo bem chamadas respectivamente matriz dinâmica matriz de entrada matriz de saída matriz de transmissão direta já vamos ver porque vale notar aqui essas formas de Representação

são ligadas então o sistema pode ser um sistema na forma de função de transferência pode ser representada no espaço estados e o sistema municipal de status pode ser representada na forma de uma função de transferência são todas representação representações de um mesmo modelo tá bom qual que é a ideia dessa representação do espaço de estados que eu tô falando tanto a ideia é muito simples e uma vez que você entenda essa Ideia a representar os pais dados passa a ser mera formalidade bom então quando a gente fala em representar o sistema do espaço de estados

nós estamos falando em pegar equação diferencial do modelo da planta que é uma equação diferencial de ordem e me lembrando que a ordem é a maior derivada das equação diferencial é por meio de n equações de primeira ordem então se seu modelo tem por exemplo ordem 3 no espaço de estados Você vai ter três equações de primeira ordem tudo bem e por que que essa representa aí por que que essa representação simplifica a nossa anotação porque é mais fácil você trabalhar com uma equação de primeira ordem ainda que ela for vetorial do que ficar trabalhando

com equação de terceira ordem no domínio do tempo aliás habitualmente tacar aqui a análise o projeto do controlador são feitas no domínio do tempo olha lá representação No espaço de estado é uma representação no domínio do tempo e isso facilita a implementação do controlador vocês devem ter visto já nessa altura do curso que para implementar o controlador cd s projetado usando por exemplo e o lugar geométrico das raízes nós tivemos que fazer uma um passo matemática um passo no médico para transformar essa equação no domínio da variável s de volta no domínio do tempo Aqui

no espaço de estados a representação o sistema já está no domínio do tempo e o controlador já é projetado no domínio do tempo então implementação é mais simples e aí pessoal eu acredito que não tem jeito melhor hei de aprender a representar um sistema no esporte estados do que representa o sistema o esporte estados e ao longo dessa representação nós vamos a fazendo algumas definições mais conceituais O som eu vou tomar o exemplo do veículo que você é porque a gente tá conversando nessa aula ea dinâmica desse do veículo é dada por essa expressão que

nós já conversamos o que é lembrando que y é a posição relação ao certo referencial e o é a entrada da planta o que é o que nós controlarmos que nós estamos assumindo que a força desenvolvida pelo motor eu vou pausar o vídeo volta no papel com tudo copiado e nós damos início a representação do espaço de estados e Vocês vão ver com a ideia é bem simples então pessoal nós temos aqui a nossa modelo matemático aceleração depende da força desenvolvida pelo motor e da força de arrasto m a massa do veículo e b seria

um coeficiente de arrasto e nós queremos representar essa expressão no espaço de estados qual que é a ordem de equação diferencial que nós estamos trabalhando desse modelo matemático e essa expressão é de a segunda ford por quê que é de segunda Ordem é porque nós temos a derivada segunda aqui da saída deixou ajustar o zoom bom então essa equação de segunda ordem vai dá origem a duas equações é de primeira ordem olá tudo bem e para obter essas equações de primeira ordem nós vamos definir o até escrever em outra cor nós vamos lá a definir

e as variáveis variáveis é de estado professor mais o que são Variáveis de estado as variáveis de estado são elas compõem o menores conjunto de variáveis linearmente independentes que te permitem descrever a dinâmica da planta a partir de uma certa condição inicial bom então essas variáveis elas são definidas pelo projetista olá tudo bem note que como elas são definidas e acho que essa palavra muito importante nessa frase você pode definir as variáveis de diferentes maneiras isso Quer dizer que o mesmo sistema físico mesma equação diferencial possui n ou infinitas representações do espaço de estados professor

mais o que que eu faço com essa tal liberdade bom uma escolha muito usual para as variáveis de estado é definir elas de acordo com a equação de saída por exemplo nós podemos definir uma certa variável de estado x1 dt e vai ser igual note o símbolo da definição a y d e além disso nós podemos definir que uma Segunda variável de estado o x 2 dts e y ponto de te ver bom então nós temos deus definimos duas duas variáveis de estado e cada variável de estado dessa e vai ter uma equação que vai

nos dar as duas equações de primeira ordem tudo bem que vão repor me te representar a expressão segunda ordem do sistema e como assim professor nós vamos de levar essa expressão de ambos os lados então vou escrever é só derivando Eu posso de volta no tempo do dia ambos os lados nós vamos obter aqui x um ponto de t = y ponto de t um toque y ponto de t = o x 2 de já x 2 ponto de t = e y dois pontos de que por sua vez depende da expressão do modelo matemático

um sobre m t - b sobre m y ponto de ter que é o próprio x2 a lot in portanto que nosso sistema de segunda ordem deu origem a duas equações de primeira ordem uma equação para x 1 Ponto e uma equação para x 2 pontos essas equações compõem o que nós chamamos de equações a d o estado tudo bem então de novo nós temos um sistema de segunda ordem e nós queremos representar ele no espaço status o paulo nós chamamos de state-space eu te chamando de ss né do inglês state-space para isso como o

sistema de segunda ordem eu define duas variáveis de estado que são variáveis Linearmente independentes que te permitem escrever de mesmo que da planta em uma definição bem usual é tomar as derivadas da expressão de saída da expressão que você tem da variável que você tem interesse nosso caso x1 = y x2 = y ponto derivando de ambos os lados nós podemos escrever que x 1 ponto e goste os dois esses dois pontos = 1 sobre m o de ter menos b sobre mx2 de ter essas duas expressões de primeira ordem vou escrever aqui ó isso

só Equações de primeira ordem elas representam conjuntamente a dinâmica da planta essas equações são as equações de estado e nós podemos agora empilhar essas equações vou escrever empilhando o igor uma notação vetorial isto é e pegar o teu curte caneta vamos pegar acima é bom somos empilhar a equação de x 1 ponto de te e a equação de x 2 pontos de t E aí e aí e aí e aí e aí eu estou copiando aqui a estrutura das matrizes né ah deixou só reforçar o azul aqui que ficou ruim e aí melhorou melhorou né

x 1 x 2 e pronto bom então olha lá pessoal nós estamos Empilhando as duas equações de estado bom x um ponto = x2 de ter certo então vamos lá x um ponto não depende de x 1 independiente x 2 e não depende da entrada 1 x 2 pontos = 1 sobre m o de ter menos b sobre mx2 de ter então não depende x1 depende de x 2 a e é um sobre m de vezes um então nós podemos chamar esse vetor empilhado de x 1 ponto x 2 pontos de x ponto de nós

podemos chamar toda essa matriz a a todos podemos todo chamar toda essa Matriz as 010 - de sobreme de matriz a que vai multiplicar o vetor o xd é mais uma matriz b às vezes o meter certo bom então não tem que nós transformamos uma expressão de 2ª ordem em uma equação de primeira ordem x ponta igual a x mais b u no qual esse x na verdade é um vetor de estado certo e esse vetor tem o tamanho igual tem dimensão igual a ordem do sistema no nosso caso temos um Ponto ex-2 e a

matriz a é o que nós chamamos de matriz dinâmica e daqui a pouco isso vai ficar claro porque mas é porque essa matriz contém informação dos polos do sistema a variável é a variável manipulada ou para meu ipad caiu no tinho a variável renda variável de entrada puxava simplesmente de entrada a número 6 em pinho é a força devolvida pelo motor e a matriz b é a matriz que Multiplica a variável de entrada e como nós somos muito criativo nós chamamos somos muito criativos nós chamamos essa matriz é a matriz de entrada e aí olá

pessoal esses vetores estados são os fatores internos do sistema não necessariamente são as variáveis que nós temos interesse ou saída o que nós temos interesse outra nosso medimos a para escrever a expressão de saída nós precisamos relacionar a variável o vetor De estado com a variável de saída do processo o nosso exemplo nós estamos trabalhando com a posição y x 1 = y dt bom então a nós podemos escrever a equação se fazer um novo papel e nós podemos escrever a saída de interesse do processo quem ydt em função de uma certa matriz às vezes

as variáveis de estado e x1 o gt bx 2d é mais uma certa matriz às vezes o de te lembrem que o nosso Caso nós sempre vamos estar nós sempre vamos trabalhar com modelos sisu tá certo escreva aqui embaixo sisu o certo seria modelos entrada única singu limpas a saída única singu o outlook 1 e portanto nesses nossos exemplos tanto a entrada o quanto a saída y são y são variáveis tudo bem em um processo multivariável nós poderíamos ter um vetor de sair daí foi um vetor de Entrada uh porque não é nosso caso pessoal

vamos supor que nós temos interesse a variável de saída seja a posição do veículo y nesse caso a posição y depende somente de x 1 x 1 = y t t portanto y-gt cavar eva saída é igual a x1de ela independe da entrada tá bom essa matriz nós podemos reescrever sistema eu fiz em rosa me chamando e essa matriz que relaciona a saída com vetor de estados de A matriz c oi e a matriz que relaciona a entrada e com a saída nós chamamos de d é bom a matriz se relaciona ao vetor de estados

com a saída do processo nós chamamos isso de matriz tô de saída e a matriz de relaciona a entrada do processo com a saída em um mesmo instante percebam que você manipula a entrada o em um certo instante t por exemplo se altera a força desenvolvida Pelo motor em um certo instante t e nesse mesmo instante o efeito dessa alteração na entrada aparece na saída de tudo bem então há uma relação direta entre você mexer na entrada da planta e esse efeitos observado na saída nós chamamos isso de transmissão direta ea matriz de portanto é

denominada matriz de a transmissão e me é reta tudo bem o atriz de transmissão direta Bom então pessoal vou chamar essa equação de 1 e essa equação de 2 é a expressão da dinâmica do veículo quero uma equação de segunda ordem foi transformada em uma equação em um conjunto de equações dado por um e por dois qual que é a vantagem é que a equação o conjunto de equações 1 e 2 estão aqui um dois são um conjunto de equações que a maior derivada é a primeira ou seja são é um sistema de primeira ordem

tudo bem e nós Representamos o nosso sistema de segunda ordem por meio nosso sistema de segunda ordem por meio de duas equações de primeira ordem e vamos voltar lá para o slide e aí moça reforçamos um pouquinho essas definições bom então olha lá uma possibilidade para representar o sistema no espaço de estados é definir e a palavra chave aqui é definir a duas variáveis estados x1 e x2 sistema de segunda ordem nós definimos duas variáveis de estado tudo Bem x1 = y x2 = y um ponto e aí nós vamos conseguir escrever com ações diferenciais

de primeira ordem para x1 e para x2 que vão representar a dinâmica da planta e essas expressões x1 é um e dois é o que nós chamamos ou compõem o que nós chamamos de equações são denominadas equações de estado olá tudo bem nós podemos empilhar essas equações a matricialmente e representar esse empilhamento da na forma x ponto = X de ter mais meu de ter certo essas esse sistema de representação x ponto = x + b ou d ter representa a dinâmica da planta certo a matriz a é a matriz dinâmica porque ela contém informações

da dinâmica do processo a matriz b a matriz de entrada e uma entrada manipulada no nosso exemplo é a força desenvolvida pelo motor bom eu pulei slide vou voltar só para definir isso as variáveis de estado que nós definimos elas formam o conjunto de variáveis Linearmente independentes a de modo que a partir do conhecimento da informação inicial do sistema nós conseguimos calcular evolução da planta ou seja todas as variáveis para todo ter maior do que zero para tu o que ter zero basicamente um conjunto de variáveis linearmente independente que o linearmente independentes que nós por

meio do qual nós podemos representar a dinâmica da planta e já a saída da planta no nosso exemplo A posição ela é dado por uma matriz sendo que multiplica o vetor de estado x essa matriz a gente é uma ótima atriz de saída e por meio de uma crise de que multiplica a entrada da planta de novo a matriz gay relaciona a entrada 1 e o certo instante t e nesse mesmo instante é observada uma variação da saída certo por isso a chamada de matriz de transmissão direta e é claro que o senhor já devem

ter percebido O que somente em caso a é mais especiais vai haver essa relação direta entre a manipulação da entrada e a observação do efeito da saída no mesmo instante de tempo então tipicamente em sistemas físicos essa matéria de transferência é nula é porque é muito raro você ter um efeito de entrada fazendo efeito na saída no mesmo instante tempo o que ocorre é que em determinados sistemas a uma dinâmica tão rápido no processo que é melhor Trapaça de lâmpada por meio de uma de uma transmissão direta isto é você tem uma dinâmica por exemplo

elétrica relacionada com alguma dinâmica mecânica como a ti mesmo elétrica é tão rápida às vezes é melhor tratá-la com uma transmissão direta do que considerar como um módulo no seu sistema mas em geral pelo menos nesse curso e a gente vai trabalhar com a matriz de transmissão direta sendo lula é bom basicamente nos a representação do Espaço de estados consiste na agência transformar essa equação de 2ª ordem em duas equações de primeira ordem à qual nós representamos na forma matricial tudo bem para simplificar um pouco anotação de forma geral a representação espaço de estados consiste

em representar equações de ordem n ou n x por meio dessa expressão x ponto igual a x mais b o y = cx mais de u7 tu sendo que e essa expressão é resultante do de Empilhar n equações de primeira ordem tudo bem e essa aqui é a forma geral de representação do espaço de estados você tiver um sistema de terceira ordem o vetor x vai ter três elementos e nós teremos três equações de estado e depois vão ser empilhados na forma matricial a mesma coisa se fosse para quinta ordem tá você teria sim cobertura

de estado 5 equações de estado e depois nós empilhar iremos em um único vetor e adotaremos a notação matricial E a só um comentário de maneira geral o sistema por exemplo multivariável tanto o quanto y y são vetores vetor de entrada e vetor de saída e as matrizes c e d tem as dimensões as matrizes de e b vão ter as dimensões adequadas no nosso exemplo estamos trabalhando com sistemas de entrada e saída única então um menino é igual a 1 e portanto o bebê vai ser um vetor coluna e o ny também é igual

a um e o cê vai ser um vetor zinho linha tudo bem mas em sistemas mais genéricos o Bebê pode ser uma matriz e os e também pode ser uma matriz e o pessoal antes de prosseguir com a aula acho importante a gente verificar como nós podemos simular o sistema no espaço de estados eu devo mostrar ou essa aula na próxima aula que existe existe pelo menos no simulink e também no matlab e formas diretas de você definir uma função de um sistema no espaço de estados mas nós também podemos fazer essa simulação por meio

de Diagrama de blocos certo e eu vou fazer isso no papel vamos fazer isso juntos então vou lá para o papel e o que nós estamos querendo fazer é representar ou simular o sistema x ponto = ax de mais buildit que é um sistema composto por vetores e matrizes que te permite representar sistemas físicos y e t = cx de mais de o deter e a ideia é representar o desenhar um diagrama de blocos o tipo de permite simular a dinâmica Desse sistema desenhar diagrama o diagrama de simulação fala galera já é feia se usa

um vão ajudar é bom pessoal nossa expressão zinha a ordem portanto quanto integradores nós temos que colocar aqui embaixo g1 e esse bloquinho integrador vai sair vai entrar um vetor de com todas as variáveis x ponto e vai sair um vetor com todas as variáveis x já integradas Só que x ponto em relacionado com uma certa um dos sinais é um sinal o multiplicado pela matriz b ah então deixa eu colocar aqui o sinal pouco e aí oi e o sinal x devidamente multiplicado pela matriz e a tia nossa matriz dinâmica e essas são as

variáveis internas do processo e o que nós enxergamos o que nós temos interesse lá fora é a Expressão de saída que a equação y e o sinal y é composto pela somatória entre cx é mas o sinal 1 x ela matriz de transmissão direta é de que tipicamente o software de simulação aceitam matrizes como ganhos e vetores como sinais tudo bem então é legal eu gosto de desenhar se diagrama primeiro para mostrar como simula o e segundo para destacar que todas essas operações internas As nossas expressões elas compõem a sua planta então seu sistema físico

é representado por essas expressões x ponte igual a x mais b u y = x e x + de em especial o vetor x é o vetor de estado da planta que é um vetor interno tudo bem esse vetor é definido pelo projetista então não necessariamente esse vetor tem significado físico talvez você nem tem acesso a essas variáveis do vetor x tá certo o que você enxerga na sua Planta tipicamente é o vetor de entrada uh que é o que você controla o seu processo reagir de alguma maneira e vocês quer sair daí que é

o que é o pagamento e você tem acesso ou tem significado físico vetor x são simplesmente variáveis internas da planta tudo bem e esse seria um diagrama que te permite simular a dinâmica do processo tá bom aqui tá o diagrama bonitinho para quem não gostou do meu desenho só Destacando que essas variáveis são variáveis internas do processo que não necessariamente você tem a interesse e é claro que nós fizemos esse trabalho até agora para sistemas para um sistema exemplo tudo bem de maneira mais geral nossos modelos podem ser elas podem ser dados por um bando

de derivadas da saída por exemplo derivada n-ésima de y derivado a n - 1 derivada primeira a derivada de ordem zero x certos parâmetros notem que nossos parâmetros São constantes então estamos considerando sistemas lineares e invariantes no tempo é e essas derivadas se relacionam com entrada do processo um ponderada com certa parâmetro b0 é nesse cenário nós podemos definir as variáveis de estado como as as variáveis as derivadas de y x 1 = y x2 = y um ponto x 3 = y dois pontos até xn que vai ser a derivada em menos um é

mesmo a menos um derivada de y notem que O sistema de ordem n deu origem a a n variáveis olá tudo bem definir derivando de ambos os lados vai aparecer x um ponto que é igual a impressão ponto que por sua vez é igual a x 2 x 2 pontos que é igual a y dois pontos que por sua vez é igual a x 3 e finalmente nós vamos obter xn ponto que vai depender da equação diferencial do modelo tudo bem então xn.com vai ser igual a derivada enésima de y que vai depender dos demais

termos da equação Diferencial e nós passarmos esses termos para o lado direito junto com u os coeficientes vão ficar negativos então xn ponto vai ser menos a mx1 - a n - 1 x 2 - a ele - 2 x 3 e por aí vai até menos a um xn mas o termo que depende da entrada 60 x 1 se empilham dessas expressões nós podemos cair então naquela expressão aqui nós já vimos para o espaço de estados a derivada do vetor de estados x ponto depende da matriz a vezes o vetor De estado xd é

mais uma matriz de entrada b ver as entradas da planta u e a saída se relaciona com vetor de status para o meio da matriz c note que nós já estamos desconsiderando aqui os termos de transmissão direta tudo bem nós assumimos que a transmissão direta nesse exemplo é lula note aqui por meio dessa expressão da de primeiro dessa definição de variáveis de estado nosso carlos uma forma bem particular da expressão do Espaço de estados em que a primeira esqueçam a última linha esqueçam por hora a última linha a primeira coluna é uma coluna de zeros

esquecendo a primeira coluna e aí parça está o restante a direita forma uma matriz identidade de ordem n - 1 é a última linha são os coeficientes da equação diferencial tudo bem com sinal trocado aqueles eram positivos aqui os sinais são negativos a matriz b possui Ele menos uma linhas nulas e o coeficiente b 0 aparece na última linha e a matriz c só tem elementos diferentes 0 na primeira coluna e nós vamos ver que essa expressão zinha no espaço de estado isso vai ser tema de estudo individual de vocês ela facilita o projeto de

controlador por isso tipicamente a definição de variáveis de estado dessa forma aqui é bastante adotada é uma outra vantagem dessa forma de Definição das variáveis estado é que elas têm significado físico por exemplo x1 = y simpsons reposição x1 é a posição do seu veículo x 2 vai ser velocidade x3 você aceleração x4 vai ser o tranco e por aí vai então essa definição de variável de estado também é legal porque tipicamente ela te traz um significado físico no caso de sistemas tanto mecânicos quanto o elétricos né é o seguinte a corrente a derivada da

corrente por aí vai nos casos sistema Elétrico e a bom se moça agora pegarmos a mesma equação diferencial do modelo ah as derivadas da saída se relacionam quando ele quase derivadas da entrada e aplicarmos a transformada de laplace considerando as condições iniciais nulas nós podemos obter a função de transferência e o a derivada é mesma de y vai dá origem ao essa elevado a n e a derivada l -1 de y vezes um vai Derivar vai dar origem a um vezes sn - um a e por aí vai até que o termo de ordem zero

ou seja sem derivada de y vai dar origem a simplesmente a n e o b-0 vai dar origem ao b0 aqui do numerador da função de transferência tudo bem então a mesma equação diferencial pode ser representada por meio de uma função de transferência e por meio de um modelo no espaço de estados uma coisa que eu queria que vocês voltassem é a semelhança entre a um denominador o Polinômio do denominador da função de transferência se e nos dá origem aos polos e a última linha rua da matriz de não porque no espaço de estados a

sua música e essa última linha vocês podem notar que elas contém os coeficientes da equação diferencial e essa última linha ela é similar à exceção do sinal e da ordem a expressão do denominador ou seja há uma relação entre ele o denominador Da função de transferência que dá origem aos polos e os coeficientes da matriz a nós já vamos ver com a relação é mais exata mas são relacionados estão nós já podemos ver que os povos estão relacionados ele com a matriz dinâmica do sistema nós não vamos fazer mais um exemplo eu acho que eu

falei demais já então é importante nós fazemos mais um exemplo da representação do espaço detalhes vamos lá para o papel Bom e nós fazemos isso juntos bom pessoal nós temos aqui uma expressão que a expressão do pêndulo invertido para a para o ponto de equilíbrio inferior né 00 torque zero e angu zero nós queremos representar isso aqui no espaço de estados a representar e no espaço de estados o nosso sistema minha ele é de nós vamos ter que definir duas variáveis de estado a variável x 1mt que eu vou Definir a ser igual tenta deter

ii x2 de te que igual a reta ponto de ter oi e aí como o torque tem a variável de controle por conveniência eu vou definir que o dt é igual ao torque de ter ah tá é porque simplesmente para anotação ficar em termos da variável o que vai ser nossa variável de entrada ou derivando as equações de x 1 x 2 em relação ao tempo vou colocar aqui um de Meter nós vamos obter que o x um ponto de ter é igual até tá ponto de ter que é o próprio x 2 de ter

oi e o x 2 pontos de ter é igual e até tá ponto de que é um sobre ml vezes a entrada o de menos g sobre l reta de ter que é x1 de portanto o sistema de segunda ordem de origem a a a duas equações de estado é bom aqui é definindo e agora eu vou empilhar em piando o que é que eu faço azul vou fazer com a Roxa e tornozelos empilhar em x ponto x 2 ponto de t e aí o x 1 x 1 ponto x 2 pontos de ter vai

vai depender do vetor de estado x1 de tx2 eu vou trocar de cor de canetinha um saco de orando o e vamos continuar com azul o azul também está ruim vamos continuar com marrom E vão tá boa e agora sim x um ponto de ter depende simplesmente de x 2 então não depende x1 = x2 não depende o x 2 pontos de ter depende simplesmente x1 - de sobre l0 é um sobre ml tá o vetor de estado x a derivada vetor de estado x é a matriz dinâmica é o vetor de estado x ea

matriz de entrada b tá certo ah e finalmente a expressão de saída no caso do pedro nós estamos interessados no ângulo do pedro tá então No ângulo teto que ele faz relação ao eixo vertical bom nós teremos que a saída y gt e é igual a a alguma matriz vezes o vetor de estado x 1 x 2 dt há mais alguma matriz que nosso exemplo não vai existir vezes o deter e aí o nosso caso a saída tenta é igual ao estado x1 e portanto y goste e e o y deixa eu talvez escrever isso

para Tentar esclarecer o y é o que nós chamamos de variável de saída bom e é o que você mede saída do seu processo que você tem informação na saída da planta lembra daquele diagrama então um y é a variável de saída por exemplo no caso do pedro nós estamos assumindo que nós medimos a posição vertical do pêndulo no caso do veículo por exemplo você pode até acesso somente a velocidade do veículo então se no seu caso o y ser igual ao estado x 2 tudo Bem então o wilson que nós chamamos de variável de

saída o que você consegue medir ou tem interesse em medir na saída do seu processo é bom como eu disse a essa maneira que nós acabamos de fazer não é a única forma de definir variável de estado existem diferentes maneiras a ideia é que elas devem ser linearmente independentes entre si para representação ficar mais enxuta para representação ficar direta a é Importante comentar aqui essas definições não se atreviam alguma grandeza física é simplesmente a definição feita por pelo projetista por conveniência para obter a representação que é mais interessante o nosso curso nós vamos trabalhar basicamente

eu assim gosta de fazer com essa representação aqui tudo bem mas por exemplo se o lado direito da expressão também depende de derivadas da entrada por exemplo a derivada n-ésima da entrada o derivado a Eliminação da entrada o derivada n ou a derivada a primeira de entrada o poder os parâmetros b a ponte ser interessante adotar outra forma de definição de variável de estado que não aquela tudo bem bom e uma das formas de fazer isso é definir os estados x1 x2 x3 a além dependendo além das derivadas da posição yyy dois ponto também dependendo

das derivadas da entrada o deter o ponto de ter o dois pontos de ter ponderados com Certos parâmetros beta que são definidos de maneira conveniente ah tá então seguindo essa forma de definição de variáveis de estado nós vamos obter que a derivada do estado você já coração do estado vai sempre depender do estado anterior nosso caso x um ponto = x2 + um termo que depende do parametro beta vez entrada 1 para isso basta passar o parâmetro beta para direito e nós vamos obter uma expressão dessa forma fiz um ponto = x2 + beta 1

x 2 pontos gosta de três mais beta 2 até a expressão enésimo que aí sim vai depender da equação diferencial do seu modelo a vantagem de se adotar a definição de variável de estado dessa forma é que mesmo na presença de derivadas da entrada o seu modelo pode ser escrito em termos de variável de estado a a a matriz a as matrizes a e se elas continuam similares vocês estão enxergando é uma la matrice por exemplo Só tem elemento na primeira coluna ea matriz a ela tem a primeira coluna lula tiram esquecendo a primeira linha

né ah os outros elementos formam a matriz identidade de ordem n - 1 oi e o último a última linha são os coeficientes da que dependem de y da equação diferencial oi e a matriz bem agora aparece uma matriz b aparecem os temas berta que são definidos em termos dos parâmetros do modelo então essa é uma forma manchada De definir a equação diferencial para obter um modelo mais simplificado no espaço de estados a e aí se a gente for abrir esse leque existem formas a formar observada de ser definir variável estado a forma diagonal de

se definir variar no estado e por aí vai a eu particularmente prefiro aprender e essa primeira forma que é o que a gente vai trabalhar e saber que existe essa segunda forma para se seu modelo dependendo as derivadas da entrada você Saber como obter a forma de apresentação do esporte estados e as demais formas de representação nós vamos aprender a obter utilizando uma transformação de uma representação do espaço de estados em outra a qual nós chamamos de transformada de similaridade então eu acho particularmente que é suficiente saber definir variável de estado dessa forma aqui seja

as variáveis dependendo das derivadas da saída o que é interessante porque ela tem significado Físico é importante também saber que não existe uma dependência das variar está indo quase derivadas da entrada existe essa forma de definir variável de estado e depois as demais formas de representar os principais estados nós vamos aprender por meio da transformada similaridade só não há coisa que eu gosto de ficar batendo muito em cima eu vou eu acho mais importante nós utilizarmos o tempo de a sala de aula para aprendermos a qual é a relação da Da forma do espaço de

estados com a função de transferência tudo bem e nós vamos fazer isso juntos lá no papel porque algo bem tranquilo de se fazer bom então nós temos um modelinho no espaço de estados dado por x de ter = ax dt + b u d y gt classics de mais de deter um tá certo e nós queremos isso é uma representação de uma serpa e aí a obter o gente é só para escrever hoje Essa em termos das matrizes a b c e d nós vamos aplicar a transformada de laplace nessas expressões considerando condições iniciais nulas

então aplicando e a transformada de laplace e considerando eu sei lulas seja representa a condição inicial a nós vamos obter que o x ponto de ter vai dar origem a a sgs wacs dt vai dá origem à matriz aqui é uma constante transformada de laplace do vetor de estado x que é xd S.a. a matriz b uma constância a transformada de laplace da do sinal o diesse um y vai gente vai dar origem a e por onde scx de ti vai dar origem a cx d s e por fim de o deter vai dá origem

a de ys the world s e dessa expressão aqui eu posso passar o termo que depende de dirigir esse para esquerda e da depois multiplicar pelo inverso e isto é Eu vou fazer isso aqui né acho que é um sistema como copiar tudo então é é se e menos a da onde apareceu a identidade essa identidade era resultante do fato de que o x é um vetor então ao colocar o xds em evidência eu preciso colocar a matriz identidade por consistência de dimensão e lembrando que essa matriz identidade vai ter ordem ele que a mesma

ordem do da matriz a = o b o b s e continua copiando yds igual A se xps mais de o dias e tá bom eu posso multiplicar pela esquerda aqui tudo bem bom e o que eu vou obter é que o xds vou explicar pelo seu universo ou menos um o e agora eu vou pegar essa expressão do xds e vou substituir aqui na equação de saída bom e o que vai resultar é que os únicos sinais que vão sobrar na expressão vão Ser y e o não vai ter mais a dependência com a

transformada de laplace do vetor de estados e isto é e y é s = c csn - a opa - 1b ds mais de ps1 então não tem que ir agora não só temos a transformada de laplace do sinal de saídas a e do sinal de entrada eu posso colocar o ds em evidência e passar ele dividindo para esquerda e o que nós vamos obter é que yds sobre o diesse que é a função de Transferência e é igual a a expressão que relaciona a força preferência com o modelo no espaço de estados tudo bem

eu vou falar para o o papel aqui nós temos a mesma expressão tão gt s = c xs - a menos ele elevado a menos 1 vezes bem mais de tudo bem eu esqueci o de aí eu esqueci o dele no copo ela deixa eu voltar no o meu papel [Música] De volta à lua pô o exemplo 3 é justamente treinar aplicasse expressão obter gds a partir do modelo no espaço estado x ponta igual a zero 10 - 3x de ter a mais 0 x 1 x 0 e 1 vezes um a matriz b a

matriz ser 10 ea matriz transmissão direta em lula vou pausar o vídeo copia no papel além de volta para trabalhar para fazer essa essa obtenção de gps bom então pessoal estou aqui fazendo informações copiadas no papel e a ideia Calcular o ggs associada ao modelo no espaço de estados né ponto igual a x mais b u e fraguas estes mais de u com as matrizes a b e c dadas pela pela anunciado e para calcular gds o que uma exposição que fazer é multiplicar a matriz e vezes a matriz s vezes a identidade no nosso

caso sistema de segunda ordem então identidade 2 - a matriz a elevado a menos 1 vezes b mais de obviamente que eu passo mais complicado aqui é Justamente o cálculo da inversão da matriz s - ha ha -1 oi ou é sim menos para porque depois da simplesmente multiplicação e soma matricial nossa exemplo como deusa hera eu já vou cortar o de aqui da expressão certo a mente eu gosto de fazer um cálculo é se vezes a matriz identidade menos a separado para fazer aí verse o tom nosso vamos ter aqui é se menos e

sbc - a s vezes a identidade segunda Ordem menos a matrizar o que é 0110 e - 3 bom então isso aqui vai resultar também em uma matriz certo é se vezes não vai dar esse - 0 da ss10 da s - 1 asa0 da 0 - 1 da menos um sv0 da 0 - 0 de 0 a s vezes sda s menos menos três da essa é mais três e agora nós precisamos calcular a inversa dessa matriz s menos ar e a menos 1 E como é que a gente vai fazer isso como é

que a gente calcula o inverso de uma matriz é muito bem uma possibilidade é fazer a matriz dos cofatores transposta ds2 - a sobre o determinante ps2 - star oi e aí eu vou precisar que os senhores revisem como calcular a matriz dos cofatores de uma certa matriz tudo bem determinante a bolsa assumir que é tranquilo e a transpor também é Tranquilo ah ah eu vou fazer um pouco não direto né vou fazer elemento elemento mas eu não vou ficar entrando muito a fundo no que o desculpa falou que a matriz dos cofatores e e

aí bom então vamos lá e para calcular a matriz dos cofatores em uma matriz dos cofatores e nós normalmente calculamos elemento ou elementos vocês se lembram então vou Chamar aqui de elementos a b c e d esses elementos e eles são das por menos um vezes a linha e mais a coluna j do elemento vezes o determinante da matriz ou das que me chamam de subir matriz eu não me lembro a definição bonitinha mas é deixa eu pegar é bom pessoal deu para notar que eu tive um problema de áudio aí né eu tava basicamente

falando que eu não encontrei nenhuma nomenclatura formal para essa Matriz que nós obtemos ao se eliminar uma linha e uma coluna do elemento que o fator correspondente né quando a gente elimina uma linha a coluna da matriz principal honestamente eu achei que você tinha um nome para essa matriz subir matriz matriz dos determinantes menores mas o honestamente eu encontrei ai embora tente do programa de áudio vocês vão ver agora na sequência da aula que quando o áudio volta ao normal eu tô calculando o elemento ar então eu acho Que não há necessidade de gravar beleza

por exemplo a o elemento ar é o elemento associado ao s certo então que é associado a primeira linha e a primeira coluna bom então nós temos que a é menos 1 elevado a primeira coluna mais a primeira coluna desde determinante da matriz eliminado a primeira coluna e a primeira linha novamente no papel de estampa com a mão certo restando essa mais três então estando determinante ds Mais três que é o próprio é só mais três portanto a igual a essa mais 3 e já o termo b é o termo associado a primeira linha segunda

coluna tudo bem então romar primeira linha segunda coluna nós tampamos a primeira linha e a segunda coluna e o resto elemento 10 vezes determinante zero portanto de é zero e aí e o elementos e é associado a segunda linha primeira coluna voltando lá Segunda lei primeira coluna vai sobrar ou menos um e aí às vezes determinante menos um que é o próprio menos um isso vai dar certo aqui vai dar menos 1 elevado a 3 internet menos um é menos um e finalmente o elemento de que menos 1 elevado a 2 + 2 vezes ou

determinante elimina a segunda linha é a segunda coluna sobra s e portanto a matriz dos cofatores de su2 - ah é dada por e é assim mais 3 o tema ben 10 g1rss mais 30 um viés como nós queremos o cofator transposto o cofator e transposto dessa matriz e é dado por esse mais 30 um viés basta transporte e aí aqui eu vou ensinar uma regrinha para calcular essa o cofator transposta de uma matriz 2 por 2 que é o que a gente normalmente usa então deixa eu colocar as duas aqui juntos o E qual

que é a relação dessas matrizes a matriz é assim menos a ea matriz cofatora transposto gsi - a olha lá eu nunca mais vou esquecer também de matriz 2 por 2 em troca a ordem troca o sinal troca ordem troca o sinal em troca a ordem em troca o sinal do diagonal secundária troca ordem troca o sinal troca ordem troca o sinal troca ordem troca o sinal troca a ordem troca sinal trocando a Ordem onde tem essa você coloca essa mais três onde tem esse mais seis você coloca a esse e na diagonal secundária você

simplesmente troca o sinal dos elementos ser válido para a matriz 2 por 2 então é uma uma regrinha que a gente costuma fazer para mater dois perigoso para facilitar então você sai da matriz s - ah e já caí na matriz dos cofatores transposta e agora que nós sabemos a matriz dos cofatores transposto o ipad rapaz hoje Está difícil demais gravar o e eu tô preso pelo fio e aí e nós precisamos calcular a o determinante da matriz é assim menos a para poder finalmente obter gls em bom então nós queremos calcular o é determinante

a jessy e 2 - a oi kel determinante s - 10 s + 3 = ss + 3 = s ao quadrado + 3 s a e finalmente então nós podemos obter a Matriz igds que a matriz c 10 vezes a o cofator transposto dividido pelo determinante então eu vou colocar a divisão pelo determinante aqui fora porque é um polinômio né o inscrever-se visa matriz dos cofatores transposta o s mais 3s 10 vezes a matriz b que é 01 eu vou passar essa ponho no meu para esquerda o ou sobre s ao quadrado + 3

s às vezes 10 eu vou fazer essa Multiplicação matricial a primeira linha essa mais 13 um vezes o vetor coluna vai sobrar o amor a segunda linha vezes o vetor como vai sobrar esse finalmente quando nós multiplicarmos o vetor coluna 10 vezes o corretor linha 10 vezes o vetor como um sobre essa vai sobrar um nós temos simplesmente qg de essa igual a esse é o quadrado + 3 eu peço tudo bem como eu disse a parte Mais difícil é calcular a matriz inversa de a si mesmos a a - 11 e a nossa impessoal

que de toda a matriz dos cofatores que a gente calculou que seria essa aqui único elemento que sobrou depois da multiplicação dos termos sei de foi o elemento a primeira linha segunda coluna isso é devido a forma das matrizes b e c então quando vocês forem fazer um exemplo minho que o exemplo quatro de vocês uma sugestão que eu dou é não precisa calcular a matriz Dos cofatores inteira você pode simplesmente ver primeiro qual o elemento da matriz dos cofatores vai sobrar após qual elemento da matriz dos cofatores transposta vai sobrar após a modificação dos

termos a c e d e calcular somente os elementos associados a ao resultado dessa multiplicação porque você vai nesse exemplo aqui que é para vocês calcular a nove elementos para no fio e só após a multiplicação desse bebê Tudo bem é só uma dica para acelerar o processo aqui tá o resultado esse exemplo é para casa o bom é eu estou com uma de larga aberto isso aqui tá rodando a parte de pesquisa minha mas não é que eu tô interessado e eu quero mostrar como nós podemos transformar um sistema do espaço de estados para

função de transferência tudo bem então estou definido aqui as matrizes a b e c do processo isso é tranquilo né só definição de matriz uma Sílaba tem um comando chamado ss que te permite definir sistemas do espaço de estados tal ao comando ss constrói o modelo no espaço de estados state-space model oi e para isso comando ss nós passamos as matrizes dinâmica a matriz de entrada mesmo atriz de saída sem matriz a transmissão direta de e depois que o sistema está no espaço estados eu chamei esse sistema desses a nós podemos transformar a o sistema

para A função de transferência com comando sstf esse comando stf converte uma representação do espaço status para a função de transferência então ss o transfer function você passa as matrizes a b c e d e eles devolvem o numerador é o denominador da função de transferência calculada por meio da expressão zinha que a gente acabou de ver tudo bem e aqui vocês podem usar para por exemplo conferir o modelo o exemplo quatro de vocês Ah tá bom é bom tanto a função de transferência quanto à representação do espaço estado são representações do mesmo modelo e

obviamente que é uma relação entre essas expressões mas quando a gente está no espaço de estados quais são os polos do sistema e nós definimos nós chamamos de polo logo a função de transferência as raízes do o denominador da função de transferência Como é que nós podemos enxergar esses pólos no espaço de estados e nós acabamos de ver que o gente é se se relaciona com as matrizes a b c e d por meio da expressão se vezes é se menos a elevado a menos um receber mais de nós podemos representar essa matriz inversa pela

matriz dos cofatores sobre o determinante e portanto o polinômio do denominador do resultado da expressão é o determinante ds - ha ha -1 tudo bem e nós podemos Calcular os polos de gps igualando esse determinante ds - ha ha -1 10 então as raízes dessa expressão vão ser essa raízes do denominador the gds que são os poros da função de transferência bom vocês devem ter aprendido em algum cálculo a calcular os autovalores de uma matriz óssea normalmente a gente chama de lambida fazendo lambda vezes identidade - a é igual a zero Se você chamaram isso

aqui de alto valores portanto os polos do sistema são os autovalores da matriz a certo por isso esse é um dos motivos que essa matriz a chamada de matriz dinâmica porque ela está associada com a resposta do processo tudo bem então os autovalores da matriz a são os polos do sistema em malha aberta e portanto para o sistema se estável nós já vimos que a estabilidade está associada com os polos estar em um Semi-plano esquerdo aqui do plano complexo os autovalores da matriz a os seus polos do sistema devem estar nos no servir plano esquerdo

e essa expressão então esse determinante ds - a igual a zero é a equação característica de malha aberta note que nós estamos falando de malha aberta nós ainda não estamos considerando nada aqui para o sinal de entrada tudo bem é bom esse é o último exemplo da aula de hoje vamos fazer o exemplo cinco o que é A comparação entre os autovalores da matriz a e com os polos de malha aberta de gigi essa a transformação desse sistema o espaço status para gente essa a gente acabou de fazer vou pausar o vídeo e volto com

tudo copiado no papel bom pessoal tô aqui com tudo copiado e a ideia é comparar os polos já com os autovalores de ar com os polos gds nós sabemos que são iguais é apenas para confirmar os polos de de essas são as Raízes do denominador certo então nós obtemos esses poros fazendo com que essa é o quadrado + 3 s o que é igual a s vezes é se mais três seja igual a zero portanto existem dois polos o polo um na origem e o polo 2 em menos três agora os alto os valores bom

dia são obtidos fazendo com que o determinante ds o lambida e menos a seja igual a zero esse determinante a dado por essa fez uma matriz 2 x 2 porque a Matriz ai dois por dois então tem que ter compatibilidade de dimensão menos a matriz a 010 - 3 e esse determinante tem que ser igual a zero portanto é o determinante da matriz s - 10 s mais três o menos desse corta com menos desse é simples s + 3 = 0 portanto os autovalores também são 10 e menos e três certo que eu chamei

de polo em cima da gente vai escrever polo direto e isso é só para a gente confirmar que Os os autovalores da matriz a são iguais aos polos da função de transferência então se nós queremos que o sistema seja estável os autovalores da matriz a tem que estar no semi-plano esquerdo sua parte real negativa se existir um alto valor da matriz a com parte real positiva nós temos um polo no servir plano direito e o sistema vai ser instável e aí É mas é será que tem uma forma analítica de analisar o sistema sem a

necessidade dessa relação com a função de transferência é bom para fazer isso a gente precisa resolver a equação diferencial x ponte igual a x mais b u certo a solução dessa equação diferencial vai nos dar uma função xdt que descreve o comportamento da função do sistema no domínio do tempo para uma certa entrada o tudo bem e para fazer isso a gente começa com o Caso mais simples vamos considerar que o sistema tem apenas um estado ou seja a matrizar na verdade é um escalar a e que nós não temos entrada o igual a zero

nesse caso a solução dessa expressão nessa expressão pode ser obtida por meio da transformada de laplace aplicando a transformada de laplace nessa expressão que que nós vamos obter o xds vai virar desculpa o x de ter vai virar xds menos x 0 note que nós estamos resolvendo equação diferencial não obtendo a função De transferência portanto temos que considerar a condição inicial e eu achei ds vai dar origem a desculpa antes de ter vai dar origem a xds passando os termos que depende de xps para a esquerda e devolvendo os parâmetros dividindo nós vamos obter qxd

s = 1 sobre essa mais a x de zero e agora nós podemos aplicar a transformada inversa de laplace para obter a solução da equação diferencial que é uma equação uzinha xd esse tópico Foi tema de estudo individual de vocês não sei se eleva lá do começo do curso e olhando para a tabela de transformada de laplace é fácil verificar que o x de ter é dado por exponencial de menos a ter vezes x 0 portanto se o alto se e o aço positivo nós temos que a exponencial vai ter uma potência negativa e o

sistema vai convergir tudo bem é lógico que quando nós falamos de sinais do sinal x nós falamos em Convergência quando nós falamos da estabilidade do sistema até o próprio nome já diz que é contra nós analisamos o sistema nós falamos de e estabilidade tá é uma diferença de nomenclatura um pouco importante o sistema estável o sinal converge o sinal diverge o sistema é instável é pô e agora se o afe uma matriz o que que nós vamos fazer ainda considerando o sistema sem entrada tá tá bom nós vamos resolver equação Diferencial seguindo o procedimento similar

primeiro aplique a transformada de laplace a diferença que agora o xds é um vetor de transformada de laplace de cada com cada variável de estado o xd01 vetor de condição de condições iniciais e o a é uma matriz e ao fazer o procedimento de passar o a pela esquerda e devolver modificado pela inversa para a direita nós obtemos a transformada ou a equação s i - a - 1 e para obter o vetor de soluções x de ter nós nós Precisamos aplicar a transformada inversa de laplace e aí existe uma dificuldade que a calcular transformada

de laplace dessa matriz inversa e é para fazer essa transformado de lá próximo nós vamos usar a série de nilma a série de nenhuma permite calcular o transformar a inversa de uma matriz identidade da matriz e menos a menos um em uma somatória de matrizes de da matriz a ponderada por meio de uma certa função essa eu acho que essa expressão Ela está em completa preciso completar lá depois tá mas nós podemos transformar a transformada inversa de laplace de menos a menos 1 e uma somatória infinita é de infinitos termos de e sobre s mais

a sobre essa quadrado mais ao quadrado sobre essa menos um então é a ^ ca sobre s ^ ca mais um não esquece a ser expressão correta para caindo de 0 até infinita preciso completar a série de nenhuma aqui é bom agora sim nós não temos mais que Fazer a transformada de laplace da e dessa matriz inversa nós podemos fazer a transformada de laplace termo a termo e como os termos e a e ao quadrado e por aí vai só um constância e a transformada de laplace é linear nós podemos retirar esses termos da transformada

e o que nós vamos obter são simplesmente as transformadas de laplace de um sobre é sobre essa quadrado sobre essa ao cubo que tem na tabela e mais especificamente a o sobre essa Vai dar origem a simplesmente a constante um para tempo maior igual a zero touch estamos trabalhando com sistemas causais isto é o tempo passando para direita o sobre essa quadrado vai dar origem ao tempo ou sobre essa ao cubo e dá origem a ter ao quadrado sobre dois tutorial e por aí vai bom e é claro que todos os senhores sabem que essa

série infinita é com a expansão e série da exponencial da matriz zap certo ou seja a solução da Equação diferencial é de x ponto = x de tse xgt igual a exponencial joão martins exponencial de a vezes tx de zero essa exponencial de matriz notem que nós estamos falando da exponencial de uma matriz ela nos dá a característica da evolução da planta para uma certa condição inicial essa matriz é chamada de matriz de transição de estados e portanto para nós sabemos como é que a planta evolui no domínio do tempo nós Precisamos calcular explicitamente a

exponencial de uma matriz e isso requer certas ferramentas de cálculo eu não vou entrar muito profundamente nisso eu vou considerar os dois casos simples e vou mencionar o teorema que nós podemos utilizar para calcular exponencial de uma atriz para quem tiver interesse ao teorema de que ele remilton ele ele tá disponível em diversas fontes da literatura por exemplo lá no gato tem a utilização do teorema de que ele Remilton para calcular exponencial em uma matriz mas nos casos particulares é mais fácil de analisar quanto a matriz a é diagonal a exponencial de uma matriz é

a exponencial dos elementos da diagonal e que nós sabemos que uma matriz diagonal os elementos da diagonal são os altos valores ou seja a exponencial da matriz a vezes ter é igual a um dos altos valores individuais vezes o tempo e esse salto valores são portanto os Polos do sistema porque nos dão a característica da evolução da planta no domínio do tempo e se esse salto valores forem negativos isto é estiverem no semi-plano esquerdo eu acho que é melhor estaria mais correto se tivesse assim a parte real dos altos valores for negativa tá e isto

é os altos valores está em um semi-plano esquerdo o sistema é estável isso quer dizer que a evolução dos sinais x convert O seu matriz não foi diagonal mas a gente conseguir joga organizar essa matriz exponencial por exemplo usando uma matriz diagonal diagonaliza matrizar por exemplo a matriz os autovetores então a exponencial de até ela é calculada por meio da exponencial da matriz diagonalizada vezes a matriz diagonalizante e o inverso dessa matriz p o que é matriz que diagonaliza matrizar né e mais uma vez se os autovalores Tiverem parte real negativo eu preciso também corrigir

isso no slide se os autovalores tiverem parte real negativa e a esses termos da diagonal que são os autovalores da matriz a convergem e o sistema é estável certo o professor mais você falou de dois você falou de dois cenários particulares a matriz a diagonal e a matriz a ser diagonalizável já existe a matriz que diagonaliza matriz a e se esse não for o caso bom como eu já mencionei vocês Podem usar algumas outras ferramentas matemáticas para calcular a exponencial de uma matriz por exemplo o teorema de cayley-hamilton é bem útil nesse processo é bem

fácil de aplicar e como resultado vocês vão sempre verificar que as potências das exponenciais de quadra da solução no domínio do tempo são os autovalores da matriz a portanto ciências alto valor estiverem parte real negativa a exponencial vai convergir o sistema vai Ser estável portanto os autovalores da matriz a a estão relacionados com as potências da exponencial domine o tempo o que nós chamamos de polos tudo bem e ainda falta o caso geral da solução que é o caso da equação do espaço de estados quando nós temos um certo sinal de entrada u e eu

me sinto na obrigação de passagem para vocês para ela pelo menos vocês falaram que viu a solução nessa expressão uma vez na vida e para quem vai estar um pouquinho mais A teoria de controle na conhecer essa expressão mais importante faz para um curso fundamental de controle linear não acho que é tão relevante a mais importante nós sabemos por já tá controlador e projetar e analisar o sistema do que ficar resolvendo equação diferencial juntos de toda forma a solução dessa expressão pode ser obtida aplicando-a transformada antes dos dois transformada de laplace dos dois lados passos

temos que dependem de xls para a Esquerda multiplica pela inversa na direita e aí nós precisamos calcular a transformada inversa de laplace dessa expressão e mais uma vez podemos utilizar a série de nilma para expandir essa máquina inversa aplicamos a transformada de laplace em cada elemento independente e verificar uns transformada inversa de laplace é a expansão da exponencial da matriz existe um detalhe aqui na transformada inversa de laplace do termo Que depende do uh porque existe a transformada de laplace de dois sinais né o sinal que depende do da exponencial da matriz e o sinal

que depende da matriz 1 e aí para fazer a transformada de laplace nós precisamos a a integral de convolução é mas com o devido o processo matemático não acho que temos que ficar batendo tanto nisso em um curso básico de controle nós podemos obter com a solução da expressão dinâmica x ponte igual a x Mais b u é x igual a exponencial de a tvs a condição inicial x 0 mais integral de 0 até da exponencial da matriz a às vezes ter menos o tempo total vezes b vezes o digital de tal né a integral

realizado em tal essa é a solução da equação diferencial no domínio do tempo nós tem que parar para uma expressão de primeira ordem obter a solução analítica no domínio do tempo é relativamente simples e essa expressão nos dá a evolução dos estados x para uma certa Entrada o terceiro precisamos integrar essa multiplicação é só se nós queremos falar da evolução da saída nós precisamos multiplicar nós possamos relembrar que a saída y = 6 vezes x mais lê então para obter a expressão da saída nós precisamos multiplicar a expressão da evolução do estado pela matriz e

obtendo sei vez exponencial de a vezes ter x 0 mais ser vezes aquela integral mais o deu tudo bem e o que nós podemos perceber é que o Que vai determinar a convergência da matriz é a convergência o que vai determinar a convergência do sinal ydt é a exponencial da matriz a e portanto os autovalores da matriz a determinam o comportamento do sistema de novo né esse esse salto valores forem negativos essas exponenciais vão convergir para a 0 e portanto o sinal y vai com um certo valor constante e para uma certa da da entrada

limitada o sinal ritmo também vai ser limitado ou seja o Sistema é figo estável se os autovalores da matriz a tiverem parte real é negativa esses altos valores são os polos do sistema tudo bem a sei que essa parte a leitura da demonstração não é muito legal de se ver mas eu realmente não acho que é muito proveitoso ficar resolvendo essa expressão na mão no curto o processo se usar outro valores da matriz a são os polos a ideia do projeto lu de controle o espaço de estados é escolher uma lei de controle No tietê

o que nos permite colocar os polos da planta e são os polos de malha fechada lugar que a gente quiser no plano complexo tudo bem então nós vamos escolher uma equação para lei de controle ou de ter que relaciona a entrada da planta com os estados xdt de modo a manipular ou a alocar então essa é a palavra-chave alocar posicionar os polos de malha fechada aonde eu quiser aqui no polo complexo e nós sabemos que Essa posição do polo não determina simplesmente estabilidade mas também o comportamento no domínio do tempo porque a posição dos polos

dominantes está relacionada com que se e omega a ele e isso vai ser o tema da próxima aula como escolher essa lei de controle upa e os polos da maneira que a gente quiser o que nós chamamos de metodologia de projeto por alocação de polos tudo bem então pessoal na aula de hoje e a gente viu como representar um sistema uma Equação diferencial né o sistema no espaço de estados e basicamente nós transformamos o equação de ordem n e n equações de primeira ordem tudo bem para isso nós definimos ele variáveis de estado nós vimos

que essa definição das variáveis estado pode ser feita de várias maneiras mas nós aprendemos um jeito muito particular e útil definir variáveis estado que é definir ele define as variáveis em relação as Derivadas da saída e também nós verificamos a relação entre função de transferência a forma no espaço de estados g = c s i - a - 1b vezes mais de e verificamos por meio dessa expressão e também por meio da solução analítica da expressão no espaço de estados que os pólos da função de transferência esse é os polos de malha aberta e e

os polos de malha abertas são os autovalores da matriz a na próxima aula nós vamos aprender a projetar um Controlador que nós chamamos de realimentação de estados que nos permite alocar os polos de malha fechada no lugar que a gente quiser um plano s e para fazer isso nós dependemos de uma propriedade do sistema que nós chamamos de controlabilidade é especial