Cálculo I - Aula 06 - Reta tangente e aproximação linear

[Música] Olá alunos bem-vindos estamos na Univesp Universidade virtual do Estado de São Paulo curso de cálculo para engenharia e estamos dando os primeiros passos e da nossa disciplina já vimos na aula passada o conceito de derivada nas próximas aulas nós vamos aprender regras de derivação mas na aula de hoje nós vamos explorar um pouco mais o significado geométrico de derivada o significado de reta tangente e o como que uma reta tangente dá uma ideia de aproximação de aproximação linear de uma função por isso que o título da aula é esse reta tangente e aproximação linear

vocês vão ver que é uma aula que dá uma ferramenta extremamente rica e extremamente bonita dentro da matemática eu vou repassar para criar o contexto para pro próximo passo repassar alguns slides da aula passada bem rapidamente pra gente aquecer e olhar o ponto que eu quero focar na aula de hoje então Dada uma grandeza a gente chama de variação média dessa grandeza a variação da variável dependente del F dividido pela variável independente delx e a variação instantânea é um limite quando o delx tende a z0 do Del F sobre delx variável dependente pela variável independente

e em linguagem de limite limite para X1 tendendo a X2 f de X1 - f de X2 X1 - X2 lembre-se que isso vai dar indeterminado porque não vou conseguir calcular o limite diretamente porque quando fizer X1 = X2 vai dar 0 sobre 0 dissemos dissemos que uma função era derivável num ponto se existia e era finito o limite justamente da razão incremental o limite que dava a taxa de variação instantânea da função se esse limite existe é finito a função é derivável no ponto e aquele valor limite é a derivada indicamos por F linha

de c ou Del F delx calculado no ponto c exatamente este limite várias grandezas diferentes derivada dando as suas taxas de variação o a função 3x à qu nós fizemos a conta e Vimos que ela era derivável sempre era para fazer o limite 3x 4 - 3c a 4 x - c por um processo de fatoração no numerador cancelável secante por dois pontos a reta verde e olho esse triângulo retângulo o cateto vertical é del F horizontal é delx então del FX é o coeficiente angular da secante que é a tangente desse ângulo eu faço

o ponto x tender pro ponto base C A reta secante tende paraa tangente E aí o coeficiente angular do que era secante vira coeficiente angular da tangente então a derivada num ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico naquele ponto então a reta tangente fica aquela velha fórmula que vocês conhecem do ensino médio Y - y0 que eu indiquei por f de x0 x - x0 igual a coeficiente angular m o mais usual nas aulas de Ensino Médio Mas aqui o coeficiente angular nós já sabemos que é a derivada no ponto x0 então

continuando vamos pegar a função 3x à qu que nós já Vimos que era derivável em todos os pontos vamos pegar a reta tangente no ponto de coordenadas 1 3 A primeira coisa a ser analisada é se esse ponto efetivamente pertence ao gráfico eu poderia ter me confundido e colocado aqui um ponto que não é um ponto do gráfico e aí não faria sentido a pergunta mas 1 3 quando x é 1 1 a qu é 1 x 3 dá 3 então o ponto 13 está no gráfico a pergunta faz sentido vamos pegar a reta tangente

nesse ponto sabemos que a derivada em qualquer valor de x é 12 X3 então no ponto x = 1 a derivada é 12 basta substituir X por 1 aqui derivada 12 que é o meu coeficiente angular então a equação da reta tangente fica y - y f de x0 que é 3 então Y - 3 x - x0 x- 1 = 12 pega esse x - 1 passa multiplicando você vai ter um 12x tá aqui vai ter um -1 e esse -3 passa para lá fica + 3 que com aquele -1 dá -9 então Y

= 12x - 9 Essa é a equação da reta tangente ao gráfico dessa função nesse ponto tudo isso pode ser visto geometricamente a função é 3x à 4 então está aqui essa função em vermelho Observe não é uma parábola o expoente é 4 parábolas sempre são de expoente 2 x a qu tem um formato parecido com o formato de parábola mas não é parábola não tem as propriedades básicas da parábola no caso 3x à qu cresce bastante rapidamente você observa que no x = 1 ela vale 3 né o ponto 1 3 que nós vimos

que pertencia ao gráfico 3x 4 quando x é 1 x qu dá 1 x 3 já no x = 2 Observe que a função daria um valor bem mais alto né 3x à 4 2 A qu dá 16 x 3 dá 48 então a imagem da função aqui 48 e a reta tangente 12x - 9 observa que é uma reta com coeficiente angular muito alto 12x então tem uma tangente desse ângulo É 12 É um ângulo já bastante elevado perto de 90º e -9 o ponto onde ela vai cortar o eixo dos y negativo -9

então o gráfico e a reta tangente vistos geometricamente no ponto 13 então a o conceito de derivada dá essa coisa muito forte para fazer geometria ele dá reta tangente ao gráfico de função mas vamos seguir em frente e a reta tangente não é apenas a reta tangente ela é muito mais do que isso ela dá uma aproximação para o valor da função e ela dá uma aproximação de grau um porque a reta tangente é uma função do primeiro grau estrito Rigor não é uma função linear né função linear é do tipo AX Ax + B

é função polinomial do primeiro grau não é exatamente linear mas muitas vezes a gente chama isso de aproximação linear Mas então Você tem uma função que pode ser dada por uma expressão de difícil manuseio sem ter um computador sem ter uma calculadora e a reta tangente é uma aproximação dessa função dada por uma fórmula de grau baixo que é de grau um e na verdade não é só uma aproximação entre todas as aproximações de grau um a reta tangente é a melhor de todas Aí alguém pode dizer ah mas eu tenho calculadora não precisa de

aproximação por reta linear a gente precisa sim a gente precisa muitas vezes na abordagem do modelo matemático você Recordar da primeira aula que eu falei em que a gente modela um problema científico fazendo uma simplificação desse modelo e resolve as equações do modelo simplificado eh existem um montes de exemplos reais na problemas de alta tecnologia em que você troca a função numa vizinhança de de um determinado ponto por uma eh função mais simples e isso não é um exemplo eh que eu estou imaginando são exemplos reais em que você a o verdadeiro expressão de uma

de uma grandeza aparece uma exponencial aparece um logaritmo aparece uma trigonométrica e a gente na vizinhança daquele ponto troca pela função de grau um para poder fazer a modelagem matemática Então vou explorar um pouco mais eh essa situação porque ela é absolutamente real e real e prática na na na vida de quem trabalha com com modelagem que eu acabei de dizer é o seguinte imagine uma função que pode ser muito complicada você escolhe um ponto e olha a reta tangente nesse ponto Observe que a reta tangente numa Vizinhança do ponto ela aproxima muito bem a

função fora desse ponto é claro a reta tangente continua sua sua sua característica de reta e a função faz o que ela tem que fazer e eventualmente a reta tangente e a função se afastam muito fora do ponto mas numa Vizinhança do ponto há um ajuste muito fino entre a reta tangente e a função e na verdade a reta tangente é a melhor aproximação da função entre todas as aproximações de por funções do primeiro grau a reta tangente é a melhor aproximação da função por funções polinomiais do primeiro grau e funções polinomiais do primeiro grau

são muito fáceis de serem manuseadas Então é isso que eu vou agora fazer um um exemplo numérico para vocês verem como que isso pode ser ser feito eu vou usar a aproximação pela reta tangente para calcular um valor aproximado de raiz quadrada de 16,11 quais são os passos que a gente precisa fazer para fazer isso primeiro eu preciso escolher qual é a função e qual é o ponto com o qual eu vou trabalhar qua o que que eu tenho que levar em conta eu tenho que levar em conta uma função e um ponto em que

eu saiba calcular aquela função naquele ponto que eu saiba calcular derivada da função naquele ponto para usar esse ponto que é o ponto de tangência como base para construir a reta tangente então se eu tiver falando de raiz quadrada de 16,11 eu vou escolher como função a função ra x e o ponto ponto 16 porque é um ponto no qual eu sei calcular o valor da função fx0 eu sou capaz de calcular ra16 Eu sei que dá 4 então eu acabei de assim afirmar eu vou pegar a função rax vou pegar o ponto 16 4

para ordenado 164 f f de 16 é ra 16 que é 4 então o ponto 16 4 para ordenado pertence ao gráfico da raiz quadrada e eu vou fazer o a reta tangente à raiz quadrada no ponto 16 4 uma coisa muito parecida com isso aqui eu vou pegar uma função e vou pegar a Raí a a reta tangente no no ponto que foi dado para isso que que eu preciso além disso a derivada Então vamos esse é o segundo passo obter a derivada o primeiro passo é determinar mais ou menos o escopo onde nós

vamos trabalhar é determinar qual função e qual ponto segundo passo a derivada da função naquele ponto então eu quero a derivada da função ra X no ponto 16 que que é a definição de derivada é o limite para x tendendo a 16 raiz de x -16 que eu já escrevi 4 sobre x - 16 derivada sempre cai numa indeterminação se eu fizer x = 16 dá 16 - 4 dá 0 16 - 16 dá z0 Então eu preciso para fazer esse limite fazer aquilo que nós chamamos de eliminar indeterminação multiplico em cima embaixo porx +

4 que é o conjugado daqui do de cima Olha o que vai acontecer rax - 4x + 4 isso vai ficar uma diferença de quadrados vai ficar x - 16 x - 16 vai cancelar com o X - 16 E vai sobrar então o de cima x - 16 cancela Sobra só 1 sobre rax + 4 no cálculo da derivada dá 1 Sox + 4 x tá tendendo a √ 16 é 4 a derivada dá 1/8 então a derivada dessa função rax no ponto x = 16 é 1/8 numa próxima aula nós vamos aprender fórmulas

para fazer esse cálculo em geral tá mas para raiz quadrada no ponto 16 é 1/8 lembra da equação da reta tangente terceiro passo então primeiro passo foi o contexto a função e o ponto segundo passo foi achar a derivada terceiro passo a reta tangente então y - f x0 x - x0 = derivada pro nosso exemplo Y - 4 x - 16 = 1/8 passo esse x - 16 multiplicando fica x so 8 tá aqui esse Men 16 so 8 fica -2 do lado de lá esse -4 passa fica + 4 + 4 com -2

dá + 2 então a reta tangente é x so 8 + 2 e ela é então uma aproximação paraa raiz quadrada o que que é importante a gente concluir aqui é que a função raiz Quad x que não é uma função fácil de ser manuseada ela é aproximada pela função x so 8 mais 2 perto do valor 16 isso é muito bonito a raiz quadrada perto de x = 16 ela é aproximadamente igual a isso então esse é o último passo eu obtenho o valor da reta tangente no ponto procurado que é 16 x11 então

eu vou fazer x = 16,11 nessa fórmula qual é a conta que eu tenho que fazer uma conta de dividir muito mais simples que uma conta de raiz quadrada então eu divido 16,11 por 8 e somo 2 isso dá bom essa divisão dá 2,037 somado com 2 dá 4,013 75 então 4,013 75 é o valor da reta tangente no ponto 16,11 mas o que que eu sei que a reta tangente é aproximada é aproximadamente igual ao valor da função então a ra 16,11 eu posso dizer que é aproximadamente 4,013 75 porque a a função raiz

quadrada foi aproximada pela reta vocês podem fazer a conta numa calculadora para ver quão boa é essa aproximação observa só na calculadora você vai obter 4,013 726 compara com o valor que nós obtivemos 0 1 3 7 5 0 1 3 7 aqui onde tem esse do a gente obteve 5 deu uma diferença na quarta quinta casa depois da vírgula que é um valor muito bom como valor aproximado e mais importante do que o valor numérico em si é o valor na modelagem fenômenos que são descritos por uma função complexa nós podemos muitas vezes trocar

na vizinhança do ponto pela função de grau um e a análise fica muito mais simples eh um outro exemplo que a gente já falou dele e ele vai ser recorrente pra gente muito legal é o da função seno a função seno eh nós vamos ver na próxima aula que a derivada da função seno é a função cosseno Isso vai ser um teorema geral nas próximas aulas nós vamos falar em regras de derivação e nós vamos ver que a derivada da função seno vai ser a função cosseno e lembra que a derivada é o coeficiente angular

da reta tangente então nós sabemos que se tomarmos x = x0 = 0 a função seno no zero Vale 0 porque seno de 0 é 0 e a derivada da função seno que é cosseno quando calculada em zero dá 1 Ora se nós olharmos a reta tangente a função seno y - f de x0 x - x0 igual a derivada nós vamos ter Y - 0 x - 0 ou seja Y so x = 1 que a derivada é 1 ou seja reta y = x então a reta tangente ao gráfico da função seno no

zero é a reta y = x que significa que o que o seno de x está perto de x quando x = 0 quando x0 iG 0 ah mas Nós já tínhamos falado disso do que que eu tô falando eu estou falando que para valores de x próximos de z0 seno de x está perto de x ou seja do que que eu estou falando do limite fundamental que seno de x sobre x quando X tende a 0 vale um quer dizer eh esse limite tinha que ser um porque a reta tangente que é que aproxima

a função seno é a reta identidade e por isso que para x próximo de zer o seno de x está perto de 1 é é um resultado lindíssimo esse né Eh esse limite já apareceu várias vezes e Acabei de mostrar a conexão que tem esse limite com a ideia de aproximação de uma função pela reta tangente que a gente chama de aproximação linear extremamente elegante esse resultado ficamos por aqui agora [Música] [Música] C [Música] [Música]