As quatro equações de Maxwell

o Olá pessoal ser todos bem-vindos a mais um mal do canal gênios da física hoje nós vamos começar aqui falando sobre equações de Maxwell tá Baby Sol a as equações de Maxwell né não é se no sistema internacional de unidades Então essas quatro equações Aqui tá o dividir e o dividir b o hot de e e o root de bebê tá é o campo elétrico é o campo vetorial que depende as coordenadas espaciais x y z e do tempo tá e o campo magnético também é um campo vetorial que depende depende dessa quadra pó de

variáveis bem o que nós podemos falar né Então primeiramente existem é os dois sistemas de unidades mais conhecidos aí para você escrever as equações de Maxwell um é o s que é isso que eu estou apresentando aqui e o outro é o sistema de umidade gaussianas tá então eu vou escolher um esse porque em geral a nossa habituados a trabalhar com o sistema de unidades internacional mas quando para para outras situações para altas energias para física teórica né você adota em geral unidade gaussianas e ela vai ter uma ligeira diferença as equações de Março vai

entrar fatores de numéricos né de quatro e pinec que o que é um 3,14 exceto em algumas situações aqui é o orgasmo Oi e aí é tem uma ligeira diferença desses dois do sistema de unidade mas o foco aqui a discutir o sistema internacional bem a primeira equação pessoal é é o dividir egual arroz sobre a pessoa 10 tá então esse aqui é o é o operador Nabla tá em coordenadas cartesianas ele vale e chapéu D ronde x + J chapéu D ronde Y machucar chapéu D ronde z&j e cai chapéu são os versores unitários

que apontam nós são vetores unitários que apontam no sentido de crescente dos eixos x y e z tá E esse ponto o que significa um produto escalar então o operador Nabla né que o operador diferencial vetorial com esse ponto aqui campo de escalar chamado de divergente divergente deer e E aí tanto aqui conta que dividir é dividir Aquele é Zé e esse rolo é a densidade de carga né a distribuição de carga do teu do teu corpo né crédito distribuição né ficou foi esférico cilíndrico e etc ele vai ter uma distribuição de carga nele e

esse a pessoa a 0 EA permissividade elétrica do vácuo tá então aqui é se chamado a Lei de Gauss é uma forma local né da da Lei de Gauss e significa dizer que em cada ponto do teu espaço né Em cada. Você pode calcular né Você pode calcular esse divergente de você pode calcular que o campo ponto-a-ponto usando por exemplo dessas equações aqui tá bem essa é a Lei de Gauss e basicamente se você tem e por exemplo numa dada região local do espaço uma carga positiva né uma carga mais ela vai ter uma densidade

de carga maior que 0 logo esse divergente é positivo então você pode entender a interpretação geométrica aqui né de visto em aulas anteriores que eu vou disponibilizar o link da descrição dessa aula né como é que você interpreta esse resultado com a interpretação digamos física decidi dividir aqui e aí quando a densidade de carga positiva né esse divergente a maior quiser e aí você vai ter linhas de Campo nenhum fluxo de linha de Campo partindo de um ponto emanando desse ponto então É como se você tivesse naquele ponto do teu espaço tivesse o fluxo de

saída ou seja uma fonte de linhas de campo elétrico no caso por roupa positivo e nós sabemos também que pode ter certo esses locais do Espaço Pontos do espaço em que a cidade carga é negativa né a carga naquele local é negativa e aí você vai ter as linhas de campo né as linhas vetoriais esse campo vai vai estar chegando nesse ponto convergindo para esse ponto então é você tem uma interpretação desse divergente como centro os fluxos de em é de Campo hora saindo para Rua positivo hora entrando naquele ponto para Rua negativo tá e

quando divergente do de um campo no caso do bebê ele é zero significa dizer que a tudo que entra sai né então naquele ponto do teu espaço né as minhas que entram saem não então isso aqui é uma um uma discussão bastante interessante significa dizer que não há carga magnética no teu no teu domínio teu espaço né não existe experimentalmente não foi medido ainda a carga magnética né então se você pegar um imã né uma macroscópico você sabe e ele sempre vai ter duas dois polos o norte eo Sul Polo Norte onde a gente de

Campos sai né Desse Polo e o Polo Sul e a gente Campo chegam então é todo o ímã ele tem macroscopicamente 2 Pólos e isso é chamado de né porque é dois de Polo no caso magnético E aí você pode quebrar esse dipolo magnético e quebrando em cima na verdade quebrando até e até o nível atômico por exemplo se você conseguir né se nós conseguimos não fazer isso né a mão né quebrando em cima mas que eu fico até chegar no nível atômico você veria que mesmo lá no nível atômico no átomo é você teria

a formação de dois polos nenhum norte ou sul ser um momento de dipolo magnético tá então essa lei aqui nos diz que não há não há a presença de monopolos magnéticos né você sempre que você quebrar um imã mesmo nível molecular ainda vai haver dois polos lá na no seu naquela região do teu espaço aqui não aqui você pode ter monopólio você existe na natureza cargas hora positiva hora negativa cargas elétricas tá aqui embaixo estou me referindo de carga magnética carga magnética não existe até então e carga elétrica existe pode ser por só pode ser

negativa ou pode ser nula No caso quando o corpo está totalmente neutro a quantidade de cargas positivas é identicamente né Igual à quantidade de cargas negativas então o corpo como um todo se encontra neutro tá Então essa é a interpretação do divino é e tanto praia quanto o pab aqui a Lei de Gauss local. A ponto do teu espaço nos diz que se a uma distribuição de carga naquela região você tem como encontrar esse campo entorno daquela distribuição de cargas tá pode ser positiva ou negativa ou nula bem já aqui nós temos o rotacional né

então rotacionar eu é o mesmo operador nada que foi falado aqui só que tem um produto vetorial então ao operador Nabla com o produto vetorial aí é chamado de rotacional tá o operador na aba com o ponto que o produto escalar chamado de divergente então rotacionar o dia é de bebê né Nós já discutimos também aula Santo a implantação do rotacional então se você tem por exemplo um esse rotacional ele pode ser assim como aqui pode ser positivo negativo em nulo aqui também né só que o resultado é um número e é que o resultado

é um vetor Então esse rotacional aquele pode dar maior quiseram menor né ou nulo E aí qual a interpretação desse rotacional significa dizer a grosso modo né se você tem um campo e calcule esse rotacional Digamos que se rotacional é tenha dado um valor zero né então aconteceu rotacional é nulo significa dizer se você calcular o trabalho associado a um caminho não é um caminho fechado né esse trabalho no caminho fechado desse Campo é é um trabalho nulo significa dizer que o trabalho né na Ida em um dado no dado o contorno ele é menos

o trabalho da volta então a soma vai dar zero significa dizer e esse campo é um campo conservativo né Ou seja a existe a a energia desse Campo ela é conservada né então associada a essa energia que é conservada e existe um campo conservativo né E esse campo conserva ativo né está associado a uma força conservativa de certa e na grosso modo significa dizer que o trabalho é no caminho fechado Ele É zero né Ah linda atende né a energia vai depender do caminho não trabalho se você faz um caminho ou percorre um outro com

as quer né esse trabalho independe do caminho a da tua escolha né do da tua circulação tá então já acontecesse esse e esse rotacionar o ele der Positivo né você vai ter que esse campo não é mais um campo conservativo você vai ter que ter várias situações que eu coloquei né aulas anteriores exemplificando esse tipo de análise no caso de fluidos né porque você tem lá um campo de velocidade é que você tem um campo elétrico aqui você tem um campo magnético Você pode ter é outras situações físicas em que é bem interessante fazer esse

tipo de discussão A social rotacionar o com forças né é Campos conservativos e ao não consegue a sinergia se o trabalho depende do caminho como calculado né Qual é o melhor qual é o melhor caminho a de menor energia para você fazer esse tipo de abordagem de análise Então o que significa dizer basicamente que é essa aqui é chamada né A primeira Lei de Gauss lei da ausência de um monopolo e aqui a lei de fora de Norma lenço né então e se você tem aqui né o campo elétrico a variação né temporal do campo

magnético né no tempo geram uma espécie aí de campo elétrico aqui a variação do campo elétrico então aqui você tem um campo magnético a derivada no tempo esse menos é devida a contribuição deles né que se você tem aqui por exemplo um experimento que originou esse tipo de análise aqui é o experimento lá de falha deles que você tem né se você tem espiras né se você é variar no tempo fluxo magnético né que é basicamente o campo furando aquela área aquela superfície né aquela expira-se o campo seu fluxo no tempo for variável se esse

fluxo variável no tempo nessa inspira você gera uma uma espécie de tensão é induzida e consequentemente uma corrente induzida né e é bem interessante esse tipo de análise aqui nem lá quando você faz o estudo aí como com espiras né E aí a variação no tempo desse fluxo magnético gera uma corrente induzida e essa corrente induzida né ela pode ser medida por um equipamento multímetro né Por Um amperímetro é ali naquela região então a variação desse campo magnético desse fluxo magnético no tempo gera uma corrente tá essa aqui é a lei de fora de Norma

Lúcia já essa lei aqui a lei de Ampére Maxwell né então antes da contribuição de Ampére a lei de Ampére Maxwell ela só tinha esse termo aqui olha em preto né o rotacional de bebê era me zero je0 a permeabilidade magnética do vácuo Epson 0 a permissividade elétrica do meio do vácuo também J é a densidade de corrente tá BA e tirar corrente que tá passando no teu no teu condutor né E aí E aí básica então o que que você tem essa essa essa corrente aqui em geral há uma que foi medida por lá

no que foi que foi proposta lá nos experimentos Deore XT né fermento de ócio você tinha quando ele passava uma corrente um fio condutor ele colocava a bússola próximo ao redor desse fio você gerava uma deflexão na na agulha da bússola então isso instigou olhos ter a pensar que a corrente elétrica né ela gera né ela gera campo magnético esse campo magnético interage com agulha né com a do ímã né o ponteiro do hino clima não perdão da bússola né então e esse tipo de análise né gerou essa equação essa lei aqui né chamada de

essa essa lei somente com esse termo aqui é a lei de Ampére Maxwell introduziu esse termo aqui né o termo em vermelho que é uma espécie de corrente de deslocamento Então você quer uma corrente estacionária né uma corrente que só depende a ida da posição né não depende do tempo e essa aqui é uma corrente que tem uma dependência temporal aqui que que vão já discutir por que que ela é tão relevante tá mas aqui a lei de Ampére Maxwell né aqui a sua contribuição aqui é a tudo localmente aqui só as equações de Maxwell.

A ponto do teu espaço Tá certo é bem continuando falamos aí da interpretação do Divido Hot das unidades né da arquivo que é interessante notar com esse tipo de as quatro equações de máquina que descrevem todo o eletromagnetismo todas para o vácuo aqui no caso Leia o vácuo O que é interessante notar é o seguinte que a Lei de Faraday por exemplo diz que a variação no tempo né a variação no tempo aqui desse campo magnético isso gera né produz um campo elétrico e consequentemente esse termo né É introduzido por ampér né ou perdão para

o Márcio ele diz o contrário né que inventa a variação do campo magnético no tempo gerar campo elétrico você tem que a variação do campo elétrico no tempo gera uma espécie de campo magnético não é uma corrente de deslocamento e isso aqui não é um J né esse aqui é o j estacionário com J mais que depende do tempo o temporal tá e bem e aí pessoal é nós nós é podemos calcular aqui a partir dessas quatro equações né localmente no teu espaço você pode calcular globalmente numa certa região do teu espaço no certo volume

numa na certa área do teu espaço como é que fica essas quatro equações aqui né para isso você precisa usar o chamado teorema da divergência né ou teorema de Gauss que diz que uma integral no volume né o dividir DF de um campo vetorial de v é igual uma integral fechada naquela área né que delimita esse volume né efe escalar DS né então isso aqui é o fluxo está associado com a divergência é um fluxo de um campo vetorial associado com a sua divergência tá então essa interpretação que eu tinha dado aqui vem dessa definição

aqui do Teorema de a divergência já o teorema de stokes né que é o teorema do rotacional nos diz que o rotacional numa dada superfície né e o produto escalar com um elemento de área aqui desse né Isso é igual mãe pegar o fechada né de é ficar lá de ela é uma espécie de de trabalho né trabalho dada associado aquele campo né que você tá estudando então trabalho se o rotacional furo por exemplo o trabalho no caminho fechado é zero então a o cálculo da energia independe do caminho né se você toma o caminho

outro o trabalho é o mesmo energia mesmo campo é um campo conservativo a energia conservada e assim por diante tá então é você pode obter a partir do divergente aqui as equações globais dessas tanto da Lei de Gauss quanto da ausência de monopólio usando o teorema da divergência aqui já o rotacional né Essas duas equações locais você pode obter as mesmas equações globalmente nem ou vai e integrais aqui tá certo e essas entregar você pode usar aqui no rotacional no caso o teorema de stokes tá para fazer esse tipo de análise e é bem continuando

né então é o que é interessante discutir aqui é como é que Maxwell né Aí ele introduzir esse termo aqui como é que ele conseguiu entender que precisaria corrigir as equações Que nós tínhamos todas emprego por quê que é necessário em todos esses termos para corrigir essa equação que levou em parte o nome dele Porque essa contribuição não foi devido a Max bem É eu chamei isso decorrente de deslocamente estão quanto Max seu ela analisou essa equação somente com esse termo sem um termo em vermelho ele por exemplo viu que uma das leis Digamos que

não deveria ser violadas na física que a lei chamada lei a equação da continuidade né ou A Conservação da carga e corrente né então assim como tem aí Conservação da energia que é um tipo de conservação a lei física de conservação da natureza existe a passo na carga em Corrente se você tem um circuito elétrico né você tem que aplicar a lei de conservação de carne corrente para garantir de que garante que naquele circuito não haja criação nem destruição de cargas né e corrente daquele circuito então é análoga a esse tipo de sistema né que

no caso de circuito você também tem uma que é obedece essa lei aqui você tem aqui a chamada equação da continuidade que é A Conservação da carga corrente para para as equações de Maxwell então o J densidade de corrente né o divergente do J mais a derivada no tempo da densidade de carga né então Rua densidade de carga e j densidade de corrente Então essa soma aqui da Zero então para garantir essa lei de conservação fundamentada na natureza e consequentemente do eletromagnetismo é através desta lente conservação Max eu conseguir obter esse termo que estava faltando

que dá uma espécie de simetria há entre a equação de Faraday nela aí ele de fora e a lei de um pé né então se eu considerar um uma corrente de deslocamento igual a Epson zero derivada no tempo de e esse termo somado com essa densidade de corrente aqui né estacionária se você somar sistema você garante que essa equação não viole a lei de conservação primordial né uma das equações de conservação primordial uma das vezes por semana são primordiais de eletromagnetismo que A Conservação da carga e corrente chamada também de equação da continuidade tá então

se você não colocar esse tema em vermelho essa equação viola essa lei bom né que é basicamente essa equação que diz aqui tá caso contrário se você colocar inserir esse termo aqui né que é um que é uma corrente de julgamento que tem esse perfil que esse formato essa expressão você garante que o a equação de Ampére corrigida e consequentemente A Conservação da Carne corrente é conservada é constante é preservada Tá certo através dessa introdução desse termo na equação de fé e consequentemente você corrigir a lei de Ampére no caso Maximo dado por esse tempo

o que é interessante também notar é o seguinte né que para você fazer esse tipo de análise né de aqui da corrente de deslocamento corrigindo as equações de Março você vai ter que calcular aí basicamente odv né o diga aqui de se aplicar o divergente em toda essa equação né quando você aplicar o divergente toda a equação lembra que o dia se apaixonar é sempre zero e aí você vai eliminar o gostemos e chegar uma expressão é que obedeça isso que tem esse formato tá é bem continuando aqui né Nós podemos agora falar um pouco

é basicamente essa corrente de deslocamento pessoal que foi sugerido aqui né aí você pode perguntar bem é quando para de fez os seus experimentos ele conseguiu me despedir mentalmente fazer experimentos que comprovasse esse tipo de análise e aqui por quê que isso não foi digamos assim não foi percebido por esses é pois é por esses experimentais que tanto é estudar o eletromagnetismo aí antes de Março né porque eles não conseguiram obter então se você pegar por exemplo um fio né um fio e passar uma corrente alternada sobre ele é você pode mostrar né que a

você vai ter campo elétrico variável no tempo né Você vai ter campeonato parado no tempo que uma corrente do tipo alternada né passando por um fio fazer um experimento que nem o experimento de Ampére né e a aplicar-lhe um uma corrente alternada vai ter um campo variável no tempo esse tema aqui diferente de zero e você fazer análise para comprar valores típicos né É para experimentos é típicos da época né Ele que Fez as suas análises você vai ver que a contribuição aqui que vai aparecer desse termo corrigindo esse né uma correção esse termo essa

correção para esse tipo de análise de experimento vai ser uma contribuição muito pequena mas tem uma contribuição aí em torno de 10 a menos 16 aqui E por quê Porque a velocidade da luz é dez a menos oito o perdão dessa oitava México segundo só que é um sobre isso que eu elevado ao quadrado porque esse tema aqui é um sobre esse quadrado tá sei aqui a velocidade da luz é a Rai é um universo da raiz quadrada de epsilon zero miséria Então esse tema que a pessoa 100 é um sub C2 serviço da luz

é 3.010 a oitava metros por segundo ao quadrado 8 x 2 a 16 Então esse tema aqui é dez a menos 16 da ordem 10 - 16 então é uma correção esse então para me disso experimentalmente é algo bastante difícil para para para tecnologia por para existentes na época de uma perna então eu não consegui medir esse tipo de correção a esse efeito devido a isso tá mas aí depois com um experimentos mais avançaram você conseguir detectar que de fato esse tema existe você consegue ir a magnética sempre a previsão de outro magnética eu vi

por Max na através desse termo aqui né que que será o inverso de Mc raiz quadrada de miséria ya0 mas a detecção no laboratório nessa graças a Hertz né que fez experimentos aí que conseguiu prever a medi na verdade as ondas eletromagnéticas previstas por Maxwell a bem e para fechar essa aula né Nós vamos falar aqui sobre a equação da onda bem a equação da onda pessoal você você pode obter com ação da onda tanto para o campo elétrico quanto o campo magnético Se você pegar aqui calcular o rotacional de aplicar o rotacional em toda

essa expressão e o rotacional em toda essa expressão aqui você vai obter o campo a equação da onda para o campo elétrico equação da onda para o campo magnético ao fazer a aplicação do rotacional em toda essa expressão e nessa Você vai precisar nem no vídeo de aplicação né do divergente tanto do é quanto dividir B E aí você faz a manipulação algébrica e etc você pode chegar à conclusão de que dá lambertiano de e é essa expressão aqui né não soube a pessoa 10 gradiente de rolo né Rua é a densidade de carga aqui

ó Tá mas miséria derivado no tempo do J que a densidade de corrente e o da lambertiano de bebê né do campo magnético magnético é menos miséria o rock nacional DJ onde Dalla Albert ano é o laplaciano Né que é o divido grade menos uns obter quadrado derivada segunda no tempo e c é o inverso da raiz quadrada de epsom zero miséria tá então você faz uma árvore e chega nessas equações você também pode obter com ações é e aqui são Campos físicos A e B né Eu tava bertiane a equação representa aqui basicamente a

equação da onda né ou seja o campo elétrico e magnético ele está ativado uma equação da onda na equação da onda não-homogênea né aqui depende da distribuição de carga densidade de corrente para calcular derivadas temporais derivadas espaciais EA que precisa calcular derivadas parciais aqui é derivadas espaciais para calcular o hot DJ né como é que essa distribuição de corrente está na no teu corpo Beleza então você também pode obter com ações para o campus Campos não físicos fie e ar né que é o filha o potencial é escalar ela é o potencial elétrico e o

meu potencial vetor magnético tá você pode usar as condições de a guide the cube o game de voz para obter esse tipo de abordagens tipo de análise as equações né dos Campos não físicos né que é interessante notar que quando você trabalha com funções escalares é muito mais simples né Você tem uma somente com o módulo com o valor da função já quando você trabalha aqui com funções vetoriais você precisa além do módulo direção e sentido ou seja a orientação do teu campo né então muita das vezes é muito mais simples trabalhar com Campos escalares

E aí por através de derivadas temporais e espaciais né o a derivada temporal ou rotacional ou Gradiente né desses Campos obter os campos físicos LB Tá certo então pessoal é bastante é salientar aqui nessa aula de hoje o seguinte né e esse foi um dos grandes momentos da história da física tá eletricidade né e magnetismo eles evoluíram né ao longo dessas equações de maneira paralela E aí quando chega né na cor Max Analisa com a sua contribuição aqui na lei de o pé e Analisa que essa onda eletromagnética pro vende das variáveis do Meio no

caso a permeabilidade magnética EA permissividade elétrica do meio e é e aí ele consegue unificar digamos assim né ah ah tanto eletromagnetismo conta Ótica né porque você tá falando de luz né de onda eletromagnética você tá falando de luz né eletromagnética e etc você tá tá fazendo um apanhado né uma unificação né do eletromagnetismo com a ótica Então isso é um Zaps né da contribuição de Max eu ir na na para ótica projeto Magneto a fazer essa essa esse intercâmbio essa ligação aí que faz todo sentido Tá certo e aí e uma coisa interessante de

se notar é o seguinte quando você tem aqui esse termo né o campo elétrico variável tempo gera campo magnético e consequentemente o magnético no tempo gera um campo elétrico e são efeito auto-sustentado de Gamas assim né é um um efeito com é isso que estabelece de gramas por que que a onda se propaga né porque que tem uma onda eletromagnética que se propaga no espaço e no tempo né são essas variações não é essas tipo de simetria que que digamos assim é prevalece que nos diz porque que as ondas né A Rosa do magnéticas e

ela se propagam uma reforçam a outra né ao longo do espaço e do tempo né então é esse tipo de análise É bem interessante esse discutir né e vale a pena Com certeza quer saber a sua origem saber a discussão e outros pormenores que espero que todos possam vislumbrar durante as aulas tá a E aí os livros que eu vou aconselhar vocês a tomarem nota e verem mais detalhes sobre esses assuntos é o livro do rádio sumiu forno eletromagnetismo tem o próprio Moisés não Moisés teve ele já te dá uma um direcionamento inicial para o

eletromagnetismo é o estudo das equações de Maxwell Então tem um Moisés três né tem o rádio se mil for de eletromagnetismo tem o grif né também de elétrons tem o livro do professor bar sala né também de teoria tanto magnética a E por aí vai tá certo espero que todos tenham gostados até mais e bons estudos