Mathematik Vorlesung 7

So, hallo, herzlich willkommen. Ich freue mich sehr, dass ihr da seid. Ihr seht's, heute kommt ein neues Kapitel. Wir haben jetzt drei Vorlesungen Optimierung hinter uns. Und vielleicht würde ich das Kapitel gerne kurz einordnen. Was hat das mit dem Gesamtkonzept zu tun? Also, was ist das Ziel? Am Ende dieses Semesters sollt ihr Optimierungsaufgaben lösen können, wo die Zielfunktion mehr als eine Variable hat und wo die Variablen Nebenbedingungen einhalten sollen. Also Optimierung unter Nebenbedingungen, das ist das Ziel. Heute kommt ein Kapitel dran, was nicht speziell auf dieses Ziel hinarbeitet. Bisher war es immer so, alles was

wir behandelt haben, war ein Bausteil Stein von dieser multibenoptimierung und der Nähbedingung. Das was ihr jetzt hier sieht, Integration ist quasi so ein eine kleine ein kleiner Exkurs in eine andere Richtung. Das heißt, ihr werdet Kapitel 10 nicht für die Kapitel brauchen, die danach kommen, aber trotzdem werdet ihr was lernen, was wir super oft in der Wi brauchen. Also, wir haben verschiedene Maße Kennengrößen in der Wi entwickelt, um damit irgendwie messen zu können, wie gut eine bestimmte Sache läuft und das geht meistens übers Integral. Deswegen ist das so wichtig. In vielen Fällen, wenn man ein

Problem vereinfacht, ein lineares Problem hat, Dann geht's darum, Flächen zu berechnen von Dreiecken, Rechtecken. Das ist easy. Das könnt ihr. Bei Integralen schaffen wir es dann aber auch Flächen zu berechnen von gekrümmten Kurven. Das ist das Besondere der Worum geht's in der Integrationsrechnung? Ich habe eben schon gesagt, der Flächenausrechnen, das ist so eines der Ziele. Es geht ein bisschen allgemeiner. Wir können noch ein bisschen allgemeiner formulieren. Ihr seht, wir haben eine ganze Menge Unterkapitel und ich versuche in diesem schwierigen Thema auch wirklich langsam vorzugehen, sodass wir damit heute auf keinen Fall fertig werden. Was ist

ähm Integralrechnung? Eine relativ intuitive Erklärung für mich ist es, dass wir rückwärts ableiten, also eigentlich aufleiten bei der Integralrecht. Was soll das heißen? Beim Ableiten haben wir gesagt, wir haben eine Funktion f, die hat einen Bestimmten Grafen. Dann können wir die Funktion fleiten, kriegen wir f strung von dem Grafen. Ja, das heißt, wir haben eine geometrische Interpretation von dem Konzept ableiten. Beim Integrieren gehen wir jetzt den umgekehrten Weg. Das heiß, wir haben eine Funktion f gegeben und wir wollen wissen, wie muss die Funktion, wir nennen die dann groß f aussehen, sass, wenn wir groß f

einmal ableiten, dass dann klein f rauskommt. Ja, also wir haben bisher gelernt, wie Machen wir aus einer Funktion die Ableitung? Und jetzt lernen wir, was passiert, wenn wir bereits die Ableitung haben und wie sieht dann die ursprüngliche Funktion eigentlich aus? Das ist die Frage, die wir mit der Integrationsrechnung beantworten können. Ableiten, differenzieren, das sind die Begriffe, die wir bisher benutzt haben, um von F nach f str zu kommen. Jetzt habe ich eben schon dieses Wort Aufleiten benutzt. Das natürlich Quatsch. Ja, das ist kein richtiger mathematischbegriff. Der richtige mathematischbegriff ist dann einfach integrieren. Ja, integrieren bedeutet

ableiten rückwärts, wenn ihr so wollt. Die Funktion, die wir ableiten müssen, damit die Funktion f rauskommt, die nennen wir Stammfunktion, ne? Also das Gegenteil von der Ableitung ist die Stammfunktion. Und wir können eben die Stammfunktion Benutzen, um sie grafisch zu interpretieren als die Fläche unter der Funktion f. genauer gesagt Fläche unter den Grafen von der Funktion f und diese Fläche kann alles mögliche sein. Ihr seht hier habe ich ein paar Beispiele aufgelistet. das Maß für Handelsgewinne von Konsumentinnen, das nennt man die Konsumentenrente, dann können wir die Kosten als so eine Fläche darstellen, den Gewinn und

damit dann auch das, was wir Produzentenrente Nennen. Aber auch in der Statistik wird es integral super oft genutzt, wenn wir Wahrscheinlichkeiten ausrechnen wollen oder Erwartungswerte von Zufalls und für all das werde ich euch hier Beispiele präsentieren. Wir kommen jetzt im ersten Schritt erstmal dazu, die Notation zu klären. Also, was bedeuten diese komischen Symbole alle? Ihr seht hier mit diesem dieses Symbol mit dem Kringel, also ich markiere das ganze mal grün. Das hier Ist ein sogenanntes unbestimmtes Integral und da sind ein paar neue Zeichen aufgetaucht und die wollen wir in aller Ruhe klären. Also, ich fange

an ganz links mit dem Integrationszeichen. Das ist dieser Kringel. was das genau ist. Dazu habe ich gleich auch noch eine Folie. Das bedeutet einfach, hey Leute, hier fängt ein Integral an. Dann kommt die Funktion klein f von x. Klein f von x. Das soll die bereits das soll die Ableitung sein, ja, von der wir die äh Stammfunktion suchen. Des dx ist super wichtig. Das dx können wir immer noch interpretieren als ähm Veränderung von x, aber eine unheimlich kleine Veränderung, eine unendlich kleine Veränderung von x. Und dieses dx sagt uns den Namen von der Integrationsvariable. Wir

sind hier immer noch in dem Fall, dass wir eigentlich immer nur über eine Variable sprechen. Wir können eine Funktion mit mehreren Variablen nach einer Variablen ableiten, aber wir können eine Funktion mit mehreren Variablen auch integrieren nach einer bestimmten Variable. So, wenn jetzt die Funktion klein f nicht nur das x hat, sondern auch ein y, dann müssen wir halt wissen, nach welcher Variable sollen wir das integrieren. Und das sehen wir eben an dem dx. Also das DX verrätt uns x, das ist die Variable, nach der wir integrieren sollen, also Die Integrationsvariable. Dann auf der rechten Seite

das große F, das ist die Stammfunktion. Also, wenn wir groß f einmal ableiten mit den ganz normalen Ableitungsregeln, die wir bisher kennengelernt haben, dann soll eben das kleine f rauskommen. Und da hinten seht ihr noch dieses + C. Das ist eine sogenannte Integrationskonstante. Bei einem Integral ist es so, dass das große f eindeutig bestimmt ist. Es gibt Nur eine einzige Funktion groß f, die wir da reinpacken können. Aber diese Konstante hier, das kann irgendeine beliebige konstante Zahl sein. Woran liegt das? Wenn ihr eine konstante Zahl ableitet, dann fällt die beim Ableiten ja weg. Das heißt,

das ist ganz egal, welche Konstante ihr hinten dran schreibt. Wenn ihr f von x, also groß f von x + c ableitet, fällt es cn kommt nur die Ableitung von groß von von groß f vor und das ist dann dieses kleine f. Also C ist eine beliebige Konstante, die nennen wir Integrationskonstante. So und jetzt müssen wir lernen, wie geht das überhaupt, das Integrieren? Und wir fangen an mit einer Folie, wo eigentlich die Regel steht, die ihr für 99% der Fälle benutzen könnt. Ja, mit der Regel könnt ihr eigentlich schon fast alles. Das einzige, was jetzt

noch fehlt, ist das Anwenden dieser Regel zu üben. Und das können wir hier mal schauen mit drei kleinen Beispielen Anfangen. Lass mich erstmal kurz die Regel erklären. Also hier steht diese Funktion f von x. Das hier ist die Funktion f von x, also x hoch r. Und diese Funktion hat einen Parameter, nämlich das R. Das ist der Exponent. Ja, das ist eine Potenzfunktion, Basis und Exponent. Die Basis ist x, der Exponent ist das R. Jetzt steht hier, dass dieses R nicht gleich -1 sein darf. Warum seht ihr gleich? Wenn wir jetzt diese Funktion integrieren, dann

können wir einfach die Formel benutzen, die hier rechts steht. Sieht kompliziert aus, ist aber gar nicht so schlimm. Also, die hängt hier ab von dem R. Als erstes zählen wir auf das R1 drauf. Wir rechnen r + 1 aus und dann teilen wir dadurch also 1 ge r + 1 und das ist auch der Grund, warum r nicht gleich -1 sein darf, weil wir dann ja durch 0 teilen würden. Also wir rechnen 1 ge r + 1 und das ganze mal x Hoch r. Und ihr erinnert euch, beim Ableiten müssen wir immer eins vom Exponenten

abziehen. Wir machen jetzt mal das Umgekehrte, das Integrieren. Das heißt, wir müssen eins auf den Exponenten drauf addieren und dann kommt noch die Konstante dazu. Das ist schon alles. Wir können mal die Probe machen, ob das überhaupt stimmt. Wie funktioniert die Probe? Also, wir rechnen 1 ge r + 1* x hoch r + 1 + c. Und das will ich einmal ableiten. Habe Ich in die Kamera oben strich. Lass uns überlegen, wie funktionieren noch mal die Ableitungsregeln? Wir ziehen den Exponenten nach vorne, also r + 1. Dann kommt die Funktion, aber wir müssen eins vom

Exponenten abziehen. Das heißt, aus r + 1 wird nur r. Und die Konstante, das c fällt beim Ableiten weg. Jetzt seht ihr r + 1 und r + 1 kürzt sich weg und es kommt x hoch rus. Ja, und das war das, was wir brauchten. Das soll dieses x hoch r sein Von der Funktion, die im Integral dran steht. Ja, also wir können ganz leicht verifizieren, dass diese Regel stimmt für alle r, die ungleich -1 sind. Etwas schwieriger wird's dann, wenn wir die Regel wirklich anwenden müssen. Wir haben hier drei Beispiele und ich starte jetzt

direkt mit einer kleinen Übung für euch. Sucht euch bitte eines dieser Beispiele aus. jeder und jede irgendeins von den dreien und überlegt euch mal, Was ist das R, was dazu gehört, wo ist das überhaupt versteckt und dann versucht mal die Stammfunktion davon aufzuschneiden. Ich gebe euch jetzt ein Moment Zeit und dann sprechen wir über die drei Beispiele. Wenn jemand von euch doch noch eine Frage hat, bitte gerne rausen. Jetzt lass ich euch aber erstmal in Ruhe. So, wie sieht's aus? Hat sich jemand von euch das erste Beispiel ausgesucht? Ich schreib es noch mal auf eine

extra Folie. Super. Ich muss noch mal einmal kurz aufschreiben. Das Integral von x dx. Wie bist du vorgegangen? Bitteschön. Perfekt. Ich würde es gerne mal wiedergeben. Du hast jetzt gar nicht so ähm konkret auf die Regel geschaut, wenn ich das richtig verstanden habe, sondern ein bisschen ausprobiert. Lass uns das doch auch mal machen. Also, wenn wir ausprobieren, dass f äh halt großes f Stammfunktion, Weil falls groß f von x = x² wäre, einfach mal zum Ausprobieren, wenn wir das dann einmal ableiten, schreib das jetzt mal so, dann wäre da das Ergebnis 2 x. Ja, wir

haben aber hier im Integral nur x stehen und nicht 2* x. Und dann hast du dir gedacht, ja cool, dann nehme ich einfach noch ein halb davor. Schreib das mal hier noch dazu. Ein/H/B. Dann steht hier auch noch ein/HB und dann kommt insgesamt X raus. Perfekt. Ja, also durch ausprobieren kommt man hier auch zur Lösung. Ich würde euch aber trotzdem gerne mit der Methodik ähm genau beschreiben, wie wir die Formel anwenden, damit ihr auch dann zum Ziel kommt, wenn wir durchausprobieren nicht richtig weiterkommen. Hat jemand anders einen anderen Lösungsweg gewählt dafür? Bitttechön. Wie bitte? Ja,

genau. Also, ich könnte noch zusätzlich, ich könnte auch das hier nehmen f(x) = x² + c könnte ich auch als alternative Stammfunktion, dann würde wieder gelten, wenn ich das nach x ableite 2 x 1/2* x + 0, ja, c abgeleit nach x 0 ist x. Also auch das ist korrekt, ne? Wir haben also zwei verschiedene Alternativen hier. in Abhängigkeit von B. Mir geht's darum, die Regel anzuwenden. Lass uns noch mal ganz kurz an die Regel äh auf die Regel gucken. Bei der Regel ist ein R dabei. Ja, also hier steht auf der linken Seite X

hoch R. Bei unserem Beispiel, da steht aber nur X. Habe ich jetzt auch nicht. Na, jetzt habe ich toll die Hand vor. Das muss ich anders machen. So, jetzt habe ich bei unserer Funktion aber nur X. Die Frage ist, wo ist das R? Also im ersten Schritt müssen wir es eh suchen. Du hast es gefunden. Ganz genau. Also, wir schreiben eigentlich nie x hoch 1. Ist irgendwie Quatsch, das so zu schreiben. Aber wenn wir das so schreiben, dann sehen wir, okay, das R ist = 1. R = 1. Und jetzt können wir einfach die Formel

benutzen, die auf der Folie davor steht. Also, da steht 1 ge r + 1, also 1 + 1 mal x hoch r + 1, also hoch 1 + 1 + c. Und ihr seht, es kommt wirklich genau das gleiche raus, was wir durch ausprobieren auch hingekriegt haben. Also ein/ x² + 10. Ja, das ist eigentlich ja fast die einfachste Funktion, die man integrieren kann. Und deswegen ist es hier vielleicht ein bisschen übertrieben, so eine allgemeine Regel zu benutzen, wenn man auch anders zum Ziel kommt, aber die Regel ist extrem hilfreich, wenn wir Eine kompliziertere Funktion

behandeln müssen. Z.B. Die zweite die zweite Funktion lautet, ich schreib die hier noch mal hin, ähm 1 dur x hoch 3 dx, also x hoch 3 verstehe ich ungefähr, kann ich mir vorstellen, wie das aussieht. Weiß noch nicht genau, wie der wie das Integral davon ist, aber 1 dur x hoch 3 kann ich jetzt so ohne weiteres nicht sagen. Hat jemand diese komplizierte Funktion? Benutzt oder berechnet. Ja, bitte schön. Noch mal verrückt. 1 hoch -x durch Ich würde es mal so schreiben. X hoch -3. Meinst du das? Oder habe ich das jetzt richtig geschrieben? Du

hast was anderes gesagt eigentlich, ne? Also das Minuszeichen vor dem Exponenten bedeutet, dass man das x hoch 3 in den Nenner schreiben muss. Und das ist Eigentlich genau der richtige Weg, weil man auf diese Art und Weise viel besser erkennen kann, wie das R ist. Also, wir sehen jetzt hier das R über dem X stehen. Das ist das R. Und jetzt kann ich wieder die allgemeine Formel benutzen. Also 1 ge r + 1, also -3 + 1 mal x hoch -3 + 1 und dann kommt die Integrations dazu. Jetzt muss ich ausrechnen. Das mache ich

mal in zwei Schritten. Also 1 dur -2 Mal x hoch -2 und dann noch das C. Und das 1 dur -2 schreibe ich noch so auf. - mal x hoch -2 + c. Ich habe jetzt das x hoch -2 nicht noch mal umgeschrieben. Ich könnte theoretisch auch schreiben 1 dur x², weil ich will das jetzt ableiten. Ich will die Probe machen. Ich will das jetzt ableiten und gucken, ob dann wirklich 1 dur x hoch 3 rauskommt. Und Wenn ich statt x hoch -2 1 dur x² schreibe, dann ist das ableitend schwierig. Also, ich mache jetzt

die Probe. Ich nehme - mal x hoch -2 + c und rechne davon die Ableitung aus. Also -2 wandert nach vorne, dann mal -/ mal x. Und jetzt muss ich überlegen, beim Ableiten muss ich eins vom Exponenten abziehen. Also auf der -2 wird eine -3 und das C fällt weg beim Ableiten. Dann habe ich -2* -1/ kürzt sich weg. Das ist also x hoch -3 bzw. 1 durch x hoch 3. Beim Integrieren ist es super wichtig, dass ihr die Probe macht, weil wir die ganze Zeit in der Vorlesung ableiten, üben wir das ableiten viel mehr

als das Integrieren. Das heißt, die Probe ist einfacher. Ja, das ist der gewohnte Weg für uns. Und mit der Probe können wir ganz leicht verifizieren, ob das geklappt hat. Ja, was muss rauskommen? Also hier diese Funktion, das was im Integral drin steht, das muss gleich sein. Wenn das gleiche ist, wenn da das gleiche rauskommt, dann die Problem. Okay, also zwei Sachen müssen wir beachten. Wir müssten diese Rechten Regel mit dem R anwenden. Dafür brauchen wir einfach ein bisschen Übung. Und zweitens müssen wir rausfinden, was ist überhaupt das R? Ja, das sieht manchmal offensichtlich und Manchmal

weniger offensichtlich. Jetzt kommen wir zur letzten der drei Beispielaufgaben. Ich schreib die noch mal auf. Und das war einfach Wurzel von x. DX. Hat sich von euch jemand mit dieser Funktion beschäftigt? Ja, bitteschön. Ganz genau. 2 mal x hoch 3/ + c. Okay, super. Danke Schön. Also, das Ergebnis überprüfen wir natürlich gleich noch, wie du da drauf gekommen bist und so weiter. Was ist die wichtige Nachricht von dieser Aufgabe? Das R muss nicht unbedingt eine ganze Zahl sein. Ja, das kann auch ein Bruch sein. Also hier ist das R einfach der Bruch. ein/b kann irgendeine

Zahl sein, die aber nicht gleich -1 sein darf. Jetzt wende ich hier die Formel an. Also 1 ge r + 1, Also 1/2 + 1 mal x hoch r + 1, also + 1 + c. Das ist die Formel. Und jetzt müssen wir da noch ein bisschen rumrechnen und kommen dann hoffentlich zu dem gleichen Ergebnis. Also 1 ge was ist denn 1/2 + 1? Das ist 3/ mal x hoch 3/ + c. Und jetzt sehen wir hier, dass wir im Nenner schon wieder ein Bruch stehen haben. Und wenn wir durch ein Bruch teilen, dann ist

das das gleiche wie der Kehrwert von dem Bruch. Also müssen einfach drei halbe umdrehen. 2/3 mal x hoch 3/ + c. Und das ist wirklich genau das gleiche, was du uns diert hast. Also, wir haben jetzt die Regel angewendet. Wir haben zuerst rausgefunden, was das, dann haben wir die Regel angewendet und jetzt kommt zum Schluss noch die Probe. Wir wollen das Ganze wieder ableiten. Also 2/3 mal x hoch 3/ + c. Das ganze einmal abgeleitet. Der Exponent kommt Nach vorne. 3/ 2/3 mal x hoch 3/-1 und das C fällt beim Ableiten weg. Wir sehen 3/

2 Del kürzt sich weg und 3/ -1 3/- 2/E, also 3 dann bleibt ein/H/HB übrig und das ist die Wurzel von x. Das hat funktioniert. Also diese beiden Ausdrücke hier, die müssen gleich sein. Diese Regel könnt ihr fast immer benutzen. Es gibt kompliziertere Funktionen, Die wir halt nicht als Potenzfunktion darstellen können. Da brauchen wir ein paar Sonderregeln. Eine einige davon sind sauschwer und andere nicht. Und die sau schweren habe ich einfach weggelassen. Ja, ich finde Integration sowieso schon schwieriger als den Rest von der Vorlesung. Dann lasse ich einfach die schweren Sachen weg. Wenn ihr die

die normalen Sachen könnt, die Teil bevor ich jetzt aber zu noch weiteren Regeln komme und zur Herleitung, wie funktioniert das überhaupt mit den Integral und so weiter, lass uns mal überlegen, was ist eigentlich, wenn da doch dieses r = -1 ist? Also, was passiert? Wenn wir dieses Integral hier lösen müssen, das Integral von 1 dur x dx, ja, 1 dur x ist ja das gleiche wie r hoch- x hoch -1, schreibe ich auch noch mal dazu. X hoch -1 dx, ja, dann wäre das r = -1 Und dann funktioniert die Regel nicht. Was machen wir

dann? Hat jemand von euch eine Idee? Denkt noch mal daran, was wollen wir machen? Wir suchen jetzt eine Funktion, sodass, wenn wir diese Funktion ableiten, 1 dur x rauskommt. Habt ihr so eine Funktion schon mal kennengelernt? Von welcher Funktion ist die Ableitung 1 dur x? Ja, bitte schön. Ganz genau. Das ist unsere Stammfunktion. Also groß f von x wäre dann der natürliche Logarithmus und wir müssen dann eben noch eine Konstante drauf addieren. Also das ist ln von x + c. Ja, wenn wir das wenn wir diesen Logarithmus ableiten, dann kommt raus 1 durch x. Ich

möchte noch eine Kleinigkeit irgendwie zu dieser Notation sagen. Dieses 1 dur x, das war ja das f von x. Ja, das heißt, wenn wir uns diese Gleichung anschauen, ich schreib es mal hier auf, das hat jetzt nichts mehr mit dem Logarithmus zu tun. Das hier muss ja gelten. Dieser Zusammenhang muss gelben zwischen groß f und klein f. Dann können wir uns auch vorstellen, hey, dieses dx, das können wir doch eigentlich auf rechte Seite multiplizieren. Dann können wir schreiben df von x = Klein fx dx. Und dieser Ausdruck, das ist das, was in Integral drin steht.

Also, wenn ich jetzt noch mal das unbestimmte Integral aufschreibe, hier steht f von x dx = groß fx + c, dann können wir stattdessen das auch alternativ so aufschreiben. Integral von df von x, ja, weil die beiden Ausdrücke gleich sind. So, ich benutze in der Vorlesung und Auch im Lehrbuch immer die Notation, die ihr auf der linken Seite seht. Also klein f von x dx. In manchen Lehrbüchern seht ihr aber auch d groß f von x ohne dieses dx finden kann. Ist im Prinzip genau das gleiche. Ja, es gibt ja so ein paar matchen Feinheiten,

den interessieren uns aber hier diese Anwendungser nicht so sehr. Ich wollte es euch nur sagen, falls ihr mal irgendwann d groß fx im Integral stehen habt, ist genau Das gleiche wie klein f von x dx. Okay, prima. Wir werden auf diese Regel noch zurückkommen. Die werden wir noch ein paar mal anwenden und in den Übungsaufgaben Tutorial natürlich. Was hat es mit diesem Integrationszeichen diesen Kringel zu tun? Dazu habe ich euch ein Schild mitgebracht mit einer alten Schrift. Frakturschrift heißt die und ich habe ziemlich lange gebraucht, bis ich das richtig lesen konnte. Ich Habe früher immer

gelesen, da steht opftverkauf oder wenn ihr das manchmal seht irgendwie steht da restaurant. Ich habe das nie gerafft, warum die Leute das nicht schreiben können. Und irgendwann ist mir aufgefallen, dass in Obstverkauf, da kommt ja auch ein F, dass hier dieses richtige F ein Strich hat und das hier hat keinen Strich und daran kann man die beiden Buchstaben unterstre unterscheiden. Das Hier ist das sogenannte lange S in dieser Fraktur. Der Mensch, der sich als erstes vielleicht nicht als erstes, aber der als erstes das aufgeschrieben hat, die ganze Sache mit den Integralen, der hat das Integral

erstmal als Summe interpretiert und wir kennen ja schon das Summenzeichen. Wenn ich das mal hier hinschreibe, das ist dieses große griechische S, das Sieht man, das sieht so aus. Und das benutzen wir, wenn wir etwas auch summieren, was irgendwie abzählbar ist. Also z.B. fi. Ja, und da haben wir halt das den Index i, der geht dann von 1 bis n. Dann haben wir n Summanten in dieser Summe drin stehen und jeder einzelne Summant hat einen Index, der ist abzählbar. Jetzt war da der Herr Riemann, der sich das überlegt hat mit den Integralen und der hat

eine Summe gebildet über Elemente, die nicht mehr abzählbar sind, also die keinen Index mehr tragen, die kontinuierlich laufen und er wollte die Summe, die er definiert, abgrenzen von dieser abzählbaren Summe. Aber er wollte immer noch deutlich machen, dass es sich im Prinzip um eine Summe handelt. Deswegen hat er einfach einen anderen eine andere Schreibweise für das S gesagt. Ja, das griechische Son verbraucht und dann hat er eben das S aus der Frakturschrift Benutzt und daraus ist dann dieser Kringel geworden. Warum sage ich euch das? Warum ist das überhaupt jetzt wertvoll, dass ich das erzähle? Integrale

wirken erstmal abschreckend und viele Regeln sind äh manchmal ein bisschen da fragt man sich, wo kommen die her? Wenn man aber sich merkt, ein Integral ist eigentlich nichts anderes als eine Summe, dann kann man ganz viele Rechtenregel von sich viel besser Merken, ne? Als Summenregeln. Das sind genau die gleichen Regeln, die ihr auch von den Summen her kennt und die seht ihr auf den nächsten Folie. Also, wenn ihr eine Summe habt und in dieser Summe kommt ein konstanter multiplikativer Faktor vor, dann könnt ihr diesen Faktor ausklammern. Ja. aus der Summe rausholen. Vielleicht erinnert ihr euch,

Distributivgesetz ist schon was länger her. Bei Integralen gilt genau das gleiche. Wir haben hier Im Integral einen Konstantenfaktor A. Ja, das ist einfach eine Konstante, hat nichts mit dem X zu tun. Und dieses a können wir ausklammern bzw. beim Integral würden wir sagen, wir holen das vor das wir retten A mal das ganze Integral. Also, das ist eigentlich nichts anderes als ausklammern. Und die zweite Rechenregel ist auch wie bei Summen. Wenn ihr immer zwei auf Ausdrücke aufadiert, also x1 + y1 + x2 + Y2 und so weiter bis xn + yn, dann könnt ihr daraus

auch zwei Summen machen. Eine Summe, die nur über x geht und eine Summe, die nur über y geht und dann die beiden Summen addiert. Und das ist hier unten passiert. bloß, dass die halt nicht X und Y heißen, sondern F von X und G von X. Ja, wir haben da zwei Summen genommen. Das sind zwei Rechenregeln, die ihr wirklich genauso auch bei den Summen kennt. Ihr könnt auch, wenn ihr wollt, in diesem Fall das Integrationszeichen durch das ganz normale Summenzeichen ersetzen. Da würden die Regeln genauso sehen. Und es gibt noch ein paar mehr Regeln, die

auch von den von dieser Eigenschaft einer Summe herkommen. Jetzt möchte ich zur Interpretation eines Integrals kommen. Also, wir haben die Ableitung einer Funktion geometrisch als Steigung der Funktion interpretiert und jetzt interpretieren wir das Integral einer Funktion geometrisch als Fläche unterhalb der Funktion. Also, wir können jetzt hier dieses A, ich schreib das schon mal hin, ich verrate sozusagen das Ergebnis. Das ist das Integral. Fängt bei a an, hört bei b auf von f von x dx. Die Frage ist, warum? Warum ist das so? Und ich muss noch dazu sagen, ich habe jetzt hier an das Integral

unten zwei Integrationsgrenzen hingeschrieben, A und B. Und das haben wir auch noch nicht richtig definiert. Das kommt auch gleich. Wir haben jetzt einen Vorteil, wir haben schon definiert, was ein Integral ist, was eine Stammfunktion ist und jetzt müssen wir quasi nur noch zeigen, dass diese Definition hier passt. Als Integral erfunden wurde, gab's es natürlich noch nicht und da musste man das erstmal konstruieren. Und ich würde gerne hier kurz das einschieben, wie man das konstruiert als alternative Erklärung dafür, warum Integral eine Fläche ist und dann kommen wir wieder zurück. zu dem was zu dem was auf

den Folien steht zum normalen Weg, der auch im Lehrbuch eingehalten wird. Also, ich mache jetzt zwei, drei Folien quasi per Hand. Mal gucken, ob ich das hinkriege. Eine X-Achse, eine Y-Achse. Jetzt brauche ich eine Funktion. Ich versuche die Funktion zu zeichnen, die wir eben auch auf der anderen Folie hatten. Dann brauche ich zwei Grenzen. Hier ist ein A und hier ist ein B. So. Und das hier soll der Graf sein von der Funktion f von x. So. Und ich möchte jetzt die Fläche unterhalb von diesem Grafen ausrechnen. Dazu mache ich mir noch zwei Hilfslinien. Ist

bisschen schief. Ich hoffe, ihr seht mir das noch. Also, ich suche jetzt die Fläche da drun. Jetzt benutze ich ein ganz kleines Resultat, was wir schon hatten. Ich glaube, war das letzte Woche, vorletzte Woche. Also, wir brauchen, dass die Funktion fetig ist, sonst funktioniert das Ganze gar nicht. Also auch bei der Integration funktioniert es gar nicht. Dann haben wir hier noch, dass das Intervall von A bis nicht leer. Es ist abgeschlossen und es ist ähm beschränkt. Das heißt, die Funktion f besitzt ein Minimum und ein Maximum innerhalb dieses Intervalls. Es gibt ein x0 und ein

x1 in diesem Intervall mit f von x0 kleiner = f von x kleiner f von x1 für alle x in diesem Intervall. Wofür brauche ich das jetzt? Ja, also ich sage, an irgendeiner Stelle ist der Funktionswert am kleinsten, an irgendeiner Stelle ist er am größten und Das kann ich hier auch finden tatsächlich. Also hier wäre das Minimum das x0 und dort das Maximum das X1. Ich kann nämlich jetzt das Minimum und das Maximum benutzen, um eine untere Schranke und eine obere Schranke für diese Fläche hinzuschreiben. Ich mache jetzt noch mehr gestrichelte Linien. Also hier sehen

wir ein Rechteck, also das untere Rechteck meine ich. Vielleicht mache ich das mal in der anderen Farbe. Das untere Rechteck ist das hier. Und da können wir die Fläche ziemlich leicht ausrechnen. Also die Fläche von diesem unteren Rechteck ist Breite des Rechtecks b - A mal Höhe des Rechtecks mal f von x0. Wir können sagen, die Fläche, die unter dem Grafen ist, die ist auf jeden Fall Größer als dieses rote Rechteck. Wenn der Graf komplett korrekt zentral verlaufen würde, dann wären beide Flächen gleich groß und andernfalls ist die Fläche unter den Grafen größer. Jetzt können

wir das gleiche machen mit einem großen Rechteck. Das geht so könnte das aussehen und das große Rechteck hat auch eine Fläche. Das ist b - A mal F von X1. Also, X1 Soll die Maxstelle, x0 soll die Nünstelle sein. Und jetzt können wir sagen, die Fläche unter dem Grafen von F. Und diese Fläche, die nennen wir einfach nur A. A steht für Area ist kleiner gleich B - A* F von X1 und sie ist größer gleich b - A mal f von x0. Das heißt, wir können diese Fläche jetzt nach unten und nach oben abschätzen.

Aber hey, ist das jetzt gut? Bringt uns Das wirklich was? Also, ist ja doch sehr ungenau, ne? Das ja eine sehr große Differenz und deswegen kann man sich jetzt überlegen, ich kann jetzt diesen dieses Intervall von A bis B aufteilen in Teilintervalle, in viele kleine Teilintervalle und kam für jedes dieser Teilintervalle wieder Rechtecke zeit. Und das mache ich jetzt mal auf der nächsten Folie. Mal gucken, ob ich mir Ich glaube, ich Vereinfache mir das ein bisschen. So, das fordert den Rechner ein bisschen, wenn ich das jetzt markiere, aber ich glaube, jetzt muss ich eine ganze

Menge. Na, schade eigentlich. Gut, dann zeichne ich es mal, bevor jetzt da zu viel Zeit vergeht. Also, ich versuche jetzt den gleichen Grafen noch mal zu zeichnen. Sagen so aus. Hier ist das A und hier ist das B. So. Und jetzt unterteile ich das ganze Ding, das ganze Intervall von A bis B, sagen wir einfach mal in vier Abschnitte. Also habe ich hier in der Mitte eine Unterteilung hier und hier. So. Und jeder dieser Abschnitte hat jetzt wieder die Eigenschaft, dass das Intervall, auf dem dieser Abschnitt Definiert ist, abgeschlossen, nicht leer und beschränkt ist. Die

Funktion ist immer noch stetig. Das heißt, jeder einzelne dieser Abschnitte hat jetzt ein Minimum und ein Maximum. Und dann kann ich wieder Rechtecke einzeichnen. Also hier könnte das Maximum so aussehen. Ups, ich wollte eigentlich eine gestrichelte Linie haben. Noch mal so vielleicht. Es liegt ein bisschen drüber Und das Minimum ist dann hier. Dann sieht es so aus. So. Wisst ihr, was ich meine, was ich vorhabe? Also, ich hoffe, die Idee wird einigermaßen klar. Also, ich kann jetzt hier Rechtecke definieren, die deren Fläche kleiner ist als A und Rechtecke definieren, deren Fläche auf jeden Fall größer

ist als A. Und dann kann ich das A genauer Abschätzen. Na, ich habe jetzt wieder eine obere Schranke und eine untere Schranke. Lass mich das vielleicht mal ein bisschen genauer hinschreiben. Also, das hier soll immer der gleiche Abstand sein. Das soll immer das dx sein. dx dx. Das heißt, die Fläche von den Rechtecken hat äh können wir immer mit der gleichen Breite berechnen. Wir müssen nur immer nur unterschiedliche Ähm Höhen uns angucken. Ja, men unterschiedliche Höhen uns anschauen und dann haben wir, ich habe glaube ich auf der Folie davor die Farben grün, grün und rot

benutzt. Ich glaube, das korrigiere ich noch mal kurz bzw. mach das grün. Also die oberen Rechtecke, die sollen immer schön grün sein und die unteren Rechtecke, die werden dann rot. Und dann kann man sagen, es gibt sozusagen eine obere Reihe von Rechtecken und es gibt eine untere Reihe von Rechtecken, eine Obersumme und eine Untersumme. Und die Gesamtfläche ist dann auf jeden Fall kleiner als die Obersumme, aber größer als die Untersumme. Das ist die Idee, die hier verfolgt wurde. Und das schreibe ich jetzt mal so. Die Fläche A, die ist kleiner oder gleich und ich schreib

das einfach in grün, damit man Das assoziieren kann als die Obersumme. Und das ist größer. Die Fläche A ist größer als die Untersumm. Also, wir haben jetzt hier vier Rechtecke. Das heißt, die Untersumme besteht aus der Fläche von den vier roten Rechtecken und die Obersumme besteht aus der Summe von den vier grünen Rechtecken. Und das schreibe ich jetzt mal so. Die Untersumme Ist die Summe von i = 1 bis 4. Und die Fläche von dem roten Rechteck ist das dx mal die Höhe von dem roten äh Rechteck. Und das nenne ich jetzt einfach mal fi.

Ja, f von xi soll die Höhe von dem roten Rechteck sein. Das hier, das soll f von in dem Fall x1 sein. Dann haben wir hier f von x2, das ist f von x3 und das ist f von x4. Und da seht ihr, das dx können wir auch Rausmultiplizieren, aber ich merke gerade, das muss man gar nicht. Kann man auch schön da drin lassen. Schick dich mal ein bisschen da. Und bei der Obersumme kann ich das dann nennen, das ist die Summe von i = 1 bis n dx mal f yi nenne ich das jetzt

einfach mal. Okay, Xi und Yi müssen nicht die gleichen Stellen sein. Also das ist die Minimumstelle und die Maximumstelle muss Nicht an der gleichen Stelle sein. Also das hier wäre f von y1 hier f von y2 und so weiter. So. So, und jetzt hat der Mensch, der das erfunden hat, Herr Riemann, sich überlegt, was passiert mit der Summe, wenn man das dx immer kleiner werden lässt und die Anzahl der Rechtecke aber dementsprechend immer größer werden lässt, ne? Also dieses Intervall von A bis Bib gleich, aber ich Packe immer mehr Rechtecke da rein, weil dann kann

man glaube ich geometrisch ganz gut erkennen, dass der Fehler, den man beim Abschätzen macht, immer kleiner wird. Und im Grenzwert, wenn das dx gegen 0 geht, dann ist die Obersumme gleich der Untersumme. Also muss müssen beide Summen dem a entsprichen. Ja, so hat der das Integral gefunden. Und wir gehen jetzt ein ganz kleinen, Also wir haben die gleiche Idee, aber gehen ein ganz bisschen anderen Weg. Okay, wir schauen uns nämlich den Weg über die Ableitung. Mal gucken, wie das funktionieren soll. Also, wir schauen uns jetzt mal nicht die Fläche unter dem ganz auf dem ganzen

Intervall von A bis B an, sondern wir gucken uns nur so ein kleines Stückchen von der Fläche an, nämlich wir fangen bei irgendeinem X an. Das x muss zwischen A und B liegen und Wir erhöhen das X dann um dx. Ja, und dieses Teilintervall, das muss halt echt in A und B drin liegen. Und wir wollen wissen, wie stark verändert sich oder was ist die Veränderung der Fläche in diesem Intervall? Also, das ist ja eigentlich die Fläche von a bis x + dx, diese Fläche hier minus die Fläche von a bis x. Deswegen ziehen wir

hier - a von x ab. Das ist also die Differenz von zwei Flächen, Wenn wir so wollen. Und Differenzen bezeichnen wir immer mit so einem Dreieck mit diesem Delta. Ja, erinnert euch an die Analogie, als wir überhaupt erst angefangen haben, die Ableitung zu definieren? Da haben wir uns die Differenz von den y Werten angeschaut. Also neuer Funktionswert minus alter Funktionswert war dieses Delta F oder Delta Y. Und genau das gleiche machen wir hier jetzt halt nur mit der Fläche A. Und wir wollen jetzt dieses Delta Achschätzen, einmal nach unten und einmal nach oben. Und dazu

benutzen wir wieder die gleiche Logik. Also, es gibt auf diesem abgeschlossenen Intervall von x + dx, dem beschränkten, dem nicht leer Intervall auf jeden Fall ein Minimum und ein Maximum. Und deswegen können wir sagen, dieses Delta A, die hier rosa schraffierte Fläche ist kleiner als dieses Rechteck hier und ist größer als das große Rechteck, ne? Andersrum. Entschuldigung, ich hab es genau falsch gesagt. Das Delta A ist größer als das als dieses kleine Rechteck und kleiner als das große Rechteck. Und das kleine Rechteck hat die Fläche dx mal f-. Ja, F- soll der kleinste Wert von

der Funktion sein auf diesem Teilintervall. Seht ihr hier? F- geht bis da, f max geht bis hier oben Und die Fläche von dem großen Rechteck ist dann eben dx dx mal f max. Also, wir können jetzt folgende Eingrenzung schon mal feststellen. DX mal f- ist kleiner oder gleich Delta A ist kleiner oder gleich dx mal f max. Ja, das können wir quasi grafisch begründen. Und wir wollen jetzt untersuchen, was passiert mit dieser Ungleichung, wenn das dx gegen 0 geht. Okay, wenn das dx gegen 0 geht, dann seht ihr, dass auf der linken Seite null mal

irgendwas steht. Auf der rechten Seite steht null mal irgendwas und die Veränderung der Fläche ist dann natürlich auch 0, wenn es dx gegen 0 geht. Also, das hilft uns leider nicht weiter. Wir müssen diese Ungleichung, die wir hier sehen, also noch einmal ganz kurz umformen, aber nicht besonders stark. Ja, wir können beide Seiten von dieser Ungleichung, hier seht ihr sie Noch mal durch dx Teil, dann bleibt auf der linken Seite f- stehen, auf der rechten Seite f max und in der Mitte ist das, was wir als Differenzenquotient in Kapitel 6 kennengelernt haben. Also das hier

ist der Differenzenquatient. Und da haben wir gesehen, dieser Differenzenquotient, der konvergiert, wenn das dx gegen 0 geht, gegen die Ableitung von der Funktion, Also gegen die Ableitung von a. Die Funktion, die wir hier betrachten, ist die Funktion groß a. Wenn das dx gegen 0 geht, kommt hier in der Mitte a strich raus. Und das habe ich, glaube ich, auf der nächsten Folie stehen. Wir gucken uns jetzt an, was passiert, wenn es dx gegen 0 geht. Und dann sehen wir hier unten an der Zeile der Differenzenquotient, der strebt gegen die Ableitung von a, wenn es dx

gegen 0 geht. Jetzt haben wir aber noch die linke, die linke Grenze und die rechte Grenze, also f- und f max. Und da können wir auch was zu sagen, denn wenn es dx gegen 0 geht, dann gehen die beiden Grenzen von diesem Intervall ja immer näher aneinander. Das heißt, das Minimum und das Maximum, das kommt auch immer näher aneinander. Und im Grenzfall ist das Minimum und das Maximum gleich, nämlich gleich f an der Stelle x. Das heißt, wir können sagen, Ja, wenn diese Ungleichung hier gilt, kommt raus für dx gegen 0. Auf der linken Seite

f von x ist kleiner gleich in der Mitte a strich von x und auf der rechten Seite f von x. Ja, und dann folgt daraus, dass a strx sein muss. Also die Veränderung von der Fläche a entspricht genau den Funktionswert von der Funktion klein f an der Stelle x. Das kann man sich auch noch mal auf eine Andere Art und Weise geometrisch anschauen, die finde ich ähm auf eine gewisse Art und Weise intuitiv ist und auf gewisse Art und Weise auch wieder so ein bisschen unlogisch. Ihr werdet gleich sehen, was ich meine. Also, ich habe

hier wieder dieses Integral, da ist mein Graf. So, hier lege ich das A fest. Und jetzt gucke ich mir, wenn da hinten Das B ist, gucke ich mir irgendwo hier ein X an. Jetzt kommen paar gestrichelte Linien dazu. So, dann muss ich das Ganze noch beschriften. Y = F von X und X. Und das hier nenne ich jetzt mal a von X. Ja, wenn wir die Variable x verändern, wenn wir die nach rechts schieben, ja, dann wird eben auch die Fläche A sich da begrößt. So, jetzt schiebe ich mal das X ein ganz Kleines bisschen

nach rechts zu x + dx. Und um was wird dann die Fläche größer? die wird um diesen Bereich hier größer. Und wenn das dx gegen 0 geht, ja, dann wird aus diesem sch aus dieser schraffierten Fläche nur noch ein Strich. Also für dx gegen 0 wird die Veränderung der Fläche, das ist dieses A von X, besteht dann nur noch aus dem Strich, aus dem allerersten Strich aus diesem hier. Und das ist gerade f von x. Also mit anderen Worten, es kommt nur ein Strich zu der Fläche dazu. Die Ableitung der Fläche ist dann dieser Strich

und das ist das fon x. Ja, und das Unlogische daran ist, dass ein Strich natürlich keine Fläche hat. Da ist die Fläche gleich null. Aber wir können trotzdem sagen, die Fläche wächst um diesen Strich an dies unendlich schmale Rechnung. Das ist die der Zusammenhang zwischen Integral und Flächen. Wenn wir eine Funktion integrieren können und ich muss noch dazu sagen, wenn diese Funktion überall nicht negative Werte annimmt, dann können wir die Fläche unterhalb der Funktion als Integral interpretieren und ausrechnen. Okay. Und das ist ziemlich ähm ziemlich nützlich. Wir können mal ein Beispiel machen. Einfach mal ein

Beispiel ausrechnen. So Als Beispiel, ich möchte jetzt die Fläche von folgender Funktion ausrechnen. Die sieht so aus. Hier ist das Y, hier ist das X und die Funktion heißt a - x². Und was müssen wir dann hier haben? Ich glaube, wenn hier Wurzel A steht, ja, dann ist der Funktionswert gleich 0. Und mich interessiert jetzt diese Fläche. Ja, da können wir nicht mit Rechtecken und mit Dreiecken argumentieren. Ja, wir können aber trotzdem irgendwie diese Fläche ausrichten. Mir fällt gerade ein, dazu muss ich aber noch definieren, wie das mit diesen Integrationsgrenzen ist. Ja, also der die

das linke Ende vom Intervall, das rechte Ende vom Intervall und das habe ich leider noch gar nicht definiert. Das brauchen wir noch. Deswegen lass uns gleich mal zu diesem Beispiel zurückkommen und dann können wir das noch mal konkret Ausrechnen. Okay, also mal ganz kurz zurückgestellt. Jetzt müssen wir also äh die bestimmten Integrale noch definieren. Hier sehen wir noch mal das unbestimmte Integral. Unbestimmtes Integral bedeutet an diesem Integrationszeichen sind keine Grenzen. Es gibt kein linkes A, kein rechtes B. Wir können einfach nur sagen, okay, die Fläche unterhalb eines Grafens können wir als Stammfunktion aufschreiben, als Funktion

A, das dann eine Stammfunktion Ist von der Funktion, die im Integral drin steht. Jetzt kommen wir zum bestimmten Integral. Beim bestimmten Integral sind jetzt hier diese beiden Buchstaben noch an dem Integral dran. Und das bedeutet, wir sollen die Fläche eben nicht über den kompletten Definitionsbereich oder über die kompletten reellen Zahlen ausrechnen, sondern wir sollen bei Aen und bei B aufhören. Ja, so wie ich das eben in diesem in Dieser Beispielfolie schon angedacht hatte. Jetzt können wir uns überlegen, das ist sozusagen die Fläche bis minus die Fläche bis A. Ja, so kann man das interpretieren. Das

heißt, wir rechnen erstmal die Fläche bis aus und ziehen davon die Fläche bis A. Das heißt, dieses bestimmte Integral ist die Differenz von zwei Stammfunktionen, also von der gleichen Stammfunktion, aber an zwei Verschiedenen Punkten. Einmal an der oberen Integrationsgrenze und einmal an der unteren Integrationsgrenze. Und weil diese Stammfunktion ja auch noch diese Integrationskonstante dabei haben können, wir aber die gleiche Standfunktion und damit auch die gleiche Integrationskonstante einmal addieren und einmal wieder abziehen, fällt diese Integrationskonstante weg. Das heißt, beim unbestimmten Integral ohne Grenzen brauchen wir die Konstante. Beim Bestimmten Integral mit den Integrationsgrenzen, da brauchen wir

die Konstante nicht. die So und jetzt gibt's noch zwei verschiedene Schreibweisen. Also, wir benutzen in den meisten Fällen diesen Ausdruck hier. Das reicht uns in den meisten Fällen aus, aber manchmal in Übungsaufgaben oder so werdet ihr auch die anderen beiden Ausdrücke sehen. Also, wenn wir so einen senkrechten Strich vor das F Hinschreiben mit dem kleinen A unten, kleinen B oben, dann ist damit eben das bestimmte Integral äh gemeint, dass bei Akt und bis B anfängt. Oder alternativ gibt's auch diese Schreibweise mit dem eckigen K. Bedeutet alles das gleiche. So, und jetzt möchte ich mit dieser

Definition zu dem Beispiel zurückkehren und diese Fläche ausrechnen. Ja, ich werde nach der Vorlesung diese Folie dann ein bisschen nach hinten Verschieben, damit das inhaltlich sinn macht. Also gesucht ist das Integral, wenn hier die 0 ist, von 0 bis Wurzel a. Ups, jetzt habe ich da ein A hingeschrieben. Soll natürlich 0 heißen. 0 bis W√ a. Und was steckt in der Funktion drin? Im Integral drin diese Funktion a - x² dx. Und jetzt sollen wir die Regeln anwenden, die wir bisher gelernt haben. Ja, wir brauchen mehrere Regeln und Vielleicht habt ihr Lust euch daran mal

zu probieren. Redet ruhig miteinander, untereinander, helft euch gegenseitig. Ich lasse euch jetzt noch mal 2 Minuten Zeit und dann können wir über die Lösung davon sprechen. Okay, also wir müssen das bestimmte Integral ausrechnen. Das heißt, letztendlich müssen wir f an der Stelle Wurzel Ausrechnen. Groß F meine ich jetzt und davon f an Der Stelle 0 abziehen. Aber was hält? Was ist f? Ja, das ist eigentlich die Frage. Also für das Wichtige oder schwierige Aufgabe ist das große Fe Stammfunktion auszurechnen. Hat sich da jemand dran probiert? Wenn ihr noch nicht komplett fertig seid, überhaupt nicht schlimm.

Ein erster Schritt hilft auf jeden Fall schon mal weiter. Wie kriege ich das große F? Ja, bitte schön. Also das A vor das Integral ähm im Prinzip ein guter Ansatz. Wir müssen aufpassen, das müssen wir wirklich behandeln wie eine Summe und wir haben hier a - x². Das heißt, wenn wir das A hier rausziehen, müssen wir das eigentlich auch aus dem X² rausziehen. Also es mussen, wenn wir etwas vor das Integral schreiben, dann muss das ein gemeinsamer Faktor sein von allen Termen, die hier in der Summe drin stehen. Deswegen an der Stelle klappt das leider

nicht, aber vielleicht was ähnliches. Ja, stellt euch einfach vor, das hier ist eine Summe. a - x² summieren wir immer wieder auf und alles, was ihr mit Summen machen dürft, d wird auch damit machen. Das ist eben so ein bisschen gezögert. Willst du was sagen? Wow, direktes Ergebnis. Also Vorschlag f Von x = ax - 1/3 x hoch 3 ist sogar richtig. Herzlichen Glückwunsch. Perfekt. Äh ich mache hier noch so ein + C dahinter. Okay, aber eigentlich nur zum Spaß. So, die Frage ist aber, was für wichtiger ist, wie kommen wir denn da drauf, bitte?

Wie ist der Kollege denn bitte auf diese Lösung gekommen? Willst du das verraten? Okay, fangen wir mal damit an. Du sagst, Wenn man jetzt das groß f ableitet, dann kommt man auf den Ausdruck, der hier im Integral drin steht. Das stimmt. Das können wir auch direkt mal machen. Also df von x dx a* x abgeleitet nach x = a und dann kommt -3 x hoch 3. Die 3 muss ich nach vorne ziehen. + 3 x -13. Und da muss ich ein von der 3 abziehen, also hoch 2 und das C fällt weg beim ableiten. Dann

ist das a 3* -13 - x². Also stimmt, aber trotzdem bleibt die Frage, wie bist du darauf gekommen? Also man kann jetzt sagen, okay, ich habe das gesehen, ich habe das vermutet, dass das so ist und dann probiert man es einfach mal aus. Perfekt. Aber ich möchte, dass das für euch kein Glücksspiel ist. Ich möchte, dass ihr eine handfeste Methode habt, mit der das auf jeden Fall rauskommt. Das heißt, ihr sollt die Regeln benutzen, die wir euch vorgeben haben. Und da oben meldt sich jemand, du Hast noch gar nicht eins gesagt. Bitte schön. Genau. Also

ich glaube, der wichtigste Punkt, den du gemacht hast, ist, dass du diesen Ausdruck A - X² einfach separat angeschaut hast. Du hast dir einmal das die Sache mit dem A angeschaut und einmal die Sache mit dem X². Und die Regel, die dazu gehört, die schreibe ich mal hiermit auf. Ich habe doch bestimmt noch Platz. Also das Integral von 0 bis W√ a von a - x² dx. Die Regel, die wir Hier benutzen können, ist, wir haben hier in dem Integral eine Summe stehen. Also eigentlich ist es eine Differenz, aber wir können ja auch sagen, da

steht a + - x² und dann können wir aus diesem einen Integral einfach zwei Integrale machen und zwar einmal das Integral von 0 biszel a, was nur dies a beinhaltet und dann das Integral von 0 bis Wurzel a, wo dann - x² dx drin steckt. So, jetzt haben wir die getrennt, die Beiden und können die separat betrachten. Man kann sich jetzt überlegen, welche Funktion erfüllt das, wenn ich sie ableite, dann kommt A raus, ne? Dann dann weiß man, okay, es ist a mal X. Ja, wenn ich a mal X ableite, dann kommt A raus. Aber

woher weiß man das? Dazu könnte ich das, also wenn man das jetzt nicht direkt sieht, das ein ganz kleines bisschen komplizierter aufschreiben. Das Integral Von 0 bis a mal a. Jetzt steht da ja mal 1 bzw. mal x hoch 0 dx. Und dann habe ich mein R wieder gefunden. Ja, dann kann ich die Rechenregel benutzen. Also das x hoch 0, das ist gleich 1 und diese Null da, das ist mein R. Und dann kommt das zweite Integral. Hier habe ich eine multiplikative Konstante im Integral drin steht, nämlich eine -1. Die kann ich auch aus dem

Integral rausziehen. D steht da - 0 bis a und dann x² dx. Und dann habe ich hier wieder ein r, nämlich das r = 2. Und dann benutze ich diese Formel mit den Rs. Also, dann habe ich hier ähm ich unterteile das jetzt mal. Das ist das eine Integral, das ist das andere Integral. Und das nenne ich jetzt einfach mal 1 Und das ist das Integral 2. Ja, und wenn ich jetzt die Stammfunktion 1 suche, also f1 von x und die Regel mit den RS benutze, dann ist das 1 dur r + 1, also 1

dur 0 + 1 mal a mal x hoch r + 1, also 0 + 1 + c und ich nenne das c mal c1. Ja, das heißt, der Bruch ist 1, x hoch 1 ist x, das ist also x + c1. Und die Stammfunktion von dem zweiten Integral ist dann 1 ge 2 + 1* x hoch 2 + 1 + c2 ist also 1/3 x hoch 3 + c2. Und dann muss ich die beiden noch zusammen addieren und dann kriege ich äh bzw. ich muss die beiden voneinander abziehen, weil hier in der Mitte steht ja

ein Minuszeichen. Ja, und dann komme ich hier oben hin und dieses C ist quasi C1 + C2. Hui, also ganz schön viel zu tun. Bitttechön. Äh, ich habe vergessen irgendwie noch was zu schreiben. Entschuldigung, kannst mir noch mal sagen, wo ein A habe ich vergessen, ne? Ja, danke schön. Entdeckt. Ich ma mir ein bisschen Platz. Hier kommt noch ein A hin. Ich schreib das mal in rot dazu, damit ihr seht, wo an welcher Stelle ich was dazu brauche. Vielen Dank. Okay, also auf diese Art und Weise können wir begründen, wie wir zu dieser Stammfunktion kommen.

Was machen wir jetzt mit der Stammfunktion? Wir setzen jetzt einmal Wurzel A ein und einmal 0 ein und rechnen die Differenz aus und dann haben wir die Fläche. Also, das ist gleich. Hoffentlich passt das hier hin. A mal wurzel A - 1/3 mal wurzel A hoch 3 + C. Ja, das ist f von Wurzel a und jetzt ziehen wir f von 0 ab. Also - a* 0- minus gibt + 1/3* 0 hoch 3 - c. Und jetzt kürzen sich die beiden Cs weg. Der Rest von f von 0 ist einfach gleich 0, fällt auch weg.

Und es bleibt dann übrig A* Wurzel A - 1 Dritt. Okay. Wurzel A hoch 3 ist Wurzel A* Wurzel A* Wurzel A. Zwei Wurzeln kürzen sich weg, also kommt da auch A raus. Okay. Und jetzt bin ich fast fertig. Das ist dann also 2 mal a mal Wurzel A. Das ist die Fläche von dieser Funktion, also die unterhalb dieser Funktion im Intervall von 0 bis Wurzel a. Okay, ihr werdet natürlich noch mehr Funktionsgleichungen bekommen, von denen ihr das Integral ausrechnen sollt. Es soll nicht die einzige Übung bleiben. Versucht das komplizierte Problem aufzubrechen in viele einfache

Teilprobleme Und dann löst ihr die Teilprobleme Schritt für Schritt und kommt dann bestimmt zum Ziel. So, jetzt muss ich wieder ein bisschen vorblättern. ist hier waren wir eben gekommen und hier sehen wir jetzt noch ein paar Rechenregeln, die wir für bestimmte Integrale benutzen können, ne? Dann sehen wir, dass das wirklich so wie Summen eigentlich sind, bis auf die erste. Ja, bei der erste ist nicht so Ganz klar. Ich gucke mir erstmal die zweite an. Hier steht, dass die Integralgrenzen gleich sind. Ja, ich fange bei a an, höre aber bei a wieder auf. Das heißt, hier

will ich die Fläche von dem Strich berechnen und die Fläche von dem Strich ist tatsächlich gleich 0. Hier bei der dritten Regel ist es so, dass wir dieses Intervall von A bis B aufteilen in ein Intervall von A bis C und ein Intervall von C bis b. Das heißt, wir teilen einfach die Gesamtfläche auf in zwei Teilflächen und dann steht hier die Gesamtfläche ist eben die Summe aus den beiden Teilflächen. Und auch beim bestimmten Integral gibt's diese Rechenregel, dass wir eine gemeinsame Konstante, einen Faktor, einen gemeinsamen Faktor vor das Integral ziehen können. Ja, das gilt

für bestimmte, genauso wie für unbestimmte. Und jetzt gucken wir uns die allererste Regel an, die hier steht. Wenn ich die Integralgrenzen vertausche, dann muss ich einfach nur ein Minuszeichen davor schreiben. Wie ist das denn gemeint? Das können wir auch argumentieren, wenn wir uns dran erinnern, wie ist das bestimmte Integral definiert. Ich schreib das noch mal so auf. das Integral von a bis bin f von x dx, weil er definiert Stammfunktion groß f an der Stelle b - Stammfunktion groß f an der Stelle a. Und jetzt mache ich genau das gleiche Mit der rechten Seite. Also

das Integral von b von x dx, aber ich ziehe noch das Minuszeichen davor. Also ich guck mir einfach die rechte Seite an und schaue, ob jetzt das gleiche rauskommt. Das ist also Minuszeichen. Obere Integralgrenze einsetzen, - f an der unteren Integralgrenze. Und wenn ich jetzt das Minuszeichen in die Klammer reinziehe, steht da - F von a - F von b. Und da sehen wir dieser Ausdruck und dieser Ausdruck, die sind wirklich gleich. Also das Vertauschen der Integrationsgrenzen führt einfach zum Vorzeichen Wechsel. Und da seht ihr auch schon, hey, wir können das Integral allgemeiner benutzen, als

wir es für Flächen äh nur interpretieren können. Also, die Interpretation Fläche ist eine Möglichkeit, aber das Integral Funktioniert auch ganz allgemein. Vor allem auch dann, wenn die Funktion negative Werte annehmen kann. Dann können wir die Fläche unterhalb der Funktion ähm das Integral nicht mehr als Recheninhalt der Funktion interpretieren. Okay, eine richtige wichtige Rechtenwegel betrifft das ableiten des Integrals nach den Integrationsgrenzen. Also, ich mache noch eine kleine Skizze, damit man sieht, worum es geht. Hier ist mein X, da ist mein Y, hier ist wieder die Funktion, dann ist hier ein A und hier ein B. Und

unter dem Grafen ist diese Fläche A. Ja, der Graf verläuft Braf oberhalb der X-Achse, also nur unsere negative Funktionswerte. Und ich will jetzt wissen, hey, um wie viel wird die Fläche größer, wenn ich das b die rechte Integrationsgrenze ein kleines bisschen nach rechts schiebe? Und die Antwort lautet, dass die Fläche wird genau um diesen Strich hier größer, also um f von b. Ja, das steht hier. Aber warum ist das so? Die Begründung ist tatsächlich gar nicht so schwer. Dazu schreibe ich wieder auf, wie ist das bestimmte Integral definiert? Das ist f an der oberen Integrationskrenze

- f an der unteren Integrationskrenze. Ja, und wenn die beiden Ausdrücke gleich sind, dann müssen ja auch die Ableitungen gleich sein. He, wenn ich jetzt diese Differenz nach B ableite, dann kommt da raus, ich schreib mal hier unten weiter, das hier und das hier ist eine Konstante, die hängt nicht von B ab. Wenn ich die nach B ableite, steht also -0. Okay, aber die Ableitung von der Stammfunktion, das ist ja die Funktion klein f, das ist das, was hier steht. Also, das hier ist eine Abkürzung für euch. Stellt euch vor, dass diese Funktion klein fliziert

ist und zwar super kompliziert in dem Sinne, dass es überhaupt keinen Spaß macht, das Integral davon auszurechnen. Wenn ihr jetzt nach der Integrationsgrenze ableiten müsst, dann müsst ihr das Integral gar nicht Ausrechnen. Ihr müsst nur geht nicht zum klein f nehmen und bis da reinstecken. Das ist viel weniger rechenaufwendig, als wenn ihr erstmal integriert und dann abreichtet. So, hier an der unteren Zeile haben wir nicht nach der oberen Integrationsgrenze abgeleitet, sondern nach der unteren Integrationsgrenze. Das kann man auch wieder so motivieren. Wenn ich groß f von b - groß f von a jetzt nicht nach

beleite, Sondern nach A, dann fällt der erste Punkt weg. F von B hängt mich von A. Fällt also beim Ableiten weg. ist df von a da, also klein f von a minuszeichen vergessen. Hier kommt noch Minuszeichen. Also, wenn wir die linke Intervallgrenze ein bisschen nach rechts verschieben, dann wird die Fläche ein kleines bisschen kleiner. Daher kommt das Minuszeichen und sie wird genau um den Strich kleiner. Um den Strich der die Höhe sein F. Okay, kommen wir zu ökonomischen Anwendungen. Wir haben noch ein bisschen mehr als 10 Minuten Zeit und jetzt kann ich quasi einmal dieses

Integral benutzen, um auf ein Wohlfahrtsmaß hinzuarbeiten. Ein Teil des Wohlfahrtsmaßes, wo ich hin will, ist die Konsumentenrente. So, was soll das sein? Ich gucke mal ganz kurz auf die nächste Folie. Hui, viel Text. Das möchte ich anhand eines Bildes auch noch verdeutlichen. Also inverse Nachfragefunktion ist eine Funktion, die hängt von der Menge ab und die für jede Menge sagt mir die inverse Nachfragfunktion, welchen Preis kann ich am Markt erzielen? Welchen Preis bekomme ich für das Produkt, wenn ich bereits Qeinheiten auf dem Markt stehen habe? Und um diese inverse Nachfragefunktion zu motivieren, ist es sinnvoll, sich

das aus Sicht von Konsumenten anzuschauen. Ein Konsument oder eine Konsumentin konsumiert bereits Qinheiten und überlegt sich, wie viel bin ich bereit für die nächste Einheit zu bezahlen? Und dieser Preis, den die Konsumentin, der Konsument sich dann ausrechnet, das nennt man dann den Reservationspreis. Ja, jeder Preis, der drüber legt, äh den würde ich ablehnen und alle Preise, die drunter liegen, zu denen wäre ich dann bereit, den Kauf zu tätigen. Also, stellt euch vor, ihr steht vom äh vor der Eisdiele, kauft euch Eis und normalerweise hat man sich ja im Vorhinein schon überlegt, ey, ich will jetzt

ein Eis mit drei Kugeln und Sahne haben. Und dann bestellt man das. Aber versucht das mal ein bisschen anders zu denken. Ihr geht hin und sagt, ich will eine Kugel Eis. Dann sagt der Verkäufer, okay, kostet ich weiß nicht, wie viel kostet aktuell Kugel Eis. Ist gerade Winter. Wir sagen einfach mal der Einfachheitshalber war 1 €. Ja, also dann sagt der Verkäufer 1 € für die Kugel. Dann sage ich: "Oh, geil. Die erste Kugel, die ist mir auf jeden Fall 2 € wert. Dann bin ich auch bereit 1 € zu bezahlen. Mache ich ja sozusagen

Gewinn. Ja, ich krieg eine Kugel im Wert von 2 € muss nur 1 € bezahlen und diese Differenz nennen wir Handelsgewinn. Dann überlege ich mir aber h die zweite Kugel, die wäre jetzt vielleicht nicht mehr 2 € wert für mich, aber immer noch 1,50 €. Ja, ich finde die zweite Kugel nicht mehr ganz so toll wie die erste Kugel, aber ich finde die immer noch ziemlich gut. Und dann sage ich den Verkäufer: "Ey, stopp, ich will zwei Kugeln haben." Ja, ich will auch die zweite Kugel. Und dann sagt er mir: "Okay, zwei Kugeln kostet 2

€ 1 € pro Stück." Dann überlege ich mir, wie viel wä mir denn jetzt die Dritte Kugel wert? Und dann merke ich, okay, die dritte Kugel ist jetzt eigentlich zu viel. Eigentlich habe ich dann schon zu viel Eis gegessen, Gehirnfrost und so weiter. Die dritte Kugel ist mir nur noch 80 Cent wert. Und dann vergleiche ich diesen Reservationspreis mit dem Ladenpreis 1 € und kommt zum Schluss, die dritte Kugel kaufe ich nicht mehr. Ja, ihr merkt, dass jeder in sich Reservationspreise für Produkte trägt. Man ist sich dessen natürlich nicht immer so bewusst, wie ich das

jetzt plakativ dargestellt habe, aber eine wichtige Eigenschaft ist, dass je mehr ich etwas konsumiere, desto weniger wert ist mir dann der zusätzliche Konsum. Das heißt, der Reservationspreis, der sinkt in der Menge, die ich konsumiere. Und das ist die inverse Nachfragefunktion. Ja, wir nehmen an, die inverse Nachfragefunktion misst, wie viel was wert ist. Das hängt Aber davon ab, wie viel ich bereits konsumiere. In dem Beispiel, was ich jetzt eben genannt habe, die erste Kugel ist mir 2 € wert, ich bezahle 1 €. Die zweite Kugel ist mir 150 wert, ich bezahle 1 €. Die dritte Kugel

ist mir nur 80 Cent wert. Ich kaufe die dritte Kugel deswegen nicht. In diesem Beispiel hätte ich zwei Kugeln gekauft, hätte ein zugewinnten in mir drin von 3 € gehabt. Nein, warte mal, 3,50 €. Ja, erste Kugel 2 €. Zweite Kugel 1,50 €. Ich hätte Zugwinn von 350 gehabt, hab aber nur 2 € bezahlt. Das heißt, ich habe ein Handelsgewinn von 3,50 € - 2, also 1,50 € gemacht. Und dieser Handelsgewinn, den bezeichnen wir als Konsumentenrend. Ja, das ist der Surplus, Consumer Surplus, den ich aus diesem Handel herausziehe. Und wir möchten eben diese Handelsgewinne ausrechnen

können, nicht für so ein Pille Palle Eisprem, sondern für unsere wirkliche Gesellschaft, für ein bestimmten Markt, wo ein bestimmtes Gut gehandelt wird. Und das machen wir einfach, indem wir diesen Markt charakterisieren durch eine inverse Nachfragefunktion, die diese Relovationspreise darstellt. Und dann rechnen wir die Fläche unterhalb dieser inversen Nachfragefunktion aus. Aber abglich des Preises, der dafür bezahlt Werden muss. Ich mal das einmal auf. Haben wir das hier aufgemalt? Ja, wunderbar. Also stellt euch vor, das hier sind die Preise, die ich pro Kugel bezahlen würde, wenn ich bereits eine bestimmte Anzahl von Kugeln besitze. Und dieser Preis

P ist der Preis, den ich am Markt bezahlen muss. Dann kriege ich quasi für jede Kugel, die ich konsumiere, die Höhe von der inversen Nachfragefunktion Als Zugewinn für mich. Ich muss aber Geld bezahlen, nämlich P Einheiten. Das heißt, ich kriege die Fläche zwischen dieser Kurve und der Preisgraden kriege ich dazu. Je mehr ich konsumiere, desto niedriger ist mein Reservationspreis. Das heißt, diese Differenz wird immer kleiner. Ja, meine Handelsgewinne sinkten, wenn ich mehr konsumiere und irgendwann könnte es sein, dass der Reservationspreis genauso groß ist wie Der Marktpreis und dann würde ich aufhören zu handeln, dann würde

ich keine zusätzlichen Einheiten und die Fläche zwischen diesen beiden Kurven, die nennen wir konsumentenmoment. Also mit Kurve meine ich diese inverse Nachfragekurve und die andere Kurve ist eigentlich keine Kurve, sondern die Preisgrade. Ja, diese Differenz, das die Konsumentenrente und die können wir eben auch darstellen als ähm Integral, wie Wir das auf der Folge davor sehen, als bestimmtes Integral. Also ich konsumiere von 0 bis zur Menge Q0, sagen wir. Das ist die Anzahl der Kübeln, die ich dann tatsächlich kaufe und dann addiere ich für jede Einheit, die ich kaufe, meinen Reservationspreis und zieh davon den Marktpreis

ab. Und wir hab haben hier eben keine abzählbar endlich Menge von Kugelis, sondern eine kontinuierliche, also eine überabzählbare Menge von Kugeln. Und das Integral von 0 bis Q0. So, jetzt sehe ich hier noch einen kleinen Typo. Hier steht groß Q, da muss eben auch dieses Q0 stehen. Und jetzt können wir dieses Integral aufteilen in zwei Größen. Hier seht ihr im ersten Schritt einfach die Fläche unterhalb der inversen Nachfragekurve. Das wäre in dem Diagramm die komplette Fläche bis zur X-Achse bis hier unten hin. Und davon ziehen wir was ab, Nämlich Preis mal Menge. Und das ist

in dem Diagramm einfach dieses Rechteck. Ja, so können wir das alternativ auch darstellen. Also die Fläche von der Differenz von diesen beiden Funktion ist einfach die eine Funktion minus die andere Funktion und die Fläche von bei der anderen Funktion ist langweilig. Das ist nur recht. Ziehen wir einfach nur dieses Rechteck an. Okay, das ist ein Maß, mit dem wir das Wohlergehen der Konsumenten uns Anschauen können. Ich muss eine klitze kleine Anmerkung dazu machen. Wenn wir davon ausgehen, dass der Konsum von diesem Produkt keine Auswirkungen auf Dritte hat, also wenn es keine Externalitäten gibt, bei einem

Eis kann ich mir vorstellen, dass es zumindest nicht direkt eine Auswirkung auf andere Leute hat. wenn ich ein Eis esse, außer dass die vielleicht ein bisschen neidisch sind auf mich, solange ich mit dem Eis nicht die Straßenbahn Verschmutze, den Sitz da verschmutze oder sowas, glaube ich, gibt's keine negativen Auswirkung. Aber es gibt natürlich Güter, die sind schädlich für andere. Also z.B. Wenn ich Auto fahre, dann habe ich ein Risiko, dass ich ein Unfall baue. Jemand anders schade. Ich verpäste die Luft, ich verstopfe die Straße. Ja, wenn ich darum burke mit 30 und jemand schneller fahren

will, dann versperre ich dem den Weg. Das heißt, es gibt Dieses Congestion Problem, Verstopfungsproblem, das sind negative externe Effekte und die würden eben durch dieses Maß nicht berücksichtigt. Diese Konsumentenrente funktioniert quasi nur bei Gütern, die keine negativen Auswirkungen auf andere haben. Nächste Woche schauen wir uns dann die Produktionsseite an. Ja, wie sieht das aus mit der Produzentenrente? Mit anderen Worten, wie sieht das aus mit dem Gewinnen? Auch die können wir als Integral darstellen. Vielen Dank bis dahin für eure Aufmerksamkeit und einen guten Start in die Woche.