Sistemas de Controle (aula 06) Estabilidade, e Pólos dominantes

bom então a gente estudou antes ali né nas aulas anteriores ali a gente estudou [Música] a oposição dos polos ali né como que ela se relacionava com o tipo de resposta do meu sistema né só que faltou falar uma coisa ali né que é o critério da estabilidade acabei não mencionando mas os polos eles têm que estar todos lá no segundo plano esquerda então a gente divide aqui na parte imaginária aqui e os polos tem que estar todo aqui no silicone esquerda acho que um polo qualquer mesmo que eu tiver vários polos aqui se um

tiver no filme Direito um sistema já vai ser instável tá porque que isso acontece porque a gente viu lá que cada Polo ele representa lá no domínio do tempo uma exponencial né se o Polo tem parte real negativa ou seja tá nesse lado no segundo plano esquerda essa exponencial decresce né Com o tempo ela vai decrescente até o sistema atingir né o regime permanente ali né De acordo com a entrada que se eu tiver um polo aqui ele vai me gerar uma exponencial no lado direito que eles têm plano complexo ele vai me gerar uma

exponencial crescente Ou seja a minha saída aqui ela não vai entender algum aqui ela não vai entender o valor da entrada ela não vai convergir né para entrada ela vai divergir ela vai subir né vai ser uma exponencial que vai subir definidamente mas o sistema vai ser caracterizado como instável tá então polos sempre do lado esquerdo do sistema estável e zeros de transferência se houverem tanto faz estarem do lado esquerdo ou direito Eles não interferem na estabilidade do sistema mas interferem um pouco na resposta do sistema por exemplo se tu tiver zeros do lado direito

aqui né tiver dois zero um zero dois zero aqui tu vai ter um sistema que vai antes dele subir aqui ele vai ter uma resposta negativa e depois ele vai subir aqui né basicamente são sistemas de fase no mínimo que eles chamam mas o que tem que ficar claro aqui que só os polos que interferem na estabilidade Então se eles estiverem do lado esquerdo aqui ou seja tiverem parte real negativa o sistema é estado e lembrando que os polos estão aqui no próprio eixo aqui que vai dar um sistema mais geralmente estável ele vai oscilar

sem amortecimento indefinidamente de acordo com então basicamente é isso que eu tô querendo mostrar que se eu como eu falei se eu tiver um polo aqui no caso eu tenho dois aqui mas se tivesse só um mesmo se tivesse um polo só aqui do lado direito Olha o que que vai acontecer vai ter uma exponencial aqui que vai subir né na prática se fosse um sistema elétrico por exemplo ele iria saturar né aqui no começo depois de ver a saturar ele meio que virou uma onda Quadrada ou pode ser que isso dependendo do sistema pode

levar o sistema de destruição né Depende Depende do que a gente tá falando então por isso que a situação do sistema instável ela é indesejável mas não pode operar com cola usar direita né do plano que tu vai tu nunca vai convergir com um valor que vai levar o seu sistema a subir independente até ele saturar né ele bater nessa duração para sistemas de ordem superior a dois a gente viu agora aquela dinâmica temporal lá que a gente tinha visto lá anteriormente ali na aula anterior é tudo para sistema de segunda ordem e ainda por

cima naquela naquela forma padrão que eu tinha mostrado tá só que se eu tivesse esse sistema superior a ordem dois tá não existe um padrão ali de equações ali que me leve a respostas prontas que não tinha antes para aquele sistema padrão de segunda ordem o caracterizado do denominador agora se eu tenho sistema de ordem superior a dois você não tem as equações as formas mapeadas que não tem lá né que tudo vai depender né cada forma de onda da resposta vai definir da onde estão aqueles polos no caso estivesse mais que dois aqui e

aí esperei que usar tipo uma ferramenta gráfica como tilápia ali para te botar a resposta do teu sistema não teria como descobrir analiticamente ali como que vai ser aquela resposta pode se aproximar tá por um sistema de segunda ordem vamos dizer que eu tenho um sistemas ali com ordem 3 ou superior existem casos em que eu posso aproximar esse sistema ali para um sistema de segunda ordem tudo depende do desistir em pólos dominantes ou não né A gente vai ver depois então basicamente isso aqui tá eu tenho um sistema aqui primeiro um sistema Eu tenho

dois polos aqui tá aí eu adicionei um terceiro Polo no sistema eu adicionei primeiro ele nessa posição aqui ó tá mais longe desses dois polos aqui e depois coloquei ele mais perto desses dois povos aqui tá agora eu vou é interessante falar aqui do conceito de Polo dominante tá como eu falei antes tá esses polos aqui Eles produzem exponenciais no caso aqui exponenciais que é um exponenciais com multiplicadas por cenoides complexos conjugados E como eles estão mais perto né da origem eles são chamados de qual os dominantes tá quando a gente tem um sistema com

três polos ou mais aqui os que tiverem mais perto da origem São Paulos que vão produzir exponenciais com decaimento mais lento né Ou seja a resposta final do sistema aqui somando os três a influência dos três caras aqui ela vai ser muito mais significativa nesses polos que estão mais perto da origem do que nos que estão mais afastados só que claro a gente tem que ter um critério né você tá mas o quanto que tem que estar mais afastado desses dois aqui para poder desprezar ele né É isso que é a questão né tem bibliografias

ali que falam que por exemplo a parte real desses aqui ó tem que ser 10 ou 100 até 100 às vezes 100 vezes maior do que a parte real desse aqui para te poder desprezar esse cara aqui né então tudo depende né pode pilotar por exemplo a resposta do sistema considerando esses três povos aqui e considerando só esses dois para ver se fica muito diferente né fica muito diferente quer dizer que tu não pode desprezar esse Polo né a parte dinâmica dele no sistema contribuição dele né da exponencial dele ela é significativa para a resposta

dinâmica do sistema como um todo então basicamente isso que é Paulo é questão de pólos dominantes que estão mais próximos da origem tá se os outros estiverem muito afastados eles representam exponenciais que lhe caem muito rápido logo eles não vão interferir muito na dinâmica Eleitoral do sistema tá por exemplo a intenção aqui é mostrar que como quando esse Polo aqui tá próximo desses dois dominantes aqui olha o que que acontece cara por exemplo caso um tá caso 13 é o caso normal ter a resposta normal do sistema sem nenhum Polo Então eu tenho aqui tem

a resposta aqui do meu sistema é o s no caso um quando eu coloco um polo muito perto aqui dos dois aqui olha o que que acontece Tá eu vou eu vou modificar bastante vamos ficar totalmente a resposta então eu não posso desprezar esse cara aqui eu não posso aproximar essa dinâmica para uma dinâmica de um sistema de segunda ordem agora quando eu tenho um polo bem afastado afastado o suficiente desses dois caras aqui eu vou ter o caso dois aqui tá o caso dois tá ele começa diferente aqui ó parecendo que ele começa diferente

do caso três que assim os polos mas depois ele acaba tendo uma uma formato de resposta parecida porque olha só essa aqui é exponencial que que corresponde a esse cara aqui ela vai terminar bem rápido né porque um cara que tá bem afastado da origem logo depois que ela terminar a resposta ela se torna igual a esse sistema aqui tá como se não tivesse esse colo aqui então ela só vai interferir no comecinho aqui da resposta lá comparem aqui o dois o três tá essa aqui é curva dois e esse aqui é a curva 3

então aparentemente eu posso desprezar nesse caso aqui esse Polo aqui e aproximar minha dinâmica para uma dinâmica de segunda ordem e aí tá utilizando aquelas equações lá para axila né aquelas coisas que a gente viu na aula anterior de sistema de segunda ordem então a gente como eu falei antes tá da questão do Polo tá associado a uma exponencial tá caso um sistema de segunda ordem que possua dois desses polos tá por exemplo o Paulo em menos oito tá que esse cara que tá representado por essa exponencial vermelho aqui e o polo em menos de

0,33 tá bem mais perto de origem tá representado por esse azul aqui no domínio do tempo cada um desses dois paus ele virar uma exponencial tá decrescente isso aqui é a resposta é o degrau então por isso que aqui tá crescendo mas a exponencial insira o sistema lá ele crescente E essas exponenciais se somarão tá então no caso aqui vocês irão ser subtrair né se a gente fizer a transformação que é esse sistema aqui a gente chega nessa resposta aqui tá o resultado dessa soma que produz uma curva que você assumir é muita curva em

azul tá porque eu tenho esse Polo aqui e tenho esse polo em vermelho aqui tá vamos esquecer esse intermediário aqui em amarelo aqui esse cara aqui em vermelho ó chegou nesse período de tempo aqui ele já praticamente terminou tá exponencial já terminou agora esse cara que não ele leva bem mais tempo então no comecinho aqui se eu sou mais esses dois caras aqui pode ser que eu tenha uma resposta eu vou olhar Provavelmente tem uma resposta um pouco diferente dessa em azul mas depois que passaram esse tempinho aqui a resposta ela vai entender a ficar

só a do do solo aqui em 0,10 que é esse cara aqui em azul tá então aí eu poderia aproximar meu sistema dinâmica de primeira ordem né o corto esse pó aqui em 8 aqui e ficaria com esse cara aqui em azul porque a resposta desse sistema como um todo ela seria muito mais parecida com essa resposta azul do que com essa em vermelho aqui tá já se eu tivesse esse Polo aqui E esse polo em amarelo aqui para não poderia desprezar porque essa dinâmica aqui ela também ela dura bastante tempo né ela vai mais

ou menos até aqui Então nesse caso eu não queria como desprezar tá mais ou menos isso que eu quis dizer bom a gente viu antes a adição de um polo a mais tá mas se tiver um zero né você transferência tá o zero também ele vai influenciar na dinâmica temporal supondo que eu adicionei um zero tá no segundo plano esquerda nesse caso aqui tá Isso pode que eu tô começando com o sistema com dois polos tá com esse cara aqui que vai estar me gerando esse cara aqui ó que tá essa curva aqui que tá

associada no zero né ou seja 62 polos aqui aí eu vou ter essa curvinha azul mais de baixo aqui e ele tá analisando aqui se eu colocar um zero na posição menos três um zero na posição menos cinco e o zero na posição menos 10 o que que vai acontecer com o efeito da resposta tá então se você colocar um zero em menos 10 eu vou ter essa curva em preto aqui então percebam que ele vai influenciar bem pouco na dinâmica temporal original do sistema e cada vez que o zero vai ficando mais próximo da

origem ao zero em menos três que é o mais próximo de origem ele vai influenciar mais sobre esse sinal na resposta dinâmica então o zero também ele vai influenciar na resposta né embora ele não pode no sistema instável ele influencia na resposta dinâmica também quanto mais próximo da origem o zero tá aqui mais ele vai estar influenciando no sistema Aqui nós temos original aqui que não teria nenhum zero né seria dado por essa situação aqui como eu falei antes Lógico que tivemos erros que o sistema não fica instável Mas em compensação ele apresenta essa calda

aqui vai ter um sinal negativo aqui no começo da resposta né Isso aqui é a resposta do sistema né na saída ela vai ser negativa por um instante depois vai estabilizar no valor comum dela tá então é isso que é o efeito de um zero a direita tá chamado de temas com zero nos plano direito são chamados de sistemas de fase no mínimo e agora a possibilidade tá pode existir a possibilidade de cancelamento entre Pole zero e isso que esse exercício Aqui tá dizendo tá olha só que eles têm que avaliar quando que tu pode

cancelar um polo com zero tá se eu tiver por exemplo aqui ó nesse exemplo aqui eu tenho um zero em menos quatro e um polo também vai estar lá em menos quatro né representar lá no clube complexo 4,01 ele assiste se fosse quatro eu poderia cortar logo de cara aí eu simplifico Meu sistema tá aí volta a ser um sistema de segunda ordem né porque aliás seria de terceiro porque eu tenho esse S aqui mas enfim eu só posso cortar aqui cortar aqui quando eu tenho exatamente o mesmo se eu tivesse mais quatro eu poderia

cortar mas como não tem eu tenho que avaliar se eu posso fazer esse cancelamento entre Polo zero então para cada uma dessas duas funções Aqui tá o exercício aqui tá pedindo se existe a possibilidade de fazer um cancelamento do zero com o Polo que tá mais próximo dele então qual é o povo que tá mais eles fizeram em quatro que inserir esse polo em 3,5 né E nesse caso aqui o Polo que tá mais próximo desse cara aqui seria o polo em 4,01 então expandindo infrações parciais aqui né A primeira equação aqui eu vou ter

isso daqui aí tu vai olhar agora o resíduo né do polo em -3,5 aquele Paulo que tu queria usar para cancelar esse cara aqui o resíduo dele é um tá contribuição dele o cara que tá no numerador aqui do termo que representa esse Polo aqui né tu analisou para tá analisando para ver se pode cancelar o que eles fizeram ele é um Então como esse cara aqui ele ele tá mais ou menos na mesma ordem de grandeza dos outros polos aqui [Música] ele não vai poder ser cancelado tá com aquele zero lá então significa que

para esse sistema aqui eu não posso fazer cancelamento desse Polo pois fizeram agora analisando esse cara aqui que é o C2 tá expandindo isso daqui como o termo associado ao Polo que eu tô estudando se eu posso cancelar que seria esse cara aqui ó esse e mais 4,01 o termo do numerador dele ele tem duas ordens de magnitude abaixo dos outros povos você já tô com 0,033 aqui isso aqui é bem menor do que esses caras aqui então significa que eu posso cortar esse cara aqui aí esse colo aqui com esse zero aqui sem que

haja um prejuízo muito grande ali na dinâmica temporal de sistema né assim que ela seja muito afetado basicamente é isso que né cortando esse zero aqui aliás esse Polo aqui com aqueles eram eu vou estar tendo essa resposta aqui então é isso que esse exercício aqui quer dizer né Depois vocês podem ver ele com mais calma aqui isso aqui é um exemplo retirado do livro né bom na próxima aula a gente vai continuar ali o estudo dos sistemas de controle então para não ficar muito longo É isso aí valeu