Cálculo I - Aula 14 (2/3) Teorema do Valor Intermediário

[Música] agora a gente vai passar de fato por uma parte uma segunda parte do curso que é tentar estudar máximos e mínimos de funções de uma variável real está impresso a gente precisa de umas coisas anteriores que vão depender essencialmente daquele axioma do supremo que a gente viu lá no comecinho então se você quiser botar um título para essa parte da matéria a gente vai chamar de conseqüências não tem mais treino aquilo consequências entrega idade consequências do axioma no supremo para funções contínuo tá na verdade funções contínuas definidas em intervalos fechados mas tudo bem então

pra gente falar disso vamos vamos retomar o que quero acima do supremo vocês lembram o corte anunciado dele eu lembre vamos lá então axioma do supremo só pra gente retomar isso aqui que se dizia isso é o que é o supremo né a gente lembra o que é o supremo também acho que vale a pena o que aconteceu no supremo dizer pra gente que todo o conjunto não vazio ilimitado superiormente admite supremo essa frase ok mas ela não tem o menor significado se você não sabe o que é o supremo né então vamos relembrar que

é tudo o que é um conjunto não vazio é um conjunto que tem pelo menos um elemento isso tudo a gente sabe desde os tempos mais remotos né que é um conjunto se limitado superiormente a pensando aqui todo o conjunto vazio limitado superiormente de números reais que é um conjunto de números reais e limitado superiormente existe algum número número mesmo valor infinito que é maior do que todos os elementos do conjunto tá então um conjunto que tem pelo menos um elemento que é limitado superiormente admite supremo que quer o supremo de um conjunto é o

menor número que ganha de todos os elementos do conjunto tá então todo o conjunto não vazio que não explode para infinito tem um cara que ganha de todos eles porque ele é limitado superiormente mas tem o menor elemento que ganha de todos eles a superintendente tivo super óbvio isso quando você pensa no intervalo mas tem um monte de conjuntos na reta que não são intervalos né então tem os conjuntos bem maluquinhos aí que a gente precisa pensar que eles podem existir tá bom então essa idéia não é e só lembrando quer dizer que que é

se você tem a um subconjunto da reta que é osso pedir a um mínimo de todos os simpsons pertencentes à r tais que y é maior igual que x para todos x dentro do conjunto tá é o menor cara que ganha de todos os elementos do conjunto tudo bem só com essa propriedade a gente tinha um monte de coisas a respeito do que pode acontecer com uma função contínua e em particular no intervalo fechado a primeira coisa que a gente tira há funções contínuas não necessariamente intervalos fechados é o que a gente chama de teorema

do valor intermediário que de fato é super óbvio não quero anunciar que vai falar claro não podia ser nada diferente disso o que a gente sempre pensa nas situações você vai lá vou fazer o desenho de uma função continua quando se faz um desenho está claro que ele é mas quem falou que toda função continuar do jeito que você desenho na verdade quando você faz o desenho só viu humana que aquela então primeiro teorema que a gente tem chamar teorema do valor intermediário tá aqui eu vou chamar atenção em uma coisa e se chama teorema

do valor intermediário depois a gente vai prender o outro teremos uma teoria do valor médio os nomes podem ser parecidos mas são coisas bem diferentes também o tema do valor médio do ac a pouco teremos um valor intermediário adora esse a gente vai chamar de tv e e outro de tvm você vê na lista de exercícios acho que o segundo o terceiro pede para você usar o tvm para fazer um monte de coisas o terceiro é o segundo exercício bom então esse a gente vai fazer nas próximas aulas teremos um valor intermediário fala sobre ficções

contínuas tema do valor médio sobre derivadas de funções funções privadas então esse aqui anunciado o seguinte seja fdr é então vou pensar sempre seja um f drr uma função contínua e dois números reais a e b pertencentes à r vamos pôr assim e pega o número y qualquer também tais que vale é o seguinte coisa tá então vamos ver vamos tentar entender o que são as hipóteses de se terem pego uma função contínuo pega dois números a e b a menor do que o bb está e se saiba eu tô pensando no domínio da função

que eu tô calculando efe neles e pega um y que está no contra domínio da f1 essa é a ideia pedir dois números a e b calculei a função não há cálculo em função do b olhei os valores pega o número y entre efe gf db q esse teor e monte diz então existe um x dentro do intervalo a b fechado tal que chegou aí ou seja se você tem uma função contínua que num certo ponto atingiu esse valor em um outro ponto atingido esse valor qualquer valor intermediário entre fd à efe db é um

ponto da imagem da função ou seja é a função atingir pega uma função continua aqui um ponto vale 3 em outro ponto vale 7 escolhe um número qualquer número que você quiser entre 3 e 7 5 vai ter algum ponto x entre os dois de modo que heath desse cara vale5 a ou seja se uma função continua a atingir um valor e atingir outro forçosamente la a atingir todos os valores entre esses dois carros para qualquer y entre efe gf/db existe o utah é super óbvio porque se você for pensar porque o que é uma

função contínuo se desenha gráfico delas em tirar a obra do papel ok então se eu desenhe uma hora passou pela altura fd a e depois passou pela altura efe db como é que eu posso sair na vertical dfda psdb sem tirar a obra do papel cobrindo todos os valores entre efe gf/db super razoável e é claro que se a função for continuar no ps é verdade atinge o valor 2 nesse ponto e pula para o cinco de repente sem problema nenhum tá então precisa ser contínuo para isso acontecer então o resultado superou óbvio mas como

é que se pode ele é muito forte tá como você pode usar ele por exemplo suponha que atua função supõe que precisa resolver uma certa equação o assunto o nome ao degrau 19 tá bom vamos fazer um exemplo tá 19 demais não vai dar tempo de terminar de escrever o próprio nome antes de acabar lá pegar grau 3 que a gente não tenho básica para resolver tá então pega o ceará x ao cubo -3 quadrado mais 2 x -7 tá quero saber por exemplo se essa equação tem soluções reais existe algum número x hawks documento

trechos quadrado mas 2x é igual a 7 como é que a gente pode fazer isso a função fdx igual x ao cubo menos 3 x quadrado mais 2 x é uma função contínuo de nome contínuo você consegue achar algum valor de x onde ela se um valor menor do que 7 quanto vale a 0 por exemplo 0 tem algum valor maior do que 7 que essa função atingir de lanches igual a quanto em 4 10 lá chegou a 4 vai 4 ao cubo da quando 64 - 48 16 16 + 8 24 tá então efe

de 4 a igualdade eu falei eu falei 24 sim é bom o número 7 está entre esses dois se dão pelo tolima do valor intermediário que isso implica que existe não tá dizendo que é o único tá existe pelo menos um ponto onde fx é igual a 7 então pelo tema do valor intermediário na inscrever só assim o tvm implica que existe um x dentro do intervalo nesse caso até aberta porque eu sei que não é nas pontas né que é o valor 7 assumido existe algum x lá dentro tal que fx é importante que

a gente provou usando o teorema que essa equação tem pelo menos uma solução real qual é e já tá querendo demais mas eu sei que existe depois usando a derivada a gente até consegue tentar estimar quantas soluções têm de saber que na lista tem vários exercícios desse tipo estúdio número de soluções da equação tal porque a gente vai conseguir com a dla derivada eu tolima do valor médio junto com esse estudo o comportamento da função que define a equação tá é o sentimento de mel isso é verdade a gente sabe que como é um pulinho

nome de grau 3 aqui no caso que a gente sabe do termo fundamental da álgebra que ela tem três raízes reais contando três raízes contando multiplicidade e como os coeficientes são todos reais que a gente sabe se uma raiz complexos número complexo arraes o conjugado também é então se eu tenho mais complexa eu tenho duas sobra mais uma que também não pode ser complexa porque porque se eu tivesse não eu tenho eu tenho uma complexa eu tenho duas eu tenho duas complexas distintas eu vou ter quatro que é a primeira a sua conjugada a segunda

é só com julgado pode um polígono de grau 3 e 4 raízes não então assim que se prova que todo polonês degrau inpar tem pelo menos uma raiz real porque se ela tiver uma complexa elas vão vir em paris e vai sempre sobrar um grau um carinho no grau tá bom então eu sei que tem pelo menos uma raiz já da teoria da dahw giba que esse problema está me dizendo que tem pelo menos uma e uma delas é algum número entre 0 e 4 isso teremos um valor intermediário também permitindo localizado é claro que

aqui você a ser a que se ela tem raízes racionais não é você tem aquele método de pesquisa de raiz racionais são todos os divisores do consciente do termo independente dividido pelos difusores do termo dominante então nesse caso se ela tiver uma raiz racional só pode ser 71 - 7 e portanto que a gente conclui foi bolso pergunta é o do agente como de coisas todas as possíveis raízes nacionais são sete ao menos 7 eu provei que tem uma raiz real entre zero e quatro então já sei que essa que não é essa raiz que

está aqui dentro já não é um número racional porque só fosse racional tinha que ser o sétimo - sete perguntas 7 é uma raiz desse por nome tá e aí tem mais coisas quer dizer olha só se poderia fazer o que agora se sabe que entre zero e quatro têm uma raiz que eu posso ser pego 2 enquanto que vale a função 10 vale zero o ponto médio desse intervalo é 2 quanto vale a função quando x é dois aqui vai dar oito sim pode ser é então a 8 - 12 mais 48 - 12

mais quatro da quanto 00 não é igual a sete estão na raiz não é raiz disso mas não diz isso tá então efe de 2 a igualdade a zero então eu tenho um polinômios tem uma raiz do poli nome ela vale zero naquele ponto vale 24 nesse ponto 1.412 ela vale sereno 49 24 de novo posso aplicar o grêmio então eu sei que o ponto onde ela vale sete é um número entre 2 e 4 estou contente com isso não pega o ponto médio entre 2 e 4 é o 3g e compara você vai comparando

o valor da função entre esses extremos que estão diminuindo de tamanho e você pode encontrar um intervalinho cada vez menor que com o tempo a isso então você determina a raiz não determina a explicitamente mas você consegue determinar o intervalo que contém a raiz com um tamanho tão pequeno quanto você quiser você pode fazer um programa de computador que vai a qualquer um intervalo de tamanho 10 - sem que contém raiz você pega o intervalo original positiva que negativa ali a valer 0 1 ponto pega vai diminuindo você espreme arraes dentro do intervalo tão pequeno

quanto você quiser isso te ajuda depende do que vai fazer porque por menor que seja esse intervalo quantos pontos tem lá dentro a mesma quantidade que a reta inteira não é infinito então um dá pra fazer um programa computador que testa um por um os pontos do intervalo mas sabe olha eu achei a raiz e tenho certeza que é isso aqui até décima casa decimal por exemplo então tá bom então você percebe que é um resultado muito forte é bom para encontrar raízes nesse caso a gente pegou uma função por ele no mundial eu podia

pegar qualquer função contínua e em vez de tentar resolver essa equação podia pegar o elevador x vezes conselho do do arco tangente do lnd efe do elenco de x biguá 39 podia estudar essa função então ela não se aplica só pra polinômios é para qualquer função contínuo que a gente já viu diz que continua que a gente não viu também então antes de demonstrar esse problema vamos deixar escrito isso que eu falei é uma consequência desse teorema se efe já rr é contínua e para certos a e b pertencentes à r temos que ficar felizes

fdp é negativo menor ou igual a zero vale existe assim existe um ser dentro do intervalo a bm&f de ser igual a zero como você demonstra esse resultado a partir do teorema que quer dizer q f de aves fdp menor igual quiser que um deles eram os dois têm sinais opostos tá o que quer dizer que os dois pistões opostos quer dizer que esse é negativo e esse é positivo por exemplo então se a função é contínua um ponto negativo em outro ponto é positiva obrigatoriamente tem que ter algum lugar onde ela cruza o eixo

x portanto ela vai ter que valer zero naquele ponto bom essa é a conseqüência disso é que foi positivo e negativo a mesma coisa tá pergunta se a função valer 0 nos dois pontos que eu posso dizer né aqui não está escrito está escrito que existe algum x 1 já escrito que é o único então por exemplo se você tem uma função que nesse ponto avalia 0 para o 1-0 né nesse ponto ela vale menos 5 nesse ponto ela vale 7 que teorema disse pra gente se for uma função contínuo geográfico passa por esse ponto

por esse ponto obrigatoriamente ela vai ter que cortar o eixo x o tema não diz quantas vezes podia ter infinitas tá bom a função pode passar daqui pra cá cortando uma vez duas três muitas vezes se quiser tá bom então existe mas não é única o que vai ajudar a gente a decidir se essa raiz da da função vamos chamar assim sai da função é único não é estudar por exemplo eu tenho certeza que entre esses dois pontos a função é crescente eu sei que ela tem que passar pelo 10 quantas vezes ela pode passar

pelo 10 uma só então se alguma coisa que a gente está estudando ajudará a decidir se uma função é crescente ou não a gente vai conseguir mudar a quantidade de raízes e por sorte a gente tem uma coisa que conta é a função crescente ou não a gente vai vem depois tá bom então vamos tentar demonstrar extrema usando axioma do supremo a administração do teor e no qual vai ser o truque a talvez vão tentar motivar coisa que você tem um ponto a ao ponto b vamos supor que a sua função efe é contínua e

ela é ter um valor positivo aqui outro valor positivo aqui tá bom então te dei a e b como o enunciado pedia e vou pegar aqui tá f de a e aqui tá efe db tá bom escolhe um y entre efe gf db esse cara aqui você tem o gráfico da função né não sei como ela é mas é uma função contínuo pode ser assim por exemplo melhor pode ser assim passar duas vezes pela altura y porque não tá tá dizendo que nada né então pergunta vou deixar bem transparente assim tá você tem que ter

um ponto y que eu quero achar um valor de x ao que é fictícia igual a 1 dentro do intervalo a b quantos têm aqui não está com muita casa de função tá bom então tem esse cara tem esse e tem é esse quem se acha qualquer pinta desses carinhos aqui qualquer propriedade que eles têm quer dizer se eu vou chegando cada vez mais perto desse ponto nesse nessa situação aqui o que eu vou ter o os valores de fdx para esses caras que estão antes eles são sempre menores do que o y e quem

é esse carinho aqui esse cara é exatamente o cara que ganha de todos os pontos onde a função é menor do que o y está claro se a equipe na verdade ganhar esse sujeito aqui é o maior de todos os valores entre a e b esse cara aqui é numa situação limite o maior elemento de modo tal que antes na verdade é esse aqui mesmo né ele é o maior elemento de modo que antes dele todos os valores da função são estritamente menor o x então quem ele é o maior cara de uma certa lista

ou podia pensar que é o melhor cara que ganha de todo mundo então vou tentar provar que esse sujeito existe provando que ele é um super de um certo conjunto não fazer limitado superiormente tá então vamos chamar de s a o conjunto de todos os x dentro do intervalo a b fechado e tais que fdx é menor do que y está estritamente menor porque não sei se é melhor igual não sei se existe um x hawks chegou à itu justamente isso que eu quero provar pergunta esse conjunto é se é vazio pode pormenor igual aqui

tanto faz esse conjunto é se é vazio existe pelo menos um elemento que verifica essa propriedade dentro desse conjunto há um elemento de s então tenho certeza que é se é não vazio porque a pertence ao conjunto s ele é limitado superiormente conjunto s o conjunto é formado por que pontos eles ele é formado por alguns pontos entre a e b pergunta que algum elemento do conjunto s que é maior do que o bebê não porque todos eles estão dentro do intervalo abel já então é se é limitado superiormente tudo bem porque pois x pertencer

à s implica que x pertence ao saber que todo cara intervalo a ver meu nome bock b bom então o número b que é o extremo direito do intervalo é um limitante superior por conjunto ok então essa é um conjunto não faziam limitado superiormente que aqui se chama axioma do supremo disse pra gente todo o conjunto não vai ser limitado superiormente tem supremo então vamos mudar um nome pra ele vamos deixar anunciado do teorema aqui ah então seja porque existe o iguaçu pr s fechou o que você acha que eu quero mostrar quem nesse desenho

quem se acha que é o ody uma chance para acertar muito ruim né é a pergunta quem é o el supremo do conjunto é que o supremo do conjunto s é o melhor cara que ganha de todos os elementos de s quem são os elementos ds nessa figura quem são os elementos ds todos os pontos do intervalo tal que fdx é melhor golpe y então quando o fx é melhor golpe y nesse pedacinho fazer com outra cor nesse pedaço aonde mais e nesse pedaço está a qual é o menor número que ganha de todos os

elementos desse conjunto pintadinho de amarelo e é esse ele é ele ganha de todos os elementos de s esses caras que são maiores do que ele pertence à s qual é o menor número que é maior o que está à direita de todos os cupons pintados de amarelo é isso que é o sup de s esse aqui né você quiser deixar menor por algum motivo esse intervalo ficar aberto esse carinho é o nosso candidato ao quanto vale é ficar o claudinho o que a gente quer mostrar exatamente qf dill é igual a y tá bom

então como é que você mostra que o número é igual ao outro tem muitos jeitos de fazer isso um deles é mostrar o que a gente tem uma propriedade dos números que é chamada a tricotomia em relação à ordem né se eu te dou dois números que pode acontecer entre eles o primeiro é maior do que o segundo ou primeiro é menor do que o segundo ele são iguais então para concluir que eles são iguais só vale uma das três propriedades foi menor com é maior ou igual então como é que eu posso mostrar que

é igual mostrando que não pode ser nem maior nem menor é claro então se eu supuser qf dill é maior do que y vou ter que chegar em alguma contradição que supondo que é menor do que o yt chegar em outra contradição portanto não pode ser nem maior nem menor ele é igual então vamos fazer isso suponha aqui é fidjo é maior do que isso e vou ver que besteira que isso vai produzir pra gente tá até agora não usamos nada da continuidade da função f1 né vamos agora sua função é contínua o que eu

posso dizer se é pediu é maior do que y você concorda que existe um pequeno intervalo em volta desse ponto de modo que todos os valores da função nesse intervalo são maiores do que o y se uns y está nessa altura se f dill é maior do que o y como a função é contínua perto desse ponto vai o gráfico vai continuar acima de y pode dar um pulo de repente lá pra baixo então vamos escrever isso a então efe contínua explicou que é pra gente que existe um certo intervalo e intervalo abertuta com o

pertencente à i talk pra todo x dentro desse intervalo eu vou ter q fx é maior do que y então eu estou supondo por um momento que o f de utah um pouquinho aqui pra cima do valor y se ele está um pouquinho pra cima eu vou ter um pequeno intervalo onde ele continua pra cima o que isso me permite concluir que tem um cara antes de um né se tem um pequeno intervalo onde é pediu é maior do que o y tem um cara à esquerda de hu jintao que fx ainda é maior que

y precificaram e aí o que aconteceu se o fx é maior do que isso nesse ponto o poderia ser o supremo desse conjunto não é porque tem um cara antes do 11 que ganha de todos os elementos de s então ele não é uma quota superior de maneira análoga se você souber usar aqui é fidel é menor do que o y vai chegar na mesma com tradição eu escrever isso direitinho uma redação boa escreveu assim né então aqui não pega um t pertencente ao intervalo item menor do que o tem né porque o intervalo aberto

eo talento então tem um cara esquerda dele pra todo x entre si eo que você pode dizer fx é maior do que y fx é maior do que isso achei um cara que tá fora do conjunto uma quota superior x não pertence à s e portanto o o não é o sup porque não é o sup de s porque para seu super e precisava ser o menor cara que ganha de todos os elementos do conjunto que eu achei eu achei um cara antes pode até pegar intervalo aberto aqui para garantir que esse xis não é

o mesmo tá achei um cara antes de um que ganha de todos os elementos de s portanto um cheque seu menor cara que ganha um cara antes dele que ganha então ele não é a menor cota superior portanto ele não pode ser supremo tudo bem se o sef de um for maior do que isso acho um cara antes dele tal que fx é maior do que esse cara não pertence ao conjunto s portanto ele é uma cópia ele é um cara que tá fora do conjunto s ii antes do então não pode ser o sup

de maneira análoga se você se opuser que o f dill é menor do que o que vai acontecer eu vou ter um pequeno intervalo onde o fbi eo fdx é menor do que o y e volta do ponto eu vou ter um cara depois do utao que fx é menor do que isso portanto ele não pode o supremo porque tem caras depois dele que ainda pertence a um conjunto vão escrever essa última coisa tá então não é possível se eu puser que é pediu é maior do que y eu chego numa contradição o que me

permite dizer que é pediu não pode ser menor do maior do que isso então é fadwa menor e glauquito guarda isso agora vamos supor que é pediu é menor do que y tá bom que você pode dizer de novo como a f com é contínua existe um chamar j para não achar que o mesmo intervalo tá existe j o intervalo aberto o pertencente à j tal que fdx é menor do que y pra todo x dentro desse intervalo j que isso me garante x for maior do que o x pertence à j que eu vou

ter vou ter que fdx é maior do que y porque ele está dentro do jota e é um nome é um número um pouco maior do que o dentro do intervalo j pra ficar bonitinho vamos supor que ainda está dentro do intervalo o bebê está bem desculpa menor o que eu acabei de encontrar se fdx é menor do que isso o que eu posso dizer que x pertence à s porque esse é o conjunto de todos os pontos onde o efetivo é menor do que isso claro que dá para dizer x pertence à s e

ele é maior do que o pode o supremo pra vocês né aqui tal ponto aqui estão os números maiores do que o têm um ponto do conjunto s na frente do sup pode isso não pode né o sup por definição esse cara teria que ganhar de todos os elementos de s acabei de achar um cara maior do que ele está no conjunto então isso implica que não é o sup df então essa hipótese me produzir uma contradição portanto isso aqui não pode ser verdade que a gente conclui que só que é mentira é fidel tem

que ser menor ou igual a equipe som rock bon efe dill é menor ou igual ao que y desculpa estou supondo maior igual né porque só que a mentira é o contrário é verdade então é pediu é menor igual que y e maior igual que y qualquer brilhante conclusão tem que ser igual ou seja achei um cara dentro do intervalo abeta o keeffe de iguape sei que não é tão fácil fazer essas coisas né então esse é um primeiro resultado importante que a gente tem não sei se vai valer a pena a gente demonstrar todos

os outros vamo eu vou indicar qual é o conjunto s que você tem que olhar dá mais ou menos com a estratégia quem quiser depois se me pergunta não vamos ficar esmiuçando muito isso observe mais ou menos qualquer idéia da técnica você pega um conjunto conveniente mostra que ele admite sup e mostra que esses obtenha propriedade que você queria como você mostra supondo por contradição que ele não tem que se chegue a uma besteira em geral essa estratégia está ok você vê que isso é uma coisa assim do ponto de vista computacional não te ajuda

muito né porque a gente não sabe calcular subir de conjuntos se a gente soubesse você tivesse um computador que dado um conjunto s determina o sup dele que quis que a vista desse problema que a gente ia ter já saber resolver qualquer equação qualquer equação que envolve uma função contínua a gente já sabe resolver a quem que a solução da equação japão a um caminhão que é uma função continua igual número como é que eu faço para resolver essa equação a solução é o sup daquele conjunto é que a gente escreveu você tivesse um computador

que calcula sups resolver qualquer coação ea gente não tem né não existe um algoritmo para construir o supremo de um conjunto de números reais se dá pra fazer um algoritmo desse mundo hipotético não é um problema de teoria de computação