Olá eu sou o professor Vander nós estamos aqui hoje para mais uma aula do módulo de Matriz de sistemas lineares com aula de hoje que a gente vai discutir um processo de resolução de sistemas lineares Ok bem vamos começar aqui primeiro mostrando algumas maneir alguma maneira de escrever esse sistema que é a chamada forma matricial do sistema então para escrever a forma matricial eu crio uma matriz com os coeficientes observando aqui que eu tenho o sistema já tá todo arrumado existe uma coluna para variável x uma coluna para variável Y uma coluna para variável Z
tá a gente tem que manter uma ordem entre elas tem que ter exatamente a coluna do X do Y do Z E aí eu vou pegar os coeficiente né e vou criar uma matriz na ordem então primeira linha 2 - 3 e 4 segunda linha -1 1 e 2 terceira linha 1 2 e -5 então tá aí criei uma matriz com os coeficientes né desse sistema linear Agora usando a ideia que nós vimos já anteriormente de produto eu vou criar uma matriz coluna com as variáveis nessa ordem x y e z isso por quê Porque
nós já definimos o produto de matrizes nas aulas anteriores como linha vezes coluna elemento a elemento então no caso aqui vai ficar 2 x x 2x - 3 Y 3 4 x z 4z então ficaria 2x - 3y + 4z representando essa primeira equação Ok e isso será igual também a uma matriz coluna 8 7 - 10 tá aí então esse esse modelo utilizando matrizes representa o sistema linear que nós apresentamos Ok eh esse é o modelo que alguns processos de resolução utilizam esses processos a gente não vai estudar aqui no caso nosso curso e
nós vamos utilizar Na verdade uma outra representação né que eu vou criar uma matriz chamada de Matriz aumentado eu vou pegar essa Matriz dos coeficientes e vou colocar mais uma coluna com com os termos Independentes então isso cria uma outra maneira de resolver então isso aqui é representação matricial isso aqui é representação matricial E agora temos aqui uma outra forma de escrever eu vou pegar a matriz dos coeficientes e vou completar com essa com esses elementos uma quarta coluna e essa Matriz é reconhecida como Matriz aumentada do sistema Ok então essa aqui também é utilizada
em algumas alguns métodos de solução E no caso o método que a gente vai estudar hoje a gente vai estudar utilizando essa Matriz aumentada ok muito bem como eu falei anteriormente nós vamos utilizar a matriz aumentada né para resolver esse sistema utilizando um método chamado de método de do escalonamento ou ainda conhecido como método da eliminação galciana né esse método consiste em realizar operações entre linhas nós já fizemos isso num dos processos anteriores que é o método da adição por exemplo né eu vou realizar operações entre as linhas e isso não altera A solução do
sistema então através de operações nós vamos modificar criar um sistema equivalente a esse sistema apresentado só que ele será de fácil resolução Ok então o primeiro passo do processo consiste em zerar essa posição para isso você pode realizar qualquer operação entre essas linhas aqui no caso a mais óbvia seria somar a linha do com a 3 e colocar o resultado no lugar da linha 3 nós vamos criar uma notação para isso que será linha 2 somada com a linha 3 e o resultado eu vou colocar no lugar da linha 3 como a gente só vai
colocar o resultado no lugar da linha 3 eu vou repetir a linha 1 e 2 então repetindo a linha um e 2 a gente não vai alterar essas linhas e isso no sistema consiste zerar essa posição em eliminar a variável x exatamente como nós fizemos no método da adição no met adição a gente eliminava através da soma de equações uma das variáveis muito bem agora vamos à operação Então ess essa maneira de escrever organiza o processo então linha 1 linha 2 mais linha 3 no lugar da linha 3 -1 com mais 1 0 1 +
2 3 2 - 5 - 3 7 - 10 - 3 então primeiro passo dado eu criei um sistema na verdade isso aqui tá representando um sistema equivalente ao primeiro só que eu já zerei na linha 3 a variável x OK agora sem mexer com essa linha porque eu não posso tirar dessa posição o zero eu vou zerar essa posição né para isso nós podemos fazer qualquer operação mas a mais Evidente aqui seria pegar a linha um e somar com dobro da linha do né e colocar o resultado na linha dois Então vamos escrever isso
linha 1 mais duas vezes a linha 2 e o resultado eu vou colocar na linha 2 Ok como a gente só vai alterar a linha 2 eu vou repetir já para organizar melhor a linha 1 2 - 3 4 e 8 e a linha 3 0 3 - 3 -3 OK agora vamos à operação então linha um 2 menos o dobro dessa linha aqui desse elemento que é -2 vai zerar essa posição Isso significa que eu estou também zerando na linha na equação dois a variável x agora vamos fazer com os elementos restantes -3 com
+ 2 - 1 4 + 4 8 e finalmente 8 + 14 22 OK agora nós vamos zerar essa posição sem mexer né nessas nesses dois zeros aqui aqui né eu não posso colocar essas posições de novo diferente de zero a tem que ser continuar sendo iguais a zero para isso eu vou ter que realizar a operação com essas duas linhas a linha 3 e a linha 2 ok zerando essa posição é só multiplicar a linha 2 por 3 a linha 2 por 3 somar com a linha 3 e esse resultado eu vou colar no
lugar da linha 3 Então como alteração só vai ocorrer na linha 3 eu vou repetir a linha 1 e a linha 2 então todas essas operações volto a dizer criam sistemas equivalentes ao sistema original e a gente vai ver que no final resver sistema escalonado é uma maneira que resolve fácil né o sistema original muito bem zerar essa essa posição eu vou fazer 3 vezes a linha 2 mais a linha 3 aqui vai dar 3 x 0 0+ 0 continua zero beleza não podia ser diferente 3 x-1 -3 com mais 3 Zerou de novo então
que que eu tô fazendo eu tô zerando a variável Y agora na equação 3 e continuando 3 X 8 24 com -3 21 3 x 22 66 com -3 63 Então agora eu já cheguei onde eu queria né Eu já escalone como é que eu sei que eu escalone porque eu já aqui já zerei a posição do X e a posição do Y então só tô com a posição Z e o termo independente aqui eu já zerei a posição do X tenho Y tenho Z tenho o termo independente mas só que Z já foi encontrado
aqui com isso eu consigo encontrar y e assim por diante então isso aqui representa um sistema eu vou colocar aqui o sistema equivalente a esse primeiro representado por toda essa esse conjunto de operações coluna do X do Y do Z então 2x - 3 + 4z = 8 Zerou a posição de X então -1 y n + 8z = 22 e na terceira linha Zerou x Zerou Y só tem o z 21z iG 63 Então você percebe agora que esse processo levou a um sistema equivalente que é muito mais fácil de ser resolvido por quê
Porque aqui eu já tenho o valor de z z = 3 agora eu vou voltando nas equações Z = 3 8 x 3 24 - 24 22 - 24 - 2 - y = -2 y = 2 você faz aí em casa com calma Z = 2 Y = 2 = 3 vai ficar -6 4 x 3 12 6 passou para lá ficou 8 - 6 2 2x = 2 x = 1 Prontinho nós aqui já temos a solução do sistema que é x = 1 Y = 2 e Z = 3 Então esse processo
é um processo muito utilizado não só para resolver mas eu também consig classificar o sistema utilizando esse método Ok espero que tenham entendido e até uma próxima oportunidade
