[Música] [Música] então eu vou fazer um exemplo é eu tenho f e x e y igual x quadrado y é essa é a função dá pra fazer aquele limite tranquilamente então não fazer só que é verificar que f é diferenciado e eu em qualquer ponto está em qualquer xy pertencente à r 2 eu vou ficar verificar isso pela definição depois a gente vai aprender a alguns teoremas que garantem a difference habilidade da função sem ter que fazer todas essas contas não é só para um primeiro momento mostrar isso aqui é o que eu tenho que
fazer eu tenho que mostrar primeiro que existem as duas levadas parciais e tranquilo né a dell é fidel che a gente sabe fazer da pensa no y como constante de evo x da 2 x y e do fdny troca né pensa no xis como constante derivação em relação à y isso aqui fica x quadrado tudo bem então as duas levadas parciais existem então aqui os seus valores esse seria o adu lado o teorema e seu bebê então a primeira parte foi agora eu tenho que fazer aquele limite do erro do nhk sobre a norma de
atacar e mostrar que a 0 então o limite quando a gata em dia 000 de e de hk sobre norma jogar cá eu tenho que fazer isso eu vou pra encher a lo então há aqui eu tenho que provar que vale isso tá mas vamos primeiro escrever essa expressão e simplificar o máximo para depois fazer o limite senão vai ficar muito grande cantar tudo tá então quem que é o e hk neste caso é bom a gente sabe que em geral é fdx mais h ysk lepra um ponto x e y do genérico - fdx
y - á h então esse meu lar é 2 x e y zh - bk aquele beale que x quadrado é bom e ciel e e vamos escrever aqui a função e isso é que é x + h ao quadrado né ó fc x y é o primeiro ao quadrado vez o segundo então primeiro quadrado vezes o segundo - x quadrado y - 2 x e y h - x quadrado cá agora é uma companheira né onde fazer o quadrado multiplicar simplificar tá então dá x 2 + 2 x h mais h o quadrado vezes
y mais cá - x quadrado y - 2 x e y h - x quadrado caso da x quadrado y mais x quadrado cá mas 2x hype3 xh mais h ao quadrado y mais h o quadrado cá - x 2 e y - 2 x e y h - x quadrado ca trofa e agora vamos cortar tudo o que puder né então x quadrado y cancela esse 2x hy e 2 x e y h cancelo e tem 1 x quadrado cá que tá aqui ó tudo isso cancelou sobrou e de hk e pode simplificado fica
2 x hk mas hangar ao quadrado y mais ao quadrado cá diz que se alguma coisa não é só isso agora nós vamos ter que dividir pela norma dividida o pastor direto aqui dividido pela norma de hk só que esse gol agora ficou assim enquanto que norma de hk mesmo a raiz quadrada de h ao quadrado mais caro ao quadrado e o que a gente sabe aí vamos separar em três frações em fazer limite né e como é que fica então lá limite já vou escrever aqui quando hk tende a zero zero de hedge a
kaká sobre a norma de hk é igual ao limite quando hk tende a zero zero de que de 2 x 1 eu vou escrever ficar e deixar o h sobre raiz quadrada kao h ao quadrado mais caro quadrado assim mas é hy vezes a mesma coisa mas é a dhaka vezes h sobre a raiz porque quer separei porque és cada fração zinha dessas é uma função limitada isso aqui é uma força é menor ou igual a 1 em módulo é menor ou igual a 1 e se aqui também aqui também e as o que sobra
do lado quem que acontece quando h atende a 0 isso vai para zero este vai a 0 e este vai para zero tudo bem então tem uma soma de funções que podem ser compostas numa limitado e que tende a zero então isso aqui vai para zero e essa aqui é limitada a mesma coisa com as outras né esse aqui tende a zero e eu sei que ele me ter é sempre a mesma não é esse aqui também entender é que é limitada e aqui é limitado então esse limite é 0 e aí a função é
essa função aqui é diferenciada tudo bem deu pra entender o exemplo e deu pra ver o tamanho do trabalho que dá verificar na raça quando é que uma função é diferenciada pra sorte nossa né os nossos antepassados já inventaram os teoremas que garantem né sentei aqui é assim eles garantem em alguns casos quando é que dá diferenciável nettheim existe um teorema que é uma condição suficiente para que a função seja diferenciável agora quando você não está naquela situação você vai ter que verificar na raça né tem que fazer essas contas todas né se você não
está nas hipóteses do teorema você não você não escapa de fazer esse limite grande aí lembra aquela função que eu citei na no início da aula e xy sobre x 2 mas o som dois se x y é diferente de 00 e 00 que claro problema que ela tinha ela não era contínuo ela é diferenciável no 00 o que acontece precisa fazer muita conta para responder vamos lá gente teve gente que já falou certo mas eu queria que todo mundo percebesse é só responder não porque porque ela não é contínua se ela fosse diferenciável o
teorema 11 iria garantir que ela é contínua então como ela não é contínuo ela não pode ser diferenciado então aqui a resposta é não pois efe não é contínuo em 0 0 tá tudo bem então às vezes é só a só é só uma é claro se não tivesse provado antes eu teria que provar agora que ela conte que ela não é contínuo teria que mostrar que ela não é contínua e mais é mais fácil mostrar que não é contínuo do que mostrar que não é diferenciável dá muito mais trabalho mostrou que não é ético
inicial também uma função que seja viram bastante vezes mas a gente está explorando algumas propriedades ou não propriedades dessas funções né x ao cubo sobre x quadrado mais y quadrado se x y é diferente de 000 se x y e r 100 bom então eu quero saber se ele é diferenciado é diferenciado agora esse aqui nós vamos fazer inteirinho para ver se é diferenciava nós vamos àquela conclusão ali vou procurar as duas derivadas parciais e fazer o limitam tá bom é então vamos lá a primeira parte eu tenho que calcular dell é fidel xd 00
e depois de o fbi disse quanto da dell é fidel x só que é limite quando a gata em dia zero de f 1 x 0 na eurozona 10 também então fdh 0 - f 1000 sobre h tá e aí é bom quanto da fazendo as contas quanto da fph 0 eu ponho h aqui indaga o cubo sobre h o quadrado mas era né - f 1000 é zero sobre h enquanto dessa conta só que da 1h / h que é um limite quando a gata tende a zero da função constante igual a 1 aí
eu tenho que fazer lhe deu é fidel y 00 e aí é quando quanto que dá isso aí é o limite quando cá tende a zero df de 0 ca - f 1000 sobre cá tudo bem agora calcula fd 0 carro que acontece quando eu faço 10 cac pois era no lugar do x e kaká no lugar do y isso aqui dá zero então esse limite aqui é limite quando o carro em que a 0 da função que 0 - 0 sobre cá isso aqui é zero o limite de 0 que a 0 é bom
então as duas derivadas parciais existem a derivado em relação à x da um derivado em relação à y a 0 e agora será que ela é diferenciava pra isso eu tenho que fazer para ter certeza eu fiz isso aqui deu uma que deu 0 e agora tem que fazer bom eu vou não vai caber aqui eu vou a pagar lhe possa pagá lá em cima então agora eu vou fazer a segunda parte eu preciso calcular o limite do nhk sobre norma de hk quando hk tende a zero zero eu tenho que verificar se a 0
e aí vão escrever tudo isso que é o limite de hk atendendo 100 da ef de zero mais h0 mais cá - f 1000 que essa era a menos o h deixou escrever tudo menos bk sobre a raiz quadrada jogadores mais caros então substituindo o que a gente sabe fd hk lá em cima é é h ao cubo sobre a gal quadrado mais caro quadrado - isso aqui é zero né o bê 0 isso aqui também a 0 eo é um então fica menos h sobre a raiz quadrada jogadores mas cá dois é bom que
a gente faz aqui eu vou colocar tudo no mesmo denominador tá e simplificar um pouquinho vai dar o que só que é o limite pra cá ninguém 00 am da hbo quadrado mais caro quadrado h ao quadrado - h ao cubo - h&k ao quadrado a doca obrigado a isso e aqui raio bom cancelo sagaz ao cubo aqui e vamos escrever essa fração esquisita eu vou escrever como - h kao quadrado sobre a raiz quadrada de h2 mas k 2 vezes h 2 mas cá dois né tudo bem e agora esse limite como é que
faz ó o do que a gente já aprendeu né esse pedacinho aqui dá limitado a esse outro pedaço também da limitado mas aí são duas duas limitada ponto é então nós vamos nós vamos tentar provar aqui que esse limite não existe aí como é que seria um caminho pra mostrar que esse limite não vai o basta mostrar que não vai dar zero que não vai para zero tá é é limitada à altura limitada também mas como que se prova que nunca vai ser zero na verdade e dependendo do caminho você escolhe a 0 você faz
h igual a zero que é diferente de zero dar limite mas tem algum caminho que não vai dar zero por exemplo tt é cama the table att então é vamos chamar isso aqui de gdt g d agata então limite pra te tendendo a zero dg de tt da - que ao cubo sobre raiz quadrada de 2 t quadrado vezes 2t quadrado dá certo o t quadrado aqui cancela com esse teu cubo vai ficar menos te sobre dois raiz de 2 módulo de ter esse limite quando tende a zero ele sozinho não existe esse limite com
o módulo aqui ter sobre o módulo de tênis então se esse não existe aquele não tem chance né não existe ea efe à efe não é diferenciado disse não é o contrário se ela é diferenciável então ela é contínuo mas nem todas as contínuas são diferenciadas então essa daqui é um exemplo de uma função ela é contínuo né e ela não é diferenciava tudo bem então só falta escrever aqui portanto né efe não é diferenciado nos 100 a gente vai ver que nos outros pontos todos ela é só nesse que dá problema efe não é
diferenciável em 0 0 então hoje eu paro por aqui na próxima aula a gente vê ou um teorema que é a condição suficiente para ser diferenciável sem ter que passar por esse limite em ajuda muito em certos casos não sempre né [Música]
