nachdem wir in den vorangegangenen Videos den mathematischen Zusammenhang zwischen Strom und Ladung näher betrachtet hatten na sie sehen das jetzt hier noch mal zusammengefasst auf dieser Folie geht es jetzt in diesem vierten und letzten Video zum elektrischen Strom um ein wichtiges Naturgesetz nämlich die Kontinuität des elektrischen Stromes und wir fassen das zusammen unter der Überschrift knotensatz und was dieser knotensatz besagt das lernen wir jetzt also wir formulieren noch einmal ein Worten was ich gerade gesagt hatte nämlich die wichtige Grundeigenschaft des Stromes ist die Kontinuität ja was heißt das ich hatte ihn ja gesagt als wir
die elektrische Ladung eingeführt haben dass elektrische Ladung nicht einfach entstehen und verschwinden kann sondern ich hatte gesagt in einem geschlossenen Volumen ist die gesamtladungsmenge immer konstant das nehmen wir mal als Voraussetzung jetzt betrachten wir mal so ein beliebiges Volumen V und in diesem Volumen existiert eine gesamt Ladungsmenge Q ja es können jetzt innerhalb dieses Volumens können durch aufspealung oder durch Rekombination neue ladungspaare entstehen aber die gesamtladungsmenge ist immer konstant solange von außen keine Ladung hinzugeführt wird oder keine Ladung abfließt wenn es aber einen Zustrom von Ladungen gibt das heißt es fließt ein elektrischer Strom nen
ich den oder es gibt einen Abfluss von Ladungen ich nenne das mal einen elektrischen Strom i ab dann kann sich die Ladungsmenge innerhalb dieses Volumens ändern aber auch nur dann das heißt die Änderung der Nettoladung innerhalb dieses Volumens so und mathematisch heißt jetzt die Änderung der Ladung die Ableitung der Ladung nach der Zeit ne das ist die zeitliche Änderung Ladungsmenge innerhalb dieses Volumens ist gerade die Differenz des zustromes und des Abflusses also I zu- i ab diese Änderung DQ nach DT wenn das eine positive Größe ist dann heißt das dass die Ladungsmenge zunimmt und wenn
diese Änderung DQ nach DT negativ ist dann würde die Ladungsmenge innerhalb dieses Volumens abnehmen und das ist die sogenannte Kontinuitätsgleichung so und jetzt betrachten wir in diesem Fall in diesem Semester vorwiegend gleichströme das heißt wir sagen jetzt dass die Ladungsmenge innerhalb dieses Volumens konstant bleibt wir gehen also davon aus wir haben innerhalb dieses geschlossenen Volumen eine Ladungserhaltung wir werden im nächsten Semester kennenlernen das ist der Fall wenn alle elektrischen Feldgrößen zeitlich konstant sind aber wir gehen jetzt davon aus dass die Ladungsmenge innerhalb dieses Volumens konstant ist das heißt wir können jetzt nicht Ladungsmenge sammeln und
das bedeutet wenn die Ladungsmenge kurz ist ist die zeitliche Änderung DQ nach DT = 0 also die innerhalb dieses Volumens vorhandene Ladungsmenge sei konstant und das heißt wenn wir dann diese Gleichung diese Kontinuitätsgleichung hier oben betrachten dass denn der Zustrom gleich dem Abfluss sein muss das heißt der zuführende elektrische Strom ist gleich dem abfließenden elektrischen Strom so und so simpel das jetzt hier erstmal scheint so wichtig ist doch diese Gesetzmäßigkeiten für die Elektrotechnik da steckt ganz viel dahinter die dieser diese Kontinuitätsgleichung dieses kontinuitätsgesetz ist quasi auch die Begründung dafür dass es sich bei dem elektrischen
Strom um einen geschlossenen Kreis also um ein sogenannten Strom Stromkreis handelt sie können in Ihrem Stromkreis an jedem Punkt gedanklich so ein Volumen betrachten und der elektrische Strom in diese geschlossene höhefläche dieses Volumens hinein muss immer gleich dem elektrischen Strom aus dieser geschlossenen hüffläche heraus sein das heißt ein elektrischer Strom kann nicht auf einmal irgendwo im Raum entstehen und wieder versickern sondern elektrischer Strom ist immer eine in sich geschlossene Erscheinung so und jetzt verallgemeinern wir das mal ein bisschen für unsere Netzwerke betrachten wir jetzt also eine höfläche die ein Volumen umgibt ich schreiben mal daneben
einfach das eine Hülle und in diese Hülle hinein gibt es ist jetzt elektrische Ströme ich nenne die i1 i2 i3 und so weiter i4 so dann mach ich mal drei Punkte und der letzte Strom hinein sei der Strom in wenn wir diese geschlossene Hülle jetzt immer kleiner werden lassen und das ganze auf Netzwerk Elemente beziehen dann wird diese Hüllfläche unendlich klein auf einen Punkt reduziert und in einem in einem elektrischen Netzwerk das aus einer Verbindung verschiedener netzwerkelemente besteht ist dann der Schnittpunkt zwischen oder der Verbindungspunkt zwischen verschiedenen Elementen ein Punkt ein sogenannter Knoten und auch
in diesen Knoten hinein können also jetzt verschiedene Ströme fließen i1 i2 i3 i4 und so weiter wieder drei Punkte bis in ja und dann besagt ja die Kontinuitätsgleichung oben dass die algebraische Summe also die vorzeichenrichtige Summe aller Ströme in diesen Knoten hinein gleich ull ist ja das ist jetzt mathematisch geschrieben also die Summe aller Ströme ik ist gleich 0 und der Index K läuft in unserem Fall von 1 bis n ja und das ist der sogenannte knotensatz schreiben Sie das hier auf die rechte Seite also wenn es sich sich auf ein Netzwerk mit einem Knoten
bezieht dann nennen wir diese Gleichung knotensatz und wenn wir diese Gesetzmäßigkeit anwenden auf so eine Hüllfläche dann bildet diese Hüllfläche eine ja Schnittmenge und dann nennen wir diese Gleichung schnittmengengleichung also es besagt mathematisch exakt das Gleiche nämlich die Summe aller eingehenden Ströme ist ull ja und wir brauchen dafür jetzt noch eine Konvention nämlich ob wir eingehende Ströme positiv zählen oder ausgehend Ströme positiv zählen und dabei hat sich folgende Konvention jetzt eingebürgert das ist jetzt eine beliebige Festlegung dass wir als sagen zufließende Ströme zählen wir positiv und abfließende Ströme negativ ja und diese Gesetzmäßigkeit wurde erstmals
um 1845 von Robert kirschhoff beschrieben einem deutschen Physiker und deswegen heißt dieses Gesetz auch das erste kirschische Gesetz ich schreib das mal unter knotensatz also das erste kirschhofsche Gesetz ja und dieser robert kirschopf war damals als er dieses Gesetz formuliert hatte 21 Jahre alt er war selber noch Student und den Aufsatz den originalaufsatz habe ich ihn hier mal mitgebracht also von 1845 ja aus den Analen der Physik und Chemie dieser Aufsatz über den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene und so weiter und so fort und mit diesem Aufsatz begründete er also zwei der wichtigsten
Gesetzmäßigkeiten der Elektrotechnik so ein Artikel ist heutzutage sehr schwer zu lesen und verwendet dann auch Nomenklaturen die heute nicht mehr so üblich s aber ich wollte ihn das mal zeigen dass sie mal sehen also er ist 21 Jahre alt gewesen vielleicht ein paar Jahre älter als sie jetzt und hat damit schon wesentliche Erkenntnisse der Elektrotechnik damals hier veröffentlicht okay und so als Zusammenfassung oder als Beispiel für dieses kirschaftche Gesetz für den knotensatz habe ich ihnen das hier noch mal auf so einer Folie zusammengestellt den knotensatz hier jetzt noch mal gezeigt in grün mit diesem Knoten
und wir haben jetzt vier Ströme der Strom i1 i2 i3 und i4 und wir sehen der Strom i1 und i4 fließen positiv gezählt in den Knoten hinein und der Strom i2 und i3 fließen aus dem Knoten heraus das heißt wenn wir jetzt also das kirstoffische Gesetz anwenden dann werden i1 und i4 positiv gezählt i2 und i3 negativ weil das abfließende Ströme sind und die algebraische Summe dieser vier Ströme muss Null ergeben n und das erlaubt mir jetzt natürlich ein Umstellen dieser Gleichung wenn ich drei der vier Ströme kenn kann ich den vierten Strom entsprechend durch
Umstellen berechnen und hier noch mal ein roten Kästchen umrahmt zusammengefasst der knotensatz besagt also dass die Summe aller dem Knoten K zufließenden und vom Knoten K abfließenden Ströme Null ist das heißt die algebraische Summe aller Ströme ist null und wir verwenden jetzt hier die Konvention dass wir sagen einfließende Ströme werden positiv gezählt und ausfließende Ströme negativ gezählt ja das können wir uns mal anhand eines ganz einfachen beispielsen einer Schaltung mal anschauen und zwar betrachten wir dafür eine einfache Transistorschaltung okay also folgende Schaltung mit einem Bipolartransistor das ist unser Bipolartransistor und haben hier einen Widerstand am
Kollektor das ist die Basis deremitter und an der Basis zwei Widerstände hier z arbeitspunkteinstellung und als Versorgungsspannung verwenden jetzt hier dieses Batteriesymbol in der Form ja wir bezeichnen nach die Ströme in den Zweigen hier an der Basis fließt der Basisstrom in den Kollektor Fließ der Kollektorstrom IC aus dem Emitter bließ der emitterstrom und ich führe jetzt hier noch einen Batteriestrom ein den nenne ich i0 und den Strom durch diesen Widerstand hier auf der linken Seite dem gebe ich einfach mal den Namen i1 okay den Transistor als Bauelement haben wir jetzt noch nicht näher behandelt vielleicht
kennen Sie ihn aus der Schule ähm aber die eigentliche Beschreibung des Transistors erfolgt dann in anderen Lehrveranstaltungen in höheren Semestern in unserer Lehrveranstaltung hier geht es jetzt darum wie können wir ein elektrisches Netz Werk analysieren mit einfachen Gesetzmäßigkeiten obwohl wir die konkreten mathematischen Zusammenhänge der einzelnen Bauelemente noch gar nicht kennen und dafür hilft uns jetzt in diesem Fall der knotensatz sie sehen hier in dieser einfachen Schaltung schon einmal drei Knoten als Verbindung von einzelnen Zweigen dargestellt durch diese schwarzen Knotenpunkte und einen dieser Knoten bezeichne ich den nenne ich K1 den nenn ich Knoten 1 den
Transistor selbst können wir ja mathematisch physikalisch noch nicht beschreiben aber wir können eine höfläche um den Transistor zeichnen eine Schnittmenge bilden ich schreibe jetzt hier mal h daneben SM für Schnittmenge und jetzt können wir eine Netzwerkanalyse durchführen obwohl wir das mathematische Verhalten dieses Bauelementes noch gar nicht kennen wir können nämlich die schnittmengengleichung aufstellen und die besagt in diese Schnittmenge hinein fließt der Strom IB und der Strom IC die werden also positiv gezählt aus der Schnittmenge heraus fließt der ermitterstrom i der wird negativ gezählt und die algebraische Summe ist 0 das heißt wir können jetzt beispielsweise
den Strom bestimmen durch Umstellen dieser Gleichung undterhalt der itterstrom ist die Summe aus Basisstrom und Kollektorstrom und wir können für den hier rot bezeichneten Knoten K1 die knotengleichung aufstellen den knotensatz anwenden und wir sehen in diesen Knoten K1 hinein fließt der Strom i1 und der emitterstrom I das heißt die werden wieder positiv gezählt i1 + i und aus dem Knoten K1 heraus fließt der Strom i0 - i0 = 0 und auch das können wir wieder z.B umstellen nach dem Strom i0 und der ist damit die Summe aus i1 und IE ja und sie sehen mit
Hilfe dieser schnittmengengleichung können wir jetzt hier also z.B wenn der Basisstrom und der Kollektorstrom bekannt sind denemitterstrom bestimmen ohne das eigentliche Verhalten dieses Transistors näher zu kennen ja und damit haben wir jetzt schon mal eine ganz wichtige Grundlage für die Netzwerkanalyse gelegt und in der ja wenn wir dann die elektrische Spannung kennengelernt haben dann werden wir auch das zweite fundamentale dazu noch kennenlernen zum Abschluss dieses Kapitels elektrischer Strom habe ich ihn jetzt auf so einer Folie noch einmal Größenordnungen von ström hier zusammengetragen ich denke das ist ganz informativ hier also über verschiedene Bereiche von sehr
sehr kleinen Strömen also ein ein picoampere sind 10- 122 Ampere ein femtoampere 10- 15 dann sind wir hier also bei 10 femtoampere mikroelektronische Schaltungen so aus ihrem Alltag führen meistens ström im Mikro bis Milliampere Bereich in ihrem Alltag werden sie bei Beleuchtungstechnik gut bei LED-Lampen sind die Ströme auch im Milliampere Bereich bei herkömmlichen wolfrahmen kühfadendrahlampen so im Bereich 0,5 bis 1 Ampere und dann hier im unteren Bereich sehen sie noch mal größere Anwendungen also wenn sie mit der Straßenbahn in die Uni fahren dann fließen da Ströme doch im dreistelligen amperebereich und jetzt hier ganz am
Ende bei einem gewitterblitz sowas lässt sich natürlich schwer messen und ist natürlich auch wieder sehr individuell aber die Ströme die da fließen sind dann doch im höheren kiloampere bis megaampere Bereich nur damit sie D mal eine kleine Vorstellung davon bekommen ja damit sind wir am Ende dieses ersten Kapitels zum elektrischen Strom angekommen und in den nächsten vorlesungsvideos werden wir uns dann also der elektrischen Spannung widmen
