Einen schönen guten Morgen wünsche ich euch herzlich willkommen zum Vorkurs Mathe. Heute ist die Vorlesung 2 dran. Ihr seht's schon, heute kommt Kapitel 3 Gleichung lösen vor. Bevor ich inhaltlich starte, gibt's von euch irgendwie Rückfragen? Ist organisatorisch alles okay für euch? Die Joline hat mir zurückgemeldet, dass der Held des gut besucht ist. Das freut mich, dass ihr das in Anspruch nehmt. Okay, also falls sich irgendwas bei euch ergibt, meldt euch gerne bei mir. Gleichung lösen. Wir wollen in den Wirtschaftswissenschaften und hier vor allem im volkswirtschaftlichen Bereich viele Zusammenhänge durch Gleichungen darstellen. Ihr werdet jetzt im
Winter, glaube ich, mit der Makro anfangen. Im Sommer kommt dann die Mikro dazu und dort versucht man einfach Modelle zu erstellen. Das sind Abbildungen der Realität. Und diese Modelle sind nichts Anderes als eine Ansammlung von Gleichung. Und wir sprechen von der Lösung von so Modell oder von einem Gleichgewicht, wenn alle Variablen, die in diesem in diesen Gleichungen vorkommen, Werte annehmen, sodass alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Das heißt, es geht sehr oft darum, einfach ein Gleichungssystem, also mehrere Gleichungen zu lösen und das soll hier ein einführendes Kapitel dafür sein. Ihr seht hier jetzt wieder einen Überblick.
Wir werden ganz unten bei zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten ankommen. Das ist dann das erste Mal so ein System von Gleichungen. Im Allgemeinen kann man aber auch n Gleichung mit M unbekannten lösen, wenn man die Technik dafür hat. Ich werde euch drei verschiedene Lösungsansätze noch mal zeigen, wie man das macht. Wahrscheinlich ist einen das auch schon ein bisschen bekannt. Hier ist eine ganz einfache Gleichung, Die seht ihr da ganz oben. 3x + 10 = x + 4. Ja, die Zahlen sind klar, sind feste Werte. Das x steht jetzt für eine beliebige Zahl. Wir nennen
das x eine Variable. Ja, also irgendeine reelle Zahl kann für das x eingesetzt werden und nicht alle Zahlen funktionieren. Ja, also wir können jetzt mal die 0 ausprobieren. 3 x 0= 0 + 10= 10, dann steht auf der linken Seite 10, auf der rechten Seite steht 4. Die Gleichung ist nicht erfüllt. Und wir wollen eben Versuchen rauszufinden, welche Zahlen diese Gleichung erfüllen. Und vor allem geht's mir darum, den Weg zu beschreiben, wie wir dahinkommen. Ich habe jetzt extra so ein ganz übersichtliches Beispiel gewählt, damit wir einfach die einzelnen Schritte genau beschreiben können. Da drunter ist
jetzt schon verraten, x = -3 löst diese Gleichung, also -3* 3 oder andersrum 3 x -3 ist -9 + 10 dann 1. Auf der linken Seite. Auf der rechten Seite steht -3 + 4 ergibt auch 1, dann ist die Gleichung erfüllt. Aber wie kommt man darauf? Ja, soll man das jetzt raten? Nein, natürlich nicht. Wir kommen da drauf, indem wir äquivalente Umformen machen. Also, wir bilden aus dieser Gleichung eine neue Gleichung, die dann ein bisschen einfacher ist. Diese äquivalenten Umformen sind sehr zahlreich und hier stehen zwei davon, die erlaubt sind. Addition oder Subtraktion derselben Zahl
auf beiden Seiten oder Multiplikation mit bzw. Also Division durch dieselbe Zahl auf beiden Seiten. Immer dran denken, wenn wir durch etwas teilen, nicht durch null teilen. So. Und jetzt können wir eben anfangen, diese Gleichung hier äquivalent umzuformen. Ich führe das jetzt einmal vor. Wir werden aber noch mehr Beispiele heute haben, wo ihr dann auch mal dran dürft. Ich mache das immer so. Ich schreib so ein senkrechten Strich und neben den senkrechten Strich Schreibe ich einfach, was ich vorhabe, ja, was ich für eine Operation durchführe. Der Plan ist, dass ich zum Schluss auf der linken Seite
das X stehen habe und alles andere soll auf der rechten Seite stehen. So, jetzt sehe ich z.B. hier auf der rechten Seite noch ein X. Das will ich loswerden. Das will ich rüberschieben auf die linke Seite. Und das mache ich, indem ich einfach auf beiden Seiten x abziehe. Also, ich rechne jetzt -x auf beiden Seiten. Gleichzeitig sehe ich auf der linken Seite eine 10 und die will ich auf die rechte Seite bringen. Das heißt, ich rechne jetzt auch noch -10. Und jetzt rechne ich einfach mal los. Guck mal, was passiert. Und dann habe ich eine
neue Gleichung. Die neue Gleichung schreibe ich da drunter. Also, die 3x, die bleiben stehen. Die 10 verschwindet ja + 10 -10 könnte ich im Prinzip hinschreiben, kürzt sich aber weg. Und dann steht da noch - x von der Rechten Seite - x. Dann kommt das Gleichheitszeichen hier. Dieses x ist auf der rechten Seite verschwunden. Die vier steht noch da. Und jetzt muss ich noch die 10 abziehen von der linken Seite. -10. Und weil das die obere Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn die untere Gleichung erfüllt ist. Deswegen kann ich hier so ein Äquivalenzzeichen hinschreiben. Ja,
also wenn die untere Gleichung erfüllt ist, dann folgt das die obere Gleichung gilt und umgekehrt. Jetzt rechne ich aber hier noch aus, was da genau steht. Ich kann noch mal ein Äquivalenzzeichen hinschreiben. 3x - x dann 2x und auf der rechten Seite steht 4 - 10. Das ist dann also -6. Und jetzt kommt die nächste Umform. Ich will noch die zwei hier loswerden. Das heißt, ich teile beide Seiten durch zwei und dann habe ich mein Ergebnis. Wenn ich auf der linken Seite durch zwei teile, fällt die 2 einfach weg und auf der rechten Seite kommt
dann die -3 raus. Und das, was jetzt noch sehr einfach erscheint, kann in komplizierteren Umgebungen halt so unübersichtlich werden, dass man gar nicht mehr weiß, was jetzt genau passiert ist. Und deswegen bitte ich euch, egal ob das jetzt im Vorkurs ist oder im Hauptkurs, wann immer ich eine Umformung mache, wo ihr nicht direkt seht, was ich da getan habe, meldet euch direkt, ja, Unterbrecht mich und sagt: "Hä, was ist hier los? Was haben wir hier gemacht?" Weil das wird passieren. Ich gebe mir super viel Mühe, dass das nicht passiert, aber es wird trotzdem irgendwann passieren.
Und wenn man selber das Gefühl hat, dass man irgendwo nicht mitkommt, dann gibt's noch fünf andere Leute im Raum, die das gleiche Gefühl haben. Das heißt, diesen anderen Personen tut ihren gefallen. Aber versprochen, ich gebe mir Mühe, dass das So selten wie möglich vorkommt, indem ich einfach jeden einzelnen Schritt genau erkläre. Also, wir haben jetzt durch Addition und Subtraktion und durch Division, Multiplikation haben wir nicht benutzt. durch Division äquivalente Umformungen gemacht, die uns von der Ausgangsgleichung, von dieser Gleichung gebracht haben zu dieser Gleichung. Also die letzte Gleichung ist durch Äquivalenzzeichen verknüpft mit der Ersten Gleichung
und deswegen können wir sagen, die eine Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn die andere Gleichung erfüllt ist. Die Lösung ist also -3. Jetzt kommt eine viel kompliziertere Gleichung. Ich habe eben gesagt, ihr seid auch mal dran. Ja, da dürft ihr euch jetzt mal Gedanken machen und ja, ich glaube, ich lasse euch jetzt einfach mal damit alleine. Probiert einfach mal ein bisschen und in sage ich mal 2 Minuten können wir Darüber sprechen, wie wir diese Gleichung lösen können. Ihr dürft plus minus mal geteilt benutzen. Alles, was ihr auf der linken Seite macht, dürft ihr auch auf
der rechten Seite machen und ihr dürft bitte nicht durch null teilen. Ich gucke mal auf die Uhr. Lass uns einfach 2 Minuten mal da gehen. Okay, ich sehe das äh das einige von euch schon probiert haben. Wahrscheinlich ist die Zeit doch Ein bisschen knapp, um das komplett zu schaffen, aber mir geht's darum, einfach die einzelnen Schritte mit euch durchzusprechen und ein paar Schritte sind bestimmt schon gegangen worden. Das was ich bei solchen Gleichungen oft vergesse, ist ganz am Anfang erstmal zu prüfen, hey, für welche Werte von X geht hier eigentlich was schief? Hat das jemand
von euch gemerkt? Also können müssen wir von der Ausgangsgleichung her ein paar Werte von x ausschließen Eigentlich, weil wenn wir das gesehen haben, dann fällt's uns später vielleicht ein bisschen leichter. Ja, bitteschön. Die 0 und 2 dürfen nicht vorkommen. Warum? Wenn wir hier die 2 einsetzen, 2 - 2 ergibt 0, dann würden wir hier durch 0 teilen. Das böse. Oder wenn wir hier x = 0 einsetzen, würden wir durch 0 teilen. Deswegen schließe ich jetzt hier mal diese beiden Werte aus für x ung 0 und 2. So, das haben wir schon mal Fertig. Jetzt geht's
darum, äquivalente Umform zu machen. Also auf beiden Seiten was dazu zählen, was abziehen, was multiplizieren oder was teilen. Und ich lasse mich da einfach von euch führen. Ja, wer sagt die erste Umformung? Da gibt's natürlich auch immer mehrere Möglichkeiten. Ja, also es kann sein, dass ihr unterschiedlicher Meinung seid und beide sind trotzdem richtig. Bitteschön. Ja. Prima, ich sag's noch mal kurz fürs Mikrofon. Also, im ersten Schritt kommt jetzt erstmal keine äquivalente Umform, sondern du hast erstmal alles auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Ja, wir sehen ja hier, dass wir Brüche voneinander abziehen wollen. Das geht nur,
wenn ihr den gleichen Nenner haben. Und dazu hast du den ersten Bruch mit X erweitert. Ich schreib das mal so hin. X mal X mal und den letzten Bruch mit 2 - X. Also erweitern heißt, dass wir Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. So, ihr seht, dass ich hier rechts eine Klammer drum rum drum gesetzt habe. Na, ich muss die 2 mit 2 - x multiplizieren und im Prinzip muss ich das auch beim ersten Bruch machen. Ja, und das ist eine kleine Falle, die manchmal schief geht. Also, wenn ich jetzt den Nenner, ach
quatsch, das ja der Zähler, dieses x + 2 mit x multipliziere, dann darf ich nicht nur das erste x mit x multiplizieren, sondern ich muss hier auch die 2 mit x multiplizieren. Und genau das gleiche gilt für den Zähler. Okay, ich schreibe hier trotzdem mal ein Äquivalenzzeichen hin. Könntest du mir diktieren, was ich jetzt in der nächsten Zeile aufschreiben muss? Ah, ich muss mal kurz den Bruchstrich verschönern. So, Prima. Vielen Dank dafür. Hier sind jetzt ein paar Schritte zusammengefasst worden und die würde ich euch gerne kurz noch sagen. Also hier steht ja im Nenner x*
x - 2. Wenn ich das x jetzt hier in diese Klammer reinmultipliziere, steht da zuerst x* x, das ist dieses x² und dann -2* x, das ist hier dieses -2x. Und zweitens wurde direkt diese Subtraktion der Brüche durchgeführt. Also wir haben jetzt bei der, wenn wir erweitert haben, zwei Brüche mit dem Gleichen Nenner und wenn wir davon die Differenz bilden, dann können wir einfach die Differenz des Zählers anschauen. Auf das hier auf der linken Seite ist der Zähler von dem ersten Bruch. X* X² und X* 2= 2X und diese -8 ist dann der Zähler vom
zweiten Bruch. Okay? Und auf der rechten Seite wurde auch schon fleißig ausgerechnet. 2* 2= 4, 2 x -x= -2x und der Nenner ist wieder gleich. Prima. Jetzt sind wir schon einen riesigen Schritt vorwärts Gekommen. Wie geht's weiter? Bitteschön. Ja, die also wir haben auf der linken Seite den Bruch mit x erweitert und auf der rechten Seite haben wir den Bruch mit 2- X erweitert. Und ich glaube, die Frage entsteht dadurch, weil ich vorhin gesagt habe, alles was wir auf der linken Seite tun, müssen wir auch auf der rechten Seite tun. Und es sind jetzt unterschiedliche
Erweiterungen. Von daher muss ich das ein bisschen besser, glaube ich, formulieren. Wenn wir erweitern, heißt das ja eigentlich, huch, was denn hier passiert? Wenn wir erweitern, heißt es eigentlich, dass wir diesen Bruch, diesen ganzen Bruch hier mit x gee dur x multiplizieren, also mit 1. Also haben wir auf der linken Seite mit 1 multipliziert, auf der rechten Seite haben wir auch mit 1 multipliziert, plus Dass die ein bisschen anders aussieht. Also letztendlich haben wir doch auf beiden Seiten das gleiche getan, obwohl das anders aussieht. Vielleicht schreibe ich das noch mal kurz als Nebenrechnung. Also, wenn
ich jetzt hier einen Bruch A durch B habe und den mit K erweitere, dann ist das das gleiche wie A b* mal k dur k und dieses k 1. Also haben wir auf der linken Seite mit X durch x multipliziert das die 1 und auf der rechten Seite haben wir mit 2 - x ge 2 - x multipliziert, das auch die 1. Das war das erweitern. Das war ein wichtiger Schritt, den wir früher oder später auf jeden Fall machen mussten. Wie geht's jetzt weiter? Jetzt sieht die Gleichung erstmal komplizierter aus, aber wir können es trotzdem
vereinfachen. Ähm, ich würde gerne auf eine andere Person noch zu Wort kommen Lassen. Möchte noch jemand anders einen Tipp geben, wie wir jetzt weitermachen könnten, ausgehend von dieser Gleichung hier. Wenn ihr ganz am Anfang ein anderen Weg eingeschlagen habt, das ist natürlich ein bisschen unfair. Jetzt müsst ihr neu denken, aber versucht's einfach mal. Was könnte man jetzt machen? um dieses Gleichungssystem leichter zu machen. Ja, bitte schön. Okay, das mache ich. Vielen Dank für den Tipp. Also, hier kam der Hinweis, wir können das doch einfach auf die linke Seite bringen, den ganzen Bruch. Das heißt, ich
ziehe jetzt auf beiden Seiten 4 - 2x und x² - 2x ab. Na, das ist der nächste Schritt. Also, dann steht hier x² + 2x - 8. Und ich glaube, du wolltest das jetzt auch schon, du hast angedeutet direkt in den Bruch reinschreiben. Ich mache das aber in zwei Schritten, damit das besser zu verstehen ist. Also erstmal x² - 2x und Jetzt kommt der andere Bruch. -4 - 2x x² - 2x = 0. Und jetzt kommt das, was du noch vorgeschlagen hast. Ich ziehe jetzt, ich bilde jetzt die Differenz von diesen beiden Brüchen. Das heißt,
die haben ja beide den beiden den gleichen Nenner. Ich ziehe jetzt diesen Zähler hier 4 - 2x von diesem Zähler ab. Dann haben wir x² + 2x - 8. Dann steht erstmal -4 und aufgepasst. Jetzt müssen wir auf jetzt müssen wir vorsichtig Sein. Haben wir minus minus, also muss ich rechnen + 2x so x² - 2x und das ist 0. Es kann übrigens immer mal wieder passieren, dass ich mich verrechne. Ich bin nicht frei von Fehlern. Das heißt, wenn ihr mal irgendwie was seht, was nicht so ganz verständlich ist, kann es halt auch sein, dass
ich einfach was falsch gemacht habe. Deswegen echt wichtig, dass ihr mir Bescheid sagt, wenn wenn es irgendwo hakt. Aber Ich kontrolliere noch mal. Ich glaube, bis jetzt ist alles noch in Ordnung. Jetzt brauche ich eine neue Seite. Passt nicht mehr drauf. Und wir können weitermachen. Was wäre das nächste, was wir jetzt tun müssen oder können? Wie immer gibt es verschiedene Möglichkeiten. Ihr beide habt schon da. Bitttechön. Ja. Ja, danke schön. Ich habe das nicht Absichtlich gemacht, damit ihr euch mal melden könnt, sondern das ist mir einfach passiert. Ja, also der eben angesprochene Fehler ist gerade
passiert. Vielen Dank für diesen Hinweis und dadurch entstehen natürlich auch Folgefehler, aber das korrigieren wir jetzt. Also, ich sag's noch mal für alle. Ich habe, wo habe ich was falsch gemacht? Hier im Nenner. Da haben wir ausgerechnet x mal Klammer auf 2 - x. So, x* 2= 2x und x* - x= -x². Und was habe ich hingeschrieben? Ich habe es genau andersrum hingeschrieben. Ich habe x² - 2x hingeschrieben. Ja, das heißt, hier muss ein Minuszeichen hin und hier muss ein Pluszeichen hin. Und das korrigiere ich jetzt mal mit einer anderen Farbe. Also hier kommt ein
Minuszeichen hin und hier kommt ein Pluszeichen, damit ihr im Nachhinein seht, was ich falsch gemacht habe. Und Das wiederum bedeutet, dass ich, wenn ich das rüber bringe auf die andere Seite, dass ich das hier auch machen muss, ne? Also hier minus und da plus. So, jetzt kann ich das aber wieder umdrehen, indem ich die Minuszeichen im Zähler vertausche. Also, ich kann jetzt hier quasi den Nenner mit -1 multiplizieren und den Zähler mit -1 multiplizieren. Dann kann ich das hier wieder rückgängig Machen. Da muss ich aber die Minuszeichen da oben hinschreiben. Wer hätten noch andersrum erweitern
können. Genau. Also ein alternativer Vorschlag schreibe ich mal hier hin. Wir hätten auch x - 2 x - 2 auf diese Art und Weise erweitern können, dann hätten wir ein bisschen weniger Arbeit gehabt. Habe ich in dem Moment vercheckt. Okay, also jetzt ändere ich hier unten im Nenner die Vorzeichen wieder so wie es vorher war Und im Zähler. Und jetzt setzt sich der Fehler fort. Jetzt sehen wir hier, wenn ich -4 rechne, wird daraus +4. Und wenn ich dann - + 2x hinschreibe, wird daraus -2x. Ganz vielen Dank für diesen Hinweis. Je länger wir weitergerechnet
hätten, desto mehr hätte ich korrigieren müssen. Okay, jetzt ist aber, glaube ich, alles wieder gut und wir können weitermachen. Ja, bitttechön. Wie bitte? Ja, gerne. Mhm. Äh Moment, wo steht x²? Ja, dieses x². Genau. Ach so, das ähm das wäre unfair. Äh wenn wir wenn wir was kürzen, dann dürfen wir das x² nicht nur an der Stelle kürzen oder wir dürfen dann nicht nur hier durch x² teilen, sondern wir müssen den ganzen Rest auch durch x² Teilen. Und deswegen würde ich vorschlagen, wir vereinfachen erstmal und dann können wir übers Kürzen nachdenken. Ähm, ich würde aber
gerne, weil es ein wichtiger Punkt ist, bevor weitermachen, das einmal kurz etwas allgemeiner aufschreiben. Also, wenn ich jetzt im Zähler zwei Buchstaben stehen habe oder zwei Zahlen, so und wenn ich jetzt kürze, ja, wenn ich jetzt geteilt durch K rechne auf Oben und unten, dann muss ich das A und das B durch K teilen, damit das funktioniert. Also das ist dann a k + b ge und hier c ge k. Ich darf nicht nur das a durch k teilen. Das sollte die Erklärung sein, warum das hier nicht funktioniert mit dem X². Okay. Äh, wie lösche
ich das jetzt wieder? Nein. So, jetzt können wir da oben weitermachen. Vereinfachen. Ja, bitte schön. Genau. Also, wir haben oben im Zähler + 2x und -2x, die kürzen sich weg und dann hast du noch dazu gesagt, wir haben -8 + 4. Auch das können wir ausrechnen. Okay, das schreibe ich jetzt mal hin. Also, x² bleibt stehen. -8 + 4 ist dann -4 und hier ist dann x² - 2x und das ist gleich 0. Jetzt sieht das ja alles wieder ein bisschen übersichtlicher aus. Wie können wir jetzt von hier aus Weitergehen? Ja, bitttechön. Genau. Perfekt. Ich
stoppe dich mal ganz kurz, damit ich mitschreiben kann. Also, wir multiplizieren beide Seiten mit x² - 2x. So, also einmal den linken Bruch und einmal die Null. Wenn wir sowas machen, müssen wir aufpassen, dass wir nicht aus Versehen beide Seiten einfach mit 0 multiplizieren. Ja, wenn wir beide Seiten einer Gleichung mit 0 multiplizieren, dann kommt dann raus 0 = 0 und das ist immer erfüllt, aber das bringt uns nichts, weil wir dann keinen Wert für x haben, der dann irgendwie rauskommt. Jetzt können wir kurz gucken, ist dieser Ausdruck irgendwo gleich 0 und daran da kann
man uns jetzt sich dran erinnern, dass wir ganz am Anfang gesagt haben, x darf nicht 0 sein und x darf nicht 2 sein. Und das sind genau die beiden Werte, wo diese Klammer gleich 0 wird. 0² - 2* 0= 0 und 2² - 2* 2 auch 0. Ja, das heißt, wenn wir am am wenn wir am Anfang annehmen, dass x wieder 0 noch 2 ist, dann ist dieser Ausdruck hier ungleich 0 und wir dürfen damit multiplizieren. Das mache ich jetzt erstmal. Ich schreib es erstmal ausführlich hin. X² - 4 x² - 2x und das ganze
dann mal x² - 2x, das ist 0. Und auf der rechten Seite multiplizieren wir mit der gleichen Zahl X² - 2x. So und jetzt hast du gesagt, jetzt kürzt sich was weg. Ja, wir haben hier eine Zahl, die mit der mit dem Nenner komplett übereinstimmt. Na, wenn wir jetzt Zähler und Nenner durch diese Zahl teilen, dann kürze ich das weg. Ich streich das mal durch und dann bleibt übrig - 4. Und was ist auf der rechten Seite passiert? 0 mal irgendwas ist immer 0. Schon wieder ein bisschen vereinfacht. Okay, wie geht's weiter? Ja, du hast
noch nichts gesagt. Biteschön. Ähm ja, einigt euch vielleicht die andere Person macht den nächsten Schritt dann. Genau, wir rechnen + 4. Diese -4, die gehört nämlich auf die rechte Seite und die kriegen wir weg, indem wir auf beiden Seiten 4 addieren und dann kommt raus x² = 4. Und wenn deine Hinterfrau jetzt möchte, kannst du weitermachen. Jetzt ziehen wir die Wurzel. Okay, halt. Da habe ich immer rot Benutzt. Was steht dann auf der linken Seite? Ich bin dir voll dankbar, dass du an beide Lösungen gedacht hast, weil wenn ich beide Lösungen hinschreibe, dann darf ich
das Äquivalenzzeichen benutzen. Also äh nein, wie war das denn noch mal? Ja, also wir hatten das ja letzte äh letzte Woche wollte ich sagen, gestern mit diesen Implikationspfeilen, ne? Also, wenn ich die Wurzel ziehe, da muss ich aufpassen. Erstmal gilt da nur der Fall nach rechts. Es sei denn, ich lasse beide Lösungen zu. Also x1 hast du gesagt, ist dann gleich ich nehme mal die kleinere Zahl zuerst -2 und jetzt kommt ein oder x2 = + 2. So, bitttechön. Jo, genau. Genau, ne? Also, wir müssen dann ganz zum Schluss noch mal prüfen, hey, was haben
wir eigentlich ganz am Anfang gesagt? welche Werte scheiden aus und da ist genau eine Zahl davon dabei und zwar Diese hier, ne? Die muss ich wieder durchstreichen, da x 2 gelten muss. Und damit haben wir die Lösung von diesem super komplizierten Tierchen, was wir ganz am Anfang haben. Also, wenn wir -2 einsetzen, dann sollte hier diese Gleichung erfüllt sein. Wer möchte, kann das noch mal als Probe ausprobieren und das empfiehlt sich auf jeden Fall, wenn ihr irgendwo in der Klausur eine Aufgabe, eine Gleichung lösen sollt und zum Schluss noch eine Minute Zeit habt, dann macht
die Probe auf jeden Fall, weil man dann einfach noch mal checken kann, ob das stimmt. Ich mache das auch jetzt hier. Das heißt, ich schreibe jetzt mal in Was haben wir denn noch nicht? Ich schreib mal in orange die Probe auf. für x = -2. Also überall, wo ich hier in dieser schwarzen Gleichung x sehe, Schreibe ich eine -2 hin. -2 + 2 ge -2 -2, das der erste Bruch -8 ge So, x² wird dann zu -2 zum Quadrat ist eine 4. -2* -2= + 4 und auf der rechten Seite steht 2 ge -2. Wir
sehen beim ersten Bruch, bei diesem Bruch hier steht im Zähler -2 + 2, das heißt der hier ist gleich 0 und dieser Bruch hier ist -8 ge 8, also -1 und dieser Bruch ist 2 ge -2, also = -1 und das ist offensichtlich prima. Also -1 = -1 heißt, diese Gleichung ist wahr. Wir haben die richtige Lösung gefunden und es gibt keine andere Lösung. Okay, das hat jetzt äh ein bisschen Mühen gekostet. Ich habe mich einmal verrechnet, ihr vielleicht auch, aber zusammen schaffen wir das. Ja, zusammen kriegen wir Gleichungen gelöst und wir werden gleich noch
schwierigere Gleichungen sehen. Da muss ich euch aber ein paar Tricks zeigen. Jetzt kommen wir erstmal zu Gleichungen und ihre Parameter. Wir haben schon einen Ausdruck kennengelernt. Das ist eine Variable. Das war jetzt in diesem Fall das X. Das ist ein Buchstabe, der für eine beliebige Zahl steht, die sich verändern darf. Ein Parameter ist fast genau das gleiche. Ein Parameter ist auch ein Buchstabe, der für eine Zahl steht, aber wir stellen uns vor, dass diese Zahl fest vorgegeben ist, z.B. durch die ökonomischen Rahmenbedingungen, die wir Haben. Was könnte das sein? Also, ich gehe einkaufen in den
Supermarkt und ich habe Geld in der Tasche und wir kürzen das Geld in der Tasche meistens durch ein M für Money ab und wir gehen einfach davon aus, dass sich das Geld in meiner Tasche leider nicht verändert. Ja, das ist fest und ich möchte jetzt ausrechnen für ein gegebenes Budget, was ich habe, was kaufe ich ein, ja, was maximiert mein Nutzen, was optimiert meine Präferenzen und dann kann ich mir im Nachhinein überlegen, wie hängt dann mein Konsumgüterbündel ab von dem Geld, was ich in der Tasche habe. Und dadurch, dass wir das eben durch einen Buchstaben
festgeschrieben haben, können wir dieses Optimierungsproblem dann für beliebige Geldmengen ausrechnen, die zur Verfügung stehen könnten und nicht nur für 50 €. Ja, sondern wir haben dann ein allgemeineres Problem gelöst. Schauen wir uns mal eine äh spezielle Funktion an. Die sehen wir hier unten. Und manche Leute sagen, das ist eine lineare Gleichung. Manche Leute sagen, das ist eine affine Gleichung. Affin deswegen, weil hier noch so ein Achsenabschnitt B dabei ist. Ja, das wäre mathematisch ein bisschen korrekter, aber allgemein sprechen wir einfach von Line Gleichung. Deswegen benutze ich mal dieses äh ja fast umgangssprachliche und sag dazu
auch lineare Gleichung. So, in dieser linearen Gleichung kommen Jetzt zwei Variablen vor. Das ist X und Y. schreibe ich mal dazu. X und Y, das sind die Variablen und das A und das B sind in diesem Fall die Parameter. Oft ist es irgendwie aus dem Zusammenhang klar, was jetzt eine Variable ist und was nicht und was ist ein Parameter. Und ähm wenn man den Zusammenhang gut beschreibt, dann versteht man das. Wenn man den Zusammenhang schlecht beschreibt, ja, Dann ist es halt doof, dann sieht man es nicht auf den ersten Blick. Ich versuche mir äh die
Mühe zu machen, dass ich es wirklich eindeutig aufschreibe, dass ihr immer genau wisst, hey, was ist jetzt die Variable und was ist ein Parameter? Hier können wir jetzt quasi eine lineare Funktion, eine lineare Gleichung, soll ich besser sagen, untersuchen mit zwei Parametern A und B. Und diese beiden Parameter haben eine bestimmte Bedeutung. Das B ist der Achsenabschnitt Und das A ist die Steigung. Und wenn wir dieses Problem allgemein verstehen, dann haben wir damit quasi ein Werkzeug, womit wir alle Linearangngleichungen auf einen Schlag verstanden haben. Wenn ich jetzt für A und B konkrete Zahlen eingesetzt hätte,
dann hätten wir ja nur diese eine Gleichung verstanden. Das ist der Vorteil an Parametern, ne? Wir können mit Parametern ein Problem allgemeiner aufschreiben und allgemeiner verstehen. Jetzt kommen wir zu dem Unterschied strukturelle und reduzierte Form. Das hat jetzt schon ziemlich viel äh mit Wirtschaftswissenschaften zu tun. Die strukturelle Form ist eine ein Modell in Form von Gleichungen, wo wir die Gleichungen ökonomisch interpretieren können. Ja, wir verstehen, aha, weil die Welt so ist, wie wir sie beschreiben wollen, kommt jetzt diese oder jene Gleichung raus. Wir kriegen gleich auch ein Beispiel Dafür. Die reduzierte Form verändert nun diese
strukturelle Form verändert diese Gleichung, indem alle Variablen auf die linken Seiten gebracht werden und alle Parameter auf die rechten Seiten. Die strukturelle Form ist dann eine Lösung von der Nein, die reduzierte Form ist dann eine Lösung von der strukturellen Form. Das heißt, bei der reduzierten Form können wir direkt Sehen, welche Werte werden die Variablen annehmen bei gegebenen Parametern. Wir können die die reduzierte Form nicht mehr so gut ökonomisch interpretieren wie die strukturelle Form, aber die reduzierte Form erlaubt uns dann voraus zu sagen, ja, was passiert eigentlich in diesem Modell? Ja, wie werden sich die Leute
dann entscheiden? Wie wird wo geht's hin mit der Wirtschaft? Aber lass uns mal ein konkretes Beispiel uns anschauen. Vielleicht können wir das Besser verstehen. Das ist jetzt ein Mini Makromodell und wir haben zwei Gleichungen und die Gleichung habe ich es einmal mit I abgekürzt und einmal mit Doppel I oder wir könnten sagen, das ist Gleichung 1 und das ist Gleichung 2. So, wir schauen uns mal die erste Gleichung an. Da steht y = C + I. Und in dieser Gleichung ist es tatsächlich so, dass alle Buchstaben für Variablen stehen. Y bezeichnet das Volkseinkommen oder Bruttoinlandsprodukt.
Was ist das genau? Das ist der Wert aller produzierten Waren und aller erbrachten Dienstleistungen. Ja, das ist sozusagen das Geld, was die ganze Gesellschaft zur Verfügung hat. Das C steht für Consum Consumption. Das ist das, was wir ausgeben für den täglichen Bedarf, für unseren Spaß, für unsere Freizeit. Und der Konsum selbst ist nicht produktiv. Ja, der trägt Nichts dazu bei, dass wir irgendwie mehr Wohlstand haben, sondern der trägt dazu bei, dass wir glücklich sind. Und dann gibt es das I, das sind die Investitionen und das ist das Geld, was wir nicht konsumieren, sondern was wir
in neue Produktionsgüter stecken oder in Infrastruktur stecken, sodass wir in Zukunft besser produzieren können oder in Zukunft mehr Wert haben. Diese Gleichung y = C + I ist einfach nur eine Definitionsgleichung, die sagt, Das Geld, was die Gesellschaft zur Verfügung hat, kann sie entweder konsumieren oder investieren. Ich habe eben gesagt, das ist ein Minimodell. Ja, man kann das natürlich noch erweitern. Man kann sagen, ich kann zusätzlich noch Geld sparen für zukünftliche Perioden oder ich kann Geld ins Ausland überweisen oder ich kann vom Ausland Geld reinbekommen. All das wird jetzt hier in diesem kleinen Modell noch
ignoriert. Jetzt kommen wir zur zweiten Gleichung. Da steht c = a + byy. Das heißt, das ist so eine lineare Gleichung und die besagt oder die stellt eine Konsumfunktion da, eine sehr vereinfachte Konsumfunktion, die sagt, dass der Konsum linear vom Einkommen abhängt. Ja, je mehr Einkommen wir haben, desto mehr können wir konsumieren. Und hier kommen jetzt auch Parameter vor, nämlich das A und das B. Das A sagt uns, also jetzt kommt die ökonomische Interpretation, so viel wir würden wir konsumieren, wenn wir gar keinen Einkommen haben. Ja, man könnte jetzt sagen, okay, das A müsste eigentlich
gleich null sein. Wenn wir keinen Einkommen haben, können wir auch nicht konsumieren. Man könnte aber auch andersrum argumentieren, hey, wir müssen ja irgendwas essen, sonst sterben wir ja alle. Also muss es A irgendwie positiv sein. Und das B ist äh so ein äh wir nennen Das auch den Grenzkonsum, ein Parameter, der sagt, wenn unser Einkommen um 1 € steigt, dann konsumieren wir B mehr. So können man das interpretieren. Es ist natürlich total vereinfachend anzunehmen, dass unser Konsum linear vom Einkommen abhängt. Aber hey, wir müssen ja irgendwo anfangen, ne? Und wir wollen jetzt hier nicht direkt
die allerschlimmsten Modelle betrachten, sondern schön einfache Modelle. Also das Hier, diese beiden Gleichungen bilden ein makroökonomisches Modell in struktureller Form. Wir können diese Gleichung ökonomisch interpretieren und die Aufgabe ist es nun, dieses Gleichungssystem so umzuformen, dass die Variablen auf der linken Seite stehen und die Parameter auf der rechten Seite. Jetzt gibt es ein Problem und zwar haben wir y, C und I als Variablen, aber wir haben nur zwei Gleichungen. Wir haben drei Variablen und nur zwei Gleichungen. Deswegen müssen wir uns jetzt entscheiden, welche der drei Variablen stehen auf der linken Seite und welche, also die
dritte Variable muss dann ja zwangsläufig auf der zwangsläufig auf der rechten Seite stehen. Und das ist jetzt quasi die Entscheidung von der Person, die das Modell analysiert. Und das Beispiel ist aus dem Lehrbuch. Im Lärbuch wurde das jetzt so gemacht, dass die Investitionen auf die rechte Seite gehen, aber Konsum Und Einkommen auf die linke Seite. Also, wir schreiben auf die linke Seite Y und C und das I kommt irgendwie auf die rechte Seite. Darum soll es jetzt auf der im folgenden gehen. Ich habe eben noch ganz kurz gesehen, an die Parameter werden Annahmen getroffen. Also
A und B sollen beide positiv sein. Bedeutet, wir konsumieren immer eine bestimmte positive Menge, egal wie hoch unser Einkommen ist. Und Bedeutet, wenn unser Einkommen steigt, steigt unser Konsum. Aber B soll kleiner als ein sein. Das heißt, wenn wir 1000 € mehr verdienen, heißt das, dass wir weniger als 1000 € mehr konsumieren. Ja, wir können nicht mehr konsumieren, als wir dazu bekommen an Einkommen. Ja, dann lass uns das doch mal mit den Methoden, die wir bisher gelernt haben, versuchen zu lösen. Dazu schreibe ich dieses strukturelle Modell noch einmal auf, die beiden Gleichungen. Und zwar haben
wir die Gleichung I. Y = c + i und die Gleichung 2i. Was war das noch mal? C= a + b mal y. Und jetzt sollen wir Schritt für Schritt äquivalente Umform machen. Und ganz unten soll rauskommen zwei Gleichungen. Die eine Gleichung definiert mir ein Y, die andere Gleichung definiert mir ein C. A und B sind auf der rechten Seite und I darf auch auf der rechten Seite sein. Okay. Hat jemand eine grundsätzliche Idee? Also noch nicht die Lösung, Sondern einfach eine Idee, wie wir da anfangen können. Wie könnten wir es schaffen, dieses Gleichungssystem zu
lösen? So ein erster Schritt. Wie würdet ihr das machen, wenn ihr das jetzt lösen müsstet? Ist nicht schlimm, wenn es noch nicht perfekt passt, aber eine Idee ist immer hilfreich. Bitteschön einsetzen. Super. Also, wir werden nachher ein Verfahren kennenlernen, Substitutionsverfahren oder Einsetzungsverfahren, das genau das macht. Also, wir haben hier in der oberen Gleichung ein C stehen und der Vorschlag war nun, dass wir dieses C hier oben ersetzen durch a + b* y, weil a + b* y = c., Also dieses a + b mal y setzen wir einfach mal da oben rein. So, ich schreibe
jetzt hier ein Äquivalentzeichen und forme die Gleichung um. Jetzt darf Ich nicht mehr i und 2i schreiben, das sind ja andere Gleichungen. Und schreibe in der oberen Gleichung anstelle von C einfach a + b* y + i. wichtig, auch wenn es irgendwie mühselig ist, ich muss die zweite Gleichung mitnehmen. Wenn ihr das alles total routiniert könnt, dann könnt ihr euch natürlich bestimmte Schreibarbeit einfach sparen, aber ich möchte es jetzt hier ordentlich machen und ich nehme jetzt die zweite Gleichung mit, obwohl Ich die gar nicht verändert habe, schreibe ich die einfach unverändert auf. Okay, was ist
jetzt passiert? Jetzt haben wir bereits in der oberen Gleichung die Situation, dass nur noch das Y vorkommt und nicht mehr das C. Das heißt, wir sind dem Ziel schon ziemlich nahe gekommen bei der oberen Gleichung. Ja, wir wollen ja zum Schluss haben zwei Gleichungen. Eine Gleichung für Y, eine Gleichung für C. Das heißt, in der Gleichung für Y darf kein C mehr vorkommen. Das haben wir jetzt hier schon geschafft. Dennoch sind wir nicht am Ziel. Das Y muss ja schließlich noch auf die linke Seite. Das heißt, was machen wir jetzt als nächstes? Wer möchte von
hier ausgehen weitermachen? Ich habe was falsch gemacht. Das heißt, ihr dürft auch was falsch machen. Ja, seid mutig. Ist nicht schlimm, wenn das Jetzt noch nicht die perfekte Lösung ist, aber wahrscheinlich bringt uns jeder Hinweis nach vorne. Ja, bitttechön. Perfekt. Ich schreibe erstmal mit. Also by auf die linke Seite bringen und dann y ausklammern. Ich mache das in zwei unterschiedlichen Schritten, aber wenn ihr das gut drauf habt, könnt ihr das natürlich sofort in einem Schritt machen. Also by auf die linke Seite bringen, heißt - by rechnen. Dann steht da y - by = a +
i. Und die zweite Gleichung schreibe ich mit. C = A + B mal y. Und jetzt kommt der nächste Schritt. Wir sehen hier, dass da die zweimal y vorkommt, hier steht eigentlich y* 1 und dann können wir eben y ausklammern und dann sieht das so aus. y* 1 - b = a + i und die zweite Gleichung nehme ich mit. Manchmal ist es hilfreich, wenn man dieses Ausklammern auch noch mal rückwärts macht. Ja, wenn ich jetzt rückwärts rechne y* 1 - y* b, dann sehen wir, dass wir dann hierhinkommen. Ups, ich muss das anders machen.
So, und eine neue Seite brauche ich. Wie geht's weiter? Wir sind schon ziemlich weit fortgeschritten. Was wäre der nächste Schritt, den man machen kann? Ja, genau. Wir teilen beide Seiten durch 1 - b. Danke schön. Damit wir hier diese Klammer loswerden. Also, wenn wir hier durch 1 - B teilen, fällt das 1 - b hier weg und dann bleibt nur das y stehen und dann haben wir hier a 1 - b + i 1 - b. Und die zweite Gleichung nehme ich wieder mit. Mit der ersten Gleichung sind wir tatsächlich fertig. Ja, so wie die
erste Gleichung jetzt da steht, haben wir Alles, was wir wollen. Die Variable steht auf der linken Seite, das Y. Auf der rechten Seite stehen nur Parameter und die eine Variable, die dritte Variable, wo wir gesagt haben, die darf auch auf die rechte Seite. Aber die zweite Gleichung ist noch nicht fertig. Was machen wir mit der zweiten Gleichung? Ich warte noch, ob es noch eine andere Hand gibt. Du hast auch schon Möchte noch jemand was sagen? Also, was wollen wir, wie wollen wir die zweite Gleichung haben? Die zweite Gleichung soll erfüllen, dass auf der linken Seite
C steht und auf der rechten Seite nur noch die Parameter und das I. Du hast eine Idee. Genau. Wir setzen wieder zurück ein, die erste in die zweite. Also hier steht ja ein y. In der ersten Gleichung steht das, dass Y gleich diesem Ausdruck ist. Also können wir diesen Ausdruck hier wieder zurückinsetzen. Also steht da die erste gleiche. Muss ich jetzt abschreiben. A 1 - B + I durch 1 - B. Und bei der zweiten Gleichung steht C = A + B. Und jetzt muss ich das B mit dem ganzen mit der ganzen rechten Seite
multiplizieren, die da oben steht. Deswegen mache ich eine große Klammer. A dur 1 - B + I durch 1 - B. Ich habe vorhin eine Sache verschwiegen, worauf Man hätte auch achten müssen. Wir haben ja hier durch 1 - b getilt und ich habe vorhin gesagt, hey, man darf nicht durch 0 teilen. Ja, was passiert denn, wenn b = 1 ist? Dann funktioniert das Ganze nicht. Aber aber ganz am Anfang vom Modell war B kleiner als 1 Annahme. Ja, wir dürfen nicht unser gesamtes Einkommen konsumieren in diesem Modell. wahrscheinlich genau aus diesem Grund, damit wir
nachher nicht durch null Teilen. So, jetzt haben wir eigentlich schon alles erreicht. Die zweite Gleichung hat jetzt auch diese Eigenschaft. Auf der linken Seite ist nur das C, nur die Variable C. Auf der rechten Seite sind nur Parameter A und B und das Einkommen. Aber wir können die rechte Seite noch ein bisschen vereinfachen. Wollst du genau das machen oder wollst du was anderes machen? Genau, man kann auch die Brüche Zusammenschreiben. Ach so, jetzt habe ich verstanden, was du meinst. Also, man könnte hier ähm a + I auf den gleichen Bruch schreiben. Genau. Ich habe das
jetzt absichtlich mit zwei Brüchen gemacht, damit wir das quasi ein bisschen trennen können, weil I eigentlich noch eine Variable ist. Aber wenn ihr wollt, könnt ihr es auch zusammenschreiben. Ähm, ich würde jetzt hier bei der unteren Gleichung das alles noch ein Bisschen umformen und ich glaube, das mache ich einfach mal. Ich sage immer dazu genau, was ich mache, damit wir zu dem Ergebnis kommen. Also jetzt schreibe ich kein Äquivalenzzeichen, sondern einfach ein Gleichheitszeichen. Also diese Gleichung hier ist gleich. So, ich will jetzt gleich das A mit diesen beiden Termen hier verknüpfen. Das heißt, ich muss
das Auch reinkriegen, wo der Nenner 1- B ist. Das heißt, ich erweitere das A quasi mit 1 - B, dann steht da a* 1 - B ge 1 - B + Jetzt multipliziere ich das B da rein. A* B ge 1 - B + B durch 1 - B* I. Ich habe das jetzt einfach so hingeschrieben, also B da rein multipliziert und dann ist i aus dem Bruch wieder rausgeholt. Und jetzt rechne ich hier aus, was da steht. A* 1= a, a* - b= -ab. Und jetzt addiere ich den anderen Bruch da drauf +. Das
ganze durch 1 - b + b dur 1 - b mal i. Und wir sehen, dass hier im Cler sich das AB rauskürzt und dann haben wir die äh endgültige Lösung. Also, dann haben wir a 1 - b + b dur 1 - b mal i. Das ist die Lösung für c und da oben hatten wir die Lösung für y. Also, das ist jetzt die reduzierte Form. Da stehen die Variablen auf der linken Seite mit Ausnahme von i. Wir mussen uns da entscheiden und alle Parameter auf der rechten Seite. Jetzt können wir also für jedes
Investitionsniveau ausrechnen, Wie hoch ist der Konsum in der Volkswirtschaft und wie hoch ist das Einkommen in der Volkswirtschaft. Wir können aber auch noch weitergehen, wir können das analysieren. Wir hatten ein paar Annahmen an die Parameter ge äh getroffen, also z.B., dass A und B beide positiv sein sollen und wir hatten auch angenommen, dass B kleiner als 1 sein soll und das bedeutet, dass dieser Bruch, der vor dem i steht, also hier wäre das 1 dur 1 - b oder das wäre der Faktor vor dem i und hier b dur 1 - b, diese beiden Faktoren
sind positiv. Und jetzt können wir halt sagen, hey, wenn die Investitionen steigen, dann wirkt sich das positiv auf das Einkommen und auch positiv auf den Konsum aus. Und das ist in gewisser Hinsicht überraschend, denn wenn wir an die Ausgangsgleichung denken, dann steht ja, dass wir unser Einkommen entweder konsumieren oder investieren können. Ja, wenn wir nur die erste Gleichung hier anschauen, dann würde ja ein Erhöhen der Investitionen dazu führen, dass wir weniger konsumieren müssen. Und jetzt mit der Lösung des Modells können wir aber sagen, hey, wenn wir die Investitionen erhöhen, dann erhöht sich auch das Einkommen.
Und deswegen können wir dann auch mehr konsumieren. Noch mal, das ist ein sehr vereinfachtes Modell. Ja, ich wäre jetzt nicht seit zu sagen, das bildet die Realität perfekt Ab, wir können es danach richten, aber dieses Modell hilft uns einfach ein komplizierteren Zusammenhang darzustellen und dann mit der reduzierten Form Aussagen darüber zu treffen, was passiert, wenn sich die Investitionen verändern. Das war jetzt ein Beispiel mit einem ökonomischen Hintergrund. Hier steht noch mal die Lösung aufgeschrieben. Kann ich vergleichen mit dem, was ich Ausgerechnet habe und es stimmt glücklicherweise überein. Das heißt, wir haben keinen Fehler gemacht beim
Rechnen. Jetzt kommen wir zum nächsten Punkt. Wir haben bisher lineare Gleichungen besprochen. Jetzt kommen wir zu quadratischen Gleichung. Ja, unsere Welt ist natürlich nicht immer linear, also unser Konsum steigt nicht immer linear im Einkommen, sondern Manchmal auch quadratisch und natürlich auch können wir noch kompliziertere Funktionen uns vorstellen. Hoch 3, also kubische Funktionen oder Logarithmusfunktionen, Eulerfunktion. Aber hey, lass uns einen Schritt nach dem anderen machen. Wir betrachten jetzt erstmal quadratische Funktionen und wir werden im Studium merken, dass wir eigentlich fast alles mit linearen und quadratischen Funktionen abdecken können. Das heißt, auch wenn es noch viel komplizierter
geht, wir müssen gar nicht so kompliziert denken. Was sehen wir hier? Ich habe jetzt hier eine allgemeine quadratische Gleichung ganz oben auf der Folie stehen. A* X² + B mal X + C = 0. Ja, das ist eine quadratische Gleichung, weil der höchste Exponent von dem x die 2 ist. Außerdem steht da, dass das a ung 0 sein muss. Stellt euch vor, das a wäre = 0, na, dann hätten wir einfach eine lineare Gleichung. Dann wäre das keine quadratische Gleichung. Außerdem sehen wir auf dieser Folie eine Darstellung dieser Gleichung für unterschiedliche Werte der Parameter A,
B und C. Also X ist hier die Variable und A, B und C, das sind die Parameter. Und ihr seht in verschiedenen Farben jetzt einfach, wir nennen das unterschiedliche Spezifikationen. Das heißt, wir haben z.B. bei der Farbe blau für a = 1 eingesetzt, für b = 1 Eingesetzt und für c die 0 eingesetzt. Und dann habe ich diese Gleichung grafisch dargestellt als eine blaue Parabel. Also, wir haben in dem Diagramm zwei Achsen. Die eine Achse ist für X und die andere Achse ist normalerweise für Y. Und hier ist Y eben der Wert der linken Seite
der Gleichung. Und wir sehen, dass hier die blaue Gleichung zu einer Parabel führt, die nach oben geöffnet ist und die einen Tiefpunkt hat. Außerdem schneidet diese Parabel an zwei verschiedenen Stellen die X-Achse. Wir können bereits an den Vorzeichen von dem A sehr leicht erkennen, ob die entsprechende Parabel nach oben geöffnet ist oder nach unten geöffnet. Also, wenn das A positiv ist, dann ist sie nach oben geöffnet. Wir sehen das z.B. auch bei der roten Parabel. Hier wäre das A die 2. Bei den anderen beiden Parabeln ist das A, -1/5 oder -1/B und die Parabel ist
nach unten geöffnet. Ob die Parabel nach oben oder oben oder nach unten geöffnet ist, ist für uns wichtig, denn wir suchen häufig nach einem Maximum oder einem Minimum. Ja, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, dann gibt's gar kein Maximum. Ja, wir können immer weiter nach rechts gehen oder immer weiter nach links und der Wert wird immer größer, aber es gibt ein Minimum. Z.B. könnte eine nach oben geöffnete Parabel so eine Durchschnittskostenfunktion sein und wir Suchen dann eben das Minimum der Durchschnittskosten, wo wir dann effizient prof äh produzieren können. Oder eine nach unten geöffnete Parabel
könnte eine Gewinnfunktion sein. Ja, und an irgendeiner Stelle ist der Gewinn eben maximal. Wir wollen jetzt diese Gleichung hier untersuchen und uns interessieren zwei Sachen. Die eine Sache ist, an welcher Stelle wird die Gleichung gelöst und das bedeutet, wo sind die Nullstellen der Parabel? Und die der andere Punkt, der uns interessiert ist, wo ist der Scheitelpunkt der Parabel? Also, wo ist das Maximum oder das Minimum? Mal gucken, ob wir das rauskriegen. Wir schauen uns jetzt verschiedene Fälle an, bevor wir diese quadratische Gleichung in der allgemeinen Form lösen. Im ersten Schritt schauen wir uns den Fall
an, dass dieser letzte Parameter das C = 0 ist. Also, wenn ich noch mal Zurückblätter hier, dieses C, das fällt weg und es bleibt nur a* x² + b* x übrig. Ja, das ist der Fall, den wir auf dieser Folie betrachten wollen. Jetzt kann man diese Gleichung verändern, indem man das x auf der linken Seite ausklammert. Also hier steht ja x mal x und hier steht x. Das heißt, es gibt einen gemeinsamen Faktor. Den habe ich hier vor die Klammer gestellt. Noch mal, wenn wir rückwärts gehen würden, x* ax ist dann also a* x* X,
a* x² und x* b ist das gleiche wie b* x. Wenn wir jetzt diese Gleichung auf diese Weise Art und Weise darstellen, dann sehen wir, das ist ein Produkt und ein Produkt ist gleich 0, haben wir gestern gesagt, wenn mindestens einer der beiden Faktoren gleich 0 ist. Es könnte könnte theoretisch auch sein, dass beide Faktoren gleich 0 sind, aber wenn einer von beiden Faktoren gleich 0 ist, dann muss auch die ganze Gleichung gleich 0 sein. Das heißt, wir können Sagen, diese Gleichung ist erfüllt, wenn x = 0 ist oder wenn die rechte Klammer a x
+ b = 0 ist. Und die rechte Gleichung, die können wir dann auch leicht nach x umformen. Also, wir können zuerst das b auf die rechte Seite bringen. A* X = - B. Und dann können wir noch durch A teilen. A ist ja per Annahme ungleich 0, also X = - B durch A. Und damit haben wir dann eben die beiden Lösungen von diesem Spezialfall gefunden. Also, wenn der Parameter C = 0 ist, dann ist diese Gleichung erfüllt genau dann, wenn x = 0 ist oder wenn x = - b dur a ist. Ich gehe
schon mal zurück. Äh, also ich gucke schon mal, ob ich diesen Spezialfall auf der linken Seite äh auf der vorherigen Folie irgendwo finde. Also c = 0, das ist jetzt z.B. bei der blauen und bei der orangenen Gleichung der Fall. Ja. Und für diese beiden Fälle gilt, wenn x = 0 ist, haben wir eine Nullstelle. Und wir sehen, dass die blaue Parabel hier durch die Null geht und die orangene Parabel geht ebenfalls durch die 0. Das war aber nur eine der beiden Nullstellen. Die andere von beiden Nullstellen war - b dur a. Das heißt, die
können wir auch mal suchen. Bei dem blauen Fall ist das a = 1 und Das b = 1. Das heißt, hier wäre die Nullstelle bei -1 dur 1, also bei -1. Das heißt hier diese Nullstelle, das müsste die -1 sein. Die schreibe ich mal dazu. Hier ist die -1. Wie sieht das hier aus bei der orangenen Gleichung? Da gibt es keine zweite Nullstelle. Woran liegt das? Bei der orangenen Gleichung ist das a -1/5 und das B ist die 0. Das heißt, wir haben hier -0 ge -1/5. Und wenn im Zähler eine 0 steht, dann kommt
insgesamt auf 0 raus. Das heißt, bei der orangenen Gleichung fallen diese beiden Lösungen zusammen. Ja, die sind beide identisch. Da gibt's nur eine Nullstellung. Okay, das war der Spezialfall, dass der letzte der drei Parameter das c = 0 ist. Und jetzt gucken wir uns einen weiteren Spezialfall an, nämlich wenn das b = 0 ist. Also, ich gehe noch mal in die Allgemeine Gleichung zurück. Hier a² äh a* x² + b* x + c. Und wir schauen uns jetzt den Fall an, dass dieser mittlere Ausdruck wegfällt. Dann bleibt nur a* x² + c übrig. Das steht
jetzt hier. Jetzt können wir erstmal das C auf die rechte Seite bringen. - C rechnen. Da steht es schon. Das C hier ist das Minuszeichen. Und dann können wir noch durch A teilen. Und dann haben wir eben die Gleichung so umgeformt, dass da Steht x² = - c dur a. Und jetzt müssen wir aufpassen, Quadratzahlen können nicht negativ werden, aber hier steht ja ein Minuszeichen. Dieses Minuszeichen alleine bedeutet noch nicht, ob der Ausdruck hier auf der rechten Seite negativ ist. Das kommt hängt auch von den Vorzeichen von C und A. Das heißt, wir müssen hier
Fälle unterscheiden. Wenn insgesamt die rechte Seite negativ ist, dann wäre die Quadratzahl negativ Und das ist nicht möglich, zumindest nicht in den reellen Zahlen. Das heißt, wir würden in diesem Fall sagen, es gibt gar keine Nullstelle, ja? Es gibt keinen Wert von x, sodass diese Gleichung erfüllt ist. Dann gibt es den Fall, dass - c dur a genau = 0 ist. dann wäre x² = 0 und das ist genau dann erfüllt, wenn x = 0 ist. Na, das wäre dann die eindeutige Lösung. Oder die rechte Seite hier dieses - C dur A ist positiv, Dann
dürfen wir die Wurzel davon ziehen. Aber eine Lösung kann auch die negative Wurzel sein. Also es kann die positive Wurzel sein oder hier mit dem Minuszeichen die negative Wurzel. Dann hätten wir zwei Lösungen. Und auch das würde ich gerne in dem Beispiel mal anschauen. Vorher kommt noch eine Anmerkung. Bitteschön. Also hier wird die PQformel angesprochen. Die PQformel ist eine Formel, mit der man diese quadratische Gleichung in der allgemeinen Form lösen kann und zu der komme ich gleich noch. Und wenn ich die PQ Formel besprochen habe, dann können wir gerne noch mal hier auf die Folie
zurückgehen und gucken, ob die PQformel auch wirklich stimmt. Also, ich gehe jetzt noch mal zu der zu der bunten Folie zurück und gucke mir an, in welchen Fällen gilt b = 0 und dann schaue ich mal, ob wir da keine Lösung, eine Lösung oder zwei Lösungen Finden. Also, ich schreibe vielleicht hier ein noch mal drüber. Hier ist das A, hier ist das B und hier ist das C. Und wir haben hier wieder zwei Fälle, wo b = 0 ist. Ich schaue mir erstmal den roten Fall an. 2* x² + 1/ soll gleich 0 sein. Und
das ist diese Parabel. Und wir sehen bei der roten Parabel, die hat überhaupt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Die hat keine Nullstelle. Woran liegt das? Na, ich schreibe mir die noch mal auf. 2x² + 1/2 = 0. Vielleicht hier unten 2x² + 1/2 = 0. Ich bringe das ein/b auf die rechte Seite, also 2x² = -1/ und jetzt teile ich beide Seiten noch durch 2 und dann habe ich x² = - aus ein/b wird dann ein und das ist negativ. Ja, -1/ ist negativ. Das heißt, ich bin hier in dem Fall, dass - b dur
a negativ ist. und wir deswegen keine Lösung haben. Wir können die Wurzel nicht von -1/ ziehen. Wie sieht das aus im orangenen Fall? Hier halt, ich muss diesen Pointer nehmen. Hier ist auch das B = 0 und gleichzeitig ist auch das C = 0. Ich schreib die Gleichung mal auf. Dann haben wir falsche Farbe -1/5 mal x² + 0 + 0 = 0. Dann kann ich jetzt einfach beide Seiten mit -1/5 multiplizieren und kriege x² = 0. Und da Ist die Lösung eindeutig. Ja, wir sind jetzt in dem Fall, dass - b dur a genau
= 0 ist und dann ist können wir sagen x = 0. Und wir sehen auch hier gibt es nur eine Nullstelle, nämlich den gleichzeitig den Scheitelpunkt von der Orgen Parabel. Okay, wir haben uns jetzt die Fälle angeschaut. C = 0, B = 0. Den Fall A = 0 dürfen wir uns nicht anschauen, weil das dann keine quadratische Gleichung mehr ist. Das heißt, wir sind jetzt soweit, Dass wir uns die allgemeine Gleichung mal anschauen sollten, wo alle Parameter ungleich 0 sind. Ach, zuerst sollen wir die Lösungen hier berechnen und die haben wir schon fast alle berechnet.
Also, wir haben jetzt die blaue, die rote und die orangefarbene Lösung berechnet. Jetzt fehlt noch die grüne Lösung. Und das würde ich euch mal überlassen. Na, wenn ihr Lust habt, setzt euch mal kurz dran und versucht Die Nullstellen auszurechnen von der grünen Parabel. Ja, bittechön. Die Folie mit den Grafen. Ja, das ist so ein bisschen spickeln. Also jeder, der nicht spickeln will, bitte nicht hingucken. Das ist die grün, die grüne Parabel. Um die geht's jetzt. Von der wollen wir die Nullstellen haben. So, hat schon jemand Ja, bitteschön. Vielleicht genau. Fangen wir mit dem Lösungsweg an.
Genau. Wir bringen zuerst die ein auf die andere Seite. Das heißt, da steht - 1/ x² = -1. Und ich glaube, ich mache jetzt auch mal mit Äquivalenzzeichen. Genau. Wir teilen durch -b. Wie geht das denn bitte? Wie können wir durch -b teilen? Also was haben Sie was haben Sie da gemacht, als sie das Ja, genau. Also ist alles richtig, alles Korrekt, was sie gesagt haben. Ich frage mich nur gerade, wie teilt man durch -H/B? Was kommt da raus? Ja, okay. Das Sie haben jetzt das Ergebnis richtig genannt, aber ich habe nicht kapiert, wie man
durch -b teilt. Also ich ich schreib das mal als Bruch auf, vielleicht also da steht -1 und hier unten schreibe ich - ein/b hin. Ganz in der letzten Reise. Sie haben Glaube ich noch gar nichts gesagt heute. Genau. Also geteilt durch -leiche wie mal den Kehrwert davon, also mal -2. Dann kann ich das besser verstehen. Also das ist -1* -2 und dann kommt ganz richtig raus, das ist + 2. Okay, jetzt haben wir es fast geschafft. Da steht noch x² = 2. Was für eine Lösung kommt jetzt raus? Ja, bitte schön. 2 Genau. Ich schreib
die kleinere Lösung immer als erstes. Also x = x1 = -√ur 2 oder x2 = +√2. Okay? Und das sind die beiden Lösungen, die wir auch im Grafen gesehen haben. Also Wurzel 2 ist ungefähr 1,4 und die können wir hier eben auch sehen. Also hier wäre dann an der Stelle W√ 2 und an der stelle Stelle wäre + Wurzel 2. Jetzt haben wir alle vier Gleichungssysteme gelöst. Okay, wir können jetzt mal uns die allgemeine Vergleichung anschauen, glaube ich. Und dazu habe ich mir erstmal eine Spezifikation ausgesucht. Also Spezifikation, dieses Wort benutzt man, wenn man für
die Parameter A, B und C konkrete Zahlen einsetzt, ne? Ich will jetzt im ersten Schritt dieses Beispiel Hier lösen und dann will ich eine Formel entwickeln, die es mir erlaubt, auch für allgemeine Zahlen A, B und C eine Lösung zu finden. Jetzt kann man natürlich direkt die PQformel anwenden, wenn man sie schon kann und diese Gleichung damit lösen. Ich möchte das aber ein bisschen anders machen, damit man auch einen anderen Zugang hat. Und zwar ich möchte die quadratische Erweiterung benutzen. Weiß jemand, was damit gemeint ist oder wie Wie das losgeht? Sie heben schon die Hand.
Ich wechsel gerade, Entschuldigung, ich wechsel gerade irgendwie vom Dud zum Sie. Ich weiß manchmal selber nicht genau, was ich sagen soll. Ich mache jetzt einfach so weiter. Okay, das war jetzt schon ganz schön viel auf einmal. Also, es geht bei der quadratischen Erweiterung darum, die binomischen Formeln auszu äh zu nutzen. Die binomischen Formeln schreibe ich Jetzt hier. Ich schreib mal die eine auf, die wir heute brauchen. Es kann aber auch sein, dass man eben eine andere braucht. Die eine, die wir jetzt gebrauchen werden, wäre die erste binomische Formel. Das wäre a + b zum Quadrat
= a² + 2ab + b². Und die will ich hier benutzen. Ich muss mir überlegen, was ist jetzt das A und was ist das B? In diesem Fall wäre das X Das A. Also hier wäre X das A. Und jetzt steht hier aber + 4x. Und jetzt müssen wir hier raus schließen, was ist das b? Ne, eigentlich müsste hier stehen + 2* B* A oder A* B. Das A ist das X, also müsste da stehen + 2* X* B. Und diese 4 ist das gleiche wie 2 x 2. Das heißt, die zweite 2, die hier
steht, die muss das B sein. Also 2 = b. Und jetzt schreibe ich das noch mal auf. Das heißt, wir haben dann X² + 2* 2* x und jetzt kommt hier das b², die 2 quadrat, also das wäre eine 4. Deswegen radiere ich es wieder weg, schreib eine vier hin. Und wenn wir das vergleichen mit dem, was da oben steht, dann sehen wir, hey, da steht gar nicht +4, sondern -5. Das heißt, wir müssen diese Gleichung hier oben so verändern, dass da auch eine +4 steht. Und das ist die Frage, wie kriegen wir Das hin?
Ja, wie können wir diese Gleichung manipulieren, so dass hier auch eine + 4 steht, so wie hier unten. Und das kriegen wir hin, indem wir auf beiden Seiten einfach neun dazu zählen. Also, ich rechne jetzt auf beiden Seiten + 9 und dann kriege ich raus x². Ich schreib es noch mal so auf. 2* x* 2 + -5 + 9 ergibt + 4. Das schreibe ich mal so auf mit 2² und auf der rechten Seite muss ich + 9 Schreiben. Und jetzt kann ich die zweite binomische Formel anwenden, denn dieser Ausdruck hier ist das gleiche wie
x + 2 zum Quadrat mit der binomischen Formel. Wenn jetzt in der Ausgangsgleichung hier nicht + 4x stehen würde, sondern -4x, dann hätte ich besser die zweite binomische Formel benutzt. Da muss man ein bisschen drauf achten. Also jetzt habe ich die neue Gleichung x + 2 zum² = 9. Und jetzt kann ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, denn glücklicherweise ist die 9 eine Quadratzahl und dann kriege ich raus x + 2 = Und jetzt muss ich aufpassen, es sind beide Wurzeln möglich, also -3 oder es kommt raus x + 2 = + 3. Also
diese beiden Gleichungen hängen sozusagen zusammen. Beide Gleichungen sind möglich und das sind dann auch die beiden Lösungen, die rauskommen. Also die erste Lösung ist die kleinere Lösung. X1 = -3 - 2, also -5. Und die zweite Gleichung ist dann + 3 - 2, also 1. Und jetzt können wir noch die Probe machen. Wir können diese beiden Lösungen in die Gleichung einsetzen und gucken, ob stimmt. Bitteschön. Ja, das war eben glaube ich schon angesprochen, ne, dass sich die beiden Zahlen irgendwie addieren müssen. Das Theorem von findet ihr auch im Lehrbuch. Äh, wer das auch gerne benutzen
möchte, Kann das gerne tun. Diese quadratische Erweiterung kann manchmal hilfreich sein, manchmal kann es aber auch einfach viel schneller gehen, wenn man das Theorem von benutzt oder die PQformel. Da zu der komme ich auch gleich. Bitttechön. Die Mitternachtsformel habe ich auch schon mal gehört. Ähm, erklär mal, wie das geht. Ich schreib ich mache mal eine neue Seite auf. x² + 4x - 5 = 0. Möchtest du oder? Ruhe bitte, ich möchte ihn verstehen. Moment, nicht ganz so schnell. Also, du hast jetzt eben Buchstaben benutzt und wir müssen irgendwie klären, wo kommen diese Buchstaben in der
Formel vor? Welche Buchstabe ist welche Zahl? Also, hier steht ein A davor. B. Mhm. Und jetzt Okay und dann setzen wir einfach die Zahlen ein. Also mich erinnert das ziemlich an die PQ Formel. Wahrscheinlich sind die Formeln sich sehr ähnlich. Okay, also ich glaube dann, dass die Mitternachtsformel und die PQformel quasi identisch sind, je nachdem, ob man jetzt hier in der allgemeinen Form die Buchstaben A, B, C benutzt oder die Buchstaben P und Q. Und deswegen Bespreche ich jetzt kurz die PQ Formel und dann können wir gucken, wie das zurückfällt auf die Mitternachtsformel. Ist das
okay? Also, ich muss um die PQformel anzuwenden, erstmal diese allgemeine Gleichung mit den Buchstaben A, B und C so umformen, dass ich eine Gleichung bekomme. X² + P* X, schreibe ich mal hier drunter + P* X + Q = 0. Das heißt, im ersten Schritt reduziere ich die Anzahl der Parameter von 3 auf 2 Parameter. Wie kann ich das machen? Das A ist ja ungleich 0. Das muss ungleich 0 sein. Deswegen darf ich diese Gleichung durch a teilen. Und wenn ich 0 durch a teile, dann bleibt er 0 übrig. Also in gewisser Hinsicht normiere ich
diese Gleichung und dann kriege ich eine Gleichung mit zwei Parametern, P und Q. Und dann kann ich sagen, unter bestimmten Voraussetzungen habe ich hier die Lösung durch diese Formel und in dieser Formel kommen dann eben P und Q vor. Lass uns mal ganz schrittweise hier durchgehen. Zuerst sehen wir hier, dass da so ein Plus minus steht. Das heißt, diese Gleichungen sind eigentlich zwei Gleichungen. X1 = irgendwas und X2 = irgendwas. Wir rechnen jetzt hier einen, ich sag mal, Mittelpunkt aus und von diesem Mittelpunkt ziehen wir einmal was ab, wenn hier ein Minuszeichen vor der Wurzel
steht und einmal zählen wir was drauf, ne? Aber dieses - P halbe, das steht immer genau in der Mitte. So, jetzt gucken wir uns die Wurzel an. In der Wurzel nehmen wir uns den Ausdruck, der hier vorne vor der Wurzel stand und quadrieren den. Ja, hier steht ja eigentlich - P halbe und hier steht nur noch + p halbe, aber durch das Quadrieren fällt das Minus weg und dann ziehen wir von diesem Quadrat Q ab. Und jetzt müssen wir aufpassen. Es kann sein, dass das, was unter der Wurzel steht, kleiner ist als null und dann
funktioniert die Gleichung nicht. Ja, wir dürfen nicht irgendwie die Wurzel von etwas ziehen, was kleiner ist als null. Und wenn diese Gleichung nicht funktioniert, heißt es einfach, es gibt keine Lösung für die Gleichung. Also, die Parabel schneidet nirgendswo die x-Achse. Wenn aber das, was unter der Wurzel ist, Nicht negativ ist, also hier steht größer= 0, dann gibt es eine Lösung. Und jetzt kann es passieren, dass hier eine Gleichheit da ist. Dann wäre der Term unter der Wurzel einfach gleich 0. Dann gibt es nur eine einzige Lösung. Das wäre dann hier dieses - p halbe. Oder
wenn das positiv ist oder die Ungleichung strickt ist, dann gibt es eben zwei Lösungen. Und jetzt möchte ich gucken, wie hängt das zusammen mit der Mitternachtsformel, Die wir eben gesehen haben. Also an der Stelle sehen wir, dass B dur A das P ist und das C a das Q ist. Und jetzt daran kann man quasi sehen, wenn man jetzt hier für P einfach B durch A einsetzt, hier B durch A einsetzt und hier C durch A einsetzt und ein bisschen umformt, dann kommt man direkt zu dieser Mitternachtsformel. Ja, das sind die gleichen Formeln. Also, es
kommt genau das gleiche Ergebnis raus Und ihr könnt einfach die Formel benutzen, die euch besser liegt, ja, die ihr besser findet. Ich habe irgendwie irgendwann mal die PQformel gelernt und die ist jetzt irgendwie in mir drin. Deswegen benutze ich immer die PQformel. Wenn ihr in Ulm studiert habt und die Mitternachtsformel gelernt habt oder die wird wahrscheinlich auch an vielen anderen Städten äh gelehrt, da benutzt bitte die Mitternachtsformel. Jetzt kommen wir zu einem weiteren Punkt, der es uns hilft, so eine quadratische Gleichung bisschen besser zu verstehen. Das, was äh hier steht, gilt nicht nur für quadratische
Gleichung. Das gilt auch für Polynome im Allgemeinen. Ein Polynom ist so ein Ausdruck, wo dann z.B. x hoch 3 mal irgendwas + x hoch 2 mal irgendwas und so weiter steht oder x hoch 5 und so weiter und so fort. Wir können ein beliebiges Polynom, also auch eine quadratische Gleichung in Faktoren Zerlegen. Also so, dass diese ganze Gleichung ein Produkt ist, der aus verschiedenen Faktoren besteht. Also, wenn das hier unsere quadratische Gleichung ist, x² + p* x + q, dann können wir die so umformen, dass wir zwei Klammern haben und jede dieser Klammern ist ein
Faktor und die multiplizieren wir miteinander und dann kommt ein Produkt raus. So und das Besondere ist, dass das Produkt dann gleich 0 ist, wenn einer Der Faktoren gleich 0 ist. Und wann ist ein Faktor gleich 0? Na ja, wenn x genau seine Nullstelle erreicht, also x1 ist eine der beiden Nullstellen von dieser Gleichung und x2 ist die andere der beiden Nullstellen. Wenn wir es schaffen, so eine quadratische Gleichung als ein Produkt darzustellen, dann haben wir die Nullstellen ganz ganz schnell gefunden. Ja, da müssen wir nur noch gucken, wann ist diese Klammer gleich 0 oder wann
ist Diese Klammer gleich 0? Und im Prinzip haben wir das für einen der Spezialfälle bereits gemacht, nämlich dann, wenn c = 0 ist, dann haben wir die quadratische Gleichung als Produkt dargestellt und gesagt, das ist gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Und ich glaube, ich würde das gerne mal ausprobieren mit dieser Gleichung hier. x² + 4x - 5 kommt die gleich auch noch mal hierhin. Das ist eine andere. Wir machen das erstmal mit x² + 4x - 5 x² + 4x - 5. Also, ich würde gerne versuchen, diese Gleichung als Faktor
darzustellen und als Produkt von Faktoren. Und ich habe eben gesagt, in jedem einzelnen Faktor ist die Nullstelle enthalten. Aber du wolltest schon loslegen. Okay, du sagst direkt das Ergebnis. Ich würde gerne erläutern, wie man dahinkommt. Möchtest du erklären, wie man wie du dahinekommen bist? Okay. Ja. Ähm, schön, dass du das kannst. Wie wie komme ich zu dieser Faktorverlegung Zerlegung? du gerne. Genau. Wir haben zwei Nullstellen gefunden. Wie weißt du die noch? Wie genau? Das waren die beiden Nullstellen. Genau. Also, ich setze jetzt einfach mal das ein, was in der auf der Folie davor stand. Ja,
wir hier steht, dass diese Formel hier sind noch nicht die Buchstaben A, B und C, sondern P und Q benutzt, dass man das als Faktor darstellen kann. X - X1* X - X2. Ich schreib das jetzt erstmal hin. X - X1, also X1= -5. Gibt+, also X + 5, so wie du eben gesagt hast. Und der zweite Faktor wäre dann x - x2, also x - 1. Aber jetzt würde ich gerne überprüfen, ob das überhaupt stimmt. Also, wenn ich das hinkriege, diese Gleichung so um zu formen zu Diesem Produkt, dann kann ich direkt an den
Klammern ablesen, was die Nullstellen sind. Ja, das Negative von der 5, also -5 ist eine Nullstelle und das negative von der -1, also die +1. Und ich gehe jetzt den Weg, dass ich diese Klammern einfach mal ausmultipliziere und schaue, ob das obere rauskommt. Also, ich nehme den ersten Teil von der ersten Klammer und multipliziere den mit der zweiten Klammer. Dann nehme ich den Zweiten Term von der ersten Klammer und multipliziere den mit der zweiten Klammer. Und jetzt multipliziere ich jeweils die Faktoren rein. X* X= X², X* -1= - X und hier 5* X= 5X. und
5 x -1= -5. Halt, hier habe ich ein x vergessen. Und jetzt muss ich noch die beiden x in der Mitte zusammenfassen. Dann kriege ich x² - x + 5x, also + 4x - 5 und kann ein Häkchen dran machen. Ja, das hat geklappt. Also auch das kann ein Weg sein, wie man Zu den Lösungen kommt, zu den Nullstellen. Also Mitternachtsformel haben wir gesehen, PQformel und jetzt Faktorzerlegung. Und manchmal fällt die Faktorzerlegung leicht, manchmal ist sie aber auch ein bisschen schwerer. Ich habe hier auch noch ein Beispiel dabei und in der Vorbereitung habe ich gemerkt,
das ist ein bisschen mies, weil da noch die ein Drittel dabei steht. Deswegen habe ich mir gedacht, ich mache euch den allerersten Schritt. Ich klammer die ein Drittel mal raus. Also, das ist ein Drittel ausgeklammert. Was bleibt hier übrig? X². Dann haben wir 2 Drittel. Da klamme ich das ein Drittel übrig. Dann bleibt die 2 übrig. + 2x. Und hier muss ich aufpassen, wenn ich ein Drittel ausklammere, da muss ich die -5 mit 3 multiplizieren, damit es passt. Also -15. Ja, umgekehrt 1/3 mal -15 erkennt Man, das ergibt -5. Und meine Aufgabe an euch ist
es nun, versucht mal rauszufinden, ob man das, was in den Klammern drin steht, als ein Produkt von zwei Faktoren darstellen kann. Ja, bitttechön. Genau. Also, man hätte die ganze Gleichung auch mal dre nehmen können, wenn es eine Gleichung wäre. Also, es ist hier noch gar keine Gleichung. Aber also wenn ich jetzt hier noch Stehen hätte gleich 0, hätte ich einfach auf beiden Seiten mal 3hmen können. Stimmt ja. Bitte schön. Genau. Also, man hätte das Ganze gleich 0 setzen können und dann mal 3 rechnen können. Ähm, ich mache das jetzt einfach mal, damit wir diese ein
Drittel los sind. Also, das hier soll gleich 0 sein. Und das ist genau dann der Fall, wenn x² + 2x - 15 = 0. Und jetzt soll es darum gehen, eben das, was übrig geblieben ist, in zwei Faktoren aufzuteilen. Wie kann man das machen? Ehrlicherweise, oh, du hast schon eine Idee, Bitchon. Ja, mach mal. Los geht's. Und das ist das Negative von diesem Faktor. Wie kommst du darauf? Start zeigt weit was ein oder soll z.B.2 dann Ja, also ich ich kann nachvollziehen, dass die Lösung stimmt, aber ich kann nicht nachvollziehen, wie du drauf gekommen bist.
Kannst du das vielleicht erläutern? Also hast du einfach Zahlen ausprobiert, so dass es klappt? Gibt's noch einen anderen Weg? Oder wenn du Zahlen ausprobierst, hast du daierungsätzen? Ja, okay. Also, das hilft mir schon mehr das Zu verstehen und das führt auch zu einem, das ist auch ein kleiner Trick, den ich euch gleich auch noch verrate. Also, es geht darum, dass dieses Produkt hier gelten muss und dazu kann man sich überlegen, welche Zahlen kann ich einsetzen, sodass das Produkt -15 ergibt und deswegen kann ich diese -15 auf verschiedene Art und Weisen schreiben. Ich kann jetzt mal
die -15 schreiben als -1* 15. Also könnte es z.B. sein, dass x1 die -1 ist und x2 die 15. Dann aber sehen wir sofort die obere Gleichung kann nicht erfüllt sein. Ja, -1 + 15 ergibt 14 und nicht -2. Also muss ich diese -15 auf eine andere Art und Weise zerlegen. Also z.B. -3 und 5. Ja, -3* 5 ergibt -15. Und jetzt prüfe ich, ob da oben die Gleichung erfüllt ist. -3 + 5 ergibt -2. Ja, also das hier, das klappt. Dadurch kommen wir jetzt auf die Lösung. Also mit diesem Theorem kriegen wir raus durch
ein bisschen ausprobieren X1 = -3 und x2 = 5. Und wenn wir das wissen, dann können wir diesen Ausdruck eben mit den Klammern schreiben. Also x -3, also + 3 mal x - 5 = 0. Man kann wieder die Probe machen. Man kann jetzt diese Gleiche und diese Klammern wieder ausrechnen. Und wenn wir alles richtig gemacht haben, wenn das stimmt alles, dann sollte die obere Gleichung rauskommen. Und jetzt kommt der Trick. Wenn wir so eine Gleichung haben, x² + 2x - 15, dann folgt quasi mit dem Theorem, was wir eben gesagt, ich sehe dich, ich
komme gleich zu dir zurück, dass die Lösungen von dieser Gleichung teiler sind von dieser -15. Also, wenn man jetzt Lösungen sucht, dann kann man sich mal überlegen, was sind die die Faktoren von der -15, die ganzzahl Faktoren von der -15 und kann die einfach mal ausprobieren. Und wenn man eine Lösung gefunden hat, dann ist es meistens auch leicht, die zweite Lösung zu finden. Also schaut euch bei solchen Gleichungen an die allerletzte Zahl, in diesem Fall die -15. Und schaut euch an, wie welche Faktoren stecken in die -15. Da ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass da eine
Lösung dabei ist. Jetzt deine Anmerkung. Also, habe ich es genau falsch rum gemacht? Ich sehe ich sehe Nicken. Ja, Tatsächlich, denn -3 + 5 ergibt + 2 und nicht -2. Vielen Dank. Ich sollte nicht reden und rechnen gleichzeitig. Also -3* 5 ergibt zwar -15, ist aber falsch. Deswegen muss ich weitermachen und dann rechne ich aus 3* -5 und hier muss ich die Vorzeichen vertauschen und da muss ich die Vorzeichen auch in dieser Klammer hier vertauschen und das schreibe ich jetzt mal in rot rein. X - 3 und X + 5. Danke schön. War das auch
deine Anmerkung in der letzten Reihe? Okay, also auch wenn ihr ein Polynom höherer Ordnung habt, das z.B. mit x3 x hoch 3 beginnt. Schaut euch die allerletzte Zahl in dem Polynom an und da wird eine ein ganziger Teiler vielleicht eine Lösung sein von diesem Polynom. Okay, Zeit für eine Pause. Wir machen um 11 Uhr weiter mit nichtlinearen. Hi, willkommen zurück von der Pause. Ich habe eben noch mal diesen Satz, um den es eben ging, in die Notizen mit aufgenommen, aber jetzt mache ich weiter mit einigen nichtlinearen Gleichungen. Ihr werdet jetzt gleich ein paar äh Monstergleichungen
sehen, die sehr kompliziert erscheinen, aber die wir mit den Mitteln, die wir bisher hergeleitet haben, eigentlich ganz gut lösen können. Und einen grundsätzlichen äh eine grundsätzliche Eigenschaft, die wir Immer wieder benutzen werden, ist dieser Sache mit dem Produkt. Also, wenn ein Produkt gleich 0 ist, dann wissen wir, dass mindestens einer der Faktoren von dem Produkt gleich 0 ist. Also, wenn wir z.B. eine Gleichung haben, die so lautet. A* B = A* C. Da sehen wir, auf beiden Seiten gibt's ein A. Dann können wir diese Gleichung umformen zu a mal Klammer b - C = 0.
Und das hier ist das Produkt. Und wir wissen dann also, dass diese Gleichung erfüllt ist genau dann, Wenn mindestens einer der beiden Faktoren, also a oder die Klammer b - c = 0 ist. Ne, und das steht hier auf der rechten Seite und das werden wir gleich ausnutzen. Und in der Anwendung werdet ihr vielleicht auch sehen, was ich damit meine. Hier ist die erste Gleichung. Das ist keine keine lineare Gleichung, keine quadratische Gleichung. Die ist tatsächlich super ätzend, weil wir hier ein hoch 3 haben und dann die Wurzel von x, aber da steht noch was
ein anderer Term unter der Wurzel. Also, das ist kein Polynom oder so. Wir können kein Lösungsverfahren für Polynome benutzen. Wir können nicht die PQformel benutzen. Aber trotzdem können wir diese Gleichung lösen. Hat jemand von euch eine Idee, was wir hier machen könnten, um diese Gleichung zu lösen? Manchmal hilft es auch schon, wenn man eine Lösung sieht, dann findet man die andere meistens auch ganz gut. Lasst euch nicht beeindrucken davon, dass die jetzt irgendwie schwierig aussieht. Ich habe da die Maus ein bisschen blöd platziert. Kann jemand erkennen, dass hier ein Produkt vorliegt? Haben wir ein Produkt
überhaupt? Ja, ich glaube dir, dass du das sofort gesehen hast. Ähm, ich warte noch ab, ob jemand anders dabei ist. Man sieht hier kein Mahzeichen, aber wenn ich jetzt ein Mahlzeichen dazu Zeichnen würde, wo würde ich das hinschreiben? Ja, bitte schön. Nach x hoch 3. Ich schreib das mal in rot dazu. Hier ist so ein Mahlzeichen. Das heißt, wir haben hier ein Produkt. Wir haben eben gesagt, ein Produkt ist gleich 0, wenn einer der beiden Faktoren gleich 0 ist. Und das heißt, wir haben ja mach mal weiter. Genau. Also, Genau. Also, du hast ja schon
die Lösung genannt. Ich würde die beiden Faktoren hier noch mal kennzeichnen. Das ist ein Faktor und das ist ein Faktor. Schreibe ich mal da drunter. Und jetzt können wir halt sagen, wir können das Äquivalentzeichen benutzen, das ist gleich 0. Genau dann, wenn entweder der erste Faktor gleich 0 ist oder der zweite Faktor gleich 0 ist. Und jetzt hast du eben schon gesehen, Der zweite Faktor ist gleich 0, wenn wir für x eine -2 einsetzen. Was ist mit dem ersten Faktor? Kann der auch gleich 0 sein? x hoch 3. Ja, bitteschön. Genau. Also jetzt mache ich
einfach weiter hier. X x hoch 3 ist tatsächlich genau dann gleich 0, wenn x = 0 ist oder wenn x = -2 ist. Und damit haben wir die beiden Lösungen von der oberen Gleichung gefunden. Das war schon. Also, wir mussten jetzt Gar nicht so komplizierte Sachen wie PQformel benutzen. Wir können es mal einsetzen. Ja, wenn wir für x die 0 einsetzen, dann steht da 0 hoch 3 mal irgendwas muss auf jeden Fall 0 sein. Wenn wir die für x = -2 einsetzen, dann steht da x hoch 3, also -2 hoch 3, das wäre -2* -2*
-2. Das Minuszeichen kommt dreimal, also eine ungerade Anzahl vor, bleibt es, also bleibt uns das Minuszeichen erhalten und 2 hoch 3 ist 8, also steht Auf der linken Seite -8 mal die Wurzel aus 0 und die Wurzel aus 0 ist 0, also ist auch das insgesamt gleich 0. Nächste Gleichung. So und jetzt haben wir hier viele Variablen, nicht nur eine Variable. X ist eine Variable, aber dazu kommen noch Y und Z und W. Erster Schritt, wir suchen, wo das Produkt ist. Also, wo zeichnen wir die Produktzeichen ein? Und dann überlegen wir uns, unter welchen Umständen
sind Die einzelnen Faktoren gleich 0? Wenn ihr wollt, könnt ihr mir auch nur von einer Variable die Lösung sagen und dann müssen die anderen Leute eben die anderen Variablen lösen. Ja. z.B. y = -3. Also, wir gucken uns diesen Faktor hier an, überlegen uns, wann ist dieser Faktor gleich 0 und der ist gleich 0, wenn y = -3 ist. Perfekt. Was mit den anderen Faktoren? Ja, x = 0 funktioniert auch. Das ist gleich 0. Genau. Dann, wenn x = 0 ist, logischerweise, dann bleiben jetzt noch zwei andere Faktoren übrig. Kriegen wir die auch noch gelöst?
Ja, bitttechön. W muss gleich 3 sein. Richtig, das ist gleich 0. Wenn w = 3 ist, dann steht unter der Wurzel eine 0 und die Wurzel von 0 ist 0. Was ist mit dem z² + 1? Wann ist das gleich 0? Ja, bitte schön. Genau. Also, das ist ein Problem hier, diese Klammer. Also, das ist gleich 0, wenn z² = -1 ist. Wir haben aber vorhin gesagt, Quadratzahlen können gar nicht negativ werden, zumindest nicht in den reellen Zahlen. Also gibt es gar keinen Wert für z, so dass diese Gleichung Erfüllt ist. Also hier gibt's einfach
keine Lösung. Und somit haben wir alle Lösungen gefunden, nämlich x = 0, y = -3 und w = 3. Also eine komplizierte Gleichung gelöst. Sehr gut. x² - 3x hoch 3 = 0. Das ist jetzt ein Polynom dritten Grades, eine sogenannte kubische Gleichung, aber wir lösen die mit unserem Trick. Das heißt, wir müssen irgendwie ein Produkt da reinschreiben. Dazu müssen wir die Gleichung aber ein bisschen umformen. Ja, bitte schön. Also, x ausklammern. Genau. Also, wir können x ausklammern oder x² ausklammern. Würde beides gehen. Ich glaube, wenn ich x² ausklammere, bin ich ein bisschen schneller am
Ziel. Deswegen mache ich das direkt mal. Also das x² steht hier und hier steht ja x hoch 3 und dieses x hoch 3, das ist das gleiche wie x² Mal x. Das heißt, ich habe hier eine Differenz von zwei Termen und beide Terme haben den Faktor x². Das heißt, ich kann hier schreiben x² mal so. Was kommt in die Klammer rein? Wenn ich hier durch x² teile, bleibt die 1 übrig und hier bleibt 3x übrig. Und jetzt habe ich ein Produkt. Ja, also hier zwischen dem x² und der Klammer ist ein Malzeichen und dann kann
ich mir belegen, das hier ist = 0, x² = 0, wenn x = 0 ist. Und Dann gucke ich mir den zweiten Faktor an und dann suche ich eine Zahl x, so dass dieser zweite Faktor gleich 0 ist. Und das der Fall, wenn x ein dritt ist. Ja, -3* 13= -1 und 1 - 1= 0. Und damit habe ich wieder diese Gleichung gelöst. Wenn jetzt hinter dieser Gleichung noch ein weiterer Ausdruck stehen würde, + 5 z.B. hätte ich ein Problem. Dann könn ich das x² nicht einfach so aus ausklammern. Habe ich noch eins? Jo, jetzt
wird's Noch schlimmer. Und jetzt würde ich euch noch mal ein bisschen Zeit geben, dass ihr euch da alleine dran setzt oder sehr gerne auch im Gespräch mit euren Nachbar innen. Vielleicht sucht sich jeder und jeder einfach nur eine von den drei Gleichungen aus und dann sammeln wir gleich zusammen. Ich gebe euch wieder 2 Minuten Zeit dafür. Okay, wer von euch hat sich mit A beschäftigt? Fühlt euch angesprochen? Wie können wir davorgehen? Bitteschön. Du hast dir du sagst mir gerade die Lösung. Ich habe sie gehört. Ich weiß nicht, ob die alle gehört haben, aber ich verrate
jetzt noch nicht, weil ich würde gerne wissen, wie kommen wir dahin? Also, die Lösungen, die du gesagt hast, sind richtig, aber wie hast du die gefunden? Du hast gekürzt. Okay. Ähm, also ich bin froh, dass du Trotzdem auf die richtige Lösung gekommen bist. Man, man darf bei diesem Bruch leider nicht einfach durch kürzen oder kW². Vielleicht würde gehe ich da noch mal drauf ein. Also, wenn ihr kürzt, dann müsst ihr Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen. So, der Zähler besteht eben aus zwei Teilen hier, aus 1 und aus - k². Und wenn ihr
durch z.B. k teilt, dann müsst ihr auch die 1 durch k teilen und Das dann bleibt ja was übrig, ne? Oder bei kW² so ähnlich. Das heißt, wenn ihr hier kürzt, müsst ihr ein bisschen anders vorgehen. Man kann aber auf die Lösungen kommen, die du eben gesagt hast, ohne zu kürzen. Ja, bittte schön. Perfekt. Das machen wir jetzt mal. Also, du wolltest den Bruch hier irgendwie loswerden und das machen wir, indem wir mit dem Nenner multiplizieren. Ja, vielleicht muss man kurz überlegen, Kann der Nenner irgendwann 0 werden? Zum Glück nicht, ne? K² ist immer größer
gleich 0. 1 ist positiv. 1 + etwas, was größer gleich 0 ist, ist auch positiv. Das heißt, unter der Wurzel steht für jedes K, was wir da einsetzen würden, eine positive Zahl. Also, wir können damit wunderbar arbeiten. Ich multipliziere jetzt mit dem Nenner und dann kriege ich raus, dass der Nenner einfach wegfällt. Und dann haben wir 1 - k² = 0. Wie geht's jetzt weiter? Was wäre der nächste Schritt hier? Ja, bitttechön. Okay. Ähm, du sagst -1 rechnen, das würde auch funktionieren. Ich mache jetzt + k². Dann ist sind zwar die Seiten vertauscht, aber wir
sind direkt am Ziel. Dann haben wir 1 - k² + k² fällt weg und auf der rechten Seite k². Jetzt sind wir schon fast am Ziel. Bitteschön. Genau. Jetzt müssen wir auf beiden Seiten die Wurzeln nehmen, aber wenn wir vom Quadrat zur Wurzel kommen, dann müssen wir beide Lösungen beachten. Also k1 wäre dann -1 oder K2 wäre +1. Und das ist die Lösung, die ganz am Anfang genannt wurde. Ja, wenn wir -1 quadrieren, kommt auch 1 raus. Damit haben wir a gelöst. Perfekt. Jetzt kommen wir zu B. Das ist schwieriger als A, aber im Prinzip
können wir bei B so ähnlich vorgehen wie bei A. Wer traut sich? Bitteschön. Wie bitte? Aber oben also wir machen unten das genauso wie eben und oben hast du gesagt benutzen wir die Diskriminante mit unten ebenso verstehe ich das so, dass wir wieder mit dem Nenner multiplizieren. Genau. Dazu vielleicht Einmal kurz gucken. Kann der Nenner negativ werden? Also wir haben hier also zunächst mal hier sind die Variablen nicht x und y, sondern hier oben ist die Variable K. In der zweiten Gleichung ist dann die Variable das kleine R. R hoch 4. Wenn wir einen geraden
Exponenten haben, kann da diese Potenz niemals ein negativen Wert annehmen. Allerhöchstens gleich 0. Und wenn für hier eine 0 rauskommt, dann steht da immer noch die + 2. Das heißt, die +2 Ist positiv und eine positive Zahl hoch irgendwas ist wieder positiv. Das heißt, der Nenner ist hier wieder überall positiv. Da kann uns also nichts passieren. Ich multipliziere jetzt mit r hoch 4 + 2 hoch 3/ damit fällt dann der Nenner einfach weg und ich kann den Zähler hinschreiben. 45 + 6r - 3r² = 0. So, kannst du beschreiben, wie du jetzt weiter vorgehen würdest?
Ich hab noch ein Ja, das ist eine gute Idee. Mache ich auch mal schnell. Mal -1 genau einfach die Vorzeichen gewechselt und dann bisschen durchgetauscht. Jetzt haben wir diese allgemeine quadratische Form wieder, ne? So, gibt's jetzt noch eine Möglichkeit, das zu vereinfachen? Ja, genau. Da stehen überall dreien versteckt mit drin. Bei der -6 ist eine 3 dabei. Bei der -45 ist auch eine 3 Dabei. Wir teilen also durch 3, dann bleibt stehen 3 nur noch das r² - 2 x r und 45 ist die 15. Die Gleichung hatten wir eben schon mal in ähnlicher Form.
So, wie kommen wir jetzt zur Lösung? Ja, bitttechön, z.B. die PQformel. Also, dann sag schreibe ich das mal dazu. Wir haben hier das P gegeben. Das schreibe ich mal dahin. Die -2 ist das P Und die -15 ist das Q. So, diktier mir doch mal. Was ist das Ergebnis von der PQ Formel? Moment, ich mach's dann so. R1 ist gleich, also wie lautet noch mal die PQformel - Palbe. Das p -2 -2 ist + 2. Davon die Hälfte ist nur noch 1, ne? So und jetzt die beim bei der kleineren Lösung fange ich immer mit
dem Minuszeichen an. Minus die Wurzel. Jetzt müssen wir den Term, also dieses - P halbe quadrieren. Das kommt unter die Wurzel und dann müssen wir Q abziehen. Und ich glaube, hier ist ja eben eine Kleinigkeit passiert, ne? Es ist - Q, was unter der Wurzel steht und da ist ein Minuszeichen vor der 15. Mein minus gibt plus und ich bin mir ganz sicher, dass mir der Fehler hätte genauso gut passieren können. Also wir müssen jetzt rechnen -15, Also + 15. Ach so, okay. Alles klar. Also jetzt schreibe ich -15, also + 15, das ist die
eine Lösung und R2 wäre dann 1 plus diese Wurzel. Und jetzt rechne ich direkt aus, was unter der Wurzel steht, nämlich 16. Also haben wir hier 1 -√ 16, also 1 - 4 ergibt -3 und 1 + 4 ergibt 5. Moment, ist das nicht genau die gleiche Formel, die wir schon hatten? Nee, bisschen anders. Ja, wir hatten vorhin + 2 -15 und jetzt haben wir hier -2 und -15. Okay, alles klar. Also für B haben wir auch äh alle Lösungen gefunden. In diesem Fall gibt es zwei Lösungen. Und jetzt wird's richtig schwer. Also C hat's
echt in sich. Möchte das jemand machen? Wie können wir C lösen? Ja, bitte schön. Deswegen und -5 + 5. Okay, schreibe ich mal direkt mal hin. Also, sind die Intervallgrenzen dabei? nicht dabei. Okay, deswegen also ich schreib mal -5 kleiner x kleiner 5 ist verboten. Was ist denn, wenn x = 5 ist? Das ist auch doof, ne? Deswegen ich Schreibe ich jetzt mal hier hin. Vorsicht. bei x = 5. Eigentlich müsste ich jetzt auch schon schreiben, ist verboten, aber ihr werdet gleich sehen, warum ich das nicht geschrieben habe. Okay, was wie geht's weiter? Okay, genauso
wie oben, ne? Wir multiplizieren mit dem Nenner. So, also dann kommt raus x² - 5x = 0 x - 5 = 0. Genau. Also x = 0 oder X = 5, aber beide sind verboten, ne? Also x = 0 auf jeden Fall liegt zwischen -5 und 5. Und hier mache ich mal so ein Warndreieck hin. X = 5 ist eigentlich auch verboten, weil wir dann durch 0 teilen würden. Jetzt habe ich mir aber den Grafen von diesem Bruch angeschaut und an der Stelle x = 5 schneidet der Graf die x-Achse. Habe ich gedacht so h,
wie kann denn das Sein? Wenn ich x = 5setze, teile ich doch durch 0. Und deswegen ist der Trick dabei, dass man hier kürzt bei dem Bruch und dazu muss ich den Bruch ein bisschen anders schreiben. Da brauche ich eine neue Folie dafür. x² - 5x gee dur die Wurzel aus und das war jetzt x² - 25, ne? Und zwar ist hier im Nenner, du weißt das schon, einfach alles zusammen. Ähm, Moment, ich habe ich konnte nicht Ganz folgen. Also x² - 5x steht im Zähler. Und was steht im Nenner? X genau. Also ähm ich
glaube, du hast die 25 eben als 5x interpretiert, ne? Dann wäre es einfacher. Wir müssen hier die äh das, was unter der Wurzel steht, ein bisschen anders schreiben. Und dazu können wir die dritte binomische Formel benutzen. Und die schreibe ich noch mal auf. Und die Lautet nämlich a + b mal a - b = a² - b². Und wenn wir die rückwärts lesen, dann können wir sehen, dass hier unter der Wurzel die rechte Seite von der binomischen Formel steht. Das A ist das X und das B wäre dann die 5. So und dann kann ich
nämlich die dritte binomische Formel rückwärts anwenden. A + wäre B wäre dann x + 5 und a - b wäre x - 5. Inwiefern hilft mir das weiter? Ich kann hier den Zähler nämlich auch ein bisschen umformen. Da kann ich das x ausklammern. Na, hier kommt ein X vor im X² und hier kommt ein X vor. Also klammere ich mal das X aus. x* x - 5. Und jetzt sehen wir einen Ausdruck, der einmal im Zähler und einmal im Nenner vorkommt. Im Zähler kommt der hoch ein vor und im Nenner kommt der, so wie du
es eben Gesagt hast, mit hoch ein/b vor. Das heißt, wir können jetzt mal kürzen und zwar teile ich den Zähler durch die Wurzel von x - 5 und ich teile den Nenner durch die Wurzel von x - 5. So, was bleibt im Zähler übrig? Da haben wir x mal diesen gelben Ausdruck und der gelbe Ausdruck ist die Wurzel von x - 5 zum Quadrat. Also bleibt sie einmal übrig. Also jetzt machen wir genau das, was du eigentlich eben vorhatest. Die Wurzel x - 5 bleibt da oben übrig und hier unten steht ja schon die Wurzel,
da fällt das x - 5 unter der Wurzel einfach weg. Dann haben wir hier x + 5, was übrig bleibt. Das heißt, der Ausdruck, der eigentlich in der Aufgabenstellung stand, dieser Ausdruck, den können wir vereinfachen zu diesem Ausdruck. Und bei diesem Ausdruck ist es gar nicht mehr schlimm, wenn x = 5 ist. Okay, wenn wir jetzt hier x = 5setzen, Dann steht im Nenner keine Null mehr. Und jetzt können wir sagen, okay, wenn x größer als -5 ist, ist alles in Ordnung und damit wäre dann x = 5 eine Lösung und sogar x = 0
wäre auch eine Lösung. Okay, das heißt, hier dürfen wir weder 0 noch die fünf direkt einsetzen, aber nach ein bisschen Umformung funktioniert das schon. Ich schreibe aber trotzdem nur als Lösung x = 5 hin, weil in der Grafischen Darstellung an der Stelle 0 nichts zu sehen war und ich mir deswegen unsicher bin. Ja, das muss ich noch mal genauer prüfen, bevor ich das äh mich traue hier mit Videoaufzeichnung aufzuschreiben. Bei x = 5 bin ich mir aber sicher, dass das hinhaut. Okay, also die Aufgaben, die wir eben gesehen haben, A, B, C, A und B
waren, glaube ich, gut machbar, auch wenn es schwierig war, aber mit wenn man die Lösungen halt sieht, kann man es glaube Ich gut nachvollziehen. Die Aufgabe C war aber definitiv eine Kategorie zu schwer. Also, da braucht ihr euch keine Sorgen machen, dass ich euch sowas in der in der Klausur abfrage, aber ich muss euch zwischendurch ja schon ein bisschen fordern, dass ihr ein bisschen was zum Nachdenken habt. Okay, hier kommt noch ein Beispiel und ich glaube, ich überspringe jetzt mal dieses Beispiel, damit ich heute noch durch alle Folien komme. Natürlich dürft Ihr das Beispiel euch
selber noch mal privat anschauen und hier die Lösungen suchen. hier auch noch mal eins. Jetzt kommen wir nämlich zu Gleichungssystemen. Das ist der letzte Punkt für heute. Wenn ich nachher noch Zeit habe, kann ich immer noch zu den Beispielen zurückkommen. Wir haben schon ein Beispiel gehabt für lineare Gleichungen. Dieses makroökonomische Beispiel, wo wir aus der strukturellen Form die reduzierte Form gebastelt haben. Hier kommen jetzt einfach Beispiele mit Zahlen, die ich dafür benutzen möchte, um euch drei verschiedene Lösungsverfahren vorzustellen. Das eine Lösungsverfahren, das Einsetzungsverfahren haben wir bereits benutzt. Hier steht noch mal aufgeschrieben, wie das genau
funktioniert. Ihr seht, dass ich hier bei erstens und zweitens das Gelb markiert habe. Die Anderen beiden Lösungsverfahren sind andere Verfahren und ich habe versucht nur die Sachen, die unterschiedlich sind in den Verfahren zu betonen. Also das Gelbmkierte ist jetzt anders in als in den anderen Verfahren und drittens und viertens ist dann genauso wie in den anderen Verfahren. Bei diesem Einsetzungsverfahren haben wir zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Und jetzt suchen wir uns eine Gleichung aus und eine Variable in dieser Gleichung und lösen diese Gleichung nach der einen Variablen auf. Das haben wir bei dem Makbeispiel gar
nicht mehr machen müssen, weil es schon passiert war. Ja, die waren so aufgeschrieben, dass es schon aufgelöst war. Hier müssen wir das noch machen und es ist völlig egal, welche der beiden Gleichungen wir nehmen und welche der beiden Variablen wir uns entscheid äh für welche der beiden Variablen wir uns entscheiden. Deswegen sollten wir Einfach das machen, was uns einfacher erscheint. Also, wir können jetzt die erste Gleichung nehmen oder die zweite Gleichung und wir können uns für x oder y entscheiden. Ich sehe hier auf der rechten Seite eine 18. Auf der linken Seite sehe ich als
Faktoren 2 und 3 und ich kann die 18 sowohl durch die 2 als auch durch die 3 teilen. Von daher wäre bei der ersten Gleichung wären beide Variablen gleich gut. Bei der zweiten Gleichung sehe ich hier hinten die -7 und die kann ich nicht so gut durch die kann ich nicht so gut teilen. Deswegen entscheide ich mich jetzt für die erste Gleichung und ich nehme jetzt einfach mal y. Okay? Also ich forme die erste Gleichung nach y um. Forme erste Gleichung nach y um. Aber wie gesagt, wenn ihr euch anders entscheidet, solltet ihr trotzdem aufs
gleiche Ergebnis kommen. Das heißt, ich muss im ersten Schritt die 2x auf die rechte Seite bringen. Und das mache ich, indem ich einfach -2x rechne und dann kriege ich 2x fällt weg, 3y = 18 - 2x und jetzt teile ich noch durch 3 und dann habe ich den ersten Schritt schon mal geschafft. y = 18 ergibt 6 - 2/3 mal x und jetzt nehme ich dieses y und setze es in die zweite Gleichung ein. Und das Wäre jetzt zweitens. Also dieses yleich und das setze ich jetzt hier einfach ein. Ich darf das Y nicht wieder
in der ersten Gleichung einsetzen, weil die erste Gleichung habe ich sozusagen verbraucht. Ja, die habe ich ja schon benutzt. Die zweite Gleichung habe ich bis jetzt noch nicht benutzt und deswegen kann ich das jetzt hier einsetzen. Also 3x - 4 und jetzt schreibe ich nicht mal y, sondern klammer auf 6 - 2/3 x = -7. Jetzt habe ich zwar eine komplizierte Gleichung da unten, aber nur noch eine einzige Variable, nämlich das X. Und jetzt muss ich diese Gleichung so umformen, dass das X alleine auf der linken Seite steht und alles andere auf der rechten Seite.
Dazu multipliziere ich erstmal diese Klammer hier aus. Also die vier multipliziere ich in die Klammer rein. Also 3x - 4 x 6, also -24 und -4* -2/3. Die Minuszeichen fallen Weg, also kommt ein Pluszeichen hin und 4* 2= 8, also haben wir 83 x = -7. Komme ich mit dem Platz hin? Ich glaube schon. Also die -24, die gehört nicht auf die linke Seite, die kommt auf die rechte Seite. Und damit ich gleich rechnen kann, 3x + 8x, möchte ich diese drei mit drei erweitern, damit ich da auch Drittel stehen habe. So kommt da raus.
3* 3/3 sind 9/3 + 8/3 x = -7 + 24. Ja, also -24 kommt auf die rechte Seite, indem ich auf beiden Seiten + 24 rechne. Jetzt kann ich auf der linken Seite die beiden Brüche zusammenfassen. 9 + 8 ergibt 17. Also 17/3* x = -7 + 24 und das ergibt 17 und das ist praktisch, weil ich die 17 auch im Zähler stehen Habe. Also kann ich jetzt beide Seiten mit 317 multiplizieren. Ich schreib das mal dran. Also mit dem Kehrwert von 17/3 mal 317 und dann kommt raus 17/3 mal 31/17 kürzt sich weg. x
= 17* 3 = 17 = 3. Das ist die Lösung von der einen der beiden Variablen. Und jetzt muss ich wieder zur ersten Gleichung zurückgehen Und dieses X in die erste Gleichung zurückinsetzen. Also, ich habe ja noch diese Gleichung hier und da kann ich das X hier einsetzen. Ja. Ja, also hier kommt eine Anmerkung. Hier habe ich ja die Brüche oder vielleicht noch eine Zeile davor. Ja, ich hätte auch hier einfach mal drei rechnen können. Hätte ich auch machen können. Genau. Also, man darf mal geteilt minus plus rechnen. In welcher Reihenfolge man was macht, ist
eigentlich nicht so wichtig. Ja, ihr sucht euch die Reihenfolge aus, mit der ihr besser zurecht kommt. So, jetzt setze ich hier oben mal für x meine Lösung 3 ein. Also habe ich hier 6 - 2/3 mal 3. Die beiden Dreien kürzen sich weg. Dann habe ich nur noch 6 - 2 da stehen und das ist gleich 4. Also haben wir hier noch die zweite Lösung y = 4. Da steht das ist die eindeutige Lösung dieses Gleichungssystems. Okay, Einsetzungsverfahren. Ich habe gesagt, es gibt insgesamt drei Verfahren. Jetzt kommen wir zum nächsten Verfahren, das Additionsverfahren. Das Additionsverfahren
wirkt ein bisschen komplizierter. Es stellt sich aber heraus, dass das Beste Verfahren ist, wenn man noch mehr Gleichungen mit noch mehr Variablen hat. Ja, wir betrachten hier ein sogenanntes Zweikreuz 2 System, zwei Gleichung, zwei Variablen. Je mehr Variablen und Gleichungen ihr habt, desto besser wird jetzt dieses Additionsverfallfahren. Und am besten kann man das natürlich erklären in einem einfachen Fall. Und das soll dieser Fall sein. Ihr seht, ich habe die gleichen Gleichungen wieder, ne? sind die gleichen Zahlen. Das heißt, Die Lösungen sollten jetzt auch bitteschön gleich sein. Wie funktioniert das Additionsverfahren? Wir haben jetzt in jeder
Gleichung, also in jeder Zeile, Koeffizienten vor den Variablen x und Y. Ich möchte diese beiden Gleichungen so umformen, dass in der einen Gleichung die Koeffizienten z.B. von x die negativen Zahlen sind von den Koeffizienten von x in der anderen Gleichung. Du hast schon eine Idee. Wie würdest du das machen? Genau. Also, der Kollege will das Y rausschmeißen. Ja. Und wir wollen das so machen, dass die Zahl, die hier vor dem Y steht, sich mit der Zahl aufhebt, die hier vor dem Y steht. Ja, momentan funktioniert das noch nicht. Hier steht eine 3, hier steht eine
4. Aber wenn wir die obere Gleichung mit 4 multiplizieren, die untere Gleichung mit 3, dann steht oben eine 12 und unten eine -12 und dann würden sich die beiden ys aufheben. Also mache ich im ersten Schritt genau das, was mir gesagt wurde. Mal 4 mit der oberen Gleichung auf beiden Seiten und mal 3 mit der unteren Gleichung auf beiden Seiten. Was kriegen wir dann? 2* 4= 8. 8x 3 x y wird dann zu 12y. Und jetzt müssen wir 18 x 4 rechnen. 18* 2= 36* 2= 72. Okay, jetzt gehe ich zur unteren Gleichung. 3* 3=
9, -4* 3= -12 und -7 x 3= 21. Minuszeichen nicht vergessen. So. Und beim Additionsverfahren gehen wir jetzt so vor, dass wir beide Gleichungen aufadieren. Wir zählen beide Gleichungen zusammen und jetzt haben wir die so umgeformt, dass die ys sich einfach Rausheben. Das war der Sinn der Übung. Also jetzt bilde ich hier die Summe von diesen beiden Gleichungen. Ich rechne 8x + 9x 17x 12y + -12y fällt weg. Und auf der rechten Seite haben wir 72 - 21 und das ist dann 51. Zum Glück ist 51 Vielfaches von der 17. Die 17 passt genau dreimal
da rein. Das heißt, wenn wir jetzt beide Seiten durch 17 teilen, Geteilt durch 17, dann kommt raus, x = 3. Und das ist ja die Lösung, die wir eben auch schon haben. Jetzt geht's wieder so weiter wie beim Einsetzungsverfahren. Also, wir haben eine Lösung gefunden, eine Variable haben wir gelöst und jetzt setzen wir diese Lösung in eine der beiden Gleichungen ein. Hier ist es jetzt egal in welche der beiden Gleichungen und finden dann die Lösung für die andere Variable. Also, ich nehme einfach mal Die obere Gleichung. X = 3 setze ich jetzt mal hier ein
und dann haben wir 2* 3 + 3* y = 18. Ich teile beide Seiten durch 3 und dann habe ich 2 + y = 6. Jetzt ziehe ich auf beiden Seiten 2 ab und dann habe ich die Lösung y = 4, genauso wie eben. Also auch dieses Verfahren hat die gleiche Lösung gebracht. Ja, es wirkt auf den ersten Blick erstmal ein bisschen aufwendiger, aber wie gesagt, bei größeren Systemen ist das der Schnellste Weg. Das war die Nummer 2. Jetzt kommt das letzte Verfahren und ich benutze wieder die gleiche Gleichung. Das ist das Gleichsetzungsverfahr. Beim Gleichsetzungsverfahren
löst man nun beide Gleichungen nach einer der beiden Variablen auf. Ja, beim Substitutionsverfahren habe ich nur eine Gleichung aufgelöst. nach einer Variablin. Hier löse ich beide Gleichung nach einer Variablen auf. Das mache ich Jetzt direkt mal. Hier haben wir das ja schon gemacht. Ich mach's trotzdem noch mal. 3y = 18 - 2x. Wenn wir durch 3 teilen, y = 6 - 2/3 x. Das hatten wir eben schon. Jetzt muss ich das noch einmal machen mit der zweiten Gleichung. Also ich löse die aber nach der gleichen Variablen auf. Ja, also die zweite Gleichung löse ich auch
nach y. Dann haben wir -4y = -7 - 3x. Also, ich habe die + 3x auf die andere Seite gebracht. Und jetzt muss ich noch durch -4 teilen und dann kriege ich raus. Y = -7 dur -4, also 7/ und -3 dur -4 ist also + 3/x. Das ist der Schritt 1. Jetzt haben wir hier zwei Gleichungen, wo auf der linken Seite das Gleiche steht. Und das heißt auch das, was auf der rechten Seite muss gleich sein. Ja, wenn die beiden ys gleich sind, dann müssen auch die beiden rechten Seiten Gleich sein. Das heißt, im
nächsten Schritt setze ich jetzt die beiden rechten Seiten gleich. Also jetzt kommt die rechte Seite von der ersten Gleichung, die muss gleich sein der rechten Seite von der gleichen von der zweiten Gleichung. 7/ + 3/x und das Ergebnis ist wieder eine Gleichung mit einer unbekannten, diesmal der unbekannten x. Die müssen wir uns jetzt noch zurecht sortieren. Ich würde gerne jetzt mal eine Anregung von eben aufnehmen, bevor ich jetzt gleich den Hauptnen suche, multipliziere ich jetzt mal beide Seiten mit 3 und mit der 4. Ja, beide Seiten mit drei und mit 4 multiplizieren, damit ich die
Brüche loswerde. Also mal 3 und mal 4, also mal 12. Ich fange an mit der 6. 6 x 12= 72. Hier muss ich nicht mehr mit 3 Multiplizieren, sondern nur noch mit der 4. Dann haben wir -8x. Hier muss ich nicht mehr mit der 4 multiplizieren, sondern nur noch mit der 3. x 3= 21 und da oben auch 9x. Und jetzt kommt uns das von den Zahlen her vielleicht wieder ein bisschen bekannter vor. Ich ziehe auf beiden Seiten die minus, also die 9x ab. Ich rechne -9x auf beiden Seiten und die 72 entferne ich auch.
-72 Und dann haben wir -9x - 8x = 21 - 72. Auf der linken Seite stehen also -17x. Und auf der rechten Seite steht jetzt nicht +51 wie eben, sondern -51. Wir können beide Seiten durch 17 teilen bzw. durch -17 und dann kommt raus x = 3. So wie in den anderen beiden Verfahren auch. 3 x 17 eben 51. Diese drei können wir jetzt in der in Eine der beiden Gleichungen einsetzen, die wir vorhin im ersten Schritt hergeleitet haben. Und da empfiehlt es sich, diese Gleichung hier zu benutzen, weil da die drei im Nenner steht.
Also die drei setzen wir hier ein und dann haben wir y = 6 - 2/3* 3 und wie eben kommt dann die 4 raus. Ich fand jetzt das Gleichsetzungsverfahren am umständlichsten. Also das Substitutionsverfahren fand ich viel Einfacher als das Gleichung Gleichsetzungsverfahren, weil wir da insgesamt weniger rechnen mussten. Welches Verfahren ihr benutzt, hängt aber auch ab von dem Problem, was ihr habt. Und ich werde das Problem jetzt nur noch darstellen, aber nicht mehr lösen, weil die Zeit leider um ist. Das ist nämlich wieder eine wirtschaftswissenschaftliche Anwendung. Das ist ein Nachfrageangebotsdiagramm. Die blaue Kurve ist die Nachfragekurve,
Die rote Kurve ist die Angebotskurve und dort, wo die beiden Kurven sich schneiden, bei dem Schnittpunkt ist das Markt Gleichgewicht. Wir können nämlich ein System von zwei linearen Gleichung grafisch darstellen durch zwei Geraden und die Lösung dieses Gleichungssystems ist einfach der Schnittpunkt von diesen beiden Graden. Und wenn wir dieses Gleichungssystem jetzt lösen wollen, hier heißen die Variablen eben nicht X und Y, sondern P Und Q, Price and Quantity, dann können wir sehr einfach das Gleichsetzungsverfahren benutzen, weil die beiden Gleichungen schon so umgeformt sind, dass wir eine Variable hier den Preis auf der linken Seite haben.
Wenn ihr möchtet, könnt ihr hier das Gleichgewicht mal ausrechnen, aber nicht mehr hier und heute, denn jetzt ist die Vorlesung vorbei. Ich bedanke mich sehr für eure Aufmerksamkeit und verabschiede mich bis morgen. M.
