Física II - Aula 28 - Teoria cinética do gás ideal

[Música] [Música] o tema da nossa última aula do do curso de física 2 de termodinâmica é a teoria cinética do gás ideal a basicamente a gente vai mostrar a result alguns resultados de mecânica estatística que é a compreender tentar calcular as propriedades termodinâmicas de um sistema a partir do da mecânica do comportamento microscópico dos constituintes da matéria a gente vai começar com um modelo bastante simples para descobrir a teoria cinética da pressão de um gás então aqui tá o o nosso modelo né é um gás de moléculas puntiformes né Sem dimensão confinadas numa numa caixa

de de de paredes rígidas as moléculas têm massas MJ e cada uma tem uma velocidade a pressão sobre as paredes é devida a ao choque das das partículas com a parede Então vamos ver uma pequena animação enquanto a gente discute o que acontece então a gente vê a a as moléculas se movem e se chocam com as paredes as moléculas mais rápidas se chocam mais frequentemente com as paredes as moléculas mais lentas se chocam menos frequentemente é basicamente esse o o modelo só que em três dimensões que a gente vai ver então fazendo a a

mecânica do do problema né a as moléculas se chocam com a parede considera uma parede por exemplo a parede da direita do recipiente né Cada vez que uma molécula se choca ela transfere essa quantidade de momento que é proporcional ao produto da sua massa pela velocidade a força média que a molécula exerce sobre a parede é o momento transferido por unidade de tempo que é inverso ente proporcional à velocidade com que a molécula tá se movendo então fazendo dividindo pela área né para computar a pressão a pressão que a partícula J né exerce sobre aquela

determinada parede é proporcional ao quadrado da da da da da sua componente da velocidade perpendicular à parede inversamente proporcional ao volume do recipiente se você a a a pressão Total sobre aquela parede vai ser dada pela contribuição de todas as moléculas né e a gente pode escrever essa coisa dessa forma né a pressão sobre uma parede é o número de moléculas por unidade de volume vezes a média né desse produto massa vezes o quadrado da componente da velocidade normal à parede que ela incide bom a pressão a gente a gente sabe no gás é uniforme

a pressão é a mesma em todas as paredes Isso significa que a média né de MV qu para as componentes x y e z são as mesmas e na verdade esse a gente usou uma caixa quadrada né mas esse resultado é geral né então a pressão vezes o volume de um gás a gente pode ver é uma fração meio de MV Quad é a energia ética média de uma partícula né então o produto pressão vezes o volume do gás é igual a uma fração da energia cinética do de todas as moléculas do gás Então a

gente tem essa é a teoria cinética da pressão então se a gente conhece a a a a energia cinética média das moléculas de um gás a gente determina PV então para fazer associação com a a a termodinâmica a gente usa a lei dos gases a gente sabe que esse gás obedece a essa lei e aqui a gente tá simplesmente escrevendo a lei em duas versões a versão macroscópica né onde n é a quantidade molar de gás e aqui a versão microscópica onde n é o número de moléculas do gás né que é um número da

ordem de 10 a 20 10 a 23 Então essa constante que aparece aqui a constante de bot mas é simplesmente a versão molecular né da Constante dos gases né e a massa das das moléculas tá relacionada com a massa molecular das moléculas assim fazendo né igualando a a pressão cinética né a gente associa uma a gente determina a temperatura do gás então a temperatura do do gás ideal tá relacionado com a energia cinética média de translação obviamente das moléculas do gás se a gente tem uma mistura de gases né O que importa é a energia

cinética numa mistura de gases né onde você tem várias espécies Cada uma com uma massa particular né Você pode tirar a massa de fora dessa integral para aquela espécie né e portanto calcular o que a gente a média do quadrado da velocidade daquela espécie então fazendo isso né e usando os valores conhecidos da constante de botsman que é derivada da lei dos gases da Constante dos gases dividido pela constante de avogado né a gente introduz esse resultado aqui né a a média do quadrado da velocidade a gente toma a raiz quadrada chama-se raiz da velocidade

quadrática média eu dá uma ideia da ordem de grandeza da velocidade com que os os átomos ou as moléculas se movem né como a a energia cinética é proporcional a massa né A velocidade é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa então aqui tão os valores calculados para uma temperatura de 300 k né né você vê que as velocidades das moléculas do gás são da ordem de 2 km/s né para uma molécula de hidrogênio até 400 met por segundo né paraas moléculas mais pesadas é uma velocidade bastante grande essa essa teoria né ela foi feita

ela se desenvolveu né junto com o entendimento do do da intuição atômic molecular da matéria havia uma disputa sobre do que que é como que era feita a matéria no seu íntimo né e um a a uma das objeções a essa teoria molecular né da da matéria era justamente essas velocidades imensas né se as se as se as moléculas se movem com essas velocidades grandes Por que que demora tanto por exemplo a a dispersão de um gás no outro né quando se eu abro uma um fr de perfume aqui demora alguns segundos para que você

alguns metros de mim o sinta né quem resolveu esse esse paradoxo né foi clausius né introduzindo o conceito de calibre caminho livre médio na verdade né a gente essa teoria foi baseada em partículas puntiformes né onde as as partículas não têm massa portanto elas não interagem Ah não tê tamanho né mas na verdade as moléculas têm um tamanho né e portanto e no no seu trajeto entre elas se chocam umas com as outras tá certo isso daqui é a expressão pro caminho livre médio deduzida por clauses né basicamente depende da densidade da do gás né

e da sessão de choque basicamente do tamanho das moléculas envolvidas para ter uma ideia da ordem de grandeza né pegando and um valor pro as moléculas doos átomos né são tem dimensões da ordem de angon 10 a-1 m então uma molécula de oxigênio tem um diâmetro equivalente de aproximadamente três angstrons né se você calcular pegar a densidade de um gás ideal Nas condições normais de pressão e temperatura essa estimativa do caminho livre médio dá uma fração de micro né é um tamanho muito pequeno do ponto de vista macroscópico mas é um tamanho muito grande do

ponto de vista atômico né uma molécula de oxigênio nessas condições viaja 300 vezes a a via uma distância aproximadamente 300 vezes maior do que o seu diâmetro antes de encontrar outra molécula por outro lado como a velocidade é grande a gente pode estimar né o o o a taxa com que essa molécula colide dentro do gás é muito pequena uma fração de nanosegundo ou seja ela colide 10 milhões 10 bilhões de vezes por segundo então é a colisão entre as moléculas e das moléculas com as paredes que leva ao equilíbrio térmico a uma distribuição de

velocidade do a a velocidade de uma molécula não é constante ela muda através das colisões né mas a média das da da a da das das velocidades é preservada Então essa é a teoria cinética da pressão o o tema né o próximo tema que a gente vai abordar é como que é como que qual é a a a gente falar distribuição das velocidades da molécula no gás então primeiro a gente precisa introduzir um conceito de uma função distribuição né basicamente uma função de distribuição descreve a estatística né de como que a uma certa população tem

determinadas atributos né como a velocidade é uma variável contínua né a gente define uma função de distribuição né a definição da função de distribuição não tá aqui né o a a a fração de moléculas que tem uma determinada velocidade exata é basicamente nenhuma né então a gente considera um intervalo pequeno de velocidade e essa coisa aqui né o produto da função de distribuição pelo intervalo da a fração das moléculas do gás que tem a a determinada componente da velocidade num certo intervalo em torno do valor Central né Por sua a definição essa a função distribuição

se você soma né Essa essas frações em todas as possibilidades que a variável pode assumir tem que fazer um né E se você conhece a distribuição você pode calcular a média de qualquer grandeza que dependa da variável eh que cuja distribuição você conhece né basicamente a média né de uma função f de v é simplesmente a média ponderada dos valores que F assume né ponderada pela fração das moléculas que tá lá a primeira dedução da distribuição de velocidades no gás foi feita por Maxwell né E para isso ele usou simplesmente a propriedades de simetria do

gás né a assumindo que a a a distribuição das velocidades nas várias componentes são completamente Independentes a velocidade de uma molécula na direção x não não influi o que que é a sua velocidade na direção Y ou Z né E como o gás é isotrópico né nenhuma direção é privilegiada a escolha de x y z é completamente arbitrária então a distribuição de velocidade só pode depender do módulo da velocidade não da sua direção né eu não vou mostrar mas não é é difícil mostrar que a distribuição que satisfaz essas propriedades de simetria é a chamada

distribuição normal ou galciana né ela aparece sempre que você tem distribuição de uma variável variáveis contínuas Independentes né Toda a distribuição normal é é muito similar ela é caracterizada por um único parâmetro né que é esse Sigma aqui né que é chamado o desvio quadrático médio ele dá a largura da distribuição né Note que a distribuição ela é centrada no zero né porque isso aqui é a exponencial de e a- X2 ela é máxima em zero e decai né o você calcular essa média aqui né Justamente a a média do quadrado da variável descrita por

essa distribuição é o o quadrado é o desvio quadrático médio então isso aqui é um resultado geral que vem simplesmente da simetria do gás fazendo a associação né o a teoria cinética da pressão nos permite associar as os as médias quadráticas das componentes da velocidade com a temperatura né então se escreve a chamada distribuição de Maximo da velocidade essa aqui é a a distribuição para uma componente qualquer eu escrevi vz mas é a mesma distribuição para vx ou vy se a gente A partir dessa distribuição a gente pode construir a distribuição pros módulos da velocidade

né basicamente para ter uma uma velocidade de módulo V né a as componentes vx vz tem que est na superfície de uma esfera né então é basicamente isso que tá escrito aqui né isso aqui é um volume de uma casca esférica de espessura DV e raio V né então vamos ver o que que significa vamos ver a cara dessas distribuições então fixando a temperatura no valor de 300 k né e escolhendo o hidrogênio só para colocar números aqui nos gráficos né a gente vê a cara da da distribuição galciana de uma componente da velocidade e

aqui a distribuição pro módulo da velocidade né basicamente essa distribuição aqui é caracterizada pelo desvio padrão né e a gente vê a uma propriedade né 68 das moléculas aproximadamente tem velocidades entre menos Sigma e mais Sigma n se você aumenta a temperatura tudo que acontece é que aumenta a largura da distribuição Então as velocidades vão estar distribuídas num intervalo maior em torno do zero né e a velocidade quadrática média vai crescer né junto com a energia uma coisa interessante um resultado interessante Vem quando a gente calcula a distribuição para energia né a energia nesse caso

aqui é é puramente a energia cinética das partículas né então um intervalo de energia significa esse intervalo de velocidade se você faz essa conta e coloca na distribuição pro módulo da velocidade você obtém essa expressão aqui né o resultado importante aqui né É é que a massa né que tá presente na distribuição das velocidades das partículas desaparece quando você toma a distribuição em energia ou seja a a distribuição em energia é a mesma Qualquer que seja a massa das moléculas né na verdade Esse resultado é mais geral então a gente pode interpretar essa distribuição aqui

em termos de uma probabilidade né Isso aqui é em princípio a fração das moléculas que tem energia entre e e e + de né se se você pega uma molécula ao acaso né qual é a probabilidade dela ter energia nesse intervalo tá isso aqui pode ser visto desse jeito então a probabilidade né de uma partícula tá num estado né que no caso é uma ter uma posição e uma velocidade né Ela é proporcional a exponencial do negativo da razão entre a energia e a temperatura Esse é o chamado fator de bolmon né que na verdade

é a interpretação mais simples possível né paraa temperatura a temperatura como vocês viram é uma característica do do sistema microscópico que tem a ver com o fato de que a matéria é constituída de um número imenso de pequenas partículas né ah e basicamente Essa é a interpretação probabilística né da temperatura a temperatura né ela tá relacionada com a probabilidade da da da da de um subsistema do do seu sistema termodinâmico ter uma energia aí ela dá basicamente a a distribuição ela caracteriza a distribuição da energia essa esse tratamento do do maxel na verdade foi logo

no início né Eh depois depois dele eu concomitantemente várias pessoas e principalmente o botsman né desenvolveram uma a a mecânica estatística né a mecânica estatítica quer dizer uma o o os argumentos de maxio aqui né a envolviam uma assimetria do gás etc obviamente eles só se aplicam a esse problema a mecânica estatística do do bolman né na verdade permite atacar uma gama quer dizer qualquer problema qualquer sistema físico basicamente né a a teoria do botman obviamente reproduz os resultados que o Maxwell resolveu mas é capaz de prever outro os resultados que a teoria de do

maxel que era só se aplicava ao gás não era possível né a a definição estatística de entropia né dada por botsman depois de anos e anos de trabalho estudando a dinâmica né dos da da da microscópica da da matéria foi essa daqui que é a definição de entropia né A entropia a menos desse fator aqui que é chamado constante de boltzman por causa dele né que é basicamente um fator Dimensional para que a entropia tem a dimensão que a termodinâmica lhe atribuiu né é proporcional ao logaritmo do número de estados microscópicos de um sistema termodinâmico

número de estados microscópicos basicamente né a gente viu na o o para uma partícula né um estado da partícula é determinado pelas suas coordenadas e pela sua velocidade mas geralmente o seu momento n obviamente um sistema de n partículas né você um estado microscópico é especificação das três das n posições das partículas e das suas n velocidades ou momentos O que torna a mecânica estatística de certa maneira fácil né é o fato de que ela lida com sistemas macroscópicos o número de partículas envolvidas em qualquer porção da matéria que você possa enxergar é um número

imenso então a estatística né é praticamente exata certo não existem flutuações as flutuações existem na estatística de pequenas populações do tamanho das populações em que a termodinâmica se aplica a estatística é basicamente exata né então através a o o o o procedimento da mecânica estatística de um sistema é tentar né procurar calcular o número de de estados possíveis do sistema dadas a sua energia e o seu volume no caso de um gás né e a partir daí usando as relações de termodinâmicas né entre energia temperatura entropia etc e tal computar a temperatura esse procedimento né

basicamente pode tem várias maneiras de se satisfazer ele ele reproduz os resultados do gás ideal e faz outros resultados n assim a definição de microscópica né de entropia é essa estatística né e a vocês se lembram a segunda lei da termodinâmica tem a ver com a com a entropia né e a segunda lei da termodinâmica é baseada no fato de que determinados eventos só acontecem numa direção são irreversíveis né a mecânica né da da das partículas microscópicas que constituem a matéria né é uma teoria reversível né na mecânica de Newton E mesmo na nova mecânica

que foi inventada depois a mecânica quântica né Você pode inverter o o o o sinal do tempo né e as leis continuam valendo né então a grande noção né É como é que uma lei que é reversível no tempo né conduz a uma segunda lei da termodinâmica que mostra que que que que exige que determinados fenômenos sejam irreversíveis na verdade todos os os fenômenos macroscópicos são irreversíveis né então do ponto de vista estatístico né basicamente a a segunda lei é uma lei estatística não é não é que não seja proibido que uma coisa aconteça de

trás para frente por exemplo que um um um gás que se distribui uniformemente em todo o recipiente de repente ocupe uma fração desse recipiente isso não é proibido pela lei estatística acontece simplesmente que pelo elevado número de partículas envolvidas né a probabilidade de que esse evento ocorra é infinitamente pequena para sistemas macroscópicos né então a segunda lei é interpretada como uma uma lei de de probabilidade estatística né a irreversibilidade decorre da estatística desse grande número de coisas né que faz com que os eventos na direção correta né quer dizer o calor fluindo do quente pro

frio né o gás se espalhando uniformemente por todo o recipiente né sejam as condições prováveis né e tudo que vai ao contrário não é proibido Mas tem uma probabilidade de acontecer infinitamente pequena né essa interpretação a mecânica estatística e a termodinâmica né ela sobrevivem a revolução que houve no no na virada do século XIX pro século XX que reformulou a mecânica né a a se descobriu pelo comportamento da da da matéria basicamente né que a mecânica newtoniana não conseguia explicar o comportamento da matéria ao nível microscópico então foi inventada criada uma nova mecânica chamada mecânica

quântica ou mecânica ondulatória né que se aplica ao comportamento particular das da matéria ao nível atômico e molecular né quando aplicar essa mesma teoria aplicada aos corpos macroscópicos ord n ela reproduz a mecânica newtoniana então a mecânica teve que ser reformulada mas os princípios da mecânica estatística e da própria termodinâmica não então na mecânica estatística tudo que você usa são os mesmos princípios estabelecidos por B né só que para prever o comportamento microscópico você usa a nova mecânica a mecânica quântica C [Música] [Música] C