História da Matemática - Aula 03 - Os problemas clássicos

[Música] Olá na aula de hoje a gente vai tratar dos problemas clássicos da Grécia Antiga bom a gente tá na Grécia então agora século V antes de Cristo a gente tem aí três problemas clássicos da geometria grega Por que que eles são considerados problemas clássicos eles são problemas que não envolviam questões práticas são problemas que envolviam mais eh questões de ordem teórica e a gente tinha e eles tinham uma regra para resolver esses problemas qual que era essa regra utilizar apenas régua e compasso bom Qual que é o nosso primeiro problema então o primeiro problema

que a gente que que eles colocaram é o problema da quadratura do Círculo que que significa isso vamos imaginar que eu tenho aqui um ciclo de raio r e esse círculo tem uma área AC a pergunta é qual deve ser o quanto deve ser o lado de um quadrado para eu poder desenhar um quadrado que tenha a mesma área desse círculo Então vamos imaginar aqui um quadrado de lado x que tem uma área que a gente vai chamar de área do quadrado de aq Então como é que eu posso fazer com que a área do

círculo seja igual a área do quadrado Então como é que eu faço para saber qual que é a lateral desse quadrado bom vamos imaginar aqui ó do ponto de vista algébrico como é que eu posso responder bom área do círculo a gente tem dado né área de qualquer círculo PR Quad área do quadrado como é que a gente faz lado lado vezes lado que aqui no caso é x qu então agora igualando essas Opa Então como é que a gente faz igualando agora essas duas equações AC = aq a gente tem PR qu = x

qu resolvendo essa equação nós temos que x iG R pi Qual que é o problema para desenhar com réa e compasso o problema para desenhar com a réa e compasso é que a gente não tem como desenhar a gente não tem métodos para desenhar uma raiz quadrada de um número que não é inteiro então aqui no no caso Pi como é um número decimal e aliás com infinitas casas decimais não é possível a partir de regra e compasso fazer o desenho dessa raiz de Pi bom e agora qual que é o segundo problema o segundo

problema que a gente tem é o problema da duplicação do cubo como é que é esse problema a gente tem imagine aqui que a gente tenha um cubo de lado x e esse cubo tem um volume que a gente vai chamar de V como é que eu posso desenhar um cubo de uma lateral que vamos chamar aqui de tamanho Y de tal forma que esse cubo tenha o dobro do volume do primeiro então a como é que a gente faz para achar o valor do Y vamos imaginar aqui então uma resolução algébrica né como é

que a gente pode chegar nesse valor o primeiro cubo então o volume dele é x cu o segundo cubo que tem um volume que a gente vai chamar um volume 2v né é calculado de tal forma y c substituindo essa equação desculpa substituindo essa equação nessa equação a gente chega nesse nessa outra equação 2 x c iG y c e aí a gente e aí a gente resolvendo a gente chega aqui Y é iG x e aí a gente tem raiz cúbica 2 e aqui qual que é o problema para desenhar com reg e compasso

a raiz quadrada de 2 a gente até consegue desenhar mas a raiz cúbica a gente não não tem métodos para desenhar E com R e compasso o terceiro problema qual que é trição do ângulo Então vamos imaginar o seguinte vamos lá então agora imaginar aqui um ângulo qualquer a gente tem um algoritmo a gente tem um método com e régua e compasso pra gente traçar uma reta aqui no meio de tal forma que essa Diva esse ângulo maior em duas partes aqui iguais Ok o nosso problema agora é nosso problema agora é dado o nosso

ângulo como que eu posso traçar uma reta aqui de tal forma que esse ângulo aqui seja 1/3 do meu ângulo maior bom PR fazer isso que que a gente tem né que que a gente pode fazer bom a gente sabe que esse problema a gente não consegue resolver com ah régua e compasso mas existe outras formas pra gente descobrir e eh determinar como é que a gente vai medir como é que a gente vai desenhar esse ângulo aqui sendo 1/3 do meu ângulo maior tem uma propriedade vamos imaginar aqui de novo o nosso que era

conhecida dos gregos que a gente pode utilizar para poder fazer determinar como é que a gente vai traçar essa reta Então imaginemos aqui nosso ângulo de novo ok vamos aqui traçar uma reta que é paralela a parte inferior traçar aqui uma reta que é paralela à reta reta inferior vamos traçar aqui também uma outra reta que é perpendicular a a parte de baixo do nosso ângulo E aí o que acontece se eu traçar aqui a minha reta de tal forma aqui que a gente tem o ângulo que a gente quer que é 1/3 desse ângulo

maior a gente tem a seguinte propriedade vamos imaginar isso aqui como sendo uma distância a do ponto a até o b Ok a distância aqui desse ponto c até o ponto d a gente sabe que é 2 A bom como é que isso me ajuda a resolver o meu o meu problema vamos desenhar aqui então o nosso ângulo Ok bom com r e compasso a gente consegue desenhar uma reta paralela aqui e a gente consegue traçar essa outra reta aqui perpendicular o problema todo agora é traçar a reta que vai dividir ess esse ângulo aqui

em três partes Então como é que a gente pode fazer a gente pode pegar aqui uma régua colocar aqui e ver o tamanho dela ok E aí eu vou dobrar aqui o tamanho dela e aí que que a gente faz eu venho aqui né com a minha régua coloco ela na uma inclinação aqui de tal forma que vou colocar aqui aqui eu vou ter que estender s minutinho que eu vou ter que estender aqui então vamos lá recapitulando eu pego a minha régua coloco aqui dobro ela aqui ok E aí eu vou traçar a minha

reta aqui de tal forma que a distância entre essa as duas retas verdes seja a distância que eu tô trabalhando e aí eu venho aqui meço aqui e a reta que vai dividir E aí a gente tem que esse ângulo em azul é 1/3 do ângulo em verde que tá sendo colocado bom isso é uma forma de resolver mas não é uma forma com reggue e compasso da forma como eles entendem que você tá de certa forma provando que isso dá para ser feito por o fato de eu colocar minha régua aqui medir dobrar e

colocar aqui de novo isso o que a gente chama hoje de uma gambiarra Ok levou quase 2000 anos para que se conseguisse provar realmente que não era possível resolver esses três problemas simplesmente utilizando reg compasso o que não significa que não dê para resolvê-los por hoje é só nos vemos na nossa próxima videoaula até lá k [Música] [Música] [Música] l [Música]