Fundamentos da Matemática Elementar - Conjuntos numéricos

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula desse curso e finalizando as videoaulas sobre conjuntos e agora puxando um pouquinho lá pra primeira semana também qual na qual falamos sobre números vamos falar um pouco sobre conjuntos numéricos né então como nós já Vimos a a história né do dos números dos sistemas de numeração elas ela ela se dá pela própria necessidade humana né a gente vai se tornando uma sociedade cada vez mais complexa nossas necessidades se tornam mais complexas né e a matemática vai se desenvolvendo a partir disso como resposta Às nossas necessidades né

como resposta aos problemas que se impõem para nós e os números nós vamos cada vez mais considerando out outras formas de representar números outros tipos de números e uma maneira boa de organizar tudo isso de pensar as propriedades de cada tipo de número de é justamente em cima do quê de conjuntos né e por isso que a gente vai pensar um pouquinho sobre os conjuntos numéricos bom primeiro conjunto que a gente vai considerar é o conjunto dos números naturais eh os naturais como como nós já pensamos já discutimos eles estão ali na origem da ideia

de Contagem né no ato de contar eh são os números 1 2 3 4 os números que nós usamos para contar eh por esse motivo que já um parênteses muitos autores né mas digo muitos mas ainda assim uma grande minoria em relação ao ao ao geral né das referências em matemática especialmente em livros didáticos eh não consideram o zero como um número natural por quê Porque se eu penso o número natural como sendo eh um número que eu uso para contar eh na em sua origem Qual é a função do zero se eu não tenho

nada a contar por que que eu inventaria um símbolo para contar nada então É nesse sentido que alguns autores colocam que o zero não é um número natural porém como a grande maioria considera sim um natural Nós Vamos considerar aqui nesse curso também como um número natural lembrando só isso que o zero ele surge na verdade não na necessidade de contar mas ele vai surgir na história da matemática na necessidade de operar de fazer conta de fazer cálculo né mas nós vamos considerá-lo sim aqui como um número natural como que a gente representa o conjunto

dos números naturais é com esse n com um traço duplo e aqui eu coloquei os 0 0 1 2 3 4 e assim por diante pra gente dizer que eu quero os naturais sem o zero nós costumamos utilizar o símbolo dos naturais e Esse asterisco em cima isso significa o quê o conjunto N né naturais asterisco é o conjunto diferença dos números naturais excluindo o conjunto que o cujo único elemento é o zero é os naturais menos o zero ess seriam seria o conjunto dos números naturais e aí eh nós viemos num num num crescente

né da nossa história né humana em que os a gente chega num momento em que começa pensar talvez em dívidas né ou na ideia de falta e aí vê os números inteiros que são representados aqui pela por essa letra Z também né com um traço duplo eh Z vem de Z que na verdade é a palavra número né corresponde a número algarismo em alemão por isso que a gente usa esse Z é dessa tem essa origem e o conjunto dos números inteiros ele vai ele é o quê ele é composto pelos números naturais do 0

1 2 3á e do simétricos ou opostos desses números positivos ou seja -1 -2 3 4 infinitamente no sentido negativo né então nós se nós pensarmos em termos de reta numérica né os naturais estão aqui no zero e vem crescendo no sentido positivo 1 2 3 Quando pensamos nos números inteiros nós temos o simétrico né o equivalente negativo desses números aqui positivos então aí nós vamos ter men-1 men 2 - 3 - 4 e assim por diante podemos escrever também os conjuntos dessa maneira se eu escrever o z né do dos do conjunto dos inteiros

com esse mais embaixo significa é que eu tô excluindo os números negativos dele então se eu o z mais seria 0 1 2 3 e assim por diante o z com esse maizinho e o asterisco é esse conjunto anterior que eu falei tirando o zero Então seria 1 2 3 agora eu posso considerar só os não positivos então se eu colocar o z com o menos eu tô excluindo os positivos o zero fica lá mas eu excluo os positivos 0 -1 - 2 -3 e assim por diante e da mesma maneira né equivalente ao que

nós fizemos antes Se eu pegar o conjunto dos inteiros e menos e o asterisco agora eu tô tirando o zero desse Conjunto São só os negativos -1 -2 -3 e assim por diante eh pensando justamente né nessa história né da da Matemática nessa evolução né o desenvolvimento na verdade dos conjuntos numéricos os números racionais eles entram quando a gente começa a pensar em medida se os naturais entraram quando nós começamos a pensar em Contagem os Racionais entram quando nós decidimos medir alguma coisa aí nós começamos a pensar em qu em frações né e os Racionais

eles vão incorporar o quê todo número que pode ser escrito em forma de fração de números inteiros então um número P dividido por um número q p sobre q tal que o p é um número inteiro e o q também é um número inteiro mas cuidado se eu tô com o esse meu q no denominador ele não pode ser zero então que é um número que é do pertence aos inteiros o asterisco dizendo que eu tô o quê tirando o zero de o zero tá fora disso daí então exemplos dos números racionais né Nós temos

Men 5 0 e 4 você vai falar ah mas esses daí são inteiros sim né os mais o menos 5 poderia simplesmente escrever como -5 so 1 ótimo escrevi numa forma fracionária -10 so 2 se a gente simplificar resolver esse cálculo dá -5 então eu posso escrevê-lo como uma fração então ele é um número racional né as frações como nós já comentamos e números com representação decimal finita né eu posso pensar nos números com vírgula dito assim a grosso modo 1,5 Men 1,5 0,99 e as dízimas periódicas as dízimas periódicas Elas têm uma representação decimal

ali infinita Mas elas podem ser transformadas em fração toda dizima periódica ela pode ser escrita como fração se pode ser escrita como fração então é um número racional e da mesma maneira que na história obtivemos os números racionais estudamos os números racionais dessa maneira e descobrimos também que existiam os números que não eram Racionais e Esses foram chamados de Irracionais e os números irracionais Alguns são bastante populares né Todo mundo conhece por exemplo o pi 3,14 15 ele tem uma representação decimal infinita Mas diferente das eh dízimas periódicas ele não se repete ele não é

periódico né então eu não consigo escrever esse número em forma de fração né o mesmo pode ocorrer com o número e que é o número de eiler e ou raiz quadrada de números primos por exemplo √2 √3 né outro número famoso na história da matemática né o Fi né que aparece ali na razão Áurea também é um número irracional eh então depois que nós consideramos ali os Racionais e os Racionais nós podemos finalmente considerar os reais que são nada mais nada menos que a união entre os Racionais e os irracionais Então nesse sentido Quem são

os reais são todos os inteiros todos os Racionais e todos os irracionais é a união de Racional com irracional eh e um último né conjunto numérico bastante interessante são é dos números complexos os números complexos eles são números que são escritos da forma a + Bi com A e B sendo números reais e i sendo representado pela raiz de-1 então um número e complexo um número Z por exemplo um z complexo ele poderia ser escrito em a como a mais b i como já dissemos e chamamos de a a parte real né um número real

e B seria a parte imaginária é um número real que vai acompanhar esse I que é ra-1 a Interpretação para um número complexo ela pode ser feita eh geometricamente né Nós vamos nas próximas aulas falar de plano plano cartesiano Mas vamos só dar uma adiantados né um sistema cartesiano colocar aqui nesse eixo né números reais a parte real a que a gente já falou aqui e no meu eixo vertical nós pensarmos o a parte imaginária né o número Z o módulo desse número Z ele estaria representado por essa reta que vai da origem até esse

par que liga né que sai de a e leva em B Mas é uma só para ter uma uma noção de como seria essa representação de um número complexo Então são exemplos por exemplo 3 + 2i só - 7i que por exemplo não tem a parte eh real ou 10 né se a gente considerar por exemplo que B é 0 B é 0 0 x i 0 então eu posso escrever também né esse número 10 né como um número complexo cuja parte imaginária dele ali é zero e por fim vamos pensar em termos de conjuntos

União intersecção né a relações de inclusão na verdade entre conjuntos então nós podemos pensar os nossos naturais números relacionados à contagem eh depois né contendo os números eh naturais né os números naturais contidos dentro dos inteiros dos inteiros nós ampliamos o nosso conjunto chegamos aos Racionais né então números naturais estão contidos dentro dos dos inteiros os inteiros estão contidos dentro do dos Racionais e os irracionais né que nós que formam um conjunto a parte daqueles que não podem ser escritos em forma de fração né e por fim os reais os reais o que que eram

os reais não nada mais eram do que a união desses dois conjuntos dos irracionais com os Racionais Então os números reais eles vão vai unir todos esses conjuntos e expandindo um pouco mais a os nossos conjuntos numéricos Chegamos nos complexos que vão vai abarcar todos os reais e também aqueles números que são escritos com a parte imaginária né que estão fora aqui dos dos reais Então esse é um não deixa de ser um resumo né de dessa ideia de inclusão pensando também nos nossos conjuntos numéricos que começamos a explorar de alguma maneira lá na primeira

semana bom é isso espero que tenham gostado e até a próxima [Música] [Música] h i [Música]