Controle Transformada Laplace I

Esta é uma aula que nós vamos abordar o tema transformada de Laplace eh nós não vamos eh entrar em detalhes eh em demonstrações né Eh das equações e do cálculo de transformada de Laplace o nosso enfoque aqui é simplesmente eh levantar né Eh o acabolso teórico de transformada de Laplace que vai nos permitir entender como e por a gente eh Pode utilizar essa ferramenta eh quando a gente tá eh operando em disciplinas de de Controle de Sistemas ou eh análise de circuitos elétricos para um bom entendimento do que nós vamos falar aqui é desejável né

conhecimento a respeito de números complexos e eh que exista né fundamentos básicos de integração e derivação tá esses conceitos são eh importantes Porque eles estão diretamente relacionados eh com o Assunto em Foco que é transformada de ilaplace O que ocorre pra gente na prática é o quê muitas vezes nós temos um sistema que eventualmente pode ser um circuito elétrico que a gente precisa né Efetuar uma análise um estudo né Isso corresponde a gente tentar relacionar né entradas e saídas eh do nosso eh sistema [Música] eh normalmente nós vamos est tratando de sistemas dinâmicos ou seja

eh sistemas Né que vão ter alterações em seus estados ao longo do tempo e muito provavelmente o modelo matemático que vai poder representar o nosso sistema vai ser uma equação que Muito provavelmente vai eh possuir né termos com derivações e muito provavelmente né também existe a possibilidade da gente ter né integrações bem por que que eh a transformada de Laplace ela é interessante para nós é que ela vai Permitir que a gente converta essas equações com eh diferenciações integrações né que estão né Eh no domínio do tempo para um outro domínio em que a gente

vai ter um conjunto de equações Norma mente né equações algébricas polinômios Muito provavelmente que vão ser muito mais fáceis de serem manipulados né e entendidos por nós tá eh então Eh operações como derivada e integração Tá vão poder ser substituídas por operações algébricas muito mais simples no plano complexo tá isso vai nos permitir também né Eh entender e desenvolver eh um bom conjunto de ferramentas eh que vão permitir que a gente entenda o comportamento de sistemas e também vai nos permitir eh obter eh informações sobre respostas saídas de sistemas né em função de eventuais entradas

Outro ponto a se destacar é que Quando a gente soluciona eh uma equação diferencial né utilizando o transformada de Laplace e componentes temporárias transitórias ou permanentes ou resposta em regime estacionário elas vão eh ser obtidas eh simultaneamente tá então a gente né vai ter uma boa simplificação na obtenção da resposta não existe necessidade de efetuar separadamente uma análise de transitória de uma análise estacionária Permanente pro nosso sistema eh traduzindo tudo o que eh foi dito até agora né O que a transformada de Laplace vai permitir pra gente é a gente tomar uma equação diferencial né

Eh e transformar essa equação diferencial através da aplicação da transformada de Laplace numa equação mais simples normalmente uma equação algébrica num Outro domínio que normalmente a gente eh chama de domínio da frequência daqui a pouco a gente explica porque esse termo domínio da frequência a gente pode fazer uma análise um estudo né da nossa eh do nosso sistema utilizando essas equações nesse outro domínio a gente pode resolver a nossa equação né numa forma mais simples nesse novo domínio e depois a gente pode aplicar uma transformada inversa de forma a obter a resposta né A solução

do nosso sistema Né Eh no domínio do tempo eh de uma forma mais eh tranquila de uma forma mais fácil Então nós pegamos algo que é complexo no domínio do tempo aplicamos a transformada e de forma a obter uma equação mais simples no domínio da frequência estudamos e obtemos a solução Desse nosso dessa nossa equação no domínio da frequência e depois nós aplicamos uma transformada inversa para podemos finalmente obter a resposta A solução da nossa equação original né de uma forma mais eh tranquila de uma forma mais fácil eh Inicialmente vamos fazer algumas considerações Vamos

definir eh eh alguns termos que nós vamos utilizar ao longo dessa aula a primeira O que que é uma variável complexa uma variável complexa que eh por padrão nós vamos eh associar a letra S é uma variável que possui uma parte real que aqui nós estamos chamando de Sigma e uma parte Imaginária eh que nós estamos denotando por Ômega é muito parecido com o que a gente tem né Eh no cálculo né Eh quando a gente só utiliza números reais por exemplo numa função eh Y igual a x o X é a nossa variável real

né Ela é composta simplesmente né Eh por um número real quando a gente usa a letra x nós estamos dizendo que x pode ser qualquer número real no nosso caso como a gente vai operar né com variáveis complexas o nosso S ele pode ser Qualquer variável complexa qualquer número complexo Lembrando que um número complexo vai ter uma parte real e uma parte imaginária tá então uma variável complexa é uma variável que pode ter qualquer valor real na parte real e qualquer valor imaginário né na parte imaginária quando a gente fala né função complexa nós estamos

falando que de uma função né de s ou seja uma função de uma variável complexa então a gente sabe que essa nossa função ela vai Ter parte real e vai ter uma parte imaginária tá a gente fala que é uma função complexa é analítica quando todas as suas derivadas estão definidas para uma dada região mais à frente nós vamos ver eh Por que que esse conceito é importante para [Música] nós muito bem Vamos definir algumas terminologias aqui que nós vamos adotar durante o resto dessa aula tá eh f de t O f minúsculo se refere

a uma função qualquer no domínio do tempo tá normalmente nós vamos assumir eh que FT vai ser zero para qualquer tempo menor que zero muito bem eh s é o eh o símbolo que nós vamos usar por padrão para uma variável complexa então toda vez que a gente encontrar s em alguma função né nós vamos tá assumindo que s é uma variável complexa Lembrando que ela vai ter uma parte real e uma parte imaginária tá o Símbolo L é o símbolo que a gente vai utilizar para representar né uma transformada de Laplace de uma dada

função né então né se a gente aplicar né o l a uma f de T uma função no domínio do tempo nós estamos dizendo que o resultado dessa operação vai ser né o resultado da aplicação da transformada de Laplace sobre uma função FT e FS é esse resultado da aplicação da da Transformada de Laplace é sobre uma dada função do tempo por exemplo a nossa função f de T eh normalmente as funções complexas nós vamos associar letras maiúsculas letras minúsculas vão est associadas a funções no domínio do tempo e letras maiúsculas a funções no domínio

da frequência [Música] bem eh se nós tomarmos uma função f de T qualquer tá Eh a transformada de Laplace dessa função é o resultado desta integração que está explicitada aqui lembrando que nós temos uma integração imprópria tá essa integração ela pode de ser eh bilateral ou seja os limites de integração podem ser de menos infinito a mais Infinito ou ela pode ser unilateral como a integração de zero a infinito como tá expressa nessa equação que tá aparecendo nessa Transparência para nós quando a gente tá analisando circuitos elétricos ou analisando sistemas de controle normalmente nos interessa

né o comportamento do sistema a partir de um dado instante inicial e a gente normalmente tem liberdade para definir quando é esse instante de tempo Inicial Então nada nos impede né de definir que esse instante inicial é o instante t ig a 0 por isso não vai nos interessar o que que que aconteceu antes com o nosso Sistema ou o nosso circuito mais à frente a gente vai eh verificar que esse passado do nosso sistema eles vão est né Eh sendo representados por condições iniciais das funções envolvidas Então a partir do momento em que eu

tenho o conhecimento dessas condições iniciais né as condições os valores das variáveis de estado de um sistema em t = 0 e conheço a minha entrada a partir desse instante t = 0 eu consigo né obter a resposta do Meu sistema para qualquer instante a partir de t = 0 tá via de regra nós vamos utilizar né as nossas integrações né para representar o cálculo da transformada de Laplace né com limites variando de zero a infinito tá bem Como que a gente eh calcula a transformada de Laplace de uma função FT a gente toma a

nossa função FT e multiplicamos ela por uma exponencial complexa Por que uma Exponencial complexa é uma exponencial em que nós temos uma variável complexa Lembrando que o nosso s é uma variável que tem uma parte real e uma parte imaginária tá o resultado dessa integração né é o resultado né né Eh da aplicação da transformada de Laplace basicamente nós estamos pegando uma função no domínio do tempo e levando essa função para um outro [Música] Domínio bem por que que a gente usa o termo domínio complexo tá ou domínio da frequência tá e como o termo

elevado a - ST tem que ser né um termo adimensional né né E a unidade de tempo é o segundo a unidade da nossa variável S tem que ser 1 sobre segundo porque aí nós vamos ter 1 so sego x segundo E aí nós vamos ter né uma um valor AD Dimensional então a unidade da nossa variável complexa S tem que ser segundo a-1 e segundo a men1 é a Unidade da frequência tá então é por isso que normalmente a gente diz né que ao aplicarmos a transformada de Laplace a uma função no domínio do

tempo nós estamos pegando né Eh uma representação dessa função no domínio da frequência eh outro detalhe importante é o seguinte Olha o que interessa para mim é o valor da função FT a partir né de t = 0 então não é incomum a gente representar a nossa função FT ou como f de t e aí a Gente Explicita que nós estamos nós tomando a nossa função a partir de t = 0 como foi feito aqui ó ou seja nós estamos pegando uma função para e e a partir de t = 0 porque FT é 0

antes de t = 0 tá uma forma da gente simplificar essa anotação é multiplicar Nossa função FT por um grau unitário bem o que que é uma função degrau é é unitário é uma função que antes de t = 0 ela vale 0 e depois de t = 0 ela vale uma unidade então para Tempos maior que zero nós vamos est multiplicando a nossa função FT por 1 para tempos antes de zero nós vamos est multiplicando a nossa função FT por zer Ok então quando a gente encontrar essa notação aqui ó a gente tem que

entender que nós estamos assumindo que o que nos interessa é os valores da nossa função ou a nossa função a partir de t = 0 muito bem eh duas definições que são importantes daqui vai a pouco fica Claro porque que Elas são importantes né Eh a primeira definição importante é o que que é uma função seccionalmente contínua eh uma função é seccionalmente contínua no intervalo tá é quando ela está definida nesse intervalo mesmo estando sub de subdividida né é em um número finito de diferentes funções nesse intervalo traduzindo isso temos um intervalo entre alfa e

beta e nesse intervalo entre alfa e beta a nossa Função ela muda de equação algumas vezes entre alfa e beta no caso aqui ela muda eh de função né de equação quatro vezes um outro detalhe importante é que ela tem que ser definidas em cada intervalo né nos limites inferiores e superiores eh nesses intervalos então em cada um desses quatro intervalos as nossas equações tem que nos fornecer valores para Essas funções nos limites inferiores e limites superiores um outro termo importante Para nós é a chamada função de ordem exponencial tá é uma função é dita

né é de ordem exponencial toda vez que a gente puder multiplicar essa nossa função tá por uma exponencial ne em que o Sigma aqui é um número real né e o limite dessa multiplicação tender a infinito a a zero quando T tender a infinito Então na hora que a gente fizer a multiplicação né em todo o intervalo de zero a infinito Multiplicamos uma exponencial negativa pelo módulo da nossa função o limite dessa integração desse produto vai tender a zero para qualquer né Eh [Música] eh limite de integração de zero a infinito isso equivale a dizer

o quê se em qualquer instante de tempo né a gente conseguir multiplicar uma exponencial negativa por nossa função né Eh e quando quando T tender a infinito esse produto é ser igual a zer tá e na prática Isso Quer dizer o quê a nossa função FT Ela Tem que apresentar uma taxa de crescimento que é inferiora de uma [Música] exponencial bem por que que a gente e precisa e dessa informação bem vamos lembrar né e a equação e para cálculo da transformada de Laplace e é uma integral de zero a infinito em que nós multiplicamos

a nossa função por uma exponencial negativa Ok e para que a transformada de Laplace exista a gente Diz que essa integral ela tem que convergir o que que quer dizer isso essa integral tem que resultar um valor finito tá bem vamos dar uma olhada nessa nossa função é o que tá sendo feito aqui ó a gente sabe que a nossa variável complexa s é Sigma + Jô então nós estamos pegando e elevado a - sig + Jô x t x a nossa função uma exponencial em que o expoente é uma soma a gente pode decompor

ela em duas Exponenciais uma exponencial é uma exponencial complexa e elevado a - Jô T então o que que vai acontecer com esse e elevado a - j T existe um teorema na matemática eh chamado teorema de eiler em que eh se expressa que uma exponência complexa tá é igual a uma diferença ou a um número complexo cujo né termo real é o cosseno do ângulo da exponencial tá e a parte imaginária é um Seno do ângulo lá da nossa exponencial complexa tá e a gente também lembra lá Das relações trigonométricas que cosseno quadrado de

um ângulo mais seno quadrado de um ângulo é igual a 1 para nós né como esse número cosseno de Ô T - j1 seno de Ô T é um número complexo o módulo desse número complexo que equivale a dizer que o módulo de - Jô T é igual a uma raiz né do quadrado de um cosseno mais um quadrado de um seno essa soma a gente sabe que é igual a 1 então o módulo de e elevado a - Jô T sempre vai ser 1 bem Isso significa o que na nossa integração elevado a men

Jô t para qualquer valor de tempo sem vai ter módulo um Isso quer dizer o quê que eu vou est multiplicando a minha função e esse termo elevado a - sig T Por uma unidade Então o que importa na hora da gente analisar se essa integral é finita ou não é o nosso valor de Sigma e o valor da nossa função então se eu quero verificar se Essa integração converge que significa se existe a transformada de Laplace da minha função tá eu tenho que avaliar tá se né eu multiplicar minha função por menos e elevado

a sig T vai redundar num valor finito tá isso equivale a dizer eu verificar se se a minha função FT se ela é e e uma função de ordem exponencial né segundo a definição que a gente havia mencionado anteriormente tá eh então o que que acontece né Eh na hora que a gente né multiplicar a nossa Função né por nossa eh exponencial complexa vai haver valores né Desse Sigma para os quais né Essa integração da transformada de Laplace ela não vai convergir ou seja nós vamos ter uma exponencial né positiva aqui né E nós vamos

ter valores em que essa integração vai ser infinita então normalmente a gente diz é que como existem valores de si para os quais essa integração ela é finita ou seja para os quais a Transformada de Laplace ela vai est definida para essa função tá a gente pode definir né uma região lá no plano complexo que é a chamada região de convergência para transformada de Laplace da nossa função tá para nós o que Isso quer dizer é que nessa região né é a transformada de Laplace se refere e vai estar definida pra nossa função FT Então

nós vamos ter duas condições eh para os quais eh estará definida transformada de Laplace da nossa função FT A primeira é que a nossa função FT tem que ser seccionalmente contínua e a segunda é significa que a nossa função tem que ser eh de ordem exponencial a primeira eh significa que ela tem que tá definida mesmo que por diferentes equações no intervalo que a gente tá analisando e a segunda quer diz eh Vai forçar a gente até a uma integral finita uma integral né do para cálculo da transformada de Laplace né que convirja né que

eh Que possua um limite finito eh então normalmente né a avaliação né do Sigma é é importante para nós né né porque o Sigma que é a parte real da nossa variável complexa s é pode definir se a nossa transformada de eh Laplace existe ou não E é com base nesse valor de Sigma ou seja na parte real da variável s é que a gente vai poder dizer se temos ou não a possibilidade de utilização da transformada de Laplace só para Exemplificar eh nós vamos tratar aqui eh eh dois exemplos um pra gente verificar graficamente

o outro pra gente entender no que que isso impacta pra gente quando a gente tá analisando por exemplo o circuito elétrico ou sistemas com os quais a gente quer efetuar algum estudo na área de controle eh O primeiro exemplo nós temos uma função f de t em que a e Alfa são números reais quaisquer né Para eu calcular a transformada de Laplace a gente sabe que vai ter que Fazer uma integral da função multiplicada por e elevado a - ST com limites de integração de zero a infinito para que a gente consiga efetuar esse cálculo

a gente sabe que essa nossa função tem que ser de ordem exponencial como que a gente avalia isso se a gente multiplicar essa nossa função FT por uma exponencial eh negativa em que nós temos um Sigma né um número real qualquer o limite quando o tempo tender para infinito isso tem Que ser igual a zero tá o nosso FT é elevado a - al t x um número real a como ele é um número real ele pode sair do módulo ele pode sair também do limite então o multiplicador a aí pra gente na análise ele

vai ser indiferente né como a gente tá analisando a nossa função a partir de t = 0 essa exponencial ela sempre vai ter um valor positivo então nós podemos também e eliminar o sinal de módulo aqui da nossa função né a a multiplicação de duas Exponenciais vai nos resultar nesse valor aqui ó bem para que essa função seja né possível para que esse limite seja possível essa exponencial aqui tem que ser uma exponencial em que Sigma mais Alfa seja um número positivo Por quê o número positivo precedido por negativo vai redundar né numa exponencial negativa

uma exponencial negativa é uma exponencial que decai com o tempo então quando T tender a infinito a nossa função né o o Nosso limite vai tender para zero a nossa função vai est numa região né de valores de Sigma para os quais esse limite tende a zero e isso quer dizer para nós que na hora que a gente fizer uma integração lá na transformada de Laplace nós vamos ter uma integral convergindo para um valor finito se o Sigma + ala nos resultar um valor negativo menos menos um valor negativo nós vamos ter uma exponencial positiva

uma exponencial positiva é uma Função que à medida que o tempo vai crescendo né o seu valor vai tendendo a infinito Isso quer dizer o que para nós né Se eu tivesse calculando né Eh a minha transformada de Laplace com um valor tal né que essa exponencial ela tenda a infinito a nossa integração ela não vai converg g e nós não temos Como obter o resultado da integral eh eh da transformada de Laplace então Eh o nosso Sigma mais Alfa no nosso caso Aqui tem que ser um número positivo maior que zero então a gente

consegue uma relação né entre o Sigma e o valor de Alfa na função para determinados valores de Sigma nós vamos ter uma exponencial né Eh decrescente esse limite vai tender a zero a gente tem como calcular né a nossa transformada de Laplace estamos operando numa região de valores né possíveis e válidos do nosso Sigma caso né a gente opere numa região né de sigmas não válidos para Convergência né Nós vamos ter uma exponencial crescente né a nossa função vai ter uma integração que não converge e aí nós vamos ter né uma transformada de Laplace que

não pode não se referir a nossa função num outro exemplo daqui a pouquinho nós vamos entender isso eh ou a consequência disso para nós tá então eh o que acontece é que toda vez que a gente tá calculando a transformada de Laplace estamos operando com o uso de uma Variável complexa que tem parte real e parte imaginária e para determinados valores da parte real da nossa variável complexa s tá a nossa transformada de Laplace ela é possível esse é possível aí quer dizer que o resultado da aplicação da transformada de Laplace se refere a nossa

função original ok muito bem então o que que vai acontecer na prática nós vamos ter funções né para os quais Nós vamos ter né regiões de convergência definidas a partir de determinados valores ou seja para determinados valores de S né com parte real eh definidos dentro de uma região de convergência a transformada de Laplace ela é aplicável né E para determinados tipos de função né como esses dois exemplos que tão aqui é elevado até o quadrado e t x e elevado a t qu nós não vamos ter transformada de Laplace o que a gente tem

que lembrar é que muitas Vezes na prática a gente trabalha não com limites de tempo né infinitos mas a gente trabalha com faixas de tempo delimitados então se a gente conseguir na prática operar e trabalhar com o nosso sistema tá dentro né de eh janelas de tempo pré-estabelecidas eitas né Pode ser né que a a utilização da transformada de Laplace seja possível e viável Lembrando que se o nosso limite de integração for finito né Nós vamos ter áreas finitas na hora de calcular a Integral eh referente ao cálculo da transformada de Laplace E aí nós

vamos ter áreas finitas integral finita Então nós vamos ter eh uma convergência de integração tá o que nós temos que ver É se né Eh a o resultado dessa transformada se refere Às nossas funções para entender o impacto disso eh no no no nosso problema na área de controle né Eh vamos pegar um exemplo em que nós temos duas funções tá a primeira Função g de t ela tá expressa aqui de duas formas ela tá definida somente a partir de t = 0 ela é um e elevado a ala t para T maior ou igual

a z0 e antes de t = a 0 ela é zer Como eu disse antes Se eu não quero definir a minha função GT expressando os intervalos de tempo nesse caso eu posso dizer que o meu g de T É o quê É o e elevado a ala T vezes um degrau unitário esse degrau tá dizendo o que para mim olha só me interessa os Valores da função a partir de t = 0 então e esse gráfico ele representa a nossa função no domínio do tempo essa é a nossa função GT uma outra função que

nós vamos utilizar nesse exemplo é uma função h de T que está assim definida para T menor que 0 ela é - e elevado Alfa t em que Alfa é um número real qualquer o h de T né de uma outra forma ela né Eh tá multiplicado por né um degral né com uma inversão no Tempo Resumindo a história o nosso h de t tá definido para tempos menores que zero para ter maior ou igual a zero ela é zero Então temos essas duas funções definidas que que nós vamos fazer vamos aplicar uma transformada de

Laplace tá E nesse caso vamos usar uma integração bilateral de menos infinito a mais infinito tá eh paraas duas funções né lembrando ah eu quero calcular eh a transformada de Laplace da minha função GT a gente viu que a gente pega a nossa GT a nossa função que a gente quer calcular transformada e multiplica por e elevado a- ST DT e efetuamos a integral nesse caso e a gente tá integrando de menos infinito a mais infinito porque o nosso objetivo é comparar né o resultado da transformada de Laplace para essas duas funções como uma tá

definida para ter maior que zero e a outra tá definida para ter menor que zer e eu a gente integra de menos infinito a Mais infinito para poder efetuar melhor essa comparação então o que que vai acontecer nós vamos resolver né Essa integração e o resultado dessa aplicação da transformada de Laplace é 1 sobre s- a quer dizer o quê a transformada de Laplace da nossa função g de T é 1 sobre s - a se a gente for fazer uma análise de convergência da nossa função nós vamos Eh ver que essa transformada só vai

est definida tá eh ou seja ela só vai convergir para um valor finito quando a parte real de S - A né Lembrando que nós temos Eh desculpa S - Alfa tá eh só vai convergir quando s- Alfa for maior que zero Então essa região aqui ó achurada a partir do valor de alfa pra direita é a região de convergência da nossa função GDT ou a rei região para valores de Sigma que vão permitir né que Essa integração seja finita e que a gente possa dizer né que para esses valores de parte real de S

essa transformada 1 sobre s - a se refere a nossa função GT se a gente efetuar a o cálculo da transformada bilateral de Laplace pra nossa função HT nós vamos ter que fazer o quê vamos multiplicar o HT ve e elevado - ST DT com integração de menos infinito a mais infinito e vamos obter né que o Resultado dessa integração é 1 sobre - SA o que vai acontecer é o quê a região de convergência tá para que essa integral seja finita tá eh convirja vai ser para valores cuja parte real de S seja menor

do que a tá então nessa figura aqui né a esquerda de a desculpa de alfa o o a o alfa tá apo a aqui à esquerda do nosso Alfa temos a região de Convergência da nossa função HT para valores à direita de Alfa nós vamos ter a região de convergência da nossa função GT então o que que aconteceu aqui olha bem transformada de Laplace de GDT transformada de Laplace de H de T as duas transformadas de Laplace para duas funções diferentes no domínio do tempo deram o mesmo resultado O que diferenciou as duas foi a

região de Convergência tá então eh existe um teorema da matemática eu não vou entrar em detalhe eh desse teorema mas o que interessa pra gente é que né não é possível que a gente tenha duas funções diferentes que possuam ao mesmo tempo uma mesma transformada de Laplace e regiões de convergência Idêntica tá então esse caso exemplifica bem isso nós temos duas funções no domínio do tempo Diferentes essas duas funções tiveram a mesma transformada de Laplace ou seja uma mesma função que é o resultado da aplicação de transformada de Laplace ou seja essas duas funções diferentes

no domínio do tempo possuem uma mesma equação né e no domínio da frequência porém a região de convergência né das duas não é igual é diferente então normalmente o que vai acontecer é isso funções diferentes no domínio do tempo que possuam tá uma mesma função de Transferência ou desculpa uma mesma função no domínio da frequência não vão ter o mesmo né a mesma região de convergência tá e bem aí o que que acontece tá tenho uma mesma função no domínio da frequência Ora se eu tô trabalhando com a minha função GT para que eu tenha

certeza que eu estou operando com GT no domínio da frequência eu tenho que trabalhar com valores de S cujas partes reais estejam definidas na região de Convergência da minha função GDT se eu não trabalhar nessa região de convergência de GDT os resultados de análise eh e operações que eu realizar eu não vou poder ter certeza que vão ser aplicáveis a minha função GDT o oposto também é verdadeiro se eu estou trabalhando no domínio da frequência com a minha função HT para eu ter certeza que os resultados se aplicam HT eu tenho que operar na região

de convergência de hdt se eu Trabalhar dessa região os resultados Muito provavelmente não se aplicarão a hdt lá no domínio do tempo bem então na prática O que que a gente tem tá na prática tá os sistemas físicos ou circuitos e elétricos eles são sistemas causais o que que é um sistema causal tá um sistema é causal quando a sua resposta num dado instante de tempo depende da entrada atual e de entradas passadas né do eh no nosso sistema normalmente as entradas passadas A gente resume através da informação de condição inicial Tá então o que

que acontece o que a gente espera é o seguinte se eu eu introduzir uma dada entrada no meu sistema num dado instante de tempo a minha saída né devido a essa entrada ela vai ocorrer a partir daquele instante de tempo tá eh se o meu sistema não é causal o que que vai acontecer o meu sistema ele eh eu vou estar atuando agora e eu teria Que né esperar que o meu sistema já estivesse operando com base na minha entrada atual e não sei e talvez tenha ficado um pouco eh confuso mas fisicamente quando a

gente tá eh trabalhando com com sistemas físicos reais o que que acontece para deixar bem claro eu estou atuando agora a minha saída né é devido à minha entrada atual ela só vai poder operar a partir do momento que eu tô atuando Ok Eh então o que que acontece a nossa função hdt aqui ó tá ela é um tipo de função em que eu teria né ou que vai estar associada a um sistema não causal né e o que que é um sistema não causal é um sistema em que eu posso admitir né que eu

tenha uma resposta do meu sistema antes que eu efetivamente atue sobre ele tá o que na prática normalmente não é o que acontece tá na prática o que que normalmente eu aconteço eu só vou ter uma resposta do Sistema depois que eu atuar então o que que acontece na tá e eu me preocupar né em ter sempre que avaliar se a integral né de utilizada para cálculo da transformada de Laplace se ela converge ou Diverge ela não acaba não sendo necessária por quê se eu tô trabalhando com sistemas físicos reais tá se eu ver operando

fora da região de convergência lá no domínio da frequência os meus resultados eles não vão produzir Saídas válidas no domínio do tempo então o que que acontece na prática eu só vou conseguir ações válidas se eu tiver efetivamente trabalhando numa região válida na região de convergência da minha função no domínio da frequência tá então como eu operar fora da região da convergência nunca vai produzir resultados eh válidos eh pro meu sistema físico real então Eh na hora que eu tiver analisando o meu sistema para que eu tenha ações válidas Obrigatoriamente eu tenho que est trabalhando

em regiões de convergência da minha função tá então eu não tenho que eh fazer análise preliminar Ah eu tenho um dado sistema eu encontrei o modelo dele eu preciso aplicar a transformada de Laplace eh para levar pro domínio da frequência para poder fazer uma análise lá no domínio da frequência eh do Meu sistema tá Ah então antes de eu aplicar a minha eh a minha transformada de Laplace deixa eu Verificar se a minha integração vai convergir tá eu não preciso fazer isso né Por quê Porque se eu né pegar aplicar a transformada encontrar a minha

transformada lá no domínio da frequência e começar a trabalhar fora das regiões de convergência na hora que eu aplicar a transformação inversa e voltar pro domínio do tempo eu não vou achar resultados válidos pro meu sistema físico tá isso quer dizer o quê eu trabalhar fora da rede região de Convergência lá no domínio da frequência não vai produzir resultados factíveis eh pro meu sistema para eu ter resultados eh factíveis eu Obrigatoriamente vou ter que trabalhar lá no na região válida e qual é a região válida é a região em que efetivamente eu vou obter resultados

factíveis bem eh continuando então é para que eu né é para que a transformada de Laplace ela seja é uma ferramenta possível de ser Utilizada o que que eu preciso pegar algo no domínio do tempo aplicar a transformada operar com ela no domínio da frequência e depois voltar então a transformada de Laplace ela é importante pra gente porque ela também tem uma inversa eu consigo trabalhar com com ela né no domínio da frequência e depois eu consigo exportar transformar os meus resultados no domínio da frequência pro domínio do tempo tá como eu disse resultados factíveis

só vão ser obtidos Na hora que eu tiver trabalhando na região de convergência tá eh normalmente né Eu já mencionei isso nós não calculamos a integração eh com limite bilaterais nós trabalhamos com limites unilaterais porque normalmente a gente pode definir o instante a partir do qual nós vamos atuar né o nosso T ig a 0 com isso nós podemos ignorar todo o passado todo instante de tempo a partir do marco inicial T ig a 0 e as informações de antes de T ig a 0 vão Estar associadas com as condições iniciais do nosso sistema em

outras aulas a gente é de controle ou circuitos a gente vê eh claramente como na prática isso vai afetar o comportamento do nosso sistema tá eh a partir de agora nós vamos eh só mostrar eh algumas transformadas eh de Laplace de algumas funções importantes pra gente tanto em controle quanto em circuitos elétricos tá a primeira delas é a transformada da Função impulso unitário Ou Delta de dirac né o delta de T ai eu tenho uma função impulso e quero calcular a transformada dela o que que eu faço pego a minha função multiplico por menos e

elevado a - ST DT integro de zero a infinito resolve essa integração e paraa função de impulso né O resultado é um que que significa isso se no domínio do tempo eu tenho uma função impulso unitário no domínio da frequência eu tenho uma função que é uma constante é Igual a 1 e se lá no domínio do tempo eu tenho uma exponencial Lembrando que a gente sempre tá pegando para ter a partir de zero por isso que a integração é sempre de zero a infinito né O que que eu tenho que fazer ter uma exponencial

nessa forma em que a e Alfa são números reais né Para eu calcular a transformada de Laplace dessa função eu jogo na integração multiplicando por e elevado - ST DT com limites de integração de zero a infinito Resolvo essa integral e eu vou encontrar né que a eh a transformada de Laplace dessa exponencial né Eh multiplicada por um número real é igual ao número real a dividido por S + ala Lembrando que Alfa é um número real e o s é a nossa variável complexa de novo só para ficar bem claro né a transformada da

nossa função FT assim definida é a sobre S + ala ou se no domínio do tempo eu tenho essa Função FT que é uma exponencial no domínio da frequência eu vou ter né Eh essa função 1 so S + ala mesma coisa pra função degrau a função degral é uma função que antes de zero ela é zero depois de zero ela pode assumir um valor a qualquer se esse a for igual a 1 nós temos o degrau unitário pegamos a nossa função julgamos na e integração né e obtemos a sobre s ou seja a transformada

de uma função degrau domínio do tempo é né a sobre s No domínio da frequência função rampa né Eh no domínio do tempo né Ela é zero antes de t = 0 é igual ao número real vezes o tempo né em que o a vai ser a inclinação aqui da nossa reta né preciso obter Qual é a transformada de Laplace dela jogo na integral para cálculo da transformada de Laplace efetuo o cálculo vou obter a so s quadr a função seno mesma coisa tá E aqui é um pouquinho mais complicado PR efetuar a operação utiliza-se

o teorema de oiler aqui para tornar essa integral mais tranquila de ser resolvida tá o que interessa para nós aqui é que a transformada de um seno né multiplicada por o número real é dado por essa equação aqui no domínio da frequência Ok e a gente pode observar aqui que um seno no domínio do tempo é uma razão de polinômios de grau 1 e 2 no domínio da frequência cosseno mesma coisa temho lá um cosseno no domínio do tempo tenho Aqui né a s so S qu + Ô qu a sua transformada no domínio da

frequência bem na prática o que que acontece Existem várias tabelas né que relacionam funções no domínio do tempo com as suas respectivas transformadas no domínio da frequência aí o que que acontece normalmente as funções eh de sinais físicos normalmente elas são eh bem convergentes ou seja um um número bem restrito de funções então Normalmente quando a gente tem algum Modelo né Eh físico real né Eh desculpa algum modelo referente a algum sistema físico real a gente tem algumas funções bem conhecidas então é bem mais simples a gente ao invés de efetuar o cálculo da Integração

para obter a transformada de Laplace a gente faz uso dessas tabelas para obter o resultado eh dessa transformada de Laplace né Ah eu tenho lá né uma função cosseno lá no domínio do tempo Ah eu preciso da transformada de Laplace da Função de cosseno né ah ao invés de eu ir lá e calcular a integral eu vou numa tabela como essa e aqui eu encontro Olha se eu tenho uma função cosseno com essa forma no domínio eh do do tempo a sua transformada no domínio da frequência é essa aqui e aí eu vou e efetuo

o cálculo eh de uma forma mais tranquila sem ter que efetivamente resolver a integração tá eh outra coisa importante que é muito Útil pra gente até mesmo para efetuar cálculos é de transformadas e de de Laplace de funções porque muitas vezes Essas funções né Podem não constar de tabelas né mas às vezes a gente consegue manipular as e as nossas funções e deixar ela como uma composição de funções eh para as quais a gente conhece a transformada de Laplace a primeira propriedade importante pra gente é que a transformada de Laplace ela é um operador linear

tá Eh a gente sabe a gente viu que a transformada de Laplace ela é calculada por uma integração a integral é um operador linear então a transformada de Laplace é um operador linear o que que isso me permite né Eh isso me permite assumir né que eu posso T conforme a gente viu Eh em outra aula em que a gente tratou de sistemas lineares em que eu posso utilizar né as propriedades de aditividade e de homogeneidade né ou a superposição isso quer dizer o quê se eu Quero calcular a transformada de uma soma de funções

eu também posso né calcular as soma das transformadas das minhas funções individualmente bem quando a gente tem um número real dentro de um sinal de integração esse número real sai para fora a mesma coisa vai acontecer aqui porque a transformada de Laplace ela é calculada utilizando uma integração então se eu tenho o número real multiplicando uma função Esse número real pode ir para fora então por exemplo a trans de a vezes uma função é a vezes a transformada da função tá aqui essa propriedade me permite né é de novo né a transformada de uma soma

é igual a soma de transformadas aí por exemplo e um exemplo em que eu posso utilizar isso olha eu preciso calcular né a transformada de classe do Cosseno hiperbólico de Av T Ah eu vou lá na Minha tabela Ah minha tabela não tem né cosseno hiperbólico Mas aí o que que a gente sabe cosseno hiperbólico é definido dessa forma aqui isso aqui ó é uma soma de eh exponenciais Ah então eu posso escrever o cosseno hiperbólico como isso aqui então então o cosseno hiperbólico eu tenho uma constante a constante pode sair para fora da transformada

de Laplace Então eu tenho que calcular uma transformada de duas da soma de duas Exponenciais Isso aqui vai ser o quê a transformada de e elevado a t mas a transformada de menos e e de e elevado a men a ah eu vou lá na minha tabela Olha eu tenho na tabela né que uma função elevado a - a a transformada dela é 1 so s + a Ok tenho e elevado a t 1 so s - a 1 so S + A do - a pronto resolvi o meu problema muito bem e a gente

já falou mas para ficar bem claro se a transformada de FT é FS né o que que vai acontecer se eu multiplicar FT por FT Ó Desculpa se eu multiplicar FT por uma constante k qualquer constante k sai da Integração então O resultado vai ser o qu k vezes a transformada de FT que é o FS então uma constante real multiplicando o número não vai afetar em nada o nosso cálculo vai dar um ganho no resultado então isso aqui quer dizer o quê se eu multiplico uma função no domínio do tempo eu também vou estar

multiplicando a função lá no domínio da frequência tá Eh isso aqui nós eh já falamos mas para deixar bem claro tenho uma uma função F1 F F2 e F3 que eu conheço as suas transformadas de Laplace então se eu tiver que fazer uma transformada de somas e subtrações dessas funções isso para mim vai ser o quê soma ou subtração dessas funções no domínio da frequência tá eh então a transformada de somas e subtrações de função vai ser soma ou subtração lá no domínio da de da frequência tá Eh nós falamos logo lá no início normalmente

sistemas dinâmicos possuem eh eh modelos que T equações que T integração e diferenciação né então toda vez que eu tenho uma derivada no domínio do tempo a transformada de uma derivada É o quê É eu pegar multiplicar a minha função no domínio da frequência por s e subtrair a condição inicial da minha função lá no domínio do tempo bem vamos traduzir isso aqui de uma forma mais Clara Olha bem eu tenho uma função FT no domínio do tempo eu sei que a transformada de classe de FT é F de S se eu sei isso a

transformada da derivada da minha função é eu pegar a transformada de FT e multiplicar por s e subtrair a condição Inicial ou o valor de FT quando T né é igual a zero ou imediatamente antes de t = 0 então uma derivada lá no domínio do tempo equivale a eu multiplicar a minha função por s no domínio da frequência e subtrair a Condição [Música] Inicial bem se eu tiver uma derivada segunda né a equação para cálculo da transformada segue essa forma aqui tá em que FS é a transformada de F de T então a deriv

a transformada de uma derivada segunda é o quê é eu pegar a transformada de FT multiplicar por S qu subtrair S menos a condição da minha fun eh a condição inicial da minha função no Domínio do tempo menos a condição inicial da minha derivada Olha bem e para ficar mais fácil entender vamos supor que FT é a posição de uma partícula lá no domínio do tempo ok aqui eu tô dizendo para eu pegar s e multiplicar pela posição inicial e também pegar né subtrair a derivada da posição que seria velocidade então para eu calcular a

transformada de uma função posição lá no Domínio do tempo eu preciso saber a posição inicial e a velocidade inicial da minha partícula tá se eu não souber essas duas informações eu não tenho como calcular essa derivada a transformada da derivada segunda se eu tiver uma derivada de ordem n eu vou pegar a minha função FS multiplicar por S elevado a n em que o n é o grau da derivada ou a ordem da derivada tá e subtrair as condições iniciais né condição inicial da minha Função FT né condição inicial da derivada primeira da derivada segunda

e assim por diante aqui né Eh o que a gente pode ver né para ficar bem claro né eu no tempo eu derivo no domínio da frequência eu multiplico por S derivada primeira multipliquei por S derivada segunda multipliquei por S qu derivada de em n multipliquei a minha função né FS por eh S elevado a n tá no mas a gente precisa das condições iniciais para Poder fazer o a nossa eh transformada de Laplace de derivadas a integração né ou seja se eu precisar efetuar a transformada de uma integração no domínio né do tempo eu

vou ter né Eh uma divisão por s no domínio da frequência tá eh mais A nossa condição Inicial multiplicada por 1 sobre s tá eh em que o f- 1 é o valor da nossa integral antes de t = 0 na prática o que que acontece como a Gente tá trabalhando com a nossa função a partir de t = 0 tá esse termo aqui normalmente vai ser nulo então a transformada da Integração ela vai eh ser simplesmente FS so s Ok eh uma outra eh propriedade importante é a seguinte eu deslocar uma função no tempo

o que que é o deslocar uma função do tempo é eu pegar uma função e efetuar um Deslocamento dela uma translação dela no tempo então toda vez que eu desloco no tempo uma função no domínio do tempo lá no domínio da frequência eu vou est multiplicando a minha função por uma exponencial complexa tá eh é exatamente o que a gente tem nesses gráficos tá eu deslocar a minha função como eu que me interessa é a partir de t = 0 né eu vou est né deslocando a minha função no tempo né E lá no domínio

da frequência eu vou ter uma Exponencial negativa complexa multiplicando a minha função eh transformada de eh no caso aqui g de T eh uma mudança de escala o que que eh significa isso toda vez que eu multiplico o tempo no domínio do tempo eu vou tá dividindo a frequência é é é mais tranquilo a gente lembrar né que frequência é o inverso do tempo então toda vez que a gente multiplica nós reduzimos frequência e toda vez que A gente divide tempo a gente aumenta a frequência Então esse exemplo talvez fique mais claro Olha nós temos

uma função FT que é seno de t e a transformada FS de FT é o qu é 1 so S qu 1 eu multipliquei a minha função então de ter seno de T eu tenho seno de 3t o que que essa propriedade me diz Primeira coisa eu pego o meu fds divido Pelo tempo que eu multipliquei no caso eu fiz uma multiplicação do tempo por três então eu vou pegar o f de S e dividir por 3 vamos ter 1 so 3 no lugar do s na minha equação original Eu vou pô S dividido por

3 S sobre a na fórmula geral S sobre 3 então a transformada né se a transformada de seno de t é isso aqui a transformada de seno de 3t vai ser essa aqui muito bem a outra coisa nós já Falamos de deslocamento no tempo aqui ó nós temos deslocamento na frequência toda vez que a gente desloca a nossa função na frequência isso equ vale a multiplicar a nossa função no domínio do tempo por e elevado a e a t Ou seja eu multiplico a minha função no tempo por uma exponencial por exemplo se eu tenho

a transformada de FT f de T = cosseno de Ô T = S so S qu + Ô tá se eu fizer um deslocamento no tempo Ou seja em vez de eu trabalhar com s eu trabalhar com s + a onde eu tenho S eu tenho s + a no domínio do tempo eu tenho o quê a minha função f de T multiplicada pela exponencial olh de uma outra forma né E se a transformada de cosseno de Ô T é s so S Quad + Ô qu a transformada de e elevado - at cosseno de

Ô T vai me resultar isso aqui tá equivale a eu pegar essa função né e deslocar ela na frequência E usando as propriedades de linearidade O que que a gente tem por exemplo se eu tiver uma função periódica ela pode ser expressa como a soma de várias funções no caso as funções elas se repetem no tempo então o nosso F1 de T é o quê é essa primeira função que ocorre entre 0 e t em que T aqui é o período dela então a gente pode escrever que a Nossa função de FT vai ser o

quê um F1 Mais um F2 mais um F3 mais um fn agora F2 e F3 são a função F1 deslocadas no tempo então ao invés de a gente escrever f de T = F1 de T + F2 de T + F3 de T + limitado a gente pode escrever o quê que a nossa função FT o quê é F1 de T mais a F1 de T deslocada de um período tá o u de T - 1 tá dizendo pra gente que a gente tá tomando ela a partir de t igual a t maiúsculo aqui o

período mais a função F1 de T deslocada de dois Períodos eh o F1 de T é o quê é um degrau que multiplica ela em t = 0 menos um degrau que a gente vai subtrair a partir de eh t igual ao período mais informações sobre isso existe uma outra e aula sobre funções singulares que explicam bem essa operação aqui nós não vamos entrar muito em detalhe porque o importante pra gente é o seguinte a partir do momento que eu consigo escrever a minha função FT como uma soma de outras funções a Transformada de FT

vai ser a transformada dessa soma Então nós vamos ter o f de1 deslocado deslocar no tempo equivale ao quê a eu multiplicar no domínio da frequência por uma exponencial complexa uma propriedade que a gente falou H pouco antes E aí nós vamos ter o quê um FS vezes um termo aqui que é uma série que eh demonstra-se que essa série Ela é bem definida ela converge para um valor fixo tá com isso a gente consegue calcular a Transformada da nossa função mesmo ela sendo uma função periódica e a gente explora isso né para simplificar a

nossa operação e de cálculo de transformada e de Laplace tá muito bem existem eh dois teoremas que podem ser interessantes pra gente tá e o primeiro deles é o chamado teorema do valor inicial Tá muito bem só para lembrar a gente viu que a transformada de uma derivada né de F é a gente pegar Transform de F no domínio da frequência Que é F de S E multiplicar por s e subtrair a condição Inicial Ok bem o que que aconteceria né isso aqui equivale ao quê se eu quero a transformada da derivada eu tô querendo

a integral de zero a infinito da minha função que é a derivada multiplicando e elevado a menst DT isso aqui ó é a integral para cálculo da transformada de Laplace se eu calculo o limite dessa função quando o o s tende a infinito né então nós vamos ter o limite Aplicando ao primeiro termo Então temos limite de s f de S menos a condição Inicial quando S tende a z0 igual ao limite dessa integral Aqui ó quando o s tende a infinito Olha bem se o s se tende a infinito aqui ó uma exponencial negativa

ela vai tender a zero então quando S tende a infinito essa integral tende a zero Então esse segundo membro ele vai tender para zero muito bem uma constante pode sair do Limite e aí a gente obtém essa equação aqui que é a tradução desse teorema do valor inicial que quer dizer o seguinte Olha se eu quero saber o valor inicial de uma função no domínio do tempo basta eu pegar essa função no domínio da frequência multiplicar por s e calcular né o limite quando S tende a infinito esse limite me dá a condição inicial do

meu sistema que é basicamente você seguinte Olha eu tenho um sistema operando eu não Sei qual era a condição Inicial dele mas eu conheço a sua função o que que eu faço multiplico a função por S calculo o limite e eu sei de onde o meu sistema partiu qual era a sua condição Inicial por exemplo qual era a carga inicial de um capacitor ou qual era a corrente Inicial através de um indutor por exemplo tá é na prática tenho a minha função fds a gente sabe que FS é a transformada de Laplace de uma função

FT lá no domínio do tempo eu não conheço Qual era a condição inicial de FT mas conheço a minha função fds Ou seja a minha função no domínio da frequência basta eu fazer o quê pegar a minha função e multiplicar por s v em vez de S + 2 vamos ter S qu + 2 s tá no numerador calculamos o limite com s tendendo ao infinito e fazemos o cálculo desse limite no caso de1 Isso quer dizer o quê o valor inicial de FT é 1 ou o valor de FT quando T é igual a

0 é 1 Tá e isso a gente consegue fazer sem conhecer o FT Nesse exemplo o f de t tá aqui a gente pode até verificar quando t = 0 cosseno de 0 é 1 e elevado a 0 é 1 1 x 1 é 1 e aí a gente sabe que f t quando T é 0 é 1 mas muitas vezes eu conheço a minha equação no domínio da frequência eu não tenho a menor ideia ou às vezes é complicado para eu saber o valor inicial da minha função então eu posso usar esse teorema para

efetuar esse cálculo o outro teorema que também pode ser útil é o teorema do valor final Olha Bem que é o teorema que me permite saber qual é o valor da minha função no domínio do tempo quando o tempo tender para Infinito ou seja eu eh isso me permite saber para onde que o meu sistema vai quando o tempo for Infinito ou depois de muito tempo após eu ter atuado sobre um sistema tá bem e aí ao invés de fazer um cálculo com s tendendo a zero nós fazemos um cálculo com s e desculpa ao

invés de fazer um cálculo né teorema do valor inicial com s tendendo A infinito nós fazemos o cálculo com s tendendo a zero pegamos a nossa função FS multiplicamos por s calculamos o limite com s tendendo a zero esse valor vai me dar o valor em regime permanente do meu sistema ok e a demonstração tá aqui né e o cálculo da derivada igual nós fizemos quando S tender a zero né esse valor aqui ó vai ser essa integral uma integral de zero a infinito de DF tá se a nossa condição Inicial É zero né o

f de infinito é igual a esse limite aqui Ó tá com isso a gente tem que o valor em regime permanente da nossa função no domínio do tempo pode ser obtido pela transformada da nossa função no domínio da frequência multiplicada por s no limite quando S tende a zero bem alguns outros exemplos de como a gente pode usar né Laplace por exemplo temos um FT que é um impulso mais um degrau mais uma exponencial eu quero a transformada de Laplace transformada de uma soma é a Soma das transformadas a gente sabe que a transformada do

impulso é um a transformada do degrau é 1 so S constante tá multiplicando então 2 x 1 so s e a transformada de elevado a -2t é 1 so s + 2 tudo isso eu posso dizer olhando as tabelas né Aí eu tenho a transformada de uma função tá então uma função no domínio do tempo f de T assim definido no domínio do tempo no domínio da frequência é uma razão de dois polinômios de grau do tá é a mesma coisa A gente pode fazer né com eh uma uma série de de funções Olha bem

Eu tenho dois degraus deslocados no tempo né então a transformada vai ser o quê a transformada do degrau que é 1 so S multiplicado por uma exponencial é usando a propriedade que a gente já falou logo anteriormente então Eh esses exemplos é para deixar bem claro que o cálculo normalmente para funções simples e conhecidas é bem tranquilo a gente observa a nossa função pega uma tabela Em que a gente tem função no domínio do tempo né Eh e sua transformada né ou ou faz uso de propriedades pra gente obter o o cálculo da transformada tá

eh funções periódicas já foi demonstrado Aqui nós temos um outro exemplo eu não vou eh entrar em detalhes aqui né Qualquer coisa vocês podem dar uma pausa tá bem explicado tá eh aqui também na sequência eh estão apresentadas algumas tabelas de propriedad Né importantes pra gente né como linearidade mudança né deslocamento do tempo deslocamento na frequência diferenciação no tempo diferenciação na frequência tá por exemplo eu derivar uma equação na frequência equivale a eu multiplicar uma função no tempo por T eu integrar uma função na domínio da frequência equivale a eu dividir uma função no domínio

do tempo por T Então essa tabela resume algumas propriedades interessantes na tabela da direita nós Temos né um conjunto de funções no domínio do tempo e suas transformadas de Laplace ou as suas versões no domínio da frequência tá mesma coisa uma outra lista com algumas propriedades tá eh uma outra tabela com funções no tempo e na frequência tá também Seguindo para eh funções mais complexas no domínio da frequência e qual é o equivalente das mesmas no domínio do tempo e essas tabelas eventualmente podem ser Utilizadas na hora que a gente tiver eh é necessitando efetuar

o cálculo da transformada direta ou da transformada inversa conforme nós vamos ver em uma outra aula tá outra tabela de de de propriedades interessantes tá eh aqui por último um exemplo em como que a gente pode efetuar o uso da transformada né Nós temos uma equação diferencial no domínio do tempo tá Y de T é a saída do nosso sistema XT é a entrada do nosso sistema que nós Conhecemos tá e nós também conhecemos o valor inicial de y tá que no caso é igual a 2 e o valor inicial da sua derivada né que

no caso é igual a 1 por que que eu preciso dessas condições iniciais nós vimos lá nas propriedades que na hora que eu for calcular a transformada de Laplace né de derivadas eu preciso saber dessas condições iniciais tá se eu não conhecê-las eu não tenho como efetuar o cálculo e muitas vezes eu não posso assumir valor nulo Para essas condições iniciais porque elas podem não ser né ou não podem não corresponder à realidade o que acontece é o seguinte a gente vai chamar Y de S A transformada da nossa função y de t a gente

vai chamar de x de S A transformada da nossa função XT então e a gente aplica a transformada de uma soma é a soma de transformadas então por exemplo A transformada da derivada segunda tá explícita aqui ó vai ser o qu no caso S qu vezes a transformada de Y de T - S vezes a condição inicial da nossa função y de T quando t = 0 menos a condição Inicial né do da derivada primeira de y quando t = 0 bem pronto então a primeira derivada segunda aqui ó ela vai se converter nisso aqui

o segundo termo vai ser 5 vezes a transformada de Y de t a transformada de da derivada de Y de T DT desculpa vai Ser o qu S vezes a transformada de Y de T que nós chamamos de Y de S menos condição inicial 5 vezes isso vezes isso 6 x y de t a transformada vai ser o quê 6 x y de S transformada de derivada de x de T S ve x de S né menos condição inicial da nossa entrada olha se nós estamos marcando a partir de t = 0 né e antes

nós não estamos atuando no sistema então normalmente a entrada antes de t = 0 ela é nula né e por último nós temos aqui um X de t a transformada de x de T é XS tá lembrando que o x de T é coincido o x de S é uma exponencial né então Eh se a gente olhar na tabela a transformada de e elevado -4t é 1 so S + 4 por hora vamos dear x de S na próxima transparência nós efetuamos né a transformada já isolamos os termos que tem Y de S condição inicial

a gente sabe que a transformada de x s é 1 so S + 4 normalmente a gente quer a resposta do nosso sistema no domínio da frequência Então nós operamos aqui ó para isolar o nosso Y de S com isso né Eh a gente vai chegar nessa equação final aqui ó que ela é é importante pra gente vejam bem nessa equação tá bem claro o que nós falamos lá no início eh da nossa aula de transformada de Laplace quando a gente faz o cálculo da transformada de Laplace de uma equação diferencial as condições iniciais elas

são Naturalmente consideradas e vão aparecer na nossa resposta então aqui ó fica bem claro que a nossa saída no domínio da frequência possui um termo vinculado à nossa entrada tá e um outro termo vinculado às condições iniciais então tá bem bem claro para nós O que que a nossa saída possui devido à entrada e devido à condição Inicial O que que pode ser condição Inicial Num circuito elétrico pode ser um capacitor Carregado ou um indutor pelo qual a gente tem alguma corrente eh atravessando né ou percorrendo esse indutor num sistema mecânico pode ser por exemplo

uma mola parcialmente comprimida ou parcialmente distendida tá então fica bem fácil a gente ver qual é a parte da nossa resposta que se deve a entrada e qual é a parte tá da nossa resposta que se deve às condições iniciais Ok então Eh essa primeira parte vai ser nula se a entrada for zero né e Essa segunda parte ela vai ser nula se as condições iniciais forem todas nulas tá a primeira parte devido a sua entrada ela é Eh chamada né de resposta ao estado zero ou seja se as condições iniciais forem nula a única

parte na resposta que nós vamos ter é esse primeiro membro da equação o o segundo termo é chamado de resposta a entrada zero por qu se a nossa entrada xds for nula Tá o que que vai acontecer o y de S só vai ter esse Segundo membro aqui ó tá que é o membro devido às condições iniciais o que difere né a nossa função dessa penúltima linha pra última é que aqui nós já sub imos o x de S pelo seu valor normal que é 1 so S + 4 tá então eh fica fácil pra

gente ver né Depois que a gente calcular a transformada inversa de qual é a função que satisfaz a nossa equação diferencial Original então a nossa resposta ao sistema Tem que atender a essa equação Y de T aqui ó tá nós ainda não falamos tá eh da transformada inversa que é fruto né que vai ser abordado numa outra aula tá mas aqui então nós calculamos a transformada direta e a gente tem a possibilidade de calcular a transformada inversa como a gente consegue separar o que que é componente devido a entrada e o que que é componente

devido a condições iniciais A gente consegue saber como seria a resposta lá no domínio do tempo se a entrada fosse zero se a gente tivesse condição Inicial nula ou estados nulos nenum uma energia inicialmente armazenada no nosso sistema tá a gente consegue definir o que que exatamente se deve a às às entradas o que que se deve exatamente à condições iniciais por hora nós não vamos abordar esses termos aqui que vão ser frutos de uma outra Aula tá um circuito elétrico a mesma coisa se eu tivesse usando a trans de Laplace para analisar um circuito

tá que possui indutores e capacitores as equações diferenciais elas iam acabar tendo derivadas ou integrações nós vimos que é muito tranquilo a gente calcular transformada de Laplace de integração e transformada de Laplace de derivadas as condições iniciais nesse caso aqui vão ser o quê tensão em cima Do quando o tempo é igual a zero a gente pode aplicar a transformada de Laplace né encontrar resposta do nosso sistema no domínio eh da frequência Lembrando que a resposta pode ser corrente ou tensão em algum elemento específico do nosso sistema nesse caso aqui a nossa resposta né é

o que o que a gente tá querendo observar é a são em cima dos terminais do capacitor então o vds aqui ó é como varia no domínio da frequência a Tensão em cima do capacitor do circuito se a gente aplicar a transformada inversa nós vamos ter lá usando tabelas por exemplo né Nós vamos ter lá a equação no domínio do tempo né Eh da nossa do nosso circuito ou qual é a equação que satisfaz aquela equação [Música] diferencial isso também tá sendo abordado ou seja o uso de transformada de Laplace na análise de circuitos elétricos

é fruto de uma outra aula nós Não vamos entrar em detalhes aqui é só para ilustrar como que a gente pode utilizar a transformada para obter respostas no domínio do tempo temp de circuitos elétricos tá por último para encerrar né como que a gente efetua o cálculo de transformada de Laplace usando o matlab tá E aqui eu defini uma função do tempo tá ela tá pré-definida então é uma função FT que é -1,25 + 3,52 t x e elev - 2T + 1,25 e elev -2t chutei uma expressão qualquer a primeira linha aqui ó é

SS T S eu tô dizendo pro matlab o seguinte Olha tudo que tiver t e tiver S não é variável não é símbolo é uma variável simbólica é um símbolo para mim tá quando a gente trabalha com equações a gente sabe que o t é um símbolo Então essa linha tá avisando matlab que tudo a partir desse momento que tiver T S são símbolos bem eu tenho uma função no Domínio do tempo tá tá aqui a nossa função no domínio do tempo tá para eu calcular a transformada de Laplace tá eu uso a função Laplace

informo Qual é a minha função no caso a minha função aqui é o f informo nessa função Qual que é a variável do tempo no caso aqui a variável do tempo é t e eu tô dizendo para ele olha a função que você me resultar a variável no domínio da frequência chama ela de S tá aqui ó eu Não tô colocando o ponto e vírgula então lá na na linha de comando ele sempre vai me retornar o resultado de cada instrução então ele executou o f aqui ele me retornou f igual a expressão que eu

passei para ele muito bem aí o meu F maiúsculo o que que é é o resultado da aplicação da transformada de Laplace sobre a função f aí ele me retornou aqui ó a minha função f no domínio da frequência a outra linha eu tô mandando Simplificar minha função porque muitas vezes ele me devolve a minha função não num formato mais simples tá o FS aqui ó é a minha função já numa versão simplificada é a mesma função f porém simplificada o prity ele pega e deixa numa forma em que a gente normalmente tá acostumado a

trabalhar quando a gente tá escrevendo uma função ou seja isso aqui é o s + -5 dividido por s x s + 2 quadrado bem eh nós vamos ver em outra aula como que a gente calcularia a Transformada inversa a transformada inversa eu uso a função Il Laplace e passo como par a minha função no domínio da frequência que no caso é o FS aqui ó eu passo ela ela vai me retornar o fi o fi é o qu Fi ela me retornou a minha função no domínio do tempo é claro que se eu apliquei

Laplace e depois voltei o resultado aqui ó é exatamente o que eu tinha lá antes eu mandei simplificar porque normalmente pode ocorrer que Eh a minha função não venha no formato mais simples no caso ela já veio no formato mais simples então o resultado dessas duas linhas aqui ó acabou sendo o mesmo e por último eu mandei mostrar a minha função no domínio do tempo né de uma forma mais e mais simples mais bonitinha o PR tá ele simplesmente pegou as divisões e usou uma linha para representar ela tá então e lembrando e lá no

prompt de Comando só foi sendo dado retorno a partir do e das execuções das Linhas porque eu não coloquei ponto e vírgula no final de cada linha Se eu colocar ponto e vírgula no final de cada linha ele não vai mostrar nenhum resultado das minhas execuções tá se eu optar por usar ponto e vírgula eu vou ter que usar algum comando de impressão para que ele me mostre o resultado em alguma saída tá como é que era um exemplo simples eu optei Simplesmente por omitir os ponto e vírgula para que ele me tornasse o valor

né É lá no prompt de comando tá com isso nós encerramos eh essa aula sobre transformada de Laplace eu agradeço qualquer sugestão qualquer dúvida qualquer eh retorno que possa eh melhorar o conteúdo dessa aula obrigado