superficies de revolución las superficies de revolución son figuras que se forman al girar 360 gr una línea recta o una curva contenida en un plano llamada generatriz y esto es alrededor de un eje de rotación contenido también en el mismo plano las superficies regladas de curvatura Simple se generan cuando su generatriz se desliza siempre en contacto con otra línea curva llamada directriz cumpliendo unas condiciones una de ellas es que cualquier par de generatrices contigua pertenezcan al mismo plano cuando la directriz es una circunferencia perpendicular a las generatrices estaremos en el caso particular de las superficies
de revolución los ejemplos básicos de la misma son las superficies cilíndricas cónicas esféricas y toroidales sólidos de revolución o cuerpos de revolución son figuras que se forman al girar 360 gr una región de un plano alrededor de una recta o eje de rotación contenido también en el mismo plano los ejemplos básicos son el cilindro recto el cono recto la Esfera y el toro para Hallar el volumen de un sólido de revolución se aplica el segundo teorema de papus gulin esfera una superficie esférica es la que se engendra por la rotación de una semicircunferencia alrededor de
un diámetro la Esfera resultante puede definirse como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro la distancia del centro a cualquier punto de la Esfera es su radio un círculo es la superficie que existe dentro de una circunferencia esférica cilindro cuando se hace girar una recta alrededor de otra recta fija paralela ella de forma que la distancia entre ambas se mantenga constante se engendra una super suficie cilíndrica de revolución la recta fija se denomina eje y La paralela que realiza el giro es la generatriz el eje y
la generatriz están en el mismo plano y son dos rectas paralelas si esta superficie cilíndricas se cierran dos planos paralelos que cortan al eje se obtiene un cilindro clases de cilindros los principales elementos de los cilindros son sus bases o caras determinadas por los planos paralelos y la altura o cualquier segmento perpendicular entre las dos bases el cilindro se denomina de revolución si las bases son perpendiculares a las generatrices el área de un cilindro de revolución es igual a la suma de las áreas de las bases más el área lateral si r es el radio
de las bases y H la altura del cilindro se obtiene que el área es igual a 2 por pi por radio por h o sea altura + 2 * pi por radio al cuadrado cono cuando la superficie proviene del giro de una recta en torno a otra fija que se interseca con ella se obtiene una superficie cónica de revolución la recta fija es el eje y la móvil se conoce como generatriz el eje y la generatriz se cortan en un punto llamado vértice nuevamente al delimitar la porción abierta de esta superficie con un plano que
corta a todas las generatrices se obtiene un cono cuyos elementos principales son base o porción del plano de delimitación comprendido entre las generatrices altura o segmento trazado en perpendicular desde el vértice del cono a la base y superficie lateral comprendida entre la base y el vértice si la base del cono es perpendicular al eje el cono es de revolución cuya área viene dada por la expresión siguiente área es igual a pi por radio por generatriz más pi por radio al cuadrado el cono recto es el sólido de revolución generado al Girar un triángulo rect ulo
alrededor de uno de sus catetos llamamos base al círculo inferior del cono Y g o sea generatriz que se une en el vértice del mismo el tronco del cono recto o cono truncado recto es el sólido de revolución generado al Girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases también puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono toro el toro es una superficie de revolución generada por el giro de un círculo cuyo centro recorre otro círculo de dimensiones mayores estando
ambos contenidos en dos planos ortogonales perpendiculares sabías que que hay una relación 1 2s 3 entre el volumen del cono el volumen de la Esfera y el volumen del cilindro siempre que los tres sólidos tengan el mismo radio de la base o mismo radio y misma altura igual a do radio acá podemos observar en la imagen que el volumen del cono es el volumen de la Esfera dividido dos o el volumen del cilindro dividido 3 volumen de cilindros conos y esferas el volumen de una superficie cerrada se expresa como la medida del espacio que ocupa
en los cilindros y conos este volumen se determina en fusión de la superficie de la base y la altura en la Esfera depende exclusivamente del radio el volumen del cilindro es igual a la área de la base por la altura es decir el volumen es igual al pi por radio al cuadrado por la altura o sea H el volumen de un cono de revolución es igual al área de la base por la altura sobre 3 es decir pi por radio cuadrado por h o sea altura sobre 3 y el volumen de una esfera y cuña
esférica es el siguiente de la Esfera el volumen es 4 terci por pi por radio cubo y de la cuña esférica es pi por radio al cubo por n sobre 270 y n corresponde al tramo de la cuña teoremas de papus wuling los teoremas de papus wulin proporcionan herramientas para calcular el área y volumen de las superficies y sólidos de revolución el primer teorema el área de las superficies de revolución es es igual al producto de la longitud de la línea generatriz que las engendra por la longitud de la circunferencia qué describe el centroide o
centro de gravedad de dicha generatriz alrededor del eje de rotación es decir área es igual a LG o sea línea de generatriz por lc que es línea de circunferencia segundo teorema el volumen de los sólidos de revolución es igual al producto del área de la superficie generatriz que los engendra por la longitud de la circunferencia que describe el centroide o centro de gravedad de dicha superficie es decir volumen es igual a sg es decir superficie generatriz por lc que era la línea de circunf encia la longitud de circunferencia vamos a ver esto aplicado en un
ejemplo Hallar el área de la superficie de revolución formada al girar 360 gr un segmento de longitud 10 sobre un eje de rotación situado en el mismo plano los extremos a y b del segmento distan del eje de rotación 4 y 14 respectivamente solución tenemos los datos de la línea de generatriz que su recta tiene una longitud de 10 ese sería nuestro valor lc el centroide de la recta es su punto medio por lo tanto la distancia r del centroide al eje de rotación será la medida aritmética de la distancia de sus extremos es decir
nosotros teníamos ya el valor del radio de ar y del radio de abajo el radio más chico y el radio más largo nosotros tenemos que calcular un promedio entonces 8 + 14 sobre 2 nos da 11 que es el punto medio y va a ser el radio que vamos a usar para la fórmula la longitud de la circunferencia de rotación del centroide va a ser la siguiente 2 pi por radio es decir 2 pi por 11 que nos da como resultado 69 11 cm y el área de la superficie de revolución aplicando el primer teorema
sería vieron que el área era LG O sea la longitud de la generatriz que era 10 por lc que calculamos recién que era 2 por pi por radio el radio era de 11 Entonces nos queda 22 pi por 10 Si resolvemos eso nos quedan 220 por Pi y nos da un área de 69115 cm cu y esta Va a ser la superficie de revolución resultante que corresponde a una superficie troncocónica recta y
