O que é a derivada? | Cálculo 1

oi oi gente tudo bem meu nome é externo lacie o sejam bem-vindos ao canal até uma técnica do vídeo de hoje a gente vai começar a falar sobre derivadas aqui no curso de cálculo um então vai ser nosso primeiro vídeo sobre derivados aqui do canal e a gente já vê alguns conceitos iniciais de onde vem atualizada e qual é a definição formal tá bom então antes de começar já é curte embaixo se inscreve no canal e vamos lá ó e aí oi gente não começar essa aula relembrando o conceito de coeficiente angular de uma reta

o que que é o coeficiente angular de uma reta esse coeficiente vai caracterizar a inclinação do essa reta em relação ao eixo x que na suíte horizontal aqui né então falando dessa reta aqui em particular ela forma esse ângulo com o eixo x vão chamar de ângulo até tam tam então coeficiente angular dessa reta vai ser à tangente do ângulo reto então a tangente do ângulo que a reta forma com eixo x é o que a gente vai chamado nosso coeficiente angular m tá bom mas como que a gente encontra esse coeficiente angular então ó

para ficar mais fácil de ver vamos maginar esse triângulo zinho aqui em cima que eu vou pintar de roxo aqui você concorda que esse ângulo que a reta forma com esse pontilhado é o mesmo ângulo teto que a gente tava vendo aqui embaixo porque esse cateto aqui esse quarteto o tango é paralelo ao eixo x e esse outro cateto aqui é paralelo ao eixo y e fazendo relações de triângulo a gente percebe que esse triângulo roxo é semelhante a esse triângulo usam que a gente tava vendo antes então esse ângulo que ele forma com eixo

horizontal é esse mesmo ângulo reto aqui debaixo beleza tá então vamos lá para gente encontrar o coeficiente angular m a gente tem que encontrar à tangente do ângulo reto então a gente que encontrar a tangente de teto né por relações de triângulo retângulo a gente sabe que a tangente de um ângulo ele vai ser o capítulo oposto sobre o cateto adjacente certo então vamos encontrar essa ter gente usando essa relação qual é o cateto oposto que do nosso ângulo teta vai ser toda essa parte zinho aqui né e quanto vale esse partezinha o pensa comigo

tudo isso aqui vale y2 ver aqui do y2 até e não vale y2 só que a gente não quer tudo isso né a gente só que essa tarde então o que a gente faz a gente subtrai o y se a gente fizer y2 - y um a gente chega só nascer partezinha que nosso cateto oposto então nosso cateto oposto vai ser y2 - y beleza e nosso cateto adjacente essa parte aqui né e a gente vai fazer a mesma coisa o x 2 é tudo isso aqui mas a gente só quer essa partezinha então a

gente subtrai o x1 as sobras são x2 - x 1 que é exatamente a parte que a gente quer nosso cateto adjacente então aqui embaixo vai ser x2 - x 1 então gente o nosso coeficiente angular que a tangente de teto a gente vai escrever ele como delta-y / delta x lembrando que o delta ele indica uma variação tanto em cima quanto embaixo então aqui em cima por exemplo e sendo o quanto a gente variou aqui no eixo y qual foi a variação de y1 e y2 e no delta x qual foi a variação de

x 1 x 2 porque pensa comigo se você tiver algo que eram cinco e virou 8 qual foi sua variação de cinco para oito quanto você vale o ali você vale ou 8 - 5 = 3 certo então é isso que a gente tá fazendo o quê o quanto a gente vai em cada um dos eixos e fazendo essa divisão a gente se encontra e me então gente sim uma reta você conhecer dois pontos o ponto a que é x1y esse ponto aqui no caso né e o ponto b x2 e y2 que esse ponto

aqui de cima você consegue calcular o coeficiente angular dessa reta sem precisar saber a equação dela sem precisar saber qual é a lei da função e no caso você calcula como delta-y sobre delta x e no caso é y2 - y a variação que fala sobre x 2 - x1 que a variação aqui em x agora vamos fazer o seguinte vamos reescrever x2 y1 y2 não deixar só o x1 aqui do jeito que ele tava e vamos reescrever o restante em função de delta x então em função do quanto a gente varia aqui no eixo

x então de x 1 para x2 a gente teve essa variação aqui né que é nosso delta x e portanto a gente pode chamar o nosso x 2 dx11 + delta x concorda porque pensando de novo naquele exemplo quando a gente tinha 15 que variou para oito a gente viu que a gente variou três unidades né daqui para cá então a gente poderia escrever que 5 e aqui cinco mais três é a mesma coisa né então o 8 é o 5 mais a variação mas a variação delta que no caso é três assim como aqui

embaixo o x2 e mais a variação delta x beleza agora vamos reescrever o y e o y2y a gente vai reescrever como f de alguma coisa tá como assim é que de alguma coisa o y ele é uefi do que ele é valor da nossa função quando x está valendo o que se a gente quer dizer aqui pelo pontilhado o y está batendo com o x1 né então ele é o valor da nossa função quando x vale x1 então eu te long f de x 1 beleza assim como y2 o pontilhado aqui tá batendo no

x 2 então ele é uefi de x2 + x2 a gente tá chamando de x 1 mas delta x portanto o y2 é o f de x 1 + delta x certinho até que tá você deve estar se perguntando por que que a gente fez tudo isso de reescrever em função de data x para que que vai serviço é só para a gente reescrever o nosso coeficiente angular de mais uma forma que também da sé é porque concorda comigo que se o coeficiente angular é y2 - y sobre x 2 - visão a gente consegue

escrever assim ó o y2 a gente reescreveu ele como é que destes um mas delta x então vamos colocar aqui é fiz utilizam mas delta x esse é nosso y2 e nosso y então vai ser menos y un que é f de x 1 então f de x 1 esse é o nosso y a gente a gente tá só reescrevendo essa fórmula sem aqui de cima em função do que a gente acabou de reescrever em função delta x tá bom aí aqui embaixo vai ser x2 - x 1 x 2 x 1 + delta x

tem um x 1 mas delta x menos 1 x 1 que no caso é o próprio decisão a gente manteve né aí a gente pode cortar esse x1 com esse - x1 aqui e aí o nosso coeficiente angular vai ficar assim o f é mas delta x que a nossa x 2 - o f de x 1 que a nossa x 1 sobre delta x então isso aqui é só mais uma maneira de calcular o coeficiente angular tá bom gente na mesma calcular com essa maneira de cima ou com essa maneira de baixo a diferença

é que essa forma aqui debaixo é o que vai introduzir a gente para o conceito de derivada mas entre a gente começar aquela derivada em cima vamos falar sobre retas secantes se tivesse a função aqui bonitinho e tal e eu quero traçar uma reta que corte essa função nesse ponto ponto dois três e nesse ponto que é o ponto três quatro tenho quero traçar uma reta que corta esses dois pontos quando uma reta corta nossa função e mais um ponto a gente chama ela de reta secante vai ser uma reta dessa maneira aqui né que

tá cortando nossa função nesses pontos agora eu vou chamar essa reta secante de reta número um e vamos encontrar o coeficiente angular dela então correta gente desse ângulo se relaciona com eixo x então vamos encontrar em um que é o coeficiente angular da reta um e ele vai ser delta e epsilon sobre delta x né o delta-y vai ser 4 - 3 avaliação no eixo y e o delta x vai ser 3 - 2 a variação no eixo x isso aqui vai dar um sobre um que é igual a um então curte sem celular dessa

primeira reta secante é igual a um agora vamos supor o seguinte eu quero diminuir essa variação aqui no eixo x achei essa variação muito grande não gostei quero que seja uma variação menor tá bom então vamos diminuir esse variação delta x1 tornar ela melhorzinha então vamos trazer uma nova reta secante que a nossa variação na justiça realmente diminuiu né antes de 2 até 3 e agora vai de 2 até 2,5 agora vamos chamar essa nova reta secante de reta número dois e vamos calcular o coeficiente angular número dois ele vai ser delta e epsilon oi

vírgula 5 - 3 sobre delta x que é 2,5 - 24 vírgula 5 - 3 é 1,5 e 2,5 - 2 e 0,5 então nosso coeficiente angular vai ser 1,5 / 0,5 o que é igual a três então coeficiente angular dessa nova reta que é igual a três então a tangente desse ângulo aqui vale três beleza agora eu quero diminuir mais ainda esse delta x ainda achei ele muito grande vamos diminuir mais um pouquinho aí a gente traces inova reta secante aqui onde realmente a gente diminui o nosso delta x né e vamos chamar ela

de retas secantes número três então vamos lá que eu coloco coeficiente angular da reta três né que vai ser delta-y 3,5 - 3 sobre delta x que é 2,05 menos dois isso aqui vai ser 0,5 sobre 0,05 oi e essa divisão = 10 então a gente encontra o coeficiente angular dessa reta secante número 3 agora a gente o que que a gente está fazendo de uma reta para outra dá um para dois três a gente tá diminuindo nosso delta x né a gente tá pegando delta x cada vez menor e pensando em conceitos lá de

limite a gente pode falar que a gente está fazendo o nosso delta x e para 0 certo ó ele começou valendo um aí foi para 0,5 essa para 0,05 ele tá cada vez mais próximo de zero mas antes que eu quero chegar com isso gente eu quero chegar na reta tangente da nossa função a reta tem gente ela corta nossa função em apenas um ponto e aí eu te pergunto como que a gente encontra o coeficiente angular dessa reta a gente vai encontrar justamente para aquela fórmula zinha que a gente viu que o m é

igual o f de x 1 mas alto x - f de x 1 sobre delta x a oi gente vai ter que calcular o limite daquela expressão quando delta x tende a zero então o coeficiente angular dessa reta gente vai ser o limite quando delta x tende a zero do f de x 1 mas delta x menos o f de x 1 sobre delta x e calculando esse limite a gente encontra o coeficiente angular da reta tangente beleza então gente dada uma função f de x e um ponto qualquer dessas função que seja o ponto

a né que a x1 y1 aí se a gente tiver uma reta tangente essa função no ponto a então uma reta tem gente que passa pela função no ponto a a inclinação dessa resta gente vai ser o limite quando delta x tende a zero do f de x 1 esata x menos o f de x 1 sobre data x então aqui a gente está calculando o coeficiente angular quando delta x tende a zero e também diz que a gente está fazendo aqui atrás né o datasheet estava cada vez mais se aproxima de zero até a

gente chega na reta tem gente então vamos fazer esse exercício aqui vamos encontrar inclinação da reta tangente a essa função menos x ao quadrado + 4 no ponto x1y então uma reta tem gente que passa por esse ponto x1 y1 comerciante nação dela vamos calcular o usando o limite que a gente acabou de ver tá bom o limite quando delta x tende a zero do f de x 1 + delta x menos o f de x 1 e tudo isso / delta x gente o f de x 1 exalta x o que que é isso

quando a gente está fazendo alguma modificação aqui dentro de parênteses a nossa função a gente vai modificar todo lugar que tiver x aqui na nossa função então onde tinha x vai virar x1 mais dessa x beleza então isso que vai ser o limite quando der eu te x tende a zero e o f de x + delta x o quê que vai ser menos x1 mas delta x ao quadrado substituindo x por cisão exata x né mais quatro então esse aqui é o nosso f de x 1 mas é até x menos o f de

x 1 então agora a gente substituir o x apenas por x 1 né vai ficar menos x 1 ao quadrado mais quatro e tudo isso dividido pelo delta x pela nossa variação então vamos ajustar que essa função quando a gente tem que tesão mas data x ao quadrado a gente pode usar produtos notáveis né então isso aqui vai ficar o limite quando delta x tende a zero de menos a gente esse menos aqui fora continua tá bom e o produto notável vai ficar aqui dentro desse parênteses então quadrados do primeiro mais duas vezes o primeiro

vezes o segundo mais o quadrado do segundo aí a gente tem esse mais quatro que fora né o que a gente pode fazer joguinho medicinal então menos com menos eu ficar mais x 1 ao quadrado e menos com mais e ficar -4 e tudo isso aqui dividido pelo delta x agora a gente pode distribuir esse sinal aqui né para cada um dos termos aí vai ficar o limite quando delta x tende a zero menos com mais é menos x 1 ao quadrado menos com mais menos duas vezes um vezes delta x e menos com mais

mais uma vez de ficar menos delta x ao quadrado agora chega a parte mais legal que quando a gente consegue cortar alguns termos no caso a gente consegue cortar esse menos x 1 ao quadrado com esse mates uma quadrado esse mais quatro com esse -4 e o que sobra para gente são apenas termos que a gente tem delta x né aquele esse termo 2 x 1 x delta x tem um delta x e data x ao quadrado também entendeu tá x então a gente pode colocar o delta x em evidência então vai e quando der

eu te x tende a zero vamos colocar o delta x em evidência vai delta x - 2 x 1 x delta x / delta x é menos 2 x 1 e aqui menos 10 x ao quadrado dividido por data x é menos delta x então isso é o que sobra aqui dentro do parênteses quando a gente fala quando ela chega em evidência e aqui embaixo permanece o delta x aí a gente pode cortar o delta x de cima quando ela cheia de baixo e vai ficar o limite quando delta x tende a zero de menos

2 x 1 - delta x como delta x está tendendo a zero isso que vai para zero nessa parte e sobra para gente apenas menos duas vezes um então gente a inclinação da reta tangente a essa função menos x ao quadrado + 4 no ponto x1 y1 vai ser menos duas vezes um então se x1y for por exemplo 24 em 24 lá no plano cartesiano a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto 24 vai ser menos duas vezes dois que a nossa valor de x aqui que vai ser -4 aí se nosso x

for um vai ser menos duas vezes um que é menos dois então através dessa expressão aqui a gente consegue encontrar inclinação da reta tem gente essa função para qualquer valor de x tá bom que importa que vai ser sempre nesse formato independente do valor de x que você tiver vai ser menos duas vezes esse valor de ti tá bom agora que você pergunta tá falando de inclinação da reta eu tô falando aqui das funções o limite não sei o que é mas o que que é a derivada sala não é sobre derivada gente se você

entendeu o que que a gente fez até agora você já sabe o que é a derivada de uma função a derivada de uma função f de x a gente vai falar que a taxa de variação então quanto o y está variando em relação a x e a a forma a derivada exatamente o limite que a gente acabou de ver e a notação que a gente usa para derivada sf linha de x tá bom ou então a gente pode usar de y e x casa a gente esteja derivando y em relação a x então gente a

derivada nada mais é do que a inclinação da reta tangente é uma função beleza então se a gente tiver a função f de x = x qual que é a derivada dessa função vamos calcular o f linha de x que a derivada do fdx né vai ser o limite quando der eu te x tende a zero do fdx mas deu tx - o f de x sobre delta x1 e aí e aí ó e vai ficar o limite quando delta x tende a zero de um porque delta x dividido por causa x é um né

e a gente sabe que o limite de uma constante é a própria constante então isso aqui é igual a um o que isso quer dizer se a gente for analisar aqui que a derivada da função f de x igual a x é sempre igual a um independente do valor de x que a gente tiver não é igual aqui atrás que dependendo do valor de x que a gente substituísse e até determinada inclinação ele aqui no caso da função f de x igual a x a derivada é sempre igual a um tá bom gente vamos ver

essa aqui embaixo a derivada da função f de x = 2 x 1 e aí e aí a gente pode cortar o delta x de cima quando é preciso de baixo vai ficar o limite de dois quando data x tende a zero o limite de uma constante é a própria constante então no caso vai dar o próprio dois certo gente isso quer dizer que a derivada da função 2x sempre vai ser igual a dois independente do valor de x que a gente tiver ali beleza gente vamos observar uma coisa aqui em preto a gente tem

a função menos 2x ao quadrado mais quatro uma parábola com concavidade para baixo né em azul a gente tem a reta tangente a essa parábola no ponto menos um em vermelho a gente tem a reta tangente essa parábola no ponto 1 o que eu quero que vocês observam aqui a reta azul se a gente for ver a derivada e tudo mais calcular a equação da reta que a gente vai saber mais frente como que faz isso a gente vai ter a reta 4 x + 6 ea da reta vermelha é menos 4x msaa é de

funções assim a gente sabe que o coeficiente angular de uma reta é o número que multiplica o x e repare comigo que o número que me explica o x na reta azul é mais quatro e o que me explica na reta vermelha é -4 o que eu quero mostrar aqui para vocês é que quando uma reta forma um ângulo menor que 90° com eixo x como é o caso aqui da reta azul o ângulo dela com a justiça é menor do que 90 aí o coeficiente angular vai ser positivo consequentemente nossa derivada é positiva nesse

ponto e quando o coeficiente angular e negativo aí quer dizer que a reta tá formando um ângulo maior do que 90 graus com eixo x como é o caso da reta vermelha e aí o coeficiente angular vai ser negativo e consequentemente a derivada é negativa naquele ponto agora a gente deve estar se perguntando tá onde que a gente vai usar derivado pelo amor de deus que que isso vai ajudar a gente e eu garanto que tem muitas aplicações de verdade só para não ficar muito abstrato esse primeira aula aqui não ficar bastante se você ver

uma aplicação que a gente já conhece mesmo tá bom vamos falar sobre velocidade e espaço então vamos supor que a gente tem essa parábola aqui que a nossa função espaça que é descrita por s = t ao quadrado menos 600 mais 10 então aqui é o espaço percorrido por um corpo em função do tempo ter então aqui no eixo x a gente tem o tempo ter vamos colocar o trem segundos né e aqui no eixo y a gente tem o espaço s vamos colocar em metros então espaço em função do tempo aí eu te pergunto

a gente sabe o espaço da se corpo do função do tempo quanto ele percorreu em cada tempo ter e se eu quiser saber a velocidade desse corpo a partir dessa função do espaço eu consigo a gente consegue gente porque o seguinte a gente viu aqui atrás que a derivada é uma taxa de variação então é o quanto o y está variando em relação a x no caso o nosso y que é o espaço s né então a variação de o rio x é o te então a variação de tempo mas ele só a gente conhece

essa fórmula zinho aqui não conhece a variação do espaço sobre a variação do tempo isso aqui não é nossa velocidade então gente a velocidade nada mais é do que a derivada do espaço então a velocidade é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo quanto o espaço varia em relação ao tempo ter então vamos calcular a derivada dessa função s que para a gente se encontrar com é nossa função velocidade para esse corpo aqui que a gente está analisando beleza então o que a gente tem a função sdt né a gente quer encontrar

s linha de ter que a nossa derivada isso que vai ser o limite quando delta t tende a zero lembrando que a gente está trocando x por ter tá bom porque aqui no caso a nossa variável é ter tem um limite quando delta t tende a zero do fgt mais delta ter menos o fdt e tudo isso a delta t então vamos lá ver seu limite quando der eu te ter tende a zero o fdt mas deve ter a gente vai substituir todo lugar que tem ter por ter mais delta ter tá bom então vai

ficar ter mais deve ter ao quadrado menos seis vezes ter mais delta ter mais o 10 que eu termino dependente aí tudo isso menos o wi-fi de ter então menos ter um quadrado menos seis ter mais 10 a gente importante colocar esse parênteses aqui sempre que a gente vai fazer esse segundo ft tá bom porque é menos todo o fdt então é menos tudo isso que tá dentro do parênteses beleza então não esquece aí aqui embaixo a gente tem o delta theta e aí e aí ó e vai sobrar o limite quando delta ter tende

a zero de 2t + delta ter menos seis só que nosso delta t tá indo para zero então que vai sobrar dois te menos seis então gente isso aqui é a derivada da função espaço e vai ser nossa função velocidade então verde ter é igual 2t - 6 essa aqui a nossa velocidade e determinado tempo ter beleza ou seja é a inclinação da reta tangente a essa função espaço indeterminado o ponto tempo oi gente então aqui a gente tem um gráfico da nossa função espaço que até ao quadrado menos seis ter mais 10 é o

quanto o corpo percorreu né o espaço com corpo percorreu em determinado tempo ter e aí a gente encontrou a derivada dessa função que deu dois ser menos seis essa reta preta aqui né e a gente concluiu que a derivada do espaço é a velocidade então essa reta preta aqui é a velocidade instantânea do corpo e determinado tempo ter então por exemplo em pé igual 4,78 segundos a velocidade instantânea desse corpo é 3,56 metros por segundo isso quer dizer que se você traçar uma reta tangente a parábola roxa que a função do espaço entre igual 4,78

a inclinação da reta tangente mas se 3,56 beleza que a nossa velocidade instantânea então vamos ser igual a três segundos aqui por exemplo então é igual a 3 a velocidade instantânea é igual a zero então isso é igual a três segundos e o corpo tá zero metros por segundo em santana mente então se você for vir aqui na tarefa roxa se você traçar uma reta tem gente inteiro igual a 3 a inclinação dessa reta vai ser igual a zero então aqui no caso vai ser uma reta horizontal né com criação 0 mas a gente quando

a gente vai calcular derivada a gente não vai precisar ficar fazendo esse limite aqui sempre tá bom a gente vai ser técnicas de derivação para a gente não precisa ficar colando todo limite de toda a função tempo todo beleza gente a gente também consegue calcular derivada em um ponto ou seja a inclinação da reta tangente apenas aquele determinado ponto e foi pedido pelo exercício então se a gente quiser calcular derivada de uma função num determinado ponto h a gente pode usar esse limite aqui a derivada no ponto h vai ser o limite quando x tende

h do f de x menos fdh sobre x menos h então também serviria a gente usar esse aqui que a gente viu aqui atrás substituindo x pelo ponto que a gente quer mas é na a usar essa equipe calcular determinado ponto tá bom então se você quiser a função espaço dado por essa de ter igual ter ao quadrado mais certo sendo que o espaço tá em metros né calcule a velocidade instantânea em ter igual dois segundos bom gente a gente viu que a velocidade de ter vai ser a derivada do espaço em relação ao tempo

você deriva o espaço em relação a variável ter então a gente vai usar esse limite aqui para calcular qual é a derivada no ponto que a gente quer que no caso é inter igual dois segundos então vamos lá a velocidade em dois segundos vai ser a derivada de s em dois então é isso que vai ser o limite quando t tende a dois do s de ter menos oeste de 2 que o ponto onde a gente quer calcular velocidade instantânea né dividido por ter menos dois então a gente tá usando essa fórmula zinho aqui oi

gente calcular a velocidade exatamente inteiro igual a dois tá bom gente então esse aqui vai ser o limite quando t tende a dois do sd ter que ter ao quadrado + 7 é a função que foi dado aqui né menos o sd 2usb de dois a gente substitui esse ter que ir por dois que vai ficar 2 ao quadrado mais sete e tudo isso dividido por ter menos dois então a gente vai ter o limite quando t tende a dois de ter o quadrado mas sete aí aqui a gente pode fazer o joguinho de sinal

né então menos com mais e fica menos 2 ao quadrado que é quatro e menos com mais e fica menos sete aí aqui em baixo até menos dois então é o limite quando t tende a dois aqui a gente pode cortar esse mais 7 com esse - 7 a verificar até ao quadrado menos quatro sobre ter menos 29 e de como resolver limite a gente sabe que nesse caso aqui como a gente tem muita determinação 0 sobre 0 a gente consegue faturar o numerador né porque ele é o quadrado do primeiro menos o quadrado do

segundo então faturando usando produtos notáveis a gente tem que ir seu limite quando t tende a dois de ter mais 2 vezes ter menos 2 dividido por ter menos dois aí a gente pode cortar esse tema nos dois de cima com esse tema e nos dois de baixo e a gente vai ter o limite quando t tende a dois de ter mais dois isso que vai ser dois mais dois que é igual a quatro e como a gente está falando de uma velocidade é quatro metros por segundo então nessa função tem ao quadrado mais 7

aqui na são da reta tangente inteiro igual dois segundos vai ser igual a quatro e isso quer dizer que inteiro igual dois segundos esse corpo tá exatamente é é super segundos beleza gente então aqui a gente tem o gráfico da função até ao quadrado mais 7 que a gente viu que a função que representa o espaço em função do tempo né o espaço e com corpo percorreu em metros em função de um tempo ter e o que a gente encontrou foi a reta a inclinação da reta tangente a essa função quando t = 2 então

a reta tem gente que passa por esse ponto que qual era a inclinação dela e a gente encontrou que vale quatro né isso quer dizer que inteiro igual a dois esse corpo tava quatro metros por segundo já que a velocidade e a derivada da função espaço e aí eu deixei aí para você provar de tarefa que a derivada dessa função tem ao quadrado mais 7 vai ser igual dois t então vai ser essa reta aqui que vai representar nossa função velocidade e se você for ver o gráfico dessa reta realmente inteiro igual a dois ela

vale quadro então tem igual dois segundos o corpo tava quatro metros por segundo então esse e aqui no gráfico da velocidade é exatamente a inclinação da reta tangente a esse ponto na função espaço bom já estão foi isso no vídeo de hoje espero que vocês tenham gostado da nossa primeira aula sobre derivada e fica tranquilo que a gente não vai precisar sempre resolver esse limite aqui tá bom a gente leva algumas técnicas de como deriva algumas funções como a gente vai esse dessas funções então fique ligado no canal aqui na terra e ativa o sininho

curte o vídeo comente suas dúvidas compartilhe com seus amigos e segue o canal tomar tecnólogo instagram ficar por dentro de tudo tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijos