Cálculo para Química - Derivada #1 (Taxa de variação)

[Música] Olá pessoal sejam muito bem-vindos a mais um vídeo da Universidade da química e hoje nós temos um episódio especial hoje eu não vou falar nem da análise microscópica não vou falar de modelos atômicos nem vou falar da análise macroscópica não vou falar de cinética química hoje vou falar de cálculo especificamente de derivadas bom por que que eu tô falando de cálculo é muito comum se você for um calouro em química ficar se perguntando por que que você tem que estudar cálculo você decidiu valer química não matemática para que que você tem que ter cálculo

para que ter uma matéria tão difícil bom cálculo é importante e cálculo vai ser muito útil no seu curso de química nas aulas de cálculo Pode parecer que não serve para nada para você enquanto químico mas a físicoquímica vai te provar que cálculo é importante você tem que aprender cálculo infelizmente não tem jeito na aula de sexta-feira na aula de cinética química eu tenho que passar para vocês alguns conceitos de cálculo Então para que eu simplesmente não jogue o conceito e talvez você não entenda eu decidi gravar dois vídeos explicando o conceito de derivada talvez

não seja o melhor vídeo para explicar derivada afinal não sou nenhum especialista em cálculo mas eu prometo fazer da forma mais didática possível então eu preciso que você Assista esse vídeo e a parte dois vão ser lançados ao mesmo tempo então preciso que você assista os dois por que que eu fiz em dois vídeos fiz em duas partes para que você possa assistir um de manhã ou outro de tarde não ficar uma aula tão cansativa é melhor nós termos dois episódios curtos do que um episódio muito longo Tá certo então vamos para Episódio primeiro pra

gente entender derivada eu vou usar um exemplo macro um exemplo mais palpável Imaginem uma estrada nessa estrada nós temos um carro percorrendo uma determinada velocidade só que nós vamos pedir ajuda de um grande personag vamos pedir ajuda do Batman o Batman vai nos ajudar a entender derivada então ele vai nos emprestar o seu Batmóvel bom quando esse Batmóvel estiver percorrendo a estrada a distância percor pode ser expressa através de uma função matemática que eu vou chamar de uma f de T é uma função matemática em função do tempo quanto maior for o tempo significa que

mais espaço foi percorrido né no instante T1 ele percorreu tanto no instante T15 ele percorreu um tanto bem maior assim como a distância ela pode ser e expressa como uma função do tempo a velocidade do Batmóvel também pode ser expressa como uma função do tempo só que nesse caso é uma função diferente então vou chamar essa função de G de t tá bom num determinado instante ele tem uma velocidade óbvio que o Bat móv está sendo acelerado então num outro instante a velocidade vai ser maior vamos imaginar então que o Bat móvel esteja seu percurso

para salvar argota e de repente um determinado ponto que eu vou chamar esse ponto de T1 Vou Chamar esse ponto no tempo nesse intervalo de tempo de T1 o Batman por algum motivo resolva olhar pro lado bom Ele olhou pro lado depois voltou pro velocímetro e ele viu a velocidade do velocímetro antes de olhar e depois de olhar essa velocidade vai ser igual vai ser exatamente a mesma não não vai ser exatamente a mesma mas vai ser próx S muito diferente Depende de quanto tempo Ele olhou se por um acaso tiver Bat woman ou Bat

Girl Ele olhou para lado vai ficar ali um tempo vai tentar falar um pouco com ela vai piscar para ela enfim quando ele voltar passa um determinado tempo a velocidade é bem maior mas ele simplesmente olhou pro lado e voltou mas a velocidade é bem próxima então vamos dizer que o tempo que ele leva para olhar pro lado e voltar enxergar o velocímetro de novo vai ser um tempo eu vou chamar de H então H é a diferença o tempo a quantidade de tempo que ele levou para simplesmente olhar para o lado e nesse intervalo

de tempo Entre T1 E H nesse intervalo de tempo H ele percorreu um pouquinho certo esse intervalo aí é bem pequeno chegou a alterar a velocidade lá um velocímetro bom não sei mas vocês concordam comigo que quanto mais rápido ele olhar pro lado e voltar mais próximo a velocidade em H vai ser de T1 não vai vai se ele for o flash por exemplo Ele olhou pro lado voltou rapidinho não viu alteração praticamente nenhuma mas é óbvio que o nosso querido morcegão nunca vai emprestar o Bat móvel pro Flash até porque o flash não precisa

do Bat móvel ele é muito mais rápido tá certo mas bom vamos voltar então pra matemática nesse intervalo essa distância percorrida agora torna-se uma função Não apenas de T mas na verdade de T1 mais H né a distância percorrida nesse intervalo de tempo depende do T1 mais esse intervalo de tempo H assim como a velocidade uma função G Depende de T1 mais H Ok B vamos pedir licença ao Batman ele vai lá terminar seus problemas em e vamos voltar aqui para entender derivad então se eu quiser determinar a velocidade média a velocidade média que ele

adquiriu no intervalo T1 + h eu consigo através dessa expressão ah Antônio Você tá ficando caduco eu aprendi lá no ensino médio que velocidade média é dels sobre delt o intervalo de tempo percorrido dividido pelo intervalo melhor o intervalo do espaço percorrido a distância percorrida dividido pelo intervalo de tempo é verdade e essa fórmula o dels sobre del T está aqui não acredita bom vamos ver então olha só a velocidade média no intervalo T1 + H é o espaço percorrido aqui dividido pel intervalo de tempo qual o espaço percorrido o espaço percorrido é tudo que

ele percorreu até T1 + H então eu vou expressar como uma função uma f de T1 + h menos o que ele percorreu até T1 então menos a função de T1 esse Delta aqui nessa diferença entre funções é exatamente o quanto ele percorreu nesse espacinho em roxo dividido pelo tempo que ele levou de de T1 até h e qual o tempo que ele leva de T1 até H nós chamamos de H Então isso é dels sobre delt Só que eu não quero achar a velocidade média nesse percurso eu quero achar a velocidade instantânea a velocidade

no ponto T1 como que eu descubro isso é fácil é só olhar para o velocímetro Mas a gente não tem o velocímetro do Batmóvel nós vamos ter que achar esse valor utilizando os conceitos de cálculo utilizando os conceitos da derivada Então vamos dizer que a velocidade no intervalo T1 vamos ver se vocês concordam comigo é igual a velocidade média do intervalo T1 + H porém quanto menor for esse intervalo de tempo quanto menor for h mais próximo eu estarei da velocidade exata em T1 lembre-se se Ele olhou pro lado se for o flash olhou pro

lado e voltou a velocidade é praticamente a mesma se ele olha pro lado dá um tchauzinho lá para B GR volta a velocidade é outra então quanto menor for esse intervalo de tempo quanto menor for h mais próximo eu estarei da velocidade no ponto T1 mais próximo estarei da velocidade instantânea Então posso dizer que a velocidade em T1 é igual a velocidade média porém velocidade média no limite onde H tende a zero quanto mais próximo esse H tiver de zero ele não pode ser zero porque senão vou cair numa indeterminação matemática mas quanto mais próximo

ele estiver de zero mais próximo a velocidade ade Méia no intervalo T1 E H vai ficar mais próxima do intervalo T1 Olha esse H como send o tempo que Ele olhou pro lado e Voltou a enxergar o velocímetro então nós podemos escrever que a velocidade instantânea a velocidade no determinado ponto é a variação do espaço em função do tempo notem eu não estou utilizando dels sobre delt dels sobre del T uma variação grande isso eu uso para velocidade média aqui eu vou usar uma variação muito pequena uma variação que nós chamamos de infinitesimal variação infinitesimal

não é zero mas é algo muito próximo de zero é a menor diferença possível porém não é zero Então essa variação infinitesimal a taxa de variação infinitesimal do espaço pelo tempo de uma função por uma variável é igual ao del e S né Por que que is aqui é o dels o que que é o f de T1 + del T é o quanto ele percorreu passei pelo ponto inicial T1 passei pelo intervalo de tempo que eu tô chamando de Del T menos tudo aquilo que ele percorreu antes menos o T1 esse Delta aqui é

exatamente essa distância em roxo é o dels dividido pelo del T mas quando esse del T tende a zero né No Limite quando ele tende a zero no limite que essa diferença é muito pequena eu tenho uma velocidade instantânea eu tenho velocidade naquele ponto específico conseguiram entender isso isso é derivada é a taxa de variação de uma função em relação a uma variável vamos sair um pouco do exemplo mais palpável da física e vamos ver uma maneira mais geral vamos olhar isso para matemática mesmo próprio cálculo vamos imaginar que eu tenho um sistema de eixos

cartesianos aqui eu tenho um determinado Ponto X a esse ponto X1 eu tenho uma função n um F de X1 ou y1 vamos imaginar agora que eu tenho um ponto X2 e eu tenho associado a ele um F de X2 Eu tenho um intervalo entre X1 e X2 eu vou chamar carinhosamente de delx então se eu quiser saber qual é o ponto X2 o ponto X2 é o ponto X1 mais o delx e eu tenho um intervalo aqui em Y que eu vou chamar de Del Y notem que esse del Y ele depende estritamente do

delx esse ponto fx2 eu posso dizer que a mesma coisa que o ponto f de X1 + delx né quem é esse X2 não o X1 mais delx então o fx2 é o fx1 mais delx então eu posso escrever que o d y DX a derivada de y em função de X a variação infinitesimal né derivada Nesse contexto é a variação infinitesimal de y em função de X vai ser igual ao del Y sobre o delx porém no limite onde esse delx tende a z0 quanto menor for a de X1 e X2 mais próximo o

ponto X1 será de X2 mais próximo fx1 será de fx2 mais próximo estarei de um ponto momentâneo no espaço no tempo enfim estarei próximo ali da velocidade instantânea ISO significa que esse del Y sobre delx é a mesma coisa que Y2 y1 dividido por X2 - X1 quanto mais próximo X2 estiver de X1 quanto mais próximo desses dois valores estiverem um dos outros mais próximo estarei da condição da variação infinitesimal notem se eu aproximo X1 de X2 f de X1 torna-se mais próximo de F de X2 mais próximo estarei da variação infinitesimal aqui é uma

variação macroscópica que que é variação infin decimal É no Limite onde essa diferença tende a zero ela não vai ser zero Mas ela tem que ser muito próxima de zero isso daqui pessoal como disse é a definição de derivada e na interpretação de que a derivada é a variação infinitesimal de uma função nesse caso aqui o f Dex o y em relação a uma variável em relação a x normalmente nos livros essa função essa definição não aparece dessa forma ela aparece de uma outra forma como que ela é escrita normalmente ela é escrita como dy

DX iG del Y so delx quando delx tende a 0 é igual aqui em cima só que não aparece Dessa forma não normalmente ela é escrita como fx1 + delx quem é fx1 + delx É o fx2 Lembra que eu falei que o fx2 é a mesma coisa que o fx1 mais o delx menos o fx1 Ou seja eu tô falando desse intervalo aqui isso daqui é o Del Y dividido pelo delx quanto mais próximo esse delx estiver de zero mais próximo o fx2 estará do fx1 ou se vocês preferirem o fx1 + delx estará

do fx1 isso daqui pessoal vai ser muito recorrente em química não é para ficar apenas na aula de cálculo infelizmente às vezes na aula de cálculo a gente não vê uma aplicação são para isso mas cálculo é importante dediquem tempo estudando cálculo é um investimento paraas aulas de física química se você reclama que você não vê aplicação para cálculo em física química você vai ter aplicação e lá você vai ver que como o conhecimento de cálculo pode ajudar a sua vida então para frisar tenha sempre em mente que a definição de derivada D x sobre

D Y é iG fx1 + delx - fx1 sobre delx No Limite quando delx tende a zero aqui eu tô chamando derivada de variação infinitesimal de uma função em relação a uma variável Tá ok eu espero que vocês tenham entendido essa aula como disse peço desculpas eu não sou nenhum especialista em cálculo mas eu gostaria mesmo que esse conceito de derivada ficasse gravado na sua mente Peço também não agora né se você não tiver com ânimo agora mas depois assiste o segundo episódio especial a respeito de derivada vai complementar o entendimento desse conceito e de

preferência só assistam a aula de sexta-feira depois que assistirem esse vídeo e o próximo Tá ok então como sempre rapidinho curta o vídeo compartilhe se inscreva no canal Tá bom então até a próxima da Universidade da química