Cálculo I - Estudo das Derivadas de uma Função (Parte I)

[Música] o olá pessoal na hora de hoje a gente vai dar introdução ao estudo de derivada de uma função vamos lá então vamos iniciar a aula de estudos das derivadas de uma função parte 11 para começar é qual noção de derivada através do suco da reta tangente então vamos supor que a gente tem essa curva em azul e tem esse ponto né faz parte dessa curva e tem uma reta tangente passando por esse ponto na curva em azul então vamos tentar definir nem como que a gente calcula inclinação dessa reta essa reta tangente ao ponto

a curva no ponto p tô fazendo o seguinte a gente constrói com a nova reta passando pelos pontos p e q então pontos da curva e a gente tenta fazer com que a distância entre a e x né que a gente chama de delta x essa distância é ten da0 tem que ficar dizer que a gente vai fazer com que chique aproxime cada vez mais gear bom então se constrói aqui uma reta e vai fazer a justiça aproximar cada vez de ar e aí conta mais ele se aproxima cada vez mais né quanto mais ele

se aproxima de ar mas essa reta tá tendo a mesma inclinação né segundo mais próximo nem questão da reta tangente a curva no ponto p que a gente tá fazendo aqui nada mais é do que calcular o m né para coeficiente angular da reta essa inclinação da reta ele vai ser dado pelo limite quando del castilho tende a zero de delta f sobre delta x e que isso quer dizer né a gente está fazendo ali a taxa de variação da função em relação a x a relação ao delta x então isso é limite quando x

tende a ar gfdx - fd arches menos lá e esse limite nada mais velha que a definição da derivada de f no ponto lá então a relação entre a reta tangente e a derivada a privada df no ponto lá nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente nem tão nosso ele tá partir disso a gente pode escrever definição de derivada a partir dos limites então derivada de f no ponto pé ele pode ser escrito como limite quando x tende a p g f de x - sp x - p ou ainda como

limite é quando h tende a zero o jack de ter mais h - fdp sobre a gata oi e aí a partir disso como que ficaria a equação da reta tangente no ponto p dado pelo por a e b y - b vai ser né igual à efe linha de ar né derivada da efe em relação a x menos ar e aí como que funciona na prática vamos porque a gente que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f de x dado por x quadrado no ponto um primeira coisa que a gente tem

que fazer aqui ó é calcular essa derivada a derivada de f no ponto a vai ter inclinação da reta tangente e a gente vai precisar de um ponto que passa pela curva né de abby e a gente tem tudo isso fazendo então cálculo derivada a gente consegue escrever a equação da reta tangente bom então vamos vais faz o cálculo da derivada da f1 no ponto um a correspondente a coordenada x aqui do ponto bom então usando a definição de limite para calcular derivada a gente pode escrever como fdx que achei esse quadrado né aqui -

fd um eu pego um e aplico na função uma o quadrado é o próprio / x - 1 x quadrado menos um lembra que a gente pode escrever como x menos 1 tive mais um e fazendo isso eu posso te pedir aqui out -1 -1 vai dar um para mim rezar o próprio x + 1 então esse limite = 2 então o coeficiente angular da reta ali que vai determinar a inclinação ele é igual a 2 e aí eu vou tão pouco aqui ano forma que a gente já definiu e a equação da reta tangente

o rippln ou menos de o deu ponto um a esse ponto aqui é a coordenada aí né é um y - 1 = m enfim encontrou-a 2x menos um aí só escrevendo a gente fica então com y = 2x + 1 e essa equação da reta tangente ao gráfico diz quadrado no ponto 1 é nesse exemplo essa expressão delta f sobre delta x é o que a gente chama de taxa de variação médio lembra lá na primeira aula falei um pouquinho sobre a taxa de variação em relação velocidade aceleração do acabamento então é isso era

aquela taxa de variação médio e quando a gente mika o limite como celta x tendendo a zero a gente tem que chamamos de taxa de variação instantânea e aí a partir disso a gente pode calcular a velocidade através de taxa de variação então vamos supor que a gente tem aqui uma partícula está se deslocando através dessa curva né e a gente tem esse deslocamento dela de ter até tem mais dessa tempo essa é a gente já viu né de forma bem sucinta lá na primeira aula que eu vou gostar de média a gente pode escrever

como essa variação dos locamento pela variação de tempo então os deslocamentos que ele fez né que a partícula fez o quanto caminhou ali pelo tempo que gastou para fazer esse esse deslocamento quando a gente aplica o limite com delta pretendendo a zero a gente tá fazendo esse tempo né pra cada vez mais pequeno dá para ver ficar cada vez mais pequeno é que a gente possa calcular a velocidade instantânea não mede mas naquele instante então quando a gente tem o limite quando delta t tende a zero né dava da velocidade média é isso daqui nada

mais é do que de x sobre descer e nada mais é do que a derivada de x em relação aqui então a velocidade no instante t = derivada dos lançamentos eu só tenho a função deslocamento poderismo encontro que a velocidade ou mesmo pensamento a gente encontrar aceleração e vai ser a derivada da velocidade então eu faço aqui aceleração média através da velocidade passa o delta ter tem a 0 e aí obtenho aceleração instantânea que vai estar derivada da velocidade então ser deslocamento derivo encontro a velocidade perigo encontro aceleração oi e aí um exemplo tem que

ter uma partícula que se move sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x da partícula é dada por cinco temer os de quadrado então essa equação do deslocamento tá encontra velocidade em metros por segundo da partícula no instante t = 2 então o que que eu falei que a gente tem que derivar os locamento para encontrar velocidade a gente facilitar o limite né encontra a derivada do deslocamento que vai ser a velocidade e aplicar depois essa função não é igual a 2 bom então tem aqui aplicamos o limite é difícil

delta-p de ter mais alta p - xp / delta t é uma das definições de derivadas como sente substituído dá para ter por h tá então a gente tem uma expressão dessa no começo quando eu vou começar a aula começou a falar da definição de derivada porque mim então que só apliquei é essa essas funções então peguei a função deslocamento voltando aqui ó cinco ter menos ter quadrado então se eu tô aplicando inter mas é outra ter isso vai ser cinco temas delta-p menos ter mas dá para pagar nem apliquei cinco vezes o ter é

é que no caso tem mais alta tempo e depois eu levei tudo em seu quadrado menos aplicado no próprio ter 5p ou menos seu quadrado e aqui bom né é bom de colocar um parêntese para mim fazer o que eu fiz quer que eu fico com um sinal de negativo menos aqui ao menos com menos mais então é mais seu cadarço e aí aqui tem algumas coisas que a gente pode já eliminar porque eu tenho cinco te - 5t + a zero tenho medo ser quadrado master quadrado a miséria você quadrado nesse quadrado ideia e

aí o que me resta são três partes aqui ó todas elas têm termo delta ter multiplicando então que eu posso fazer vou colocar o delta tem evidência e o que mudar o que eu tenho evidente aqui na parte de cima eu fico com 5 a escrever essa parte aqui eu fico com menos dois p e aqui menos dessa tem um é isso / delta p oi e aí delta tem / delta t = 1 e eu fico só com 5 - 2tb - delta p mas se o meu brother saindo para zero aqui também vai

passar e aí o que me resta é 5 - 23 bom então a função da velocidade a5 - 2t e aí quando eu aplico no t = 2 constante está querendo eu chego na velocidade 1 m por segundo então na aula de hoje é isso a gente viu a definição de derivada através da equação da reta tangente e de taxa de variação já passou aula em fazer alguma uma forma mais simples né mais fácil a gente está calculando derivada é sem envolver sempre o limite ela nos vemos na próxima aula até lá e aí