Mathematik Vorlesung 12

Herzlich willkommen zur Vorlesung Mathe. Ihr seht die zwölfte Vorlesung. Tut mir leid, dass ich 2 Minuten zu spät anfange. Ich habe meine Tastatur vergessen und die Bildschirmtastatur ist ein bisschen ist auch egal. Wir sind in Kapitel 15 parelle Ableitungen im Einsatz und eigentlich haben wir das schon fast geschafft. Wir sind ganz am Ende, so dass wir gleich auch mit 17 schon anfangen können. Deswegen blättere Ich mal kurz vor. Da war nicht ganz. Hier sind wir stehen geblieben, aber ich gehe noch mal ein bisschen zurück, um euch abzuholen. Und zwar hatten wir gelernt, wie man ein

ganzes System von Gleichungen ableitet, um eben bestimmte Abhängigkeiten rauszufinden. Worum geht's konkret? Ich hatte ein Beispiel dafür genutzt. Das Beispiel hatten wir bereits im Vorkurs, wahrscheinlich waren nicht alle Leute im Vorkurs, für die Leute, die es interessiert, dort Kapitel 3 Gleichungen lösen. Das ist ein Beispiel, was aus der Makroökonomie kommt. Und zwar besteht das aus einem Modell oder das Modell besteht aus drei Variablen. Y ist das Einkommen einer ein Volkseinkommen sagt man, von dem Land. C ist der Konsum und I sind die Investitionen, die das Land tätigt. Und diese drei Variablen stehen irgendwie im Zusammenhang.

Und hier in diesem Beispiel wird dieser Zusammenhang durch Zwei Gleichungen dargestellt. Das heißt, um noch mal die Terminologie von letzter Woche zu wiederholen, wir haben drei Variablen, zwei Gleichungen. Das bedeutet, wir haben einen Freiheitsgrad. Ja, man nimmt die Anzahl der Variablen, die das Modell hat, die Anzahl der Gleichung und die Differenz ist die Anzahl der Freiheitsgrade. Und die Freiheitsgrade, das ist die Anzahl der Variablen, die ich frei wählen kann. Und die restlichen Variablen hier, die restlichen zwei Variablen werden dann durch den Wert der einen freien Variablen bestimmt. Welche Variable jetzt frei ist und welche nicht,

das entscheiden wir als Modellbauer oder Bauerinnen, also als Analysten. Gucken wir, was interessiert uns jetzt? Ja, was glauben wir, was ist irgendwie interessant? Und in dem Beispiel haben wir gesagt, dass das I, die Anzahl der Investitionen, die freie Variable ist. Das nennt man dann auch die exogene Variable, die außerhalb des Modells sozusagen erklärt wird. Und die übrigen beiden Variablen Y und C, also Einkommen und Konsum, sind dann die endogenen Variablen. Die werden durch ihn bestimmt und dann durch das Modell erklärt. Also freie Variablen ist das gleiche wie exogene Variablen und die anderen Variablen, die nennen

wir endogene Variablen. So. Und die Technik, die ich im Kapitel 15 mit Hilfe der Kettenregel bespreche, die erlaubt es uns nun zu bestimmen, wie reagiert Y auf eine Veränderung von I und wie erlaubt C auf eine Veränderung von I. Grundsätzlich haben wir mehrere Möglichkeiten, um das zu bestimmen und eine Möglichkeit wäre dieses Modell zu lösen. Also das Modell, was wir hier sehen in Form von den Gleichungen 1 und 2, das nennen wir auch die strukturelle Form eines Modells und die können wir Ökonomisch interpretieren. Ja, die ökonomische Interpretation lautet z.B. Veron Gleichung 2, dass sich der,

dass der Konsum eine lineare Funktion des Einkommens ist. Wenn das Einkommen um 1 € steigt, dann steigt der Konsum Bur und deswegen nehmen wir auch an, ich schreib das mal dazu, dass das B kleiner ist als 1. Ja, wenn ich 10 € mehr habe, dann kann ich natürlich nicht 11 € mehr konsumieren. Und zu dieser strukturellen Form des Modells gibt es noch eine reduzierte Form des Modells. Und die reduzierte Form ist dann die Lösung. Also, wir können diese beiden Gleichungen so umstellen, dass wir eine Gleichung für y haben und eine Gleichung für C. Und das

ist dann die sogenannte Lösung, die mir explizit sagt, was habe ich, was ist y für eine Funktion von i und was ist C für eine Funktion. Und diese Lösung, die steht hier ganz unten auf der Folie noch nicht Aufgeschrieben, aber steht hier, dass es sie gibt. Die haben wir eben in Kapitel 3 hergeleitet. Wer möchte, kann es einfach noch mal selber probieren, diese beiden Gleichungen nach y und C um zuformen. Oder man schaut bei Kapitel 3, wie das war. Ich habe jetzt angefangen, diese beiden Gleichungen, die wir hier oben sehen, nach I abzuleiten mit der

Ketten und dann habe ich Ableitungen bekommen y nach I und C nach I. Und als ich mir das In der Vorbereitung auf heute noch mal angeschaut habe, ist mir aufgefallen, hey, da kommt doch irgendwie ein Mist raus. Die Ableitungen, die sind nämlich negativ. Hier steht ein Minuszeichen. Bei der Ableitung von Y nach I und bei der Ableitung von C nach I steht auch ein Minuszeichen. Das heißt, wenn die Investitionen steigen, sinkt man Einkommen, sinkt mein Konsum. Macht ökonomisch überhaupt keinen Sinn. Ich Hab den Fehler gesucht und ich habe ehrlich gesagt sau lange gebraucht, bis ich

den gefunden habe. Und zwar ist der Fehler an der Stelle, ich markiere das mal rot für Fehler. Ja, da habe ich die zweite Gleichung einfach falsch aufgeschrieben. Ich gehe noch mal eine Folie zurück. Die zweite Gleichung sagt, dass C eine Funktion, eine lineare Funktion von y. Und hier habe ich aufgeschrieben, y ist eine lineare Funktion von C. Also da dort kann ich sozusagen die Parameter dann nicht mehr richtig so interpretieren, wie ich es eigentlich wollte. Das und daraus folgt dann, dass auch die Berechnungen, die ich gemacht habe, falsch sind. Und deswegen lösche ich diese Folie

mal und mach das noch mal neu. Vielleicht auch, um euch noch mal abzuholen, um euch zu zeigen, wie das genau funktioniert. Ähm, so kann ich das hier löschen. Es geht bestimmt irgendwo. Ich finde jetzt gerade nicht, wie es geht. Ich mache jetzt einfach eine neue Folie auf und fang noch mal an. Also gesucht sind die Ableitungen von y nach I und die Ableitungen von C nach I. Damit wir das gleich vergleichen können und überprüfen können, ob das richtig ist, zeige ich euch jetzt aber erst noch mal die reduzierte Form des Modells, die Wir in Kapitel

3 hergeleitet haben. Also aus Kapitel 3 und Kapitel 3 ist aus dem Vorkurs. die Lösung des Modells. Und diese Lösung, die nennen wir auch die reduzierte Form, wie folgt gegeben. Also y als Funktion von i 1 - b + 1 dur 1 - b mal* i und c von i a dur 1 - b + b dur 1- b mal i. Und jetzt könnt ihr sehen, wenn wir die Lösung tatsächlich gegeben haben, das heißt, wenn wir uns die Arbeit gemacht haben, das Modell zu lösen, dann können wir hier die Ableitungen auch direkt bestimmen. Dann brauchen

wir die Technik, die ich heute anwenden möchte, mit euch gar nicht zu kennen. Dann können wir das direkt ausrechnen. Und weil es so einfach ist, mache ich das jetzt direkt. Also hier können wir jetzt sagen, wir können y nach I ableiten. Dann seht ihr die Konstante hier, die Fällt weg und es bleibt 1 dur 1 - b übrig. Und genauso können wir die Ableitung nicht nach von y, sondern von C nach I ausrechnen. Und die ist dann eben entsprechend, wenn wir uns die Lösung hier anschauen, die Konstante fällt weg. B dur 1 - B. Und

ich möchte jetzt genau das gleiche rauskriegen, aber ohne mir die Lösung auszurichten. Also ich ich stell mir das so vor. Stellt euch mal vor, das Modell auf der Seite hier, das wäre jetzt nicht so ein einfaches lineares Modell, sondern das wäre krass kompliziert. Das wäre super kompliziert, da wären Quadrate, Logarithmen und was weiß ich alles für komplizierte Funktionen drin und wir könnten nicht so einfach die Lösung ausrechnen. Und ich behaupte jetzt, wir können diese Ableitung aber trotzdem bestimmen, egal wie das wie kompliziert das Modell ist. Und das funktioniert Eben mit dem Ableiten von diesen Gleichungen.

Dazu schreibe ich mir die Gleichung noch mal ab. Also die Gleichungen lauten. Jetzt schreibe ich sie hoffentlich hoffentlich richtig ab. y = C + I. Und der Konsum ist eine Funktion des Einkommens. Das war die Gleichung 2. So. Und jetzt stelle ich mir vor, das y. Schreib das noch mal dahinter. Und das C ist eine Funktion von i und hier unten auch. Das heißt, die beiden Variablen y und C sind implizit in diesen Gleichungen definiert. Das ist eigentlich genauso wie, wenn ihr euch erinnert, in Kapitel 7, wo eine Variable durch eine Gleichung implizit durch die

andere Variable definiert ist. Und jetzt leite ich einfach die beiden Gleichungen ab. Also leite I und 2i diese beiden Gleichungen nach den Investitionen nach groß i ab Und dann kriegen wir für Gleichung I y abgeleitet nach i, also dy di = c abgeleitet nach i plus der letzte Term abgeleitet nach ist 1 + 1 und die zweite Gleichung müssen wir auch ableiten. Jetzt leiten wir dann C nach I ab, dann ist da ein A, das fällt beim ableiten nach I weg. feste Zahl + b ist auch eine feste Zahl, aber multiplikativ, Die bleibt erhalten und

dann steht da y dy nach DI müssen wir aus. Und jetzt haben wir auch wenn das erste Modell, also das Hauptmodell super kompliziert ist, haben wir nach dem ableiten ein ganz einfaches Modell, also viel einfacher als das Modell in struktureller Form. Also diese beiden Ableitungsgleichungen, die können wir viel einfacher lösen, indem wir z.B. das hier dort einsetzen, Dann kriegen wir, ich ma jetzt mal in grün weiter dy und anstelle von der Ableitung von C nach I schreibe ich jetzt b mal die Ableitung von y nach I + 1. Jetzt kann ich diesen Ausdruck auf die

linke Seite bringen mit Minuszeichen. Dann kriege ich dy di - b* dy di = 1. Jetzt kann ich die Ableitung Von von y nach ihn. Also dy di klammere ich aus. Dann bleibt übrig 1 - w in der Klammer und dann kommen wir zum Z. Ja, dann kommen wir zu der Ableitung, die wir eigentlich gesucht haben. Dy, DI ist dann 1 dur 1 - b. Und das ist tatsächlich die gleiche Größe, die wir auch bekommen haben, als wir die Lösung des Modells abgeleitet Haben. Hier, da steht y abgeleitet nach I= 1 dur 1 - b.

Für C müsste jetzt B durch 1- B rauskommen. Mal gucken, ob wir das hinkriegen. Also jetzt kann ich die zweite Gleichung nehmen. Ja, da steht, dass die Ableitung von C nach I b mal die Ableitung von Y nach I. Also, das benutze ich jetzt sozusagen wieder zurück hier oben. Dann kommt raus d nach di = B* 1 dur 1 - b. Also auch da kommt das Richtige raus. Also was ist die Message? Wir haben ein kompliziertes Modell, was durch mehrere Gleichungen definiert ist. In diesen Gleichungen kommen bestimmte Endogene und exogene Variablen vor und wir wollen

die Ableitung der Endogenen nach den Exogenen Variablen bestimmen. Dann leiten wir das Modell in struktureller Form nach diesen Exogenen Variablen ab und bekommen dann ein lineares Gleichungssystem, Wo die Unbekannten die Abaltungen sind, die wir suchen. Dies lineäre Gleichungssystem können wir dann auch lösen nach diesen Ableitungen und ähm sind fertig. Das ist der Vorteil, ne? Und was haben wir benutzt für eine mathematische Regel? Wir haben die Kettenregel benutzt, um eben diese Ableitung äh um das Gleichungssystem mit den Ableitungen zu bestimmen. Jetzt kann ich weitermachen auf den Folien. Wir sind mit dem Kapitel auch schon fast durch.

Ich habe hier das Ganze noch mal für ein lineares Gleichungssystem als Beispiel aufgeschrieben. Das sieht ein bisschen unübersichtlich aus und ich habe irgendwie gemerkt, der Erkenntnisgebnis ist hier gar nicht so groß. Deswegen werde ich das nicht genauer besprechen und gehe direkt weiter auf die allgemeine Form, auf die Allgemeine Darstellung. Stellt euch mal vor, wir haben jetzt ein Modell mit vier Variablen und die heißen U, V, X und Y. Und dieses Modell ist durch zwei Gleichungen bestimmt. Die eine Gleichung, die kriegen wir über eine unbekannte Funktion f und die andere Gleichung über eine unbekannte Funktion G.

Und das einzige, was wir brauchen, ist, dass diese Funktionen f und Genzierbar sind. Und jetzt könnten wir uns die Mühe machen, diese Gleichung zu lösen. Aber wenn jetzt F und G zu kompliziert sind, dann brauchen wir super lange, um die Lösung auszurechnen. Oder vielleicht ist es auch gar nicht möglich. Oder wir verrechnen uns auf dem Weg. Und jetzt benutzen wir die Kettenregel, um die Ableitungen schneller zu finden. Und das möchte ich euch zeigen. Also, ich mache jetzt eine neue Seite und ich definiere mir noch mal das Modell in struktureller Form. Aber lass uns noch mal

kurz gucken, was ist hier Endogen und Exogen. Also, wir nehmen jetzt einfach mal an, wir haben vier Variablen, zwei Gleichungen, das heißt zwei Freiheitsgrade. Wir nehmen einfach mal an, dass X und Y die Exogenen Variablen sind, die außerhalb des Modells erklärt werden und U und V die endogenen Varielen. Also, wenn das jetzt ein Marktmodell wäre, dann könnten U und V z.B. der Preis und die Menge Sein. X und Y könnte das Einkommen der Menschen sein und die Steuern, der Steuersatz. Und wir können dann rausfinden, wie reagieren Preis und Menge auf Veränderungen von Einkommen und Steuersatzen

oder eben eine andere Frage, die uns interessiert. Das heißt, wenn U und Vogen sind, dann hängen sie irgendwie von X und Y ab. Und das schreibe ich jetzt mal hier rein. Also ich schreibe hier rein, dass u eine Funktion von x und y ist. Ich habe das y Vergessen. Und das gleiche gilt für v. Also v ist auch eine Funktion von x und y. Und dann haben wir noch x und y in der Funktion direkt drin stehen. Und das soll jetzt die erste Gleichung sein. Und dann haben wir noch mal die gleiche Gleichung bloß mit

der Funktion G, irgendeine andere Funktion. Und diese beiden Gleichungen, die definieren uns das Modell in struktureller Form. Wenn wir das Modell Jetzt lösen könnten und U und V explizit als Funktionen von X und Y darstellen könnten, dann wäre das die reduzierte Form des Modells. Und dann könnten wir direkt U nach X ableiten und V nach ab x ableiten und dann werden wir fertig. Nehmen wir mal an, das könnten wir nicht. Dann können wir jetzt mit der Kettenregel die erste Gleichung nach X ableiten. Das mache ich jetzt mal hier. Leite die Gleichung I nach X ab.

Wie sieht das Ganze aus? Also, ich muss jetzt mir überlegen, wie funktioniert noch mal die Ketten? Ich habe eine äußere Funktion. Die äußere Funktion ist das f und dann muss ich die äußere Funktion nach allen Variablen ableiten, wo ein x drin vorkommt. Z. Beispiel nach U. Also rechne ich zuerst die partielle Ableitung von F nach U, weil F eben vier Variablen hat und nicht nur eine. Muss ich hier das Partizelableiten Symbol benutzen. Das Die äußere Ableitung und die muss ich multiplizieren mit der inneren Ableitung. Und jetzt ist hier die innere Funktion das U. Also muss

ich rechnen partizell abgeleitet U nach X und dann kommt die nächste Variable dran. Ja, und dann sehe ich, okay, das X kommt auch in dem Vor, also muss ich partiell F nach V ableiten. So, das ist die partielle Ableitung von F nach V. Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die innere Funktion ist jetzt V, also V partiziell abgeleitet nach X. Dann gehe ich zur nächsten Ableitung zur nächsten Variablen. Gucke, ob da x drin vorkommt. Jawohl, da kommt X drin vor. Aber da muss ich nur die äußere Ableitung bilden, weil x abgeleitet nach x ist automatisch 1.

Also ich könnte jetzt noch mal 1 dazu schreiben. Bringt noch nichts. So, wenn ich jetzt noch eine Variable weitergehe, dann komme ich zum y, aber X und Y sind beides exogene Parameter und deswegen Hängt Y nicht von X an. Ja, y wird nicht vom Modell erklärt, sondern außerhalb des Modells. Das heißt, die Ableitung von y nach x = 0. Das heißt, hier schreibe ich nichts noch mal dazu und dann das ganze 0. Und das ist eine lineare Gleichung. Was sind die Unbekannten? Die markiere ich mal gelb. Das hier ist das, was wir suchen und das

hier ist das, was wir suchen. Ja, die beiden gelbmkierten Ausdrücke sind die Ausdrücke, die wir suchen und die Gleichung ist linear in diesen beiden unbekannten Ausdrücken. Wir haben ja noch eine Gleichung. Das heiß, ich muss das gleiche noch mal nach der mit der zweiten Gleichung machen. Und das sieht dann wirklich genauso aus wie oben drüber, bloß dass ich für jedes F ein G schreiben muss. Und deswegen mache ich es mir jetzt einfach. Kopi mir das. Hoffe, das geht schneller, Als wenn ich es neu schreibe. Und ich lösche jetzt überall das F weg und schreibe stattdessen

ein G. Und dann habe ich zwei lineare Gleichung mit zwei Unbekannten und dieses Gleichungssystem, das kriege ich auf jeden Fall gelöst. Ja, zumindest wenn f und g zwei unabhängige Gleichungen sind, also wenn die Funktion G einfach das doppelte von f, dann werden die abhängig voneinander, Zumindest wenn die unabhängig sind. Darüber haben wir auch letzte Woche gesprochen. Dann kriege ich das System gelöst und habe eben einen Ausdruck für die Ableitung von U nach X und einen Ausdruck für die Ableitung von V nach X. Schreibe ich noch mal dazu. Die Lösung von diesen beiden Gleichungen ist dann

die Ableitung von U nach X und die Ableitung von V nach X. Und das war das, was ich ursprünglich wissen wollte. Wie Reagiert die Gleichgewichtsmenge und der Gleichgewichtspreis auf eine Steuerhöhung z.B. X werden dann die Steuern, U wäre die Menge, V wäre der Preis und dann habe ich ja noch die zweite exogene Variable, das Y. Und dann kann ich genau das gleiche noch mal mit y machen. Wieder zwei Gleichungen mit zwei erst zumindest unbekannten Ableitungen nach Ye lösen. Und dann habe ich alles, was ich wissen wollte. Ich wollte wissen, wie reagieren die Endogenen Variablen auf

die Exogenen? Und das kriege ich raus, indem ich die Kettenregel benutze, aber ich muss eben nicht ein möglich sehr kompliziertes Modell lösen, um das aus. Okay, ich glaube, das war's für dieses Kapitel. Ich gucke lieber noch mal nach. Okay, hier kommen jetzt noch quasi ein paar äh Beschreibungen dazu. Das, was ich in Worten schon gesagt habe, also wir haben das strukturelle Modell und die Lösung des strukturellen Modells ist Dann die reduzierte Form des Modells. Wenn die reduzierte Form verfügbar ist, können wir uns das sparen, was ich e mit der Kettenregel gemacht habe. Wenn die reduzierte

Form aber nicht verfügbar ist, weil das Modell zu kompliziert ist, dann können wir trotzdem die Abplanungen bestimmen. Das war's mit Kapitel 15. Hier seht ihr noch mal die Zusammenfassung. Wie immer ist die Zusammenfassung dafür gedacht, dass ihr im Nachhinein nachgucken könnt, Was ist relevant aus diesem Kapitel, was sollte ich mir für die Klausur an. Bevor ich jetzt weiter galoppiere zu Kapitel 17, gibt's bis jetzt Rückfragen noch dazu? Ansonsten könnt ihr mich immer jederzeit unterbrechen. Bitttechön. Gibt es eine Formelsammlung in der Klausur? Lautet die Frage, für Mathe kriegt ihr keine Formelsammlung. Das heißt bestimmte Formeln wie

z.B. die Kettenregel oder die Produktregel, die Müsst ihr tatsächlich können. Das empfehle ich auch sehr. Wenn ihr das in der Formelsammlung hättet, würdet ihr auch zu viel Zeit verlieren, dann ist das quasi auswendig. Also Produktregel, Kettenregel sind Formeln, die ihr euch einträgen müsst. Und dann gibt es noch ein paar Rechenregeln. Z.B. die Rechenregeln für Potenzen sind super hilfreich. Die Rechenregel für Logarithmen würde ich mir auch auf den unsichtbaren Äh auf die unsichtbare Formelsammlung schreiben. Mir fällt bestimmt noch was ein, wenn ich noch länger drüber nachdenke, aber ihr dürft in die Klausur äh ein Formel. Gibt

es weitere Fragen? gerne auch zur Klausur. Ansonsten werde ich in der letzten Vorlesung natürlich noch mal alles wesentliche sagen, was sind die Regel in der Klausur beachten müssen. Dann speichere ich das mal, damit es nicht verloren geht. Und wir gehen rüber zu Kapitel 17. Kapitel 17 ist quasi parallel zu Kapitel 9. Vielleicht erinnert ihr euch noch Kapitel 9, das hieß einfach nur Optimierung. Und dieses Kapitel ist jetzt quasi das gleiche noch mal, aber mit Funktionen mit zweien Variablen, also eigentlich mit vielen Variablen, aber ich beschränke mich eben auf zwei Variablen. Das heißt, ihr werdet in

diesem Kapitel vieles wiedersehen. Ja, es wird euch vieles bekannt vorkommen. Das müssen wir die bekannten Konzepte eben jetzt erweitern auf zwei W. Ich hatte mir vorgenommen, noch einmal kurz in den Chat reinzuschauen. Da sehe ich gerade nichts. Also, ihr seht notwendige Bedingungen, hinreichende Bedingungen und dann geht's so weiter. Schauen wir uns mal an. für die notwendige Bedingung erster Ordnung, die lautete bei univariaten Funktionen, wenn wir einen inneren Extrem Punkt haben und die Funktion differenzierbar ist, dann muss an dieser Extremstelle die erste Abwertung gleich 0 sein. Und jetzt muss ich direkt am Anfang anfangen innerer Extrem.

Was bedeutet das Wort innerer? Wenn wir zwei Koordinaten haben, ja, die Punkte, die wir jetzt in die Funktionen einsetzen, sind ja nicht nur einfach eine Zahl auf Der Zahlen sondern das sind Punkte im zweidimensionalen Raum. Da muss ich jetzt definieren, was bedeutet, dass dieser Punkt ein innerer Punkt ist oder auch nicht. Jede Funktion hat einen Definitionsbereich. Diesen Definitionsbereich habe ich immer mit d bezeichnet und bei die Variantbfunktion kann dieser Definitionsbereich eben oder kommt dieser Definitionsbereich aus dem zweidimensionalen eyebischen Raum oder Wir können auch sagen aus der XY. Und hier auf der Folie seht ihr nun

einen Definitionsbereich, wenn ich einfach mal Beispiel hab aufgemalt habe. Ja, ein Rechteck, wo die rechte Seite rund ist. Das Besondere ist, dieser Definitionsbereich hat einen Rand. Und jetzt kann ich definieren, was ein innerer Punkt ist. Wenn ich um einen Punkt, der im Definitionsbereich liegt, einen Kreis vollständig zeichnen kann und dieser Kreis kann mini mini klein Sein, dann handelt es sich um einen Inneren. Wenn aber jeder Kreis, egal wie groß oder wie klein, zum Teil außerhalb des äh Definitionsbereichs liegt, dann haben wir ein Rand. Natürlich als echter Mathematiker, als echte Mathematikerin kann man das noch viel

genauer und präziser definieren, aber ich hoffe, dass euch diese Definition äh weiterhilt. Wenn ich also um einen Punkt einen Kreis zeichnen Kann, ohne den Definitionsbereich verlassen zu verlassen, handelt es sich um einen Inneren. Und die notwendige Bedingung erst zur Ordnung, die gilt eben nur für innere Punkte. Deswegen müssen wir wissen, was ein innerer Punkt ist. Stellt euch mal vor, also jetzt kommt diese Bedingung erst Ordnung. Stellt euch mal vor, wir haben eine Funktion, die einen zweidimensionalen Definitionsbereich hat Und die irgendwo im Inneren dieses Definitionsbereichs ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Ja, wenn wir nicht genau

wissen, ob es ein Max oder ein Min ist, sprechen wir auch von einem Extremum, weil wir irgendwo ein inneres Extremum. Wenn diese Funktion keine Knicke hat, also wenn ich sie überall ableiten kann, partielliten sagen, dann sagt mir nun die Bedingung erster Ordnung, An diesem Extremum müssen beide partielle Ableitungen gleich 0 sein. Ja, bitttechön. Ja, genau. Also die notwendungliche Bedingung erster Ordnung für ein Maximum oder ein Minimum. Das im Inneren liegt, ist es notwendig, dass die ersten Ableitungen, die ersten beiden parellen Ableiten, die ersten partizellen Ableitung gleich null sind. Damit es noch mal ohne Text, ohne

vieltext noch mal ganz klar Aufgeschrieben ist, schreibe ich das noch mal quasi in verkürzter Form auf. Also erstmal haben wir eine zweivariate Funktion. Also D ist eine Teilmenge vom R2 und F soll differenzierbar sein. Ja, wir haben mal gemerkt, wenn eine Funktion ein Knick hat, ja, können wir dann nicht die ersten Abitung bilden. Und es könnte theoretisch sein, dass dummerweise genau in diesem Knick das Maximum oder das Minimum. So, wenn jetzt XY Eine innere Extremstelle ist, dann folgt daraus, dass f1 an dieser Stelle gleich 0 ist und f2 an dieser Stelle gleich 0 ist. Ja,

so ist die notwendige Bedingung erster Ordnung bisschen kürzer aufgepasst und ich mag das gerne das so kurz aufzuschreiben, weil man dann genau sieht in welche Richtung der Pfeil geht. Also vor dem Pfeil steht immer die notwendige Bedingung, hinter dem Pfeil Steht die hinreichende Bedingung. Nee, andersrum. Ich habe es genau falsch gesagt. Ich schreib das jetzt dazu, damit es klar ist, hier ist die hinreichende Bedingung. Und hier ist die notwendige Bedingung. Also für eine innere extreme, für eine innere Extremstelle ist es notwendig, dass beide ersten Ableitungen gleich null sind. Und wenn beide ersten Ableitungen gleich 0

sind, dann sagt man zu dem Punkt auch, Dass er stationär ist. Das ist jetzt eines Wort. Stationäre Punkte sind solche Punkte, bei denen alle Parzellen Ableitungen gleich null sind. Wir können also nicht von rechts nach links gehen, wir können immer nur von links nach rechts gehen, weil wenn wir sehen, dass beide der ersten Ableitung gleich null sind, dann können wir nicht schlussfolgern, dass wir eine innere Extremstelle gefunden. Okay, diese Bedingung erster Ordnung, Diese notwendige Bedingung erster Ordnung, die werden wir das häufigen benutzen. Nachher kommen wir noch zur zweiten Bedingung, zur hinreichenden Bedingung. Wir machen das

jetzt zunächst mal anhand einer Beispielfunktion. Ja, ihr seht hier Funktion, die von X und Y abhängt und der höchste Exponent ist eine Z. Das heißt, die können wir irgendwie noch in die Hand haben. Und ich erinnere mich gerade daran, dass ich am Anfang des Semesters immer erstmal euch dran gelassen habe. Das heißt, ich würde euch jetzt wieder 2 Minuten, sag 3 Minuten Zeit geben. Was sollt ihr in dieser Zeit machen? die ersten beiden partiellen Ableitungen ausrechnen und diese gleich 0 setzen und dann diese beiden Gleichungen nach X und nach ylösen. Ja, wenn nämlich f eine

Maximumstelle hat, dann muss in diesem Fall, Ja, in diesem Fall ist diese Maximumstelle automatisch ein innerer Punkt, weil hier gar keine Grenzen definiert sind. Alle Punkte in der XY Ebene sind erlaubt. Also alle Punkte sind innere Punkte. Wenn eine Funktion eine Maximumstelle hat, dann muss diese Stelle stationär sein. Also los geht's. Ich gucke jetzt mal auf die Uhr. Bitte einmal ableiten nach X, einmal ableiten nach y und dann die beiden Gleichungen gleich 0 setzen Und nach X und Y auflösen. Wenn ihr Fragen habt, natürlich drauf hin Ich sehe, dass noch viele Leute am Schreiben sind,

deswegen lege ich noch eine Minute auf. Ja, gerne. Ich habe jetzt Hessem verstanden, aber die Frage selber habe ich nicht verstanden. Sorry. Okay, hier kommt die Frage. Wir haben Eine mehrdimensionale Funktion und wir können bei dieser Funktion die Hessem Matrix benutzen, um herauszufinden, ob sich um maximum. Die Antwort ist ja, das stimmt auf jeden Fall, das ist richtig, aber da kommen wir erst in zwei, drei Folien zu, dann machen wir das. Ja, bitte schön. Also, wir haben eine erste. Sollen wir vielleicht einfach loslegen? Ich ich s geb eine ganz kurze Antwort Und dann machen wir

es ausführlich. Wir leiten einmal nach X ab, setzen das gleich 0. Wir leiten einmal noch Y ab, setzen das gleich, dann haben wir zwei Gleichungen und den beiden Gleichungen kommen X und Y vor und dann lösen wir beide Gleichungen nach X und Y, aber wir machen das jetzt einfach mal genau, also in den Bedingungen erste Ordnung haben wir dann sowohl X als auch y auf der linken Seite stehen und das Müssen wir dann ein bisschen hin und her schieben und auch ich würde vorschlagen Wir legen jetzt einfach mal los mit den Ableitungen. Das heißt, das

ist sozusagen das erste, was man machen muss. Einmal die Funktion nach x ableiten und einmal nach y. Und ich fange jetzt mit x an. Hat jemand Bock mir die erste Ableitung nach X zu diktieren? Ja, bitteschön. Ja, Genau. Das ist die erste Ableitung nach X mit den bekannten Rechenregeln. Denkt immer dran, wenn wir partielliten, z.B. nach x, dann ist die andere Variable eine Konstante. Und jetzt müssen wir diese Ableitung gleich 0 setzen. Das ist sozusagen die Bedingung erster Ordnung. Und ich mache es immer so, dass ich über das Gleichheitszeichen dann ein Ausrufezeichen setze und das

bedeutet, Die linke Seite soll dann gleich die rechte sein. Das ist die Bedingung. Erste Ordnung. Schreibe ich mal hinten in der Klammern dazu erstmal ganz ausführlich. Notwendige Bedingung erster Ordnung. Und wenn man das kürzer schreiben will, kann man auch B E O schreiben. Oder wenn ihr das mal in den englischen Text sieht, seht, dann steht da F O und FOC steht für First Order condition. So, das ist unsere erste Gleichung. Die markiere ich jetzt mal gelb. Ja, ihr seht auf der linken Seite kommen sowohl X als auch Y vor. Jetzt brauchen wir noch die zweite

Gleichung und die bekommen wir, wenn wir die Funktion f nach y partizellen. Wer möchte mir diese Ableitung diktieren? Ja, bitte. Habe ich das richtig abgeschrieben jetzt? Okay, super. Ja, also ich glaube, ich l es jetzt einmal so, damit irgendwie im Nachhineinen, wenn man sich das anschaut, klar ist, wie diese Ableitung entstanden ist. In dieser Reihenfolge ist es halt genauso wie die Funktion da oben steht. Aus dem -2x² wird dann ach halt, das fällt weg, wenn ich nach y ableite. Hier steht's, ne? -2xy. Wenn ich das nach y ableite, bleibt -2x übrig. Deswegen lass ich das

vorne stehen und auch das bringt mir eine Bedingung erster Ordnung und die male ich jetzt mal grün. Ja, das ist auch eine Bedingung erster Ordnung. Und jetzt habe ich eine gelbe Gleichung, eine grüne Gleichung, also zwei Gleichungen. Beide Gleichungen sind linear. Das muss nicht immer der Fall sein, die sind deswegen linear, weil wir ein Polynom zweiten Grades haben als Zielfunktion. Wenn wir eine kompliziertere Zielfunktion haben, dann können wir auch nicht lineare Bedingungen erste Ordnung bekommen. Jedenfalls müssen wir jetzt diese beiden Gleichung nach X und nach y auflösen. Wer so ein bisschen auf Kriegsfuß steht mit

Gleichungen lösen, dem lege ich noch mal Kapitel 3 ans Herz. Dort sind drei Verfahren beschrieben, die man Gleichungen löst. Das Gleichsetzungsverfahren, das Substitutionsverfahren Und was gibt's noch? Eins habe ich vergessen. Vielleicht weiß jemand von euch. Ja, bitttechön das Einsetzungsverfahren. Ich habe jetzt eben Substitutionsverfahren, glaube ich, gesagt. Genau das gleiche. Wie dem auch sei, ich benutze jetzt einfach mal eins dieser Verfahren und dann kriegen wir hoffentlich eine Lösung für x und Y. Und zwar möchte ich beide Gleichungen mal nach, sagen wir, y Auflösen. Also, ich forme beide Gleichungen nach y auf und dazu gebe ich denen

jetzt wieder Namen. Also, das hier ist jetzt meine Gleichung I und das ist meine Gleichung 2I. Löse zunächst beide Gleichungen, also I und 2i nach y. Und wenn ihr es anders macht, ja, es gibt viele Wege zum Zieren. Also jetzt mache ich mal aus der Gleichung I Folgende Gleichung. Ich ziehe zuerst die -2y auf die rechte Seite. Also ich addiere auf beiden Seiten 2y. Dann kriege ich -4x + 36 = 2y. Und jetzt kann ich noch beide Seiten dieser Gleichung durch 2 teilen. Dann wird aus -4x - 2x. Aus der 36 wird eine 18 =

y. Diese Gleichung, die nenne ich jetzt mal I Strich. Und dann nehme ich mir die zweite Gleichung und dann bringe ich die -4y auf die rechte Seite. Also ich addiere auf beiden Seiten 4y. Habe ich hier -2x + 42 = 4y. Jetzt teile ich beide Seiten der Gleichung durch 4. Dann habe ich -24/4 oder -/ x + 42 dur 4. 42 dur 4 ist das gleiche wie 21 dur 2, also 21 = y und das meine Gleichung 2I strich. Und jetzt sage ich mir, wenn die beiden rechten Gleichungen äh wenn die beiden rechten Seiten dieser

beiden Gleichungen gleich sind, dann müssen auch die beiden linken Seiten gleich sein. Dann nehme ich mir das mal mit auf die nächste Seite, aber ich kann im Hörsail das hier stehen lassen. Dann folgt daraus, dass -2x + 18 = -1/x + 21/ ist. mich stören jetzt gerade diese halben, deswegen multipliziere ich jetzt mal beide Seiten mit 2. Dann kriege ich -4x + 36 -x + 21. Und jetzt räume ich auf und in diesem Fall ist es praktisch, alle Xe auf die rechte Seite zu bringen. Das heißt, ich addiere 4x auf beiden Seiten und die 21

auf der rechten Seite will ich auf die linke Seite bringen. Das heißt, ich rechne -21. Dann habe ich 36 - 21 = 4x - x bzw. Was kommt hier raus? 36 - 21 und hier steht dann 3x und dann habe ich mein x gefunden. Jetzt teile ich auf beiden Seiten noch durch 3 und dann ist x = 5. Und jetzt kann ich diese fünf nehmen. Diese fünf, die kann ich jetzt z.B. wieder da einsetzen. Ich kann mir eine der beiden Gleichungen aussuchen. Nehme die schönere Gleichung und dann kriege ich raus y = -2* 5 +

18. Das ist also -10 + 18 = 8. Also y = 8. Und damit habe ich einen einzigen Punkt in der XY Ebene gefunden. X = 5 y = 8, An dem beide ersten Ableitungen gleich 0 sind. Das ist ein stationärer Punkt. Also es gilt also f1 von 58 = 0 und f2 von 58 = 0. Also ist also muss das Maximum an dieser Stelle Sein. Also wir hatten in der Aufgabenstellung sieht man die hier im Körper noch, aber fürs Video gehe ich noch mal eins zurück. In der Aufgabenstellung stand: Setze voraus, dass es ein

Maximum gibt. Jetzt haben wir nur eine Möglichkeit gefunden, wo dieses Maximum sein kann. Also muss das Maximum sein. Es gibt nur einen nur eine stationäre Stelle. Also muss das Maximum sein äh hier sein. Dies muss also das Maximum sein. Wenn jetzt dieses Gleichungssystem mehrere Stellen uns ausgeben würde als Lösung, dann könnten wir nicht sagen, all diese Stellen müssen ein Maximum sein, denn dabei könnten auch Minimumstellen sein und wir werden auch kennenlernen, was eine Sattelstelle ist. könten sich auch darunter versteckt Haben, aber wenn es nur eine einzige Stelle gibt und wir wissen, es gibt ein Maximum,

dann muss das Maximum genau an dieser Stelle sein. Okay, jetzt haben wir die Bedingung erster Ordnung einmal ausprobiert und können uns das Ganze noch mal grafisch anschauen. Also, wir sehen hier den Grafen von der Funktion, die X und Y entgegennimmt. Und ich habe jetzt hier zwei Kurven markiert. Das Bild kennt ihr schon aus Dem Kapitel, ich weiß es nicht genau, was war das? 12, wo wir Biv Variablefunktion eingeführt haben, ne? Und diese Kurve ist sozusagen entlang der X-Achse. Wir halten hier Y fest. Und an einer Stelle, nämlich an dieser Stelle, ist die Tangente von dieser

Kurve horizontal. Das bedeutet, die partielle Ableitung nach x = 0. in dem Punkt P. Und das gleiche können Wir auch in Y Richtung machen. Da habe ich wieder eine Tangente, die horizontal verläuft. Also hier muss die erste partielle Ableitung nach y = 0 sein. Das heißt, dieser Punkt hier, der ist stationär. Warum habe ich das Bild gezeichnet? sich noch mal zu gewertigen vergegenwertigen, wie diese Bedingung erster Ordnung funktionieren wird. Wenn es ein Maximum gibt und hier in der Grafik können wir das Maximum gut sehen, ist der Punkt P, Dann muss an dieser Stelle müssen beide

Parellenableitungen gleich null sein. Den Umkehrschluss dürfen wir nicht machen. Und für den Umkehrschluss, um das zu zeigen, habe ich n zweites Bild gemalt, nämlich dieses hier. Hier sehen wir auch, dass beide Tangenten horizontal verlaufen. Der Punkt ist also stationär, aber wir haben ja kein Maximum. Also, wenn wir nicht wissen, ob es ein Maximum gibt oder wie viele es gibt, Dann können wir aus Stadtsinarität nicht schließen, dass es sich um ein Maximum handelt, denn es könnte ein Minimum sein oder es könnte auch ein Max ein Sattelpunkt sein, so wie das hier dargestellt ist. Um jetzt Maxima,

Minima und Sattelpunkte zu unterscheiden, kommen wir zur hinreichenden Bedingung. Das ist die Bedingung, die sogenannte Bedingung zweiter Ordnung und die formuliere ich jetzt erstmal allgemein Und zwar so allgemein, dass wir sie so wie sie hier steht auch für univariate Funktionen benutzen können. Aber also hier soll jetzt die Funktion eine Funktion von zwei Variablen sein und die Stelle x0 y0 soll eine stationäre Stelle sein. Das heißt, da sollen die beiden partiellen Ableitungen nach X und nach y = 0 sein. Jetzt können wir mit der hinreichenden Bedingung arbeiten und die sagt, falls die Funktion konv, Dann muss

diese stationäre Stelle eine Maximumstelle sein. Also die muss noch nicht mal mehr eine innere Stelle sein, die darf auch am Rand liegen. Und die Funktion muss nicht streng konkav sein, die darf auch schwach konkav sein. Wenn die Funktion f kon von kon ist, dann ist jede stationäre Stelle eine Maximumstelle. Und genau das gleiche gilt für konvexe Funktion. Nur andersrum, falls die Funktion konvex ist, dann muss jede stationäre Stelle Eine Minimumstelle sein. Und damit es noch mal so übersichtlich ist, wie eben mit der Bedingung erster Ordnung, schreibe ich das noch mal auf. Ich halte das hier

kurz fest. Und was haben wir? Also, wir haben wieder F und der Definitionsbereich muss eine Teil des R2 sein. Also Definitionsbereich ist eine ist die X liegt in der XY Ebene und wir haben einen Punkt X0 y0, der stationär ist. Das heißt, in diesem Punkt muss die erste Ableitung existieren und die erste Ableitung muss gleich 0 sein nach x und nach y. Und jetzt lautet die hinreichende Bedingung, falls f konkav ist, folgt daraus, dass x0 y0 eine Maximumstelle ist. Also geht sozusagen in die Richtung, die wir auch benutzen. Und zur Konvex schreibe ich es auch

noch mal auf. Falls f eine konvexe Funktion ist, ach nee, nur in die Richtung, dann ist x0 y0 eine Minnstelle. Ja, er das ist die Bedingung zweiter Ordnung. Und da vorreibe ich mal hinreichende Bedingung, weil der Pfeil geht jetzt von rechts nach links vorm Pfeil. Wie war das jetzt? komm ich ganz durcheinander. Ich halte das hier schon mal fest und damit ich das gegenüber Stellen kann, gehe ich zu der Folie hin, wo ich das hier hingeschrieben habe. Vor der, also auf der linken Seite vom Pfeil bzw. auf der Seite, wo der Pfeil anfängt, steht die

hinreichende Bedingung. Dort, wo der Pil hinzeigt, steht die notwendige Bedingung. Und jetzt kann ich das auch hier hinschreiben. Also hier ist die hinreichende Bedingung. Und auf der Seite, wo die Feilspitze ist, ist dann die notwendige Bedingung. Also, diesmal steht die hinreichende Bedingung auf der rechten Seite, weil der Teil eben von rechts nach links zeigt. Und wir können genau diese hinreichende Bedingung einfach mal für die Funktion ausprobieren, mit der wir eben berechnet haben. Aber halt, da war noch was. Hier steht ja nur, dass die Funktion koncav bzw. Konvex ist. Und die Definition von Konkave war diese

Definition mit der Ungleichung. Ja, wir müssen in mit dieser Ungleichung die Konvexkombination der Funktionswerte vergleichen mit dem Funktionswert an einer bestimmten Konvexkombination. Und jetzt gehe ich noch mal zu der Funktion zurück, die wir eben analysiert haben. Diese Funktion, die wir hier im Titel sehen, da habe ich ehrlich gesagt keine Lust Konvexkombination zu überprüfen. Das wäre mir viel zu viel Arbeit oder ich würde mich auf jeden Fall irgendwie verrechnen. Und deswegen können wir hier eine Abkürzung nehmen. Wir können die Hessematrix benutzen. Vielleicht erinnert ihr euch noch. Die Hesse Matrix ist diese Tabelle, wo die zweiten Ableitungen

drin stehen. Und wenn wir eine bestimmte Eigenschaft, eine bestimmte Bedingung in dieser Tabelle überprüfen, dann können wir dann viel Schneller darauf lüen, ob eine Funktion koncav ist. Das funktioniert aber nur, falls diese Funktion zweimal differenzierbar ist, also falls diese zweiten Ableitungen existieren. Das ist bei dieser Funktion, die wir hier sehen, kein Problem, aber es kann auch funktionieren Funktionen geben, wo das schief geht, weil die eben geknickt ist und weil wir da keine zweiten Ableitung bilden können. Aber hier geht's und deswegen lasst uns diese Hinreichende Bedingung noch mal anschauen für den Fall, dass die Funktion zweimal

differenzierbar ist. Hier ähm noch ein ein anderes Beispiel. Diese Funktion hatten wir in ähnlicher Form auch schon gesehen. Da war glaube ich einfach die Z-Achse in die andere Richtung und na ich hatte diese Funktion umgekehrt benutzt, um zu zeigen, dass wir hier ein Sattelpunkt kriegen können. Noch ein Sattelpunkt da, aber lass uns Mal zu der hinreichenden Bedingung gehen, wo die Mann, wo steht das denn genau? wo das wo diese anderen Bedingen dabei stehen, aber jetzt habe ich soweit vorgeblättert. Jetzt mache ich das kurz per Hand und füg das an der Stelle ein, wo ich es

brauche und zwar hier. Also zur Erinnerung ähm wenn f zweimal differenzierbar ist, Dann ist F KV. Falls folgendes gilt, die ersten beiden Ableitungen, wo wir nach der gleichen Variable ableiten müssen, die muss kleiner gleich 0 sein. Einmal für x und einmal für y. Das ist quasi das gleiche, wie wir schon kennen aus dem Univariatenfall. Und dann kam noch diese andere Bedingung dazu, nämlich, dass das Produkt von diesen beiden Ableitungen größer gleich sein muss als das Produkt der beiden Kreuzableitungen. Das muss auch er sein. Also die linke Seite, die kennen wir im Prinzip schon aus der

univariaten Welt und jetzt kommt bei der bivariatenwelt eben noch diese Bedingung hinzu. Aber diese Bedingung, die gilt auch für konvexe Funktionen. Das heißt, wir müssen die nicht einmal äh zweimal lernen, sondern wir können die Ähm wir brauchen die nur einmal lernen und fvex, falls hier schreibe ich die gleiche Bedingung schon mal hin, da ändert sich nichts. Und was ist auf was bezieht sich auf die ähm diese zweiten Ableitung? Die müssen größer gleich sein und das fällt einem viel leichter, diese Bedingungen zu prüfen, als irgendwie diese Ungleichung zu überprüfen, die direkt in der Definition, in der

Ursprünglichen Definition von Konkavität und Konvexität geld. Und genau das möchte ich jetzt machen. Also ich möchte prüfen, ob die Funktion, bei der wir eben diese stationäre Stelle ausgerechnet haben, ob die diese drei Bedingungen erfüllt. Dann kann ich nämlich sagen, die Funktion ist konf und dann kann ich die hinreichende Bedingung benutzen und sagen, jede stationäre Stelle muss eine Maximumstelle sein. Ich kopiere die mir mal kurz. Und dann gehe ich z.B. nach wie heißt das Beispiel? 17.1.1. Hal, das ich jetzt hier mal stehen kurz an der Seite. So ist F aus dem Beispiel 17.1.1 Konkave bzw. Erfüllt

fedingung hier, die ich jetzt aus dem Arbeitsspeicher reinkopiere, die können wir diese zweiten Ableitung rechnen wir jetzt einfach mal aus. Was waren noch mal die ersten Ableitung? Die schreibe ich noch mal kurz ab. f1 von xy war -4x - 2y plus was war das 32 36 und f2 von xy ist -2x - 4y + 42. Und jetzt benutzen wir die ersten Ableitungen, um die zweiten Ableitungen auszurechnen. Also, ich leite F1 noch mal nach X ab. Dann bekomme ich F11. Und da sehen wir, da bleibt nur die -4 übrig. Dann gehe ich zur ersten Kreuzableitung. Ich

leite die erste Ableitung nach X nach y ab. Da bleibt nur die -2 übrig. Dann die andere Kreuzableitung, die hoffentlich dann gleich ist. Also hier Erst nach y abgeleitet und den Ausdruck nach X ableiten, dann haben wir -2. Und jetzt leite ich zweimal nach y ab und dann kriegen wir hier die -4. Und jetzt markiere ich mal die Ungleichungen hier. Das ist grün, das ist kleiner gleich 0. können wir ein Häkchen dran machen. Dann wird das hier hellblau. Ist auch kleiner gleich null. K wir auch ein Häkchen dran machen. Und jetzt kommt die gelbe Bedingung.

Schreibe ich noch mal separat ab. Dann haben wir -4* -4. Das muss größer sein als -2* -2. Und das können wir leicht ausrechnen. -4* -4= 16 und das ist größer als 4. Auch da können wir ein Häkchen dran machen und das markiere ich mal gelb. Also können wir anhand der zweiten Ableitung, also anhand der Hämrix feststellen, dass F koncav ist. F ist konk und die stationäre Stelle. Was war das noch mal? Ich muss ein bisschen ordentlicher schreiben. XY gleich Ich glaube, es war 58 ist eine Maximumstelle. Ja. Jetzt habe ich quasi im zweiten Schritt habe

ich nicht die notwendige Bedingung benutzt, sondern die hinreich. Aber es ist trotzdem sinnvoll, zuerst die notwendige Bedingung auszurechnen und dann die hinreichende Bedingung, Weil ich für die notwendige Bedingung ja die ersten Ableitungen brauche und ich muss dann sozusagen die stationäre Stelle identifizieren mit der notwendigen Bedingung und mit der hinreichenden Bedingung kann ich diese dann charakterisieren. Das heißt, ich kann gucken, ob es ein Max oder ein Min ist. Was passiert eigentlich, wenn diese gelbe Bedingung verletzt ist? Wenn die gelbe Bedingung verletzt ist, Dann ist die Funktion weder konkave noch Konvex. Wir werden jetzt gleich bei den

lokalen Extremstellen feststellen, dann kann es eine Sattelstelle sein. Es muss aber nicht irgendwie Sattelstelle. Es kann sein, dass wir da noch ein bisschen überprüfen müssen. Okay, wie sieht das hier bei dieser Funktion aus? Lass uns mal die gleiche Analyse aufmachen. Geht relativ schnell. Wir Sehen hier, ich rechne mal kurz die erste Ableitung nach X aus. F1 ist dann 3y - 2x und f2x - 2y. Und jetzt können wir die zweiten Ableitungen ausrechnen. Ich mache das jetzt mal direkt als Tabelle. Also, wenn ich F2 schreibe ohne irgendwelche Indfü, dann ist das die Tabelle, die Hesse Matrix.

Links oben ist dann F11 ist -2. Rechts unten ist f22 ist -2 und die beiden Kreuzableitungen sind jeweils 3. Und jetzt male ich auch diese beiden Geraden dazu. Also, wir müssen das Produkt entlang der grünen Grade ausrechnen und das vergleichen mit dem Produkt entlang der roten Gerade. Entlang der grünen Grade haben wir also -2* -2 und entlang der roten Grade haben wir 3 x 3. Jetzt können wir das ausrechnen. Wir sehen hier auf der linken Seite eine vier, auf der rechten Seite eine neun und hier ist dann die rechte Seite größer, also ist die gelbe

Bedingung verletzt. Die Bedingung F11* F22 größer= F21, Weil F-12 ist verletzt. Das heißt, die Funktion ist nicht konkar, sie ist auch nicht konvex. Und deswegen können wir nicht sagen, dass die stationäre Stelle, die wir hier in der Mitte sehen, ja, also das hier ist die stationäre Stelle, das kriegen wir auch raus, wenn wir sagen, y und X sind beide gleich 0, sind beide ersten partiellen ableitungen gleich 0. Wir können jetzt also keine Aussage darüber Treffen, noch nicht, was das für eine Stelle ist. Okay, noch ein Beispiel. Wir haben hier eine Firma, die eine COD Darkless

Produktionsfunktion benutzt und die steht hier vorne. Das hier ist die Copdackless Produktionsfunktion. Wo kann ich das hinschreiben? Was ist die 12? Die 12 gehört nicht zur Produktionsfunktion. Das soll der Preis für das Output sein. Also für jede Einheit, die ich produziere, kann ich 12 € am Markt verdienen, also oder kann ich für 12 € verkaufen. Und hier rechts, da haben wir die Kosten. Wenn ich hier mal kurz mir erlaube, das so aufzuschreiben, dann sind das hier die Kosten und die entstehen, indem ich eben 1,20 € für jede Einheit X bezahlen muss und 60 Cent für

jede Einheit Y. So entsteht äh der Gewinn. Und jetzt Sollen wir eben für diese Gewinnfunktion eine Inputkombination ausrechnen, also einen Wert für X und einen Wert für Y. welche die Differenz aus Erlösen und Kosten, also welche den Gewinn maximiert. Und dazu können wir jetzt die erste und zweite Bedingung, also die Bedingung erste Ordnung und die Bedingung zweiter Ordnung benutzen. Ich würde euch jetzt bitten, nimmt euch noch mal 2 Minuten Zeit und rechnet die Bedingung erste Ordnung aus und versucht mit diesen beiden Bedingungen dann ein X und ein Y auszuurchen. Danach probieren wir das zusammen. Wenn

wir das geschafft haben, gehen wir ein Strück weiter und gucken uns die Bedingungs weiter Ja. Okay, ich würde vorschlagen, wir versuchen uns einfach mal gemein. Bedingung erster Ordnung bedeutet, dass wir diese Gewinnfunktion, das Pi, Pi steht für Profit Gewin, dass wir diese Funktion erstmal nach xleiten. Partiell natürlich. So, das ist schon eine Funktion, die ein bisschen schwieriger ist und deswegen machen wir das Schritt für Schritt. Gucken uns erstmal das an, was ich hier blau markiert habe. Also alles, was blau markiert ist da oben, das gehört zum Erlös. Preis mal Menge des Outputs. Da haben wir

erstmal eine multiplikative Konstante, die 12, die bleibt bei der Ableitung erhalten. Jetzt leiten wir nach X ab. Da steht x hoch 1/2. Das heißt, das ein/bandert nach vorne und wir müssen ein davon abziehen. 1/ -1 ist dann -1/ Wenn wir nach xleiten, dann tun wir so, als ob y eine Konstante ist. Da hier y multipliziert wird, müssen wir also mal y hoch. Das ist die Ableitung von allen blauen Ausdrücken und das können wir auch grenzlösen. Ich schreib das mal drüber. Das hat jetzt nichts mit Mathe zu tun. Das ist jetzt wie schreib drüber. Grenz erlös.

Also das Wort Grenz bedeutet immer Ableitung. Das ist sozusagen die Ableitung vom Erlös. Und dann kommt der nächste Ausdruck. Da haben wir hier -1,2* x und da ist die Ableitung einfach -1,2. Und das sind die Grenzkosten. Die Ableitung der Kostenfunktion nach X. Die Bedingung erster Ordnung sagt mir jetzt, das hier, das soll gleich 0 sein. Und bevor ich jetzt das gleiche für y mache, möchte ich diese Gleichung irgendwie so aufschreiben, dass es ein bisschen übersichtlicher ist. Z.B. 12 x 1/2, das ist das gleiche wie 6. x hoch -1/ ist das gleiche wie 1 dur x

hoch 1/ Und dann mal y hoch 1/4 und das -1,2, das bringe ich auf die rechte Seite ist 1,2. Und jetzt kann ich noch ein bisschen weiter umformen. Und zwar kann ich auf beiden Seiten durch 1,2 teilen. Geteilt durch 1,2 und ich kann auf beiden Seiten mal x hoch 1/2 richt mal x hoch 1/2. Was ist 6 ge 1,2? Kann ich ehrlich gesagt nicht so gut rechnen. Äh ich stell mir vor 1,2 ist das gleiche wie 1210. 1210 ist das gleiche wie 6/5. Und wenn ich durch 6/5 teile, ist es gleiche wie wenn ich mit

5/6 multipliziere. Also geteilt durch 1,2 ist das gleiche wie mal 5 6 und davor steht ja noch eine 6. 6* 5 6 ergibt 5. Also bleibt die fünf hier stehen. Ich multipliziere mit x hoch ein/ also Fällt dieser Bruch weg. Dann haben wir noch y hoch 1/4 = x hoch 1/. Und diese Gleichung, die lasse ich jetzt erstmal bestehen. Man könnte sie noch man könnte noch auf beiden Seiten quadrieren, vielleicht mal gucken. Ich glaube, ich bleib jetzt erstmal bei dieser Jetzt kommt die Ableitung nach Y. Also, ich leite die Gewinnfunktion ab nach y. Na, eine

Sache wollte ich noch sagen. Ja, warum habe ich hier Grenzerlös und Grenzkosten dazu geschrieben? Wir können die Bedingung erster Ordnung ökonomisch so interpretieren, dass Grenzerlös gleich den Grenzkosten ist und das muss immer Geld. Egal in welchen in welcher Marktform ihr unterwegs seid, Oligopol, Monopol, perfekter Wettbewerbsmarkt. Diese Bedingung gilt immer. Grenzerlöst gleich Grenzkosten. Von der Marktform Hängt ab, wie diese Bedingung dann konkret aussieht. Also was konkreter Grenzerlös ist, aber im Prinzip immer Grenzerlös gleich Grenzkosten. Das bedeutet, wenn ihr euer Input ein bisschen erhöht, dann kriegt ihr zusätzliche Kosten, das sind die Grenzkosten und ihr kriegt möglicherweise

zusätzlichen Erlös. Und wenn der zusätzliche Erlös größer ist als die Grenzkosten, dann könnt ihr noch nicht optimal sein. Dann solltet ihr Erhöhen. Wenn der Grenzerlös kleiner ist als die Grenzkosten, dann wart ihr schon, dann seid ihr das Ziel von hina ausgeschossen. Dann habt ihr zu viel Einsatz. Erst wenn die sich genau die Wage halten, habt ihr genau die richtige Menge. Dann habt ihr das auch. Okay, aber das war V wie jetzt gehen wir wieder zurück zur Mathe. Wir leiten die Gewinnfunktion jetzt auf y ab. Wir haben die multiplikative Konstante durch die 12. Aussicht von y

ist jetzt x eine Konstante, also x hoch 1/ und jetzt müssen wir y hoch 1/, ich bin hier angekommen, ableiten nach y, dann wandert das ein nach vorne mal 1/ und ich muss ein -1 rechnen, das sind -3/4, also y hoch -3/4 und dann kommen die Kosten dran -1,2* x fällt beim ableiten nach y weg und dann steht noch -0,6 x y. Also die Grenzkosten im Bezug auf y - 0,6. Das ganze soll gleich 0 sein in der Bedingung erste Ordnung für y. Jetzt möchte ich wieder ein bisschen vereinfachen. Also 12 x 1/ 3 mal

x hoch 1/2 und das y hoch -3/ schreibe ich jetzt als Kehrwert, also 1 dur y hoch 3/ = 0,6. So schreibe ich das jetzt auf. Und jetzt seht ihr, dass ich bei der Bedingung erste Ordnung nach x auf der einen Seite x hoch ein x hoch ein/ stehen habe. Und das möchte ich jetzt hier bei der zweiten Bedingung erste Ordnung auch haben. Ja, hier haben wir auch ein x hoch ein/ heißt ich muss jetzt beide Seiten durch 3 teilen und beide Seiten mal y hoch 3/4 rechnen. geteilt durch 3 und mal y hoch 3/4.

Und dann kriege ich raus, dass x hoch 1/2 = 0,2 3. Eine Frage, bitteschön. Äh, das weiß ich auch nicht. Da habe ich glaube ich ein Kopf schon ein bisschen vorgerechnet. Gut, dass es jetzt an dieser Stelle genannt wurde. Ich korrigiere das in rot. Also, was habe ich eben falsch gemacht? Die -0, habe ich auf die rechte Seite gebracht und da habe ich schon direkt 0,2 hingeschrieben, aber da muss jetzt noch eine 0,6 stehen. Da wird Gleich erst eine 0,2 raus. Also hier, wo die rote sech steht, da vorhältlich eine 2. So, jetzt teile ich

0,6 durch 3 und dann steht da die 0,2 mal y hoch 3/4. Und das ist die zweite Gleichung, die ich benutzen werde, um eben meine stationäre Stelle zu finden. Also, ich habe zwei Bedingungen erste Ordnung. eine für x, eine für yt mir zwei Gleichungen, den zwei unbekannten. Und jetzt möchte ich diese beiden Gleichungen aufen. Die schreibe ich mir noch mal auf die nächste Seite. Die erste Gleichung ist 5* y hoch 1/ = x hoch 1/2. Und die zweite Gleichung ist x hoch 1/2 = 0,2. Y hoch 3/4. Jetzt setze ich die gleich, also die linke

Seite von der ersten Gleichung setze ich gleich der rechten Seite von der zweiten Gleichung. Dann habe ich 5 x Y hoch 1/ = 0,2 mal y hoch 3. Das heißt, ich habe jetzt eine Gleichung, die nur noch von y abhängt. Jetzt teile ich beide Seiten durch y hoch 1/ und dann kriege ich 5 = 0,2* y hoch 3/4 - 1/4. Ich schreib es erstmal so auf. Und das ist das gleiche wie die 0,2 schreibe ich als 1/5 Y hoch 2/4, also y hoch 1/. Jetzt multipliziere ich beide Seiten mit 5 und dann habe ich y

hoch 1/2 = 25. Und y ist eine Menge, eine Inputmenge, die kann nicht negativ sein. Und deswegen darf ich hier ein Äquivalenzzeichen hinschreiben. Ich schreib da mal in Klammern da drüber. Y kann nicht negativ sein. Das heißt, ich quadriere beide Seiten und dann habe ich y = 25 zum Quadrat. Ich habe keine Lust 25 z qu auszurechnen. Wer es möchte, kann das nicht tun. Mir reicht das zu wissen, dass y = 25² ist. Und das benutze ich jetzt wiederum, um x auszurechnen. Also, das kann ich jetzt hier aus einsetzen oder auf der linken Seite, ist

egal. Das heißt x hoch 1/2 ist 0,2. Da schreibe ich jetzt mal 1/5 mal 25 zum Quadrat hoch 3/4. Okay, wie war das noch mal? Rechenregel für Potenzen. Ich habe hier die Potenz von der Potenz. Dann kann ich die Exponenten einfach miteinander multiplizieren. Das ist ein fün mal 25 hoch 3 x 2= 6 hoch 6/4 und 6/4 ist das gleiche wie 3/be. Okay, das kann ich noch weiter ausrechnen. Also 1/5 und hoch 3/BE kann ich nicht so gut ausrechnen, aber 3/BE ist das gleiche Wie 1 + 1/2. Also 25 hoch 1* 25 hoch 1/2 und

15* 25= 5. Und weiter vereinfache ich jetzt mal nicht. 5* 25 hoch 1/2 und jetzt kann ich auf beiden Seiten quadrieren und seil x größer gleich 0 ist, darf ich dann Äquivalenzzeichen hinmachen. Aus x hoch 1/2 wird also x und hier wird 5² raus mal die Wurzel von 25 zum Quadrat ist 25. Das ist also 25 x 25, also 25 zum Quadrat. Hui, das war jetzt eine lange Rechnung und ehrlich gesagt, nicht bereichern solche langen Berechnungen nicht unbedingt. Es geht mir ums Ergebnis. Was haben wir gemacht? Wir haben die erste parelle Ableitung nach X ausgerechnet,

die gleich 0 gesetzt, die erste partizelle Abitung nach y ausgerechnet, diese gleich 0 gesetzt. Dann hatten wir zwei Gleichungen in zwei unbekannten XY und die habe ich aufgelöst und wir haben eine eindeutige Lösung gefunden. Eindeutige Lösung bedeutet, es gibt nur eine einzige Lösung der Bedingungen erster Ordnung. Und diese Lösung bedeutet xy = 25² 25². Was fangen wir jetzt damit an? Wenn wir Nur die Bedingung erster Ordnung benutzen, können wir sagen, falls es ein Maximum gibt, dann muss dieses ein stationärer Punkt sein. Als es ein inneres Maximum gibt, dann muss dieses ein stationärer Punkt sein. So,

wir haben jetzt einen stationären Punkt gefunden, aber wir wissen noch nicht, ob dieses jetzt vielleicht auch ein Minimum ist oder ein Sitpunkt. Deswegen müssen wir jetzt hergehen und die Bedingungen zweiter Ordnung uns anschauen. Und ich kann auf jeden Fall schon mal anfangen, die Ableitung auszurichtnen. Dazu gehe ich noch mal auf die Folie zurück, wo wir die Ableitung hingeschrieben haben. Die stehen einmal hier und einmal hier. Und aus diesen Ableitungen möchte ich jetzt die zweiten Ableitungen berechnen. Ich halte das mal im Hörsal fest. die hinreichenden Bedingungen Und ich schreibe diese hinreichenden Bedingungen erstmal allgemein auf und

dann müssen wir die konkret uns anschen. Also allgemein meine ich, dass die zweiten Ableitungen nach x kleiner gleich 0 sein müssen. die zweiten Ableitungen nach y, die müssen kleiner gleich 0 sein. Und dieses Produkt, das muss diese Ungleichung erfüllen. Jetzt müssen wir also nur noch diese nur noch in Anführungszeichen diese zweiten Ableitungen ausrechnen. Ich schreib dafür noch mal die erste Ableitung nach X ab und dazu schaue ich hier auf die Tafel, der obere gelb markierte Ausdruck und da steht 12/ halbe, also 6. Und jetzt multipliziere ich hier nichts um, s ich schreib es einfach so

ab, wie es ist, damit ich gleich besser ableiten kann. X hoch -/ mal y hoch 1/ -1,2. Und die erste partielle Ableitung nach y lautet 12, also 3 Mal x hoch 1/2* y hoch -3/4 - 0,6. Daraus mache ich jetzt die zweiten Ableitung, aber vorher gibt's eine Wortmeldung. Bitttechön. Ja, danke schön. Also hier habe ich nicht vertan. An der Stelle muss 22 stehen. Ich markierere das jetzt im Boot. Vielen Dank fürs Aufpassen. König. Okay, ich mache mich ans ableiten. Ich sehe gerade, ich habe noch eine Minute. Die eine Ableitung kriege ich hin und dann höre

ich auf. Dann habt ihr es für heute geschafft. Also, ich leite jetzt die erste Ableitung nach X noch mal nach X ab. Also diesen Ausdruck hier. Die se ist eine multiplikative Konstante. Dann die -1 hole ich nach vorne. Dann ziehe ich ein vom Exponenten ab aus den -1/ wird dann -3/ Und y ist aus Sicht von x eine multiplikative Konstante und hinten die -1,2 gefällt mein Ableiten und den Rest schreibe ich jetzt nur noch schematisch auf. Diese Kreuzableitung brauche ich noch. Dann sollte die andere Kreuzableitung hoffentlich gleich sein. Und dann brauche ich noch die zweite

Ableitung, wo wir zweimal noch Y ableiten. Und wenn wir das alles Ausrechnet haben, dann können wir die Bedingungen prüfen. Wenn ihr möchtet, geht schon mal ran. bis nächste Woche. Ansonsten machen wir das nächste Woche in der Vorlesung zusammen. Vielen Dank, dass ihr heute da wart und eine schöne Woche. Bis dahin, ciao.