Progressão Geométrica PG: Soma dos Termos de uma PG Infinita (Aula 7 de 8)

Olá pessoal tudo bem continuando aqui com a progressão geométrica vamos ver agora a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita na aula anterior nós vimos a soma dos termos de uma progressão geométrica finita ou seja nós somamos n termos de uma progressão geométrica agora pessoal nós vamos somar os infinitos termos dessa versão beleza aí assim pessoal se você gostar do vídeo Clica ali em curtir tá faça comentários e também pessoal não deixe de se inscrever no canal tá dessa maneira pessoal você fica atualizado de com todos os vídeos que são postados aí semanalmente no

canal mais matemática beleza vamos começar vem aqui ó Então vamos lá pessoal soma dos termos de uma progressão geométrica infinita e diz o seguinte ó Considere a PG infinita e Aqui nós temos os termos ó 1 1 so 4 1 so 16 1 so 64 1 sobre 256 1 so 1024 E por aí vai até o infinito Ok Note que olha só a medida que o número de termos aumenta indefinidamente o valor de an tende a zero Tá mas não é zero pessoal repare que a medida que a gente vai inserindo termos nessa progressão geométrica

o denominador ali ó fica cada vez maior Ou seja irá ficar o número um dividido por um número cada vez maior quant é que dá essa divisão gente um número um dividido por um número muito grande o resultado é muito próximo a zero tá esse resultado pessoal cada vez mais vai se aproximando de zero mas ele nunca chegará a ser zero beleza vem aqui ó aí continua dizendo o seguinte ó a fórmula que permite calcular Olha só o limite da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de razão Olha só módulo da razão está

entre 0 e 1 é e nós temos aqui a fórmula ó da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica infinita agora é o seguinte pessoal repare que essa fórmula aí da soma dos infinitos termos da progressão geométrica ela faz uso da ideia de limite aí é o seguinte pessoal muito embora no nível médio no ensino médio nós não tenhamos aí a ideia de limite como parte do nosso currículo só vem limite lá no nível superior nas engenharias na matemática na Física na Química e por aí vai né mas agora aqui no nível médio a

gente não tem essa ideia de limite mas ela é muito simples tá reparem por exemplo ali naquela progressão geométrica a medida que a gente vai inserindo mais termos naquela progressão geométrica e for Somando todos esses termos aí essa soma ela vai convergir a um determinado valor Ok e esse valor aí pessoal é na verdade o valor da soma dos infinitos termos dessa progressão geométrica aí beleza por isso que fala ali o seguinte ó O limite da soma dos termos da progressão geométrica infinita tá então limite da soma na verdade é a soma dos infinitos termos

dessa progressão geométrica beleza e o resultado pessoal é dado simplesmente por aquela divisão ali ó primeiro termo dividido por 1 menos a razão beleza vem aqui ó vamos descer um pouquinho aqui ó até que assim tá bom e vamos fazer o seguinte ó na progressão geométrica infinita ou seja aquela progressão geométrica que nós vimos lá no começo da aula tá Calcule a soma de seus termos Ou seja a soma dos infinitos termos dessa progressão pessoal repara o seguinte ó esse número um aqui ó nada mais é do que o primeiro termo ou seja o A1

dessa progressão geométrica Beleza agora pessoal quanto a razão dessa progressão geométrica nós podemos pegar a divisão entre dois termos consecutivos sempre o termo da direita dividido pelo termo da esquerda tá por exemplo aqui ó pegando 1/4 divido por 1 nós vamos ficar com 1/4 Ou seja a razão dessa progressão geométrica é 1 sobre 4 beleza aí o seguinte pessoal somar então esses infinitos termos é simplesmente então nós realizarmos essa conta aqui ó ou seja o primeiro termo dividido por 1 menos a razão Ok vamos substituir ó nós vamos ter o seguinte ó no primeiro termo

nós temos o número 1 tá então é 1 dividido por 1 menos a razão que vale 1/4 beleza pessoal trabalhando aqui no denominador nós vamos ter o seguinte poderíamos fazer pelo mínimo múltiplo comum tá ou simplesmente fazer essa voltinha aqui ó o quatro vem aqui no um e este um vai nesse um aqui Como assim Como assim ferret olha só Primeiramente você faz a multiplicação tá e depois você irá fazer essa subtração que está aqui ou seja Vamos fazer uma subtração Olha só qu x 1 dá 4 e o 4 menos este 1 ficamos com

3 ou seja o numerador será 3 e o denominador ó continua 4 tá Então pessoal no denominador aqui ó nós vamos ter o 3 qu tá e o numerador nós temos o 1 e aqui pessoal nós temos uma divisão onde o denominador aqui é uma fração Então o que a gente faz ó nós vamos conservar o numerador que é um e multiplicar pelo invo do denominador nesse caso 4/3 Olha só 4 x 1 dá 4 então 4/3 x 1 resultado 4/3 Beleza então pessoal o que significa dizer que a soma dos infinitos termos dessa progressão

geométrica é exatamente 4/3 significa o seguinte que a medida que nós formos inserindo termos ali nessa progressão geométrica nós vamos ter que a soma desses termos todos aí ó vai tendendo a 4 sobre 3 tá então a gente diz o seguinte que a soma dos infinitos termos dessa progressão geométrica que é dada por essa fórmula aí ó é exatamente a 4/3 beleza vem aqui ó agora pessoal vem comigo aqui ó e vamos fazer alguns exercícios para que a gente possa entender bem essa soma infinita Olha só o primeiro diz o seguinte determine o valor do

A1 então a pergunta aqui ó é o primeiro primo termo de uma progressão geométrica infinita em que olha só o limite da soma é 12 so 5 Então pessoal a soma dos infinitos termos nós podemos dizer que é 12/5 e também tá dizendo aqui ó que a razão é 1/6 pessoal bem tranquilo aqui nós simplesmente vamos fazer a soma dos infinitos termos e aplicar a nossa fórmula aqui ó ou seja o primeiro termo dividido por 1 Men A razão Beleza agora substituindo Olha só no lugar da soma infinita aqui ó vamos colocar 12 so 5

então 12/5 isso aqui é exatamente igual ao primeiro termo que nós queremos saber tá então nós temos aqui ó o A1 dividido por 1 menos a razão e a razão no caso vale 1/6 tudo bem primeiramente pessoal vamos atacar aqui ó o denominador ou seja esse seis aqui ó ele irá multiplicar aquele um ali ou seja ó 6 x 1 dá 6 né aí o 6 menos este um aqui então nós completamos a voltinha 6 - 1 ficamos com 5 ou seja 5 no numerador e 6 no denominador tá então isso aqui é a mesma

coisa que 12 125 é igual ao primeiro termo que é o A1 dividido por 56 ok agora Olha só esse 5/6 ele irá passar multiplicando esse 12/5 Então nós vamos ter aqui que o primeiro termo é exatamente igual a 12/5 multiplicado aqui por 5/6 olha aqui ó 5/6 agora olha só como nós temos aqui uma multiplicação nós podemos simplesmente cancelar o c com o 5 e vamos dividir aqui ó 12 dividido por 6 ficamos com dois dessa forma Então pessoal nós vamos ter que o primeiro termo dessa progressão geométrica é exatamente igual a 2 ok

beleza pessoal Essa questão aí então apenas aplicação de fórmula tá vamos fazer agora um Próximo exercício que já foi cobrado aí diversas vezes em vestibulares e também apareceu muitas vezes aí nas provas das escolas beleza vem cá Olhem só essa questão número dois aqui ó e ela diz o seguinte Olha só qual é o valor de X ok na equação nós temos aqui a equação ó 2x + x so 5 + x so 50 e por aí vai e esse resultado aqui ele tá dizendo que vale 20/3 Ok dado que esses termos aqui ó 2x

x so 5 e x so 50 é uma progressão geométrica infinita pessoal se está sendo dito aqui ó que nós temos uma progressão geométrica infinita nós vamos trabalhar então com a soma dos infinitos termos dessa progressão geométrica que é simplesmente o primeiro termo dividido por 1 menos a razão beleza Olha só muito simples aqui ó o primeiro termo ele é o 2x Ok a soma infinita aqui tá sendo representada aqui por 20/3 Beleza agora vamos pensar em relação à razão concorda comigo que a razão é simplesmente a divisão entre dois termos consecutivos e nós podemos

fazer por exemplo o A2 dividido pelo A1 beleza né Olha só o A2 ele vale x so 5 Vamos colocar aqui ó x sobre 5 dividido pelo A1 o A1 aqui no caso Vale 2x aí pessoal nessa divisão aqui ó nós vamos conservar o numerador que é x sobre 5 e multiplicarmos pelo inverso aqui no denominador repara que embaixo do 2x nós temos o 1 ou seja nós vamos multiplicar por 1 sobre 2x tá o inverso desse denominador aqui como nós temos aqui ó uma multiplicação Então nós vamos simplesmente Cancelar esse x com esse X

e nós vamos ter então que essa razão é exatamente igual a 1 dividido Olha só 5 x 2 10 ou seja 1 agora pessoal substituindo ó no lugar da soma aqui vamos colocar o 20/3 Ok Isso aqui é igual ao primeiro termo que nesse caso Vale 2x vamos passar aqui um traço ó 2x e o denominador nós vamos ter 1 menos a razão que vale 1 ok Olha só isso daqui ó é a mesma coisa que 203 isso aqui é igual a 2x dividido agora pessoal aqui no denominador olha Olha só esse 10 aqui ó

ele multiplica esse 1 10 x 1 dá 10 e o 10 aqui ó menos esse 1 ficamos com 9 ou seja o numerador é 9 e o denominador aqui ó continua sendo 10 ou seja 91 Beleza agora pessoal multiplicando cruzado aqui ó nós vamos ter que o 2x multiplica o 3 nós vamos ter aqui ó 6x e este 20 aqui ó irá multiplicar o 91 tudo bem 91 aqui ó como nós temos aqui uma multiplicação nós podemos cancelar esse zero com esse zero e nós ficamos então que o 6x Olha só o 6x ele é

exatamente igual a 2 x 9 O resultado é 18 o 6 tá multiplicando 10 dividindo então o x 18 di 6 nós vamos ter que o X é iG 3 beleza pessoal questão clássica em vestibulares e provas aí agora o seguinte pessoal o Próximo exercício nós vamos ver a fração geratriz assunto aí totalmente relacionado com a soma infinita de uma progressão geométrica beleza vem aqui ó olha só determine a fração geratriz da dízima periódica e nós temos aqui uma dízima periódica tá aí pessoal a dízima periódica é um número decimal que pertence ao conjunto dos

números racionais E lembra o seguinte número racional é uma fração inteiro dividido por inteiro então quando ele está perguntando ali a fração geratriz o que ele tá querendo saber é o seguinte Qual é a fração inteiro sobre inteiro que resulta nesse número aí ó que essa dizima periódica 2,4444 E por aí vai beleza vem aqui ó Então pessoal esse número aqui ó é um número então desse imal que pode ser representado em forma de fração agora qual fração que gera essa dizma periódica Olha só eu vou reescrever ele da seguinte maneira ó Isso aqui é

a mesma coisa que o 2 + 0,4 4 4 4 e por aí vai concorda comigo agora olha só reescrevendo ainda nós podemos dizer o seguinte que esse 0,444 por aí vai ele pode ser reescrito assim ó 0,4 + 0,04 + 0,004 + 0,004 E por aí vai beleza continuando aqui ó eu posso ainda continuar escrevendo da seguinte maneira esse 0,4 Você concorda comigo que é a mesma coisa que 4 so 10 beleza né esse 0,04 é a mesma coisa que 4 sobre Olha só duas casas decimais 4 so 100 tudo bem esse número aqui

ó é a mesma coisa que 4 sobre Olha só três casas decimais então 1000 mais esse aqui ó é a mesma coisa que 4 dividido por Olha só quatro casas decimais Então vamos colocar 10.000 e por aí vai né agora pessoal essa soma aqui ó que tá sendo representada aqui até o mais infinito essa soma aqui ó nada mais é do que a soma de infinitos termos de uma progressão geométrica Olha só o primeiro termo dessa progressão geométrica é o 4/10 vamos escrever aqui ó então o primeiro termo ó o A1 ele é 41 tudo

bem E a razão dessa progressão geométrica aí pessoal é só pensar o seguinte 4 so 10 o próximo termo é 4 so 100 nós estamos multiplicando por quanto aqui multiplicando por 1 D concorda comigo 4 so 10 x 1/1 ficamos com 4 so 100 4 so 100 x 1/1 nós vamos cair aqui no 4 so 1000 e por aí vai ou seja a razão dessa projeção geométrica é igual a 1 Então pessoal a soma desses infinitos termos Aqui ó pode ser obtida simplesmente pela fórmula A1 dividido por 1 menos a razão como nós vimos né

olha só substituindo nós vamos ter o seguinte no lugar do A1 nós vamos colocar aqui o 4/1 né então 4 sobre 10 e no denominador aqui nós vamos ter 1 menos a razão que no caso é 1 sobre 10 tudo bem Isso aqui é a mesma coisa aqui olha só o numerador continuamos aqui com 4/1 agora o denominador aqui ó vamos fazer aquela volta inha ou seja esse 10 aqui ó irá multiplicar o 1 10 x 1 dá 10 10 - 1 nós vamos ter 9 divido por 10 ou seja 91 aqui tá Então pessoal

nessa divisão aqui ó nós vamos conservar o numerador que é o 4/1 e vamos multiplicar pelo inverso do denominador ou seja 10/9 como nós temos uma multiplicação aqui ó nós nós vamos cancelar o 10 com o 10 nós vamos ter então que essa soma infinita Olha só vamos botar o resultado aqui embaixo a soma infinita é 4/9 olha só 4 so 9 Ok então pessoal continuando aqui embaixo nós vamos ter o seguinte ó que todo esse número aqui ó então é exatamente igual a isso daqui e isso daqui pessoal a mesma coisa aqui o dois

ó vamos copiar o dois aqui ó mais a soma desses infinitos termos aqui que nós descobrimos ser 4/9 então 2 mais o 4/9 isso aqui dá quanto Olha só aquela voltinha né pode fazer por mínimo múltiplo comum sem problema algum né 9 x 2 dá 18 e o 18 somado com o 4 nós vamos ter 22 no numerador Olha só 22 no numerador e o denominador continua 9 Então 22/9 pessoal é a fração geratriz para essa dizma periódica aqui até pessoal nós podemos calcular aqui olha só 22 dividido por 9 O resultado é 2,4444 E

por aí vai beleza entenderam Então pessoal qualquer dízima periódica está completamente relacionada aí com uma soma de termos de uma progressão geométrica infinita tá aí o seguinte feto tem uma outra maneira para resolver isso daí Claro que tem amigo presta atenção vem comigo a outra maneira de resolver pessoal é o seguinte ó o número aqui ó é 2,4444 por aí vai né eu vou considerar esse número então como sendo um certo número X então tá aqui ele ó 2 v 4 4 4 4 e por aí vai beleza agora o que que eu vou fazer

ó eu vou multiplicar o X por 10 ficamos então com 10x Beleza agora agora se nós estamos multiplicando o x aqui por 10 vamos multiplicar tudo isso daqui por 10 ou seja essa vírgula aqui ó irá uma casa pra direita e nós vamos ficar então com 24,4444 E por aí vai beleza agora pessoal se nós subtrairmos aqui ó o 10x - o x como é que fica isso daí ó fica assim ó 24,444 por aí vai menos o 2,444 E por aí vai quanto é que vai ficar essa subtração aqui ó irá ficar 22 concorda

comigo porque o decimal aqui irá se cancelar e 24 Men o 2 ficamos com 22 agora 10x Men o x nós ficamos com 9x isso aqui é exatamente igual 22 e o 9 que tá multiplicando des dividindo ou seja o número X é exato exatamente igual a 22 sobre 9 quem é o número X mesmo é essa dízima periódica que está aqui beleza claro né pessoal dessa maneira nós não utilizamos a soma infinita de termos de uma progressão geométrica utilizamos apenas aquela parte algébrica ali para chegarmos na fração geratriz Ferreto tem uma maneira mais fácil

ainda pessoal vamos aproveitar o trem aí ó e vamos fazer uma maneira bem mais fácil ainda para encontrar a fração geratriz daquela dízima periódica ali vem aqui ó Então pessoal uma outra maneira é a seguinte ó nós vamos fazer então 2 v 44 4 4 e por aí vai nós vamos considerar isso daqui ó como sendo 2 + 0,444 e por aí vai tudo bem isso daqui pessoal é a mesma coisa que 2 mais agora pessoal olha só o macete aqui ó nós temos apenas aqui ó o número quatro se repetindo então o quatro aqui

na verdade é o período tá então nós vamos fazer aqui uma fração Olha que simples ó nós vamos colocar o número quatro aqui no numerador e no denominador nós vamos colocar o seguinte Olha só o número que se repete aqui ó é o Número Quatro o número quatro tem apenas um único algarismo ou seja nós vamos colocar um único número nove aqui embaixo e dois somar com 4/9 nós já Vimos que isso aqui ó é a mesma coisa que 22/9 beleza agora por exemplo olha só um número assim ó 3,16 16 16 e por aí

vai tá então qual a fração geratriz isso daqui pessoal nós poderíamos também utilizar aqui a soma infinita sem problema algum tá mas o macete é bem mais simples ó Vamos separar aqui a parte inteira ó o TR da parte decimal que é 0 V 16 16 16 e por aí vai então isso daqui ó é a mesma coisa que 3 mais pessoal essa parte decimal aí ó apenas o número 16 faz parte do período Então nós vamos colocar aqui o 16 que é o número que está se repetindo né dividido pelo seguinte Olha só o

período aqui ó tem dois algarismos concorda comigo o número 16 tem dois algarismos Então nós vamos colocar aqui embaixo ó dois números 9 beleza E somarmos esse número inteiro com essa fração pessoal nós podemos fazer por mínimo múltiplo comum ou simplesmente fazermos aqui ó a voltinha ou seja 99 x 3 297 297 + 16 isso dá 3133 dividido por 99 vamos pegar a calculadora aqui ó e vamos fazer ó 313 dividido por 99 Olha só 3,16 16 16 e por aí vai Ok beleza pessoal Aproveitei me embala aí ó para apresentar então duas outras maneiras

de nós calcularmos ou descobrirmos a fração geratriz de uma dízima periódica beleza pessoal agora o seguinte ó vamos pra Saira fazer uma questão aí demais importante em relação à progressão geométrica tá preste atenção aí e Vem Comigo Olha só vamos descer aqui ó e vamos ver o que diz diz o seguinte a sequência representada na figura baixo é formada por infinitos triângulos equiláteros Beleza o lado do primeiro triângulo mede 1 e a medida do lado de cada um dos outros triângulos é 2/3 da medida do lado do Triângulo imediatamente anterior então Olha só pessoal o

primeiro triângulo equilátero aqui ó o lado dele Vale 1 tudo bem os outros triângulos a medida deles é exatamente igual a 2/3 da medida deste lado aqui ou seja do Triângulo anterior Olha só esse lado aqui ó vamos colocar aqui ó estee lado aqui quanto é que vale a medida dele ó ele é 2/3 da medida do lado anterior pessoal 2/3 de alguma coisa é 2/3 vezes tá então 2/3 x 1 nós temos Então 2/3 como para para esse lado aqui tá então nós temos aqui ó 2/3 quanto é que vale por exemplo agora a

medida deste lado aqui ó pessoal este lado aqui ó é 2/3 da medida do lado anterior ou seja 2/3 de 2/3 que é a medida do lado anterior isso aqui exatamente igual 2 x 2 dá 4 3 x 3 9 ou seja esse esse lado aqui ó é 4/9 tá E por aí vai aí diz o seguinte qual é a soma dos perímetros Olha só pessoal a soma dos perímetros desses triângulos nessa sequência infinita primeiramente pessoal Vamos considerar apenas o lado esquerdo aqui ó desses triângulos tá o primeiro termo então ou seja o A1 é

exatamente igual a um tá a razão é o valor que nós estamos multiplicando por exemplo este lado para chegarmos nesse Ou seja a razão aqui foi fornecida no enunciado e essa razão vale 2 ter então somando esses infinitos lados aí ó nós vamos ter o seguinte que a soma então infinita é igual Olha só vamos colocar aqui o primeiro termo aqui em cima que é 1 e dividir por 1 menos a razão que nesse caso vale 2/3 agora pessoal Olha só vamos pegar esse TR aqui ó ele irá multiplicar esse 1 ficamos então com 3

x 1 dá 3 e o 3 - 2 isso aqui dá 1 sobre 3 então isso aqui é a mesma coisa que 1 dividido por 1/3 tudo bem Olha só conservando o numerador que é 1 e multiplicando pelo inverso do denominador 3 so 1 ou seja 3 Então pessoal ó 3 é a soma dos lados esquerdos aqui ó de todos esses infinitos triângulos pessoal muito cuidado aí ó reparem que a pergunta é a soma dos perímetros desses infinitos triângulos equiláteros aí beleza o que nós encontramos ali o valor três é a soma dos infinitos lados

de cada um desses triângulos como nós temos um cada triângulo aí tem três lados nós devemos multiplicar esse valor final aí ó por TR tá E aí chegamos então que a soma dos perímetros é exatamente igual a 9 beleza vem aqui ó então fazendo isso daqui ó vezes 3 tudo bem chegamos então a 9 como sendo a soma dos perímetros de todos esses triângulos aqui certo então pessoal chegamos aí ao final de mais uma aula tá se você gostou do vídeo Clica ali em curtir tá faça comentários eu aguardo você na próxima aula pessoal um

abração Bons estudos e até mais m