[Aplausos] Olá pessoal vamos à nossa segunda aula sobre conjuntos numéricos A aula anterior a gente viu o conjunto dos naturais e conjunto dos inteiros e eu comentei lá o seguinte que lá nos conjunto dos números inteiros a operação de divisão o resultado nem sempre dava um número pertencente ao conjunto dos inteiros por exemplo 3 di por 2 não pertence aos inteiros então houve a necessidade de criação de um novo conjunto esse conjunto é o item TR aqui ó que é o conjunto dos números racionais ok que são as frações olha para mim como é que
funciona aqui ó o conjunto dos números racionais é descrito como conjunto dos quocientes ou seja divisões entre dois números inteiros olha para mim cuidado entre dois números inteiros mas o denominador ele não pode ser o quê não pode ser zero isso aí olha só como a gente escreve em símbolos aqui ó o conjunto dos números racionais é este q com o tracinho aqui ó ele é formado então pelas frações ou seja cocientes entre dois números Tais que esses números o a pertence aos inteiros ou seja o número inteiro e o B também pertence aos inteiros
só que o b é um denominador então o b não pode ser zero então aos inteiros com asterisco inteiros não nulos Ok vamos colocar alguns exemplos aqui ó olha só exemplo de números racionais o número 3 dividido pelo 5 o número - 7 dividido por 4 o número 2 o número 0 o número 13 sobre 8 o número - 7 e por aí vai agora olha para mim aqui ó e repara o seguinte node que eu coloquei ali o número 2 0 e - 7 Aí talvez você esteja perguntando Mas Ferreto esses números aí do
e 0 são naturais o - 7 é número inteiro mas meu amigo esses números Você concorda comigo que no denominador quando não aparece nada é o número um que aparece ali olha só aqui a mesma coisa que tivesse o número um aqui também e aqui também então tudo isso daqui ó são números racionais claro que este aqui ó também é um número natural assim como o zero também é nós temos o -7 aqui ó como um elemento que pertence ao conjunto dos inteiros Claro tudo isso é verdade por isso agora eu vou falar o seguinte
reparem que todos os números naturais a gente pode imaginar com o número um embaixo assim como os inteiros ou seja os naturais e os inteiros são subconjuntos dos conjuntos dos Racionais ou seja esses conjuntos estão contidos nos conjuntos dos números racionais vamos escrever isso olha só a gente viu na aula anterior que o conjunto dos números naturais é um subconjunto Ou seja é um conjunto que está contido no conjunto dos inteiros Tá e agora a gente tá percebendo que esses dois conjuntos são dois conjuntos que estão contidos no conjunto dos Racionais então nós temos esse
diagrama aí ó simbolizando a inclusão dos naturais nos inteiros e consequentemente dos inteiros nos Racionais Ok vamos descer um pouquinho aqui até aqui tá bom agora olha para mim pessoal essas frações que representam os números racionais se nós dividirmos pode acontecer o seguinte ou será um número inteiro ou será um número decimal Deixa explicar melhor 10 di 2 o número racional 10 sobre 2 dá o resultado 5 esse 5 é um número inteiro agora olha só 2 di 5 o o resultado dá quanto é um número inteiro não né 2 di por 5 é 0,4
Esse número é um decimal mais precisamente um decimal que é exato Ok 0,4 agora por exemplo 1 so 3 dá 0,3333 isso aí é um decimal periódico chamado dízima periódica Então olha só na divisão na resolução de uma fração ou o número será inteiro ou ele será decimal no caso decimal nós temos o decimal que é exato ou decimal periódico a fração sempre será um desses dois aí se não for inteiro ou decimal exato ou decimal periódico Ok vem comigo aqui ó como eu falei ó por exemplo 2 sobre 5 isso aqui é um decimal
mas é um decimal que é exato ou seja assim ó 0,4 assim como por exemplo 30 dividido por 4 35 di por 4 essa essa divisão aqui vai dar 8,75 notem que não é um número inteiro é um número decimal esse número decimal também é um decimal exato Ok e assim nós temos infinitos exemplos agora olha só o decimal periódico existe um período após a vírgula chamado de dízima periódica ok por exemplo assim ó 1 di por 3 a gente sabe que isso aqui é aquele 0,33 3 3 e assim vai né Assim como 7
sobre 9 O resultado é 0 V 7 7 7 7 e por aí vai mais um aqui ó 1 sobre 22 O resultado é 0,04 4 5 4 5 4 5 e por aí vai ok gente olha só lá na matemática básica tem aula que fala de números decimais e aula que fala sobre dizimas periódicas Ok dá uma olhadinha lá se você tem alguma dúvida disso aí que é muito importante elas são muito boas tá agora vamos descer mais um pouquinho e vamos falar sobre esses números decimais aí olha só diz ali ó Como saber
se uma determinada fração irredutível já vou falar sobre isso aqui irredutível equivale a um decimal exato ou uma dizim periódica ou seja pegando a fração como é que a gente vai saber se é decimal exato ou dizima periódica sem efetuar a divisão Olha só vamos fazer o seguinte primeiro a regra é essa ó a gente vai decompor o denominador Ok nessa decomposição vai surgir duas possibilidades tá vamos colocar aqui ó decimal exato e vamos colocar aqui ó o decimal periódico a nossa dizima periódica Ok Então olha só nessa decomposição do denominador ele será decimal exato
quando acontecer o seguinte na decomposição surgir apenas anote lá ó apenas fatores dois ou 5 ok e aqui o número será um decimal periódico Quando surgir algum fator diferente de dois ou C Ok Ferreto faz um exemplo Claro meu amigo olha só exemplo aqui ó por exemplo a fração 7 sobre 5 50 Será que essa divisão aqui resulta um decimal que é exato ou um decimal que é periódico faz o seguinte decomponha o denominador ou seja 50 vamos decompor aqui ó dividido por 2 dá 25 dividido por 5 dá 5 e dividido por 5 dá
1 repara o seguinte os fatores aqui ó são apenas 2 e 5 então nós temos aqui um decimal exato querem ver Olha só vamos pegar aqui a calculadora Olha só se nós efetuarmos por exemplo o número 7 dividido por 50 olha ali ó 0,14 Ou seja é um decimal que é exato então nós temos aqui ó isso aqui igual a 0,1 decimal exato por sua vez olh outro exemplo se eu pegar por exemplo o número 16 dividido por 30 vamos fatorar aqui o denominador o 30 dividido por 2 dá 15 dividido por 3 dá 5
e dividido por 5 dá 1 repara que surgiu um fator aqui ó o 3 que não é nem o 2 e nem o 5 então então isso aqui ó caracteriza que o número 16 sobre 30 é um número decimal periódico querem ver ó vamos pegar calculadora aqui olha só vamos botar aqui do ladinho número 16 dividido por 30 o resultado Deu 0,53333 3 e por aí vai né ó 0,53 3 3 3 dando essa ideia de continuidade essa ideia de período aqui beleza pessoal então só para finalizar a divisão entre dois números inteiros ou será
um número inteiro ou será um decimal sempre tá no caso de ser decimal ele pode ser um decimal exato ou uma dízima periódica Ok vem comigo agora aqui olha só até o momento o que a gente tem é o seguinte ó imaginando aqui uma reta onde pra direita aqui vai crescendo imaginando aqui a origem ou seja o zero o que nós temos é o seguinte primeiro nós vimos os naturais zero aqui vai o um aqui vai o 2 aqui vai o TR E por aí vai até o mais infinito depois a gente acrescentou aqui ó
os números inteiros ou seja os negativos que daí surgiram os números inteiros né -2 E aí vai para -3 E aí vai para menos infinito então Por Enquanto Aqui nós temos os números inteiros aí pela divisão de dois números inteiros foi necessária a criação de números racionais por exemplo esse número aqui ó nós temos o número 1 sobre 2 que está colocado aqui OK assim como nós temos mais ou menos aqui assim ó a fração -4 sobre 3 e aí a gente vai preenchendo aqui com frações e o que eu quero falar para você é
o seguinte entre dois números racionais ou seja entre duas frações a gente sempre pode colocar um outro número racional olhe para mim aqui ó imagine o seguinte vamos imaginar aqui uma retinha tá E vamos imaginar aqui o zero e aqui assim o número um Ok vamos imaginar agora aqui o racional 1 sobre 2 e aqui assim ó o racional 1 so 3 como é que a gente pode descobrir quanto vale aquele número ali ó que é equidistante do 1/3 e equidistante do 1/2 isso daqui gente é só a gente tirar uma média uma média olhe
para mim aqui ó se eu pegar o 1 sobre 3 somar com 1 sobre 2 e o resultado dividido por 2 A gente tá tirando uma média a chamada média aritmética Isso aqui vai dar quanto Olha só no numerador a gente pode fazer o seguinte ó olha para mim aqui ó tirar o mínimo múltiplo comum aqui embaixo Mas tem uma maneira bem mais fácil de fazer soma de frações que é seg 3 x o 2 aqui dá 6 aí o 2 multiplica esse carinha aqui ó 2 x 1 dá 2 mais o 3 multiplica aquele
1 ali ó 3 x 1 3 o denominador Aqui nós temos o 2 e nós ficamos o seguinte o numerador ficou uma fração 2 + 3 5/6 e o denominador ficou do bom como é que a gente realiza ou seja resolve uma divisão de frações Conserva o numerador que é 5/6 e Multiplica pelo inverso do denominador nota que o denominador tem 2 É 2 so 1 então a gente multiplica por 1 so 2 e o resultado disso daqui meu amigo será 5 x 1 que é 5 diido por 6 x 2 12 ou seja olha
para mim aqui em cima ó esse pontinho aqui ó por estar no meio no meio do caminho desses dois aqui ó ele é a média e o resultado é 5 sobre 12 Ok o que eu quero para falar para você é o seguinte entre dois Racionais então a gente sempre pode colocar um número racional Ok e se a gente colocar olha para mim aqui ó colocar esse número aqui a gente pode descobrir esse depois a gente pode descobrir esse E aí vai para aquele ali e assim por diante Mas o que eu quero falar para
você o seguinte ó mesmo assim colocando infinitos números racionais entre dois números racionais a gente não consegue preencher essa reta ou seja terá lacunas em branco por ali olha só por exemplo fazendo novamente uma reta aqui ó tá vamos imaginar aqui o nosso zero imaginar aqui o nosso um imaginar aqui o nosso do ok o número raiz 2 raiz quadrada 2 ele é mais ou menos aqui assim ó olha para mim aqui ó vamos tirar a √2 na calculadora ó 2 ra qu Opa 2 ra qu 1,41 42 3 5 6 23 7 pessoal não
existe uma periodicidade após a vírgula ou seja isso ali nunca vai ser uma dizma periódica dessa forma o ra2 não pode ser escrito em forma de fração gente ou seja ele não é um número racional ok ele não é um número racional muito embora a gente tenha visto que entre dois Racionais a gente possa colocar infinitos números racionais mas aquele √2 vai ser um espaço em branco em se tratando apenas de Racionais por isso houve a necessidade da criação de um outro conjunto esse outro conjunto é o conjunto dos números irracionais que aí vai abranger
esse ra2 o ra3 o número pi E por aí vai Ok mas isso é um assunto pra próxima aula tá se você gostou da aula Clica ali em gostei nós nos vemos na próxima um abraço até mais
